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1 座標平面において曲線 y = k(1¡ x2)¡ 1(kは正の定数)を C1とし,曲線 y = 1¡ x を C2とする.
このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) C1は kの値によらない定点を通る.この定点の座標をすべて求めなさい.
(2) C1と C2が共有点をもつような正の定数 kの値の範囲を求めなさい.
(3) 正の定数 kが (2)で求めた範囲にあるとき,C1と C2の共有点の個数を求めなさい.
2 座標平面上に 2点 P(0; 2),Q(1; 0)をとる.また,tを実数とし,放物線 y = (x¡ t)2を Cとする.次
の問いに答えよ.
(1) Cが Pを通るときの tの値を求めよ.
(2) Cが直線 PQに接するときの tの値と接点の座標を求めよ.
(3) 線分 PQと Cの共有点の個数が tによりどのように変化するか記述せよ.
3 関数 f(x) = x2 ¡ 2px+ qは最小値¡4をとるものとする.以下の問に答えよ.
(1) qを pを用いて表せ.
(2) f(x) = 0となる xを pを用いて表せ.
(3) p > 0のとき,関数 g(x) = f(x) (¡1 5 x 5 1)の最小値を与える xを求めよ.
4 以下の問いに答えよ.ただし,aは定数である.
(1) 2曲線 y = (x+ 1)(x¡ 3),y = 2(x¡ a)2 + 4の共有点の個数を調べよ.
(2) 関数 y = (x+ 1)(x¡ 3) のグラフをかけ.
(3) 2曲線 y = (x+ 1)(x¡ 3) ,y = 2(x¡ a)2 + 4の共有点の個数を調べよ.
5 a; bは実数で a > 0,b > 1とする.放物線 y = ax2+ 1と直線 y = bとの交点で第 1象限にあるものを
P1とし,放物線 y =12x2と直線 y = bの交点で第 1象限にあるものを P2とする.P1と P2の間の距離
を dとするとき,以下の問いに答えよ.
(1) a = 12のとき,d 5 1であるための bの値の範囲を求めよ.
(2) a Ë 12のとき,d 5 1であるための bの値の範囲を aを用いて表せ.
6 不等式¡B
5 5 x¡ 1x 5
B
5を解け.
7 aを実数の定数とする.2つの関数 f(x) = x2 ¡ ax+ 3と g(x) = x2 ¡ (2a+ 1)x+ a2 + aについて,
次の各問に答えよ.
(1) すべての実数 xについて,f(x) = 0が成り立つための条件を aを用いて表せ.
(2) 1 5 x 5 3を満たすすべての実数 xについて,f(x) > 0が成り立つための条件を aを用いて表せ.
(3) g(x) 5 0を満たすすべての実数 xについて,f(x) > 0が成り立つための条件を aを用いて表せ.