座標平面において曲線 y k(1 x2 1 kは正の定数）を C とし ......5 a; bは実数でa...

1 座標平面において曲線 y = k(1¡ x2)¡ 1（kは正の定数）を C1とし，曲線 y = 1¡ x を C2とする．

このとき，以下の問いに答えなさい．

(1) C1は kの値によらない定点を通る．この定点の座標をすべて求めなさい．

(2) C1と C2が共有点をもつような正の定数 kの値の範囲を求めなさい．

(3) 正の定数 kが (2)で求めた範囲にあるとき，C1と C2の共有点の個数を求めなさい．

2 座標平面上に 2点 P(0; 2)，Q(1; 0)をとる．また，tを実数とし，放物線 y = (x¡ t)2を Cとする．次

の問いに答えよ．

(1) Cが Pを通るときの tの値を求めよ．

(2) Cが直線 PQに接するときの tの値と接点の座標を求めよ．

(3) 線分 PQと Cの共有点の個数が tによりどのように変化するか記述せよ．

3 関数 f(x) = x2 ¡ 2px+ qは最小値¡4をとるものとする．以下の問に答えよ．

(1) qを pを用いて表せ．

(2) f(x) = 0となる xを pを用いて表せ．

(3) p > 0のとき，関数 g(x) = f(x) (¡1 5 x 5 1)の最小値を与える xを求めよ．

4 以下の問いに答えよ．ただし，aは定数である．

(1) 2曲線 y = (x+ 1)(x¡ 3)，y = 2(x¡ a)2 + 4の共有点の個数を調べよ．

(2) 関数 y = (x+ 1)(x¡ 3) のグラフをかけ．

(3) 2曲線 y = (x+ 1)(x¡ 3) ，y = 2(x¡ a)2 + 4の共有点の個数を調べよ．

5 a; bは実数で a > 0，b > 1とする．放物線 y = ax2+ 1と直線 y = bとの交点で第 1象限にあるものを

P1とし，放物線 y =12x2と直線 y = bの交点で第 1象限にあるものを P2とする．P1と P2の間の距離

を dとするとき，以下の問いに答えよ．

(1) a = 12のとき，d 5 1であるための bの値の範囲を求めよ．

(2) a Ë 12のとき，d 5 1であるための bの値の範囲を aを用いて表せ．

6 不等式¡B

5 5 x¡ 1x 5

B

5を解け．

7 aを実数の定数とする．2つの関数 f(x) = x2 ¡ ax+ 3と g(x) = x2 ¡ (2a+ 1)x+ a2 + aについて，

次の各問に答えよ．

(1) すべての実数 xについて，f(x) = 0が成り立つための条件を aを用いて表せ．

(2) 1 5 x 5 3を満たすすべての実数 xについて，f(x) > 0が成り立つための条件を aを用いて表せ．

(3) g(x) 5 0を満たすすべての実数 xについて，f(x) > 0が成り立つための条件を aを用いて表せ．