Demonstrasjon av Toricellis lov - Universitetet i oslo...Toricellis lov som differensiallikning...

Demonstrasjon av Toricellis lov

Forelesning uke 17, 2009

MEK1100

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Sylinder (paraplyen bak ble ikke brukt i forsøket!)

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Apning i bunnen

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Parametere, definisjoner

Vann strømmer ut av et sirkulært hull i bunnen av en sirkulærsylinder.

Størrelser

Diameter sylinder D = 0.17 m KjentDiameter hull d = 0.01 m KjentHøyde før utstrømning h1 MalesHøyde etter utstrømning h2 MalesVarighet av utstrømning T MalesHøyde som funksjon av tid h(t) BeregnesUtstrømingshastighet v Beregnes og males

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Bruk av Toricellis lov

Bevaring av volum (utstrøming = tapt volum):

πd2v = −πD2dh

dt

Malt h1, h2 og T gir midlere utstrømshastighet

vobs = −D2

d2

(

dh

dt

)

=D2

d2

(

h1 − h2

T

)

Toricellis lov v =√

2gh gir da

v teo =1

2(√

2gh1 +√

2gh2)

Denne v teo avviker fra eksakt middelhastighet ?

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Toricellis lov som differensiallikning

Relasjoner pa forrige slide gir initialverdiproblem

dh

dt= −fh

1

2 , h(0) = h1, der f =d2

D2

√

2g

Likning er separabel og løses greit (se Kalkulus)

h(t) =

(

h1

2

1−

1

2ft

)2

Merk: h kvadratisk i t ⇒ dh

dtlineær ⇒ v lineær.

For en lineær funksjon blir middel lik den lokale verdien og vartuttrykk for v teo er eksakt.

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Gjennomføring av forsøk

1 h1 leses av.

2 Hull apnes og klokker startes.

3 Hull lukkes og klokker stanses.

4 h2 leses av.

5 Tider samles inn

Det klargjøres for neste forsøk.

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Etterbehandling

h1, h2, T1... skrives inn pa en separat fil for hvert forsøk, navnrun1 etc.

Matlabfunksjon Tori.m

1 Fil med dat apnes og leses.

2 Antall observerte tider finnes og disse midles til T

3 Formler brukes og resultat skrives ut.

4 Kalles med feks. >>Tori(’run1’) og skriver ut T , vobs,v1 =

√2gh1, v2 =

√2gh2 og ǫ = 100 · (vobs − v teo)/vobs

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Toricellis lov Tori.m

%Regner ut midlere hastighte fra Toricellis lov

function[] = Tori(tf)

data=load(tf);

lengder=size(data);n=lengder(1);

if n < 3;

’feil’

return;

end

tsum=0.0;

for i=3:n;

tsum=tsum+data(i);

end

t=tsum/(n-2); h1=data(1);h2=data(2);

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

D=0.17;d=0.01;f=D*D/(d*d);

g=9.81;

vobs=f*(h1-h2)/t;

v1=sqrt(2*g*h1);v2=sqrt(2*g*h2);

vmid=0.5*(v1+v2);avvik=100*(vobs-vmid)/vobs;

sprintf(’%s%.3f%s%.3f%s%.3f%s%.3f%s%.3f%s’,’t=’,t, ...

’, vobs=’,vobs,’, v1=’,v1,’, v2=’,v2, ...

’, avvik(%)=’,avvik)

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

Vare malinger

Run h1(m) h2(m) T1(s) T2(s) T3(s) T4(s)

1 0.848 0.728 9.04 9.12 9.48 9.1 x2 0.831 0.701 9.86 9.99 9.78 9.95 9.83 0.730 0.594 11.20 11.09 11.24 11.13 11.04 0.594 0.386 19.89 19.54 19.88 19.91 19.8

I forsøk 1 falt en tidsmaling ut.

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov

resultater

Run T (s) vobs(m) v1(m/s) v2(m/s) ǫ(%)

1 9.185 3.776 4.079 3.779 -4.0632 9.876 3.804 4.038 3.709 -1.8153 11.132 3.531 3.785 3.414 -1.9394 19.804 3.035 3.414 2.752 -1.567

Feil i T 1-2% (se tabell tidligere)Tilfeldige feil i h typisk 0.001m, dvs. omlag 1%Vi observerer systematisk: vobs < vteo, feil av samme relativestørrelsesorden som i T og h.Kan viskøse effekter (og kappilareffekter) redusere vobs eller maltevi systematisk for lange tider pga. prosedyren var ?

Forelesning uke 17, 2009 Demonstrasjon av Toricellis lov