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Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
Cristian j. P. Castillo U.
ÍNDICE GENERAL
PRESENTACIÓN 1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 4
1.1 Definición de ecuación diferencial 5
1.2 Clasificación de ecuaciones diferenciales 5
1.2.1 Clasificación según su tipo 6
1.2.2 Clasificación según su orden 6
1.2.3 Clasificación según su linealidad o no 7
1.3 Solución de una ecuación diferencial 8
1.4 Problema de valor inicial 11
1.5 Modelos matemáticos 13
ÍNDICE GENERAL
Cristian Castillo
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 15
2.1 Ecuaciones diferenciales en variables separables 16
2.2 ecuaciones diferenciales homogéneas 21
2.2.1 Funciones homogéneas 21
2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas 23
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas 28
2.4 Factores integrantes 35
2.5 Ecuación diferencial lineal 42
2.6 Ecuación diferencial de Bernoulli 48
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 53
3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden superior 54
3.1.1 Principio de superposición 54
3.1.2 Dependencia e independencia lineal 54
3.1.3 Wronskiano 55
3.1.4 Ecuación diferencial homogénea 56
3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea 57
3.2 Reducción de orden 58
3.3 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes 63
3.3.1 Ecuaciones de segundo orden 64
3.3.2 Ecuaciones de orden superior 69
3.4 Método de coeficientes indeterminados 75
3.4.1 Enfoque de superposición 76
3.4.2 Enfoque anulador 89
ÍNDICE GENERAL
Cristian Castillo
3.4.2.1 Operadores diferenciales 89
3.4.2.2 Coeficientes indeterminados 93
3.5 Método de variación de parámetros 100
3.5.1 Ecuaciones de segundo orden 101
3.5.2 Ecuaciones de orden superior 108
3.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler 112
3.6.1 Ecuaciones homogéneas 113
3.6.2 Ecuaciones no homogéneas 120
CAPÍTULO 4. APLICACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES 124
4.1 Trayectorias ortogonales 125
4.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial 128
4.3 Ley de Newton del enfriamiento 134
4.4 Mezclas 137
4.5 Circuitos eléctricos en serie 140
4.5.1 Circuitos RL 140
4.5.2 Circuitos RC 143
4.6 Absorción de drogas en órganos o células 146
4.7 Crecimiento logístico 151
APÉNDICE I. Números complejos 155
APÉNDICE II. Tabla de derivadas 161
APÉNDICE III. Tabla de integrales 163
BIBLIOGRAFÍA 175
PRESENTACIÓN
En diferentes áreas de la ciencia, y sobre todo en la ingeniería, se desarrollan
modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de
ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos, por lo general,
pueden ser expresados a partir de ecuaciones que contiene ciertas derivadas de una
función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación
diferencial.
La historia de las ecuaciones diferenciales comenzó en el siglo XVI, donde los
matemáticos Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli resolvieron las primeras
PRESENTACIÓN
Cristian Castillo 2
ecuaciones diferenciales sencillas a partir de unos problemas de Mecánica y
Geometría. De hecho, según Nápoles y otros (2002), a finales del siglo XVII James y
Johan Bernoulli, introducen término como el de “Integrar” una ecuación diferencial,
así como la técnica de variables separables para resolver una ecuación diferencial.
Estos primeros descubrimientos abrieron al mundo un universo de ecuaciones
nuevas, así como también a una serie de procedimientos que nos permiten la
resolución de algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en
problemas de modelado.
Actualmente, las ecuaciones diferenciales y los modelos matemáticos se han
convertido en un tema fundamental e indispensable para ser incluido en el pensum de
estudio de cualquier carrera de ingeniería a nivel mundial. Es por ello que la
asignatura Matemática IV (0082824 – 0322144) que cursan las carreras de ingeniería
y afines en la Universidad de Oriente, trata sobre los tipos de ecuaciones
diferenciales, las técnicas como resolverlas y modelos matemáticos que las incluyen.
Este módulo de Matemática IV (0082824 – 0322144) que se presenta, se
ajusta en su totalidad a las unidades 1 y 2 de su programa vigente, tanto en el orden
en que son presentados los objetivos como en la profundidad con que son tratados. En
él, se ha querido exponer todos los temas de este material en una forma muy clara y
sencilla, de manera que el lector pueda comprenderlos en forma inmediata. Además
no se ha hecho demasiado énfasis en las demostraciones de los teoremas, en lugar de
ello se ha preferido crear un material haciendo hincapié en la parte práctica, para lo
PRESENTACIÓN
Cristian Castillo 3
cual se han incluido una gran cantidad de ejercicios resueltos y además se han
propuesto una serie de ejercicios con respuestas al finalizar cada tema.
Por lo tanto este módulo se ha estructurado 4 capítulos, en los cuales se
estudiarán las ecuaciones diferenciales ordinarias incluyendo teoremas y técnicas para
la resolución de las mismas.
El capítulo 1, es una introducción al mundo de las ecuaciones diferenciales,
donde se darán definiciones, conceptos y teoremas sobre estas ecuaciones, además de
incluir los problemas de valor inicial e introducir la definición de los modelos
matemáticos y como formularlos.
En el capítulo 2, se desarrollan una serie de técnicas y procedimientos para
resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el capítulo 3, se presentan primero unas definiciones necesarias para el
estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior, para luego desarrollar técnicas
que permitan resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes ya
sean homogéneas o no y por último se presenta las ecuaciones diferenciales de
Cauchy-Euler y cómo resolverlas.
En el capítulo 4, se presentan una serie de problemas de aplicación que se
pueden resolver mediante modelos matemáticos que incluyan ecuaciones
diferenciales utilizando las técnicas que presentadas en los capítulos anteriores.
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Este capítulo es un preámbulo a todo el mundo de las ecuaciones diferenciales
ordinarias. Se desarrollaran conceptos básicos para la mejor comprensión de este tipo
de ecuaciones, así como también una breve introducción a como enunciar un modelo
matemático a partir de un problema de la vida real.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 5
1.1 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL.
Una ecuación diferencial es una igualdad que contiene derivadas de una
función desconocida con respecto a una o más variables independientes.
Por ejemplo la ecuación dx
kxdt
es una ecuación diferencial, que por cierto
representa la desintegración radioactiva de una sustancia a través del tiempo.
Así mismo, la ecuación 4
4
d yEI w x
dx , es una ecuación diferencial que
modela la desviación que experimenta una viga con respecto a su eje de simetría.
Por último, la ecuación 2 2 2
2 2 24 , ,
u u ux y z
x y z
, también es una
ecuación diferencial, llamada ecuación de Poisson, la cual satisface, por ejemplo, el
potencial del campo electrostático.
Como se ve, existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, por lo que se
hace necesario realizar una clasificación de ellas. A continuación se presentarán
diferentes formas de clasificar las ecuaciones diferenciales.
1.2 CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según su tipo, orden o
linealidad.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 6
1.2.1 Clasificación según el tipo
Cuando una ecuación diferencial contiene una o más derivadas de una
función desconocida con respecto a una sola variable, es decir solo derivadas
ordinarias, entonces se está en presencia de una ecuación diferencial ordinaria, por
ejemplo:
cosdy
y y xy x yxdx
En cambio si la ecuación posee una o más derivadas de una función
desconocida con respecto a dos o más de una variables, entonces es una ecuación
diferencial en derivadas parciales, por ejemplo:
2 2
2 20
z z
x y
Cabe destacar que en este módulo está basado solo en el estudio de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
1.2.2 Clasificación según su orden.
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que
tiene la ecuación, por ejemplo:
22
2
dy d yx
dx dx , es de segundo orden
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 7
0y y , es de tercer orden
4 3
3tan
dy d yx
dx dx
, es de tercer orden
De este último ejemplo, cabe destacar que es importante no confundir el orden
con el grado (potencia del término).
1.2.3 Clasificación según su linealidad o no.
Una ecuación diferencial es lineal, si se puede escribir de la forma:
1
1 2 1 0
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x
Esto implica que debe cumplir con las siguientes condiciones:
a. La función desconocida y sus derivadas son a lo sumo de primer grado, es
decir, de potencia 1.
b. Los coeficientes de la función desconocida y sus derivadas dependen solo
de la variable independiente.
En caso de que no se cumpla alguna de estas condiciones, se dice que la
ecuación diferencial es no lineal. Por ejemplo:
2 1y xy x , es lineal
2 1y y y x , es no lineal, ya que el coeficiente de y depende de y
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 8
4
4cos 0
d y dyx y
dx dx , es lineal
3
2
30
d y dyx y
dx dx , no es lineal, ya que el término y, no es de primer grado.
1.3 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
Toda función que al sustituirla en la ecuación diferencial, cumple con la
igualdad, es considerada como una solución de ella. Por lo tanto, se puede decir que
2xy e es solución de ecuación 2 0y y , ya que, como 2xy e , entonces
22 xy e , por lo tanto al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
2 22 0 2 2 0 0 0x xy y e e
Por lo tanto podemos definir como solución de una ecuación diferencial a
toda función que satisface a la ecuación, es decir que al sustituirla la reduce a una
identidad.
Existen varias formas de clasificar las soluciones de las ecuaciones
diferenciales, una de ellas es en explícitas e implícitas.
Una solución explícita, es aquella que se puede escribir de la forma y f x
, es decir que la solución este expresada solo en función de la variable independiente
y constantes. Por ejemplo 2xy e es una solución explícita de la ecuación
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 9
2 0y y . Un tipo solución explícita es la solución trivial o nula y es aquella que
tiene la forma 0y .
Ahora, una solución implícita, es la que tiene la forma ,f x y C , es decir,
toda solución que involucre tanto a la variable dependiente como a la independiente.
Por ejemplo 3 34 1y x , es una solución explícita la ecuación diferencial
3 21 0x dy x ydx .
Otra manera de clasificar las soluciones de las ecuaciones diferenciales es en
generales, particulares y singulares.
Una solución o relación que satisfaga a una ecuación diferencial y además
involucre en su estructura una o más constantes arbitrarias, se denomina solución
general. Cabe destacar, que una ecuación diferencial de orden n, tendrá una solución
general compuesta por n funciones multiplicadas por n constantes arbitrarias. Por
ejemplo 1 2cos siny x C x C x es solución general de la ecuación diferencial
0y y . Geométricamente, una solución general de la forma ,y C x ,
representa una familia de curva en el plano xy. Estas curvas se llaman curvas
integrales.
En la figura 1.1, se muestran las curvas integrales de la solución general
2y x C .
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 10
Figura 1.1
Ahora bien, una solución particular, es la que no está en función de
constantes arbitrarias, y esto se logra particularizando las constantes de la solución
general, a partir de unas condiciones iniciales que presenta el problema. Por ejemplo
la función 2cos 3siny x x x , es una solución particular de 0y y . Más
adelante veremos que una solución particular es la que se obtiene de un problema de
valor inicial.
Por último una solución singular, es aquella que no se obtener a partir de la
solución general de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la función 22y Cx C es
la solución general de la ecuación 2
2y Cy y , sin embargo la función
2 8 0x y también es solución de la ecuación diferencial ya que la satisface, por lo
tanto ésta es una solución singular, ya que es imposible obtenerla a partir de la
solución general.
x
y
-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
-3
-2
-1
0
1
2
3
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 11
1.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Un problema de valor inicial es toda ecuación diferencial que se encuentra
acompañada por unas condiciones iniciales. Es importante destacar que en un
problema de valor inicial, el número de condiciones iniciales necesarias debe ser
igual al orden de la ecuación diferencial, es decir, una ecuación diferencial de tercer
orden necesita tres condiciones iniciales. En forma general, una ecuación diferencial
de orden n, debe estar sujeta a n condiciones iniciales, es decir:
1, , , , , 0n nF x y y y y y sujeta a
1
0 0 0 1 0 1, , ,n
ny x y y x y y x y
Cabe destacar, que la solución de un problema de valor inicial siempre genera
una solución del tipo particular.
Ahora bien, cuando se considera un problema de valor inicial, surgen las
siguientes preguntas:
¿El problema tiene solución?
De existir solución, ¿es ésta la única solución del problema?
La respuesta a estas interrogantes viene dada en el siguiente teorema.
Teorema de existencia y unicidad. Sea R una región rectangular en el plano xy,
definida por ,a x b c y d , que contiene al punto 0 0,x y en su interior.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 12
,o ox y
x
y
c
d
a b
R
I
Si f y df
dy son continuas en R, entonces existe un intervalo abierto I, con centro 0x
contenido en ,a b y una única función y x , que satisface el problema de valor
inicial ,y f x y , sujeta a 0 0y x y ,
Para toda x de I. (ver figura 1.2)
Figura 1.2
A continuación se presentarán unos ejemplos para aclarar el teorema anterior.
Ejemplo1. Demuestre que el problema de valor inicial 3y x y sujeta a 1 2y ,
tiene solución única.
De acuerdo al teorema de existencia y unicidad, primero se comprobará que
cumple con la hipótesis. Como 3,f x y x y , y 23
dfy
dy , ambas son continuas
en todo rectángulo R del plano xy. Ahora la condición inicial 1 2y , implica que
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 13
0 1x , y además 0 2y . Es obvio que 1,2 está contenido en alguna región
rectangular R. Entonces, todas las hipótesis del teorema se cumplen, con lo cual se
puede concluir que existe una solución única.
Ejemplo 2. Verifique si la ecuaciónl 21y y sujeta a 1 1y , tiene solución
única.
Al igual que el problema anterior, primero se comprobará que cumple con la
hipótesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces se tiene que
2, 1f x y y , y 21
df y
dy y
, sin embargo en 1,1
df
dy no es continua. Por
lo tanto el punto 1,1 no debe estar incluido en una región rectangular R, donde las
hipótesis que satisfaga el teorema. Con lo cual no se puede concluir del teorema de
existencia y unicidad que exista una solución única. Esto no significa que el problema
no tenga solución o que tenga varias soluciones. Cabe destacar que si un problema
de valor inicial no satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad,
entonces las curvas integrales se interceptan.
1.5 MODELOS MATEMÁTICOS.
Un modelo matemático, es una descripción matemática de un sistema o
fenómeno físico, sociológico, económico, entre otros, que ocurre en la vida real.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 14
Para la formulación de un modelo matemático es necesario:
Identificar las variables que afectan al sistema, es decir, las que producen
cambios en éste. Mientras más variables tenga el modelo será más ajustado a
la realidad, sin embargo mucho más complejo para resolver.
Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que se trata
de describir. Las hipótesis del problema implican con frecuencia, la razón o
tasa de cambio de las variables involucradas. El enunciado del modelo
matemático de estas hipótesis, puede estar conformado por una o más
ecuaciones en donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.
Luego de formulado el modelo matemático, es necesario resolverlo, es decir
hallar una solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales,
lo cual no es nada fácil. Al determinar la solución se deberá comprobar que el
modelo sea razonable, lo que implica verificar si su solución es consistente con los
datos experimentales o con los hechos conocidos acerca del comportamiento del
sistema. Sin embargo, si las predicciones que se basan en la solución son deficientes,
se puede aumentar el nivel de resolución del modelo o elaborar hipótesis alternativas
sobre los mecanismos del cambio del sistema; entonces, se repiten los pasos del
proceso de modelado.
En el capítulo 4 se desarrollarán ejemplos de algunos modelos matemáticos
con ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.
CAPÍTULO 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
En este capítulo por fin empezaremos a resolver ecuaciones diferenciales, sin
embargo por los momentos solo de primer orden. A pesar de que veremos muchas
técnicas, realmente son tres las fundamentales, variables separables, exactas y
lineales, el resto mediante una sustitución se transforman en alguna de estas tres.
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 16
2.1 ECUACIONES DIFERENCIALES EN VARIABLES SEPARABLES
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es separable o
que es en variables separables si se puede escribir de la forma:
h y dy g x dx
Donde h y es una función continua que depende solamente de la variable x,
y g x es una función que depende solo de la variable y.
Los pasos necesarios para resolver ecuaciones de este tipo son:
Expresar la ecuación diferencial de la forma: h y dy g x dx
Integrar la ecuación diferencial para encontrar la solución general, es decir:
h y dy g x dx c
De ser posible, escribir la solución en forma explícita: ,y f x y c
Ejemplos 1. Resuelva y xy
Primero se escribe la ecuación en forma diferencial, sabiendo que dy
ydx
,
dy dyxy xdx
dx y
Integrando la ecuación se obtiene,
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 17
2
1ln2
xy C , con 0y
Donde 1C es una constante real, aplicando exponencial para escribir la
solución en su forma explícita, se tiene
21
1
2x C
y e
, y entonces se tiene que 2
1
1
2x
Cy e e
De la igualdad anterior, se verifica que y no se anula, y por lo tanto no
cambia de signo, con lo cual, se concluye que la solución general de la ecuación
diferencial viene dada por:
21
2x
y Ce
Donde C es una constante real que es igual a 1Ce .
Ejemplo 2. Resuelva 2
2
2
1
3 1
dy xx
dx y
Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos
diferenciales:
2
2
2
13 1
xy dy dx
x
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 18
Acomodando la ecuación para luego integrar ambos miembros:
2
2
13 1 1y dy dx
x
Con lo cual luego de integrar obtenemos:
3 1y y x x C
En este ejemplo se puede apreciar que a veces no es posible o práctico
expresar la solución en su forma explícita.
Ejemplo3. Resuelva 2 21 1x y x y
Primero se reescribe la ecuación en forma diferencial, sabiendo que dy
ydx
,
y separando las variables con sus respectivos diferenciales a cada miembro de
la ecuación.
2
2 2
21 1
1 1
dy dy xx x y dx
dx y x
Realizando división de polinomios en la función que depende de la variable x,
se tiene,
2
11
1 1
dydx
y x
Integrando la ecuación se obtiene la solución general, la cual viene dada por:
ln 1 arctany x x C
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 19
Ejemplo 4. Resuelva 3 21 0x dy x ydx con 1 2y
Primero se reescribe la ecuación separando las variables con sus respectivos
diferenciales:
2
31
dy xdx
y x
Con lo cual luego de integrar la ecuación, se obtiene la solución general
3 3 3 3
1
1ln ln 1 3ln ln 1 ln 1
3y x C y x C y C x
Luego como, si 1x entonces 2y , se tiene
3 32 1 1 4C C
Por lo tanto la solución particular de la ecuación diferencial es:
3 34 1y x
Ejercicios Propuestos.
1. 2 24 2 0y yx dy x xy dx
Rta. 2 22 4y C x
2. 2 sin 0y y x
Rta. 1
cosy
x C
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 20
3. cos 1 sin 0xydx e ydy con 04
y
Rta. 1 sec 2 2xe y
4. 23 tan 2 sec 0x xe ydx e ydy
Rta. 3
2 tanxe C y
5. sin lny x y y con 2
y e
Rta. ln csc coty x x
6. 21 cot 0dx x ydy
Rta. 2 1sin
1
xy C
x
7. 3 3
2 4 8
dy xy x y
dx xy x y
Rta.
53
4
y xyCe
x
8. 2x y y xy con 1 1y
Rta. 1
ln ln 1y xx
9. 2 2 22 0x y y dx x yx dy
Rta. 1 ln 2x x y y C
10. y K y a y b
Rta.
1K b a x
b ay a
Ce
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 21
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es homogénea
si se puede escribir de la forma:
, , 0M x y dx N x y dy
Donde ,M x y y ,N x y son funciones homogéneas del mismo grado. Este
tipo de ecuación diferencial mediante un cambio de variable se transforma en una
ecuación en variables separables.
2.2.1 Funciones homogéneas.
Se dice que ,f x y es una función homogénea de grado n, si para toda t, se
cumple que:
, ,nf tx ty t f x y
Ejemplos 1. Verifique si las siguientes funciones son homogéneas:
a. 3 2 3( , ) 2 5 4f x y x xy y
En este caso se tiene que:
3 2 3
, 2 5 4f tx ty tx tx ty ty
Resolviendo las potencias, se obtiene:
3 3 3 2 3 3, 2 5 4f tx ty t x t xy t y
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 22
Factor común 3t
3 3 2 3, 2 5 4f tx ty t x xy y
Y por lo tanto:
3, ,f tx ty t f x y
Con lo cual se concluye que 3 2 3( , ) 2 5 4f x y x xy y es una función homogénea
de tercer grado.
b. 5 55( , )f x y x y
Aquí se tiene que,
5 5
5( , )f tx ty tx ty
Con lo cual se obtiene,
5 5 55( , )f tx ty t x y
Por propiedades de radicales, se tiene
5 5 5 55 5 5( , ) ( , )f tx ty t x y f tx ty t x y
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 23
Y por lo tanto,
, ,f tx ty t f x y
Lo cual demuestra que 5 55( , )f x y x y es una función homogénea de
grado 1.
2.2.2 Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas
Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial homogénea son:
Expresar la ecuación diferencial de la forma: , , 0M x y dx N x y dy
Verificar que ,M x y y ,N x y son funciones homogéneas del mismo
grado.
Transformar la ecuación diferencial homogénea en una de variables
separables, utilizando cualquiera de las siguientes sustituciones: y ux ó
x uy , con sus respectivos diferenciales.
Resolver la ecuación diferencial en variables separables, para luego regresar el
cambio de variable realizado.
Ejemplos 2. Resuelva 2 2 0xdy y x y dx
Al examinar ,M x y x y 2 2 , y yN xx y se verifica que las dos
funciones son homogéneas de grado 1.
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 24
Si se utiliza el cambio de variable y ux , entonces dy udx xdu , y
sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene:
22 0x xdu udx ux x ux dx
Resolviendo se tiene,
2 2 21 0x du uxdx uxdx x u dx
Simplificando y aplicando propiedades de radicales, se obtiene
2 2 21 0x du x u dx
Separando las variables con sus respectivos diferenciales,
21
du dx
xu
Con 1u
Luego de integrar ambos miembros de la igualdad, se obtendrá la solución
general,
arcsin lnu x C
Pero como y ux , implica que y
ux
, con lo cual se obtiene la solución
general a la ecuación diferencial, la cual viene dada por:
arcsin lny
x cx
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 25
Ejemplo 3. 2 22x xy dy y dx
La cual es una ecuación diferencial homogénea de grado 2. Por lo tanto se
utilizará el cambio de variable x uy , y además dx udy ydu . Sustituyendo en la
ecuación se obtiene:
2 22uy uy y dy y udy ydu
Resolviendo se tiene:
2 2 2 2 32 2u y dy uy dy y udy y du
Agrupando diferenciales y aplicando factor común en ambos miembros,
2 2 32 2y u u u dy y du
Separando las variables con sus respectivos diferenciales,
2
2dy du
y u u
Integrando ambos lados de la ecuación, se obtiene:
ln 2 2 1y ln u ln u C
Donde 2
2du
u u se resolvió utilizando la técnica de fracciones parciales.
Aplicando las propiedades de logaritmo en la solución obtenida, se tiene:
21
ln lnu
y Cu
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 26
Aplicando exponencial a la ecuación, se obtiene:
21u
y Cu
Luego como x uy , entonces x
uy
, con lo cual se tiene,
2
1x
yy C
x
y
Con lo cual luego de operaciones algebraicas se obtiene la solución general:
2x y
y Cx
Ejercicios Propuestos.
1. cot 0y
y x dx xdyx
Rta. cosy
x Cx
2. 2x y xy dy ydx con 1 1y
Rta. 2ln 4
y xy
y
3. cos cos 0y y
x y dx x dyx x
Rta. ln siny
x Cx
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 27
4. 2 22 0x y dx xydy
Rta. 4 2 2x C x y
5. 0y y
x xx ye dx xe dy
con 1 0y
Rta. ln 1 lny x x
6. 2y
xxy y xe
Rta. 1
ln2
yC
xx e
7. 6 0xy y dx xdy con 1 4y
Rta. 1
9 6y xx
8. 0x y dx x y dy
Rta. 2 2ln arctany
x y cx
9. ln lnxy y y x
Rta. 1Cxy xe
10. 2 2
2
x yy
x
Rta. 1 2 3tan 3 ln
3
y xx C
x
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 28
2.3 ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS.
Una ecuación diferencial se dice que es exacta si se puede escribir de la
forma:
, , 0M x y dx N x y dy
Y además cumple con:
, ,M x y N x y
y x
Si se tiene una función de dos variables de la forma ,z f x y , cuyas
derivadas parciales son continuas en una región rectangular R del plano xy, entonces
su diferencial total, se define como:
f f
df dx dyx y
Ahora bien si ( , )f x y C , donde C es una constante real, al aplicar el
diferencial total, se tiene:
0f f
dx dyx y
Pero como bien se sabe f
x
y
f
y
son funciones de dos variables, es decir,
funciones que dependen de x y y. Por lo tanto asumiendo que:
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 29
,f
M x yx
y ,f
N x yy
Se tiene que:
, , 0M x y dx N x y dy
Luego:
2M f f
y y x y x
y
2N f f
x x y x y
Y como las derivadas cruzadas de una función de varias variables son siempre
iguales,
2 2f f
y x x y
Se concluye que:
, ,M x y N x y
y x
Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial exacta son:
Luego de escribir la ecuación de la forma: , , 0M x y dx N x y dy se
verifica que cumpla con: , ,M x y N x y
y x
Se determina ,f x y , luego de integrar la relación
,
,f x y
M x yx
,
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 30
, ,f x y M x y dx g y
Donde g y es la constante de integración debido a que se está integrando con
respecto a la variable x.
Se deriva la ecuación (3) con respecto a la variable y, con lo cual se tiene:
,
,f x y
M x y dx g yy y
Como
,
,f x y
N x yy
, entonces sustituyendo en la ecuación anterior y
despejando g y , se tiene:
, ,g y N x y M x y dxy
Luego se integra con respecto a y. Es importante verificar que esta ecuación
debe ser una función que debe depender solo de la variable y (o constante),
entonces,
, ,g y N x y M x y dx dy Cy
Por último se sustituye g y en la solución ,f x y , con lo cual se obtendrá
la solución general de la ecuación diferencial, recordando que es del tipo
implícita, es decir, ,f x y C , por la solución es:
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 31
, , ,M x y dx N x y M x y dx dy Cy
En caso de que al iniciar este procedimiento, se halla decidido empezar por la
relación
,
,f x y
N x yy
, estos se deben seguir estos mismos pasos pero en forma
análoga, es decir, en vez de integrar con respecto a x se hace con respeto a y, en lugar
de derivar con respecto a y, se deriva con respecto a x, y así sucesivamente, hasta
llegar a la solución que debe tener la forma:
, , ,N x y dy M x y N x y dy dx Cx
Cabe destacar, que en cualquiera de los dos casos, no se debe memorizar estas
fórmulas, sino más bien seguir los pasos antes descritos.
Ejemplo 1. Resuelva 3
2 22 4 03
xyx xy dx x dy
Como la ecuación tiene la forma 0Mdx Ndy , entonces implica que:
2, 2M x y yx xy y 3
2, 43
xN x y x
De aquí se verifica si cumple con la condición de exactitud, es decir,
M N
y x
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 32
2 2M
x xy
y 2 2
Nx x
x
Lo cual implica que la ecuación diferencial es exacta, ahora se debe decidir
con que ecuación comenzar, en este caso se hará con:
2 2f
yx xyx
La cual al integrarla con respecto a x, se obtiene:
3 21,
3f x y x y x y
Luego se deriva con respecto a la variable y.
32
,
3
f x y xx g y
y
Como f
Ny
, entonces se tiene:
3 3
2 243 3
x xx x g y
Se integra con respecto a y, para obtener g y
4 4g y g y y C
Con lo cual, por último se determina la solución de la ecuación diferencial la
cual viene dada por:
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 33
3 214
3x y x y y C
Ejemplo 2. Resuelva 2cos sin 2 0x x x y dx xydy con 2 1y
Se comprueba que la ecuación diferencial es exacta,
,2
M x yy
y
y
,2
N x yy
x
En este caso parece más sencillo comenzar con:
,2
f x yxy
y
La cual se integra con respecto a la variable y.
2,f x y xy g x
Se deriva con respecto a x,
2
,f x yy g x
x
Como ,f x y
Mx
, entonces se tiene:
2 2cos sinx x x y y g x
Se integra con respecto a x, para obtener g x
cos sin cosg x x x x g x x x C
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 34
Por lo tanto se determina la solución general de la ecuación diferencial, la cual
vienen dada por:
2 cosxy x x C
Luego como se tiene una condición inicial, tal que 2 1y , entonces:
2
2 1 2 cos2 4C C
Por último la solución particular de la ecuación diferencial es:
2 cos 4xy x x
Ejercicios Propuestos.
1. tan sin sin cos cos 0x x y dx x ydy
Rta. cos sin ln cosx y x C
2. 2 0x y dx xdy
Rta. 31
3xy x C
3. 2 21 1x y y xy con 0 1y
Rta. 2 211
2x y x y
4. 2 3 4 3 4 5 0x y dx x y dy
Rta. 2 23 2 4 5x xy y x y C
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 35
5. 22 1 0xy x dy con 1 3y
Rta. 2 6 0x y y
6. 3 3 4 21 1
4 3 0x y dx x y dyx y
Rta. 4 3 ln
xx y C
y
7. 2 2 2 22 2 2 0x xx ye y xy y e con 0 1y
Rta. 2 2 2 1xx y y e
8. cos sin 0x y x dx xdy
Rta. 2 2 sinx y x C
9. 2 2 22 0x xy dx x y dy
Rta. 3 2 32 3x x y y C
10. cos 2 sinx ydy x y dx con 2 0y
Rta. 2 sin 4x x y
2.4 FACTORES INTEGRANTES
Si una ecuación diferencial de la forma , , 0M x y dx N x y dy no es
exacta, puede existir una función ,x y , tal que al multiplicarla por la ecuación
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 36
diferencial, esta se transforme en exacta. Esta función ,x y se denomina factor
integrante de la ecuación diferencial.
Es importante acotar que la solución de la ecuación diferencial luego de
aplicar el factor integrante es la misma de la ecuación diferencial inicial, así como
también, recalcar que no es fácil encontrar un factor integrante para una ecuación
diferencial no exacta. Sin embargo, si ,M x y y ,N x y cumplen ciertas
condiciones necesarias, es posible hallar de una manera sencilla el factor integrante.
A continuación se presentarán 2 casos de factores integrantes, los cuales son
los más comunes, y pueden ser utilizados de acuerdo a las características de la
ecuación diferencial.
CASO I. Factor Integrante dependiente de x.
Ocurre si al resolver
M N
y x
N
Se obtiene una función que depende solo de la variable x. En este caso el
factor integrante x viene dado por:
h x dx
x e Donde x
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 37
Ejemplo 1. Resuelva la ecuación diferencial 2
12 1 0
ydx lnxy dy
x x
Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:
2 2
1 1
dM dNlnxy
dy x dx x
Por lo tanto, se verifica si es posible conseguir un factor integrante que
transforme la ecuación diferencial en exacta, por lo tanto se comprueba si
M N
y x
N
es una función que depende solo de la variable x,
2 22
1 11 1
11
1
11
M N M N M N
y x y x y xx x
N N
lnxy lnxyx
lnxy lnxyx x
N x
Con lo cual es posible determinar el factor integrante, que viene dado por:
1
lndx
xxx e x e x x
Entonces al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante se
tiene:
2
12 1 0
ydx lnxy dy x
x x
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 38
En consecuencia,
2 1 0y
x dx lnxy dyx
Ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que
1M
y x
y
1N
x x
Por lo tanto ahora es necesario resolver la ecuación diferencial exacta, para
ello comenzamos con:
2f y
xx x
Entonces se tiene:
2, lnf x y y x x g y
Ahora derivando con respecto a y,
,ln
f x yx g y
y
Como ,
,f x y
N x yy
, entonces se tiene:
1 ln lnxy x g y
Se integra con respecto a y, con lo cual se obtiene g y ,
1 ln lng y y g y y C
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 39
Con lo cual se determina la solución general de la ecuación diferencial,
2ln lny x x y C
CASO II. Factor Integrante dependiente de y.
Ocurre si al resolver
N M
x y
M
Se obtiene una función que depende solo de la variable y. En este caso el
factor integrante y viene dado por:
h y dy
y e Donde
N M
x yh y
M
Ejemplo 2. Resuelva la ecuación diferencial 2 22 2 3 4 0xy y dx x y x dy
Esta ecuación diferencial no es exacta, ya que:
4 2 6 4dM dN
xy xydy dx
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 40
Por lo tanto se verifica que
N M
x y
M
es una función que dependa solo de la
variable y,
2
6 4 4 2 2 2 1
2 2 2 2
N M N M N M
xy xy xyx y x y x y
M xy y M y xy M y
Con lo cual se determina el factor integrante,
1
lndy
yyy e y e x y
Entonces al multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante se
tiene:
2 22 2 3 4 0xy y dx x y x dy y
En consecuencia,
3 2 2 22 2 3 4 0xy y dx x y xy dy
La cual ahora esta ecuación diferencial es exacta, ya que:
2 26 4 6 4dM dN
xy y xy ydy dx
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 41
La cual tiene como solución general:
2 3 22x y y x C
Problemas propuestos.
1. 2 2 0x y x dx xydy
Rta. 4 3 2 23 4 6x x x y C
2. 4 3 2 4 2 22 2 3 0y yxy e xy y dx x y e x y x dy
Rta. 2
2
3
y x xx e C
y y
3. 3 3 0ydx x y dy
Rta.
43 3
4
yxy y C
4. 2 2 0y x dx ydy
Rta. 2 1 xy x Ce
5. 4 2 32 3 6 0xy y dx x xy dy
Rta. 2 3 6 0x y xy
6. 2 0y xy dx xdy
Rta. 21
2
xx C
y
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 42
2.5 ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es aquella que tiene la forma:
1 0a x y a x y Q x (1)
Sin embargo al dividir (1) por 1a x , se obtiene una forma más útil de escribir
la ecuación diferencial lineal, llamada forma estándar, y viene dada por:
y P x y Q x (2)
Donde P y Q son funciones continuas definidas en un intervalo.
Los pasos necesarios para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden son:
Luego que la ecuación diferencial este escrita como (2), multiplicarla por el
factor integrante P x dx
x e , con lo cual se obtiene:
P x dx P x dx P x dx
y e P x e y Q x e
La cual es equivalente a la ecuación:
P x dx
P x dxd e y
Q x edx
Con lo cual al integrar se obtiene la solución general de la ecuación
diferencial,
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 43
P x dx P x dx
ye Q x e dx C
Es importante no tratar de memorizar la solución general, sino más bien seguir
paso a paso el procedimiento antes descrito.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación 32 xy y e
La cual es una ecuación lineal con 2P x y 3xQ x e
De manera que:
2 2 2 2dx x C C x xx e x e x e e x Ke
Ahora se tiene una familia de factores integrantes, de la cual se escogerá a
2xx e , y entonces multiplicamos a ambos miembros la ecuación diferencial,
2 2 3 22x x x xy e ye e e
En consecuencia,
2 5x xdye e
dx
Luego integrando la ecuación se tiene:
2 51
5
x xye e C
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 44
Por último la solución general es:
3 21
5
x xy e Ce
Ejemplo 2. Resolver la ecuación diferencial cosy
y xx
Esta ecuación diferencial es lineal con 1
P xx
y cosQ x x
De manera que el factor integrante es:
ln
dx
xxx e x e x x
Ahora se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial, de modo
que:
cosy x y x x
En consecuencia se obtiene:
cosd
yx x xdx
Luego de integrar con respecto a x, se obtiene:
sin cosyx x x x C
Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es:
1sin cosy x x C x
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 45
Cabe destacar que es muchos casos es conveniente acomodar la ecuación
diferencial de tal manera que x f y para que esta sea lineal, es decir, de la forma:
x P y x Q y
La cual tendrá como factor integrante P y dy
y e , y se resolverá igual que
los casos anteriores pero de forma análoga, tal como lo ejemplifica el siguiente
ejercicio.
Ejemplo 3. Resolver la ecuación diferencial 22
dxy x y
dy con 1 5y
Primero debe multiplicarse toda la ecuación diferencial por y, para que tenga
la forma de una ecuación lineal,
12 2
dx xy x x y
dy y y
La cual es una ecuación diferencial lineal con 1
P yy
y 2Q y y
De manera que el factor integrante es:
ln 1dy
yyy e y e yy
Ahora se multiplica el factor integrante por la ecuación diferencial,
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 46
2
12
xx
y y
En consecuencia se obtiene:
2d x
dy y
Luego de integrar con respecto a y, se obtiene:
2x
y Cy
Con lo cual la solución general de la ecuación diferencial es:
22x y Cy
Pero como existen unas condiciones iniciales tal que 1 5y , entonces
2 49
1 2 5 55
C C
En consecuencia la solución particular a la ecuación diferencial es:
2 492
5x y y
Ejercicios Propuestos.
1. 0y xy x
Rta.
2
2 1x
y Ce
2. 22 xy y xe x con 0 5y
Rta. 2 2 2 2 3x xy x e x x e
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 47
3. yy e x y
Rta. yxy e C
4. 22 0x xx ye dx e dy con 0 1y
Rta. 32
13
xy x e
5. 2
2 5 8 4x y y xy
Rta. 4 35
2 23
y x x C
6. 2 ydy dyy x y e
dx dx
Rta. yx
e Cy
7. dy y
dx y x
con 5 2y
Rta.
2
82
yxy
8. 32
11
y y xx
Rta. 2 21
1 12
y x C x
9. 26 2 0xy y y con 0 1y
Rta. 22
2x yy
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 48
10. 2 0yydx xy x ye dy
Rta. 2 2
2
1 1 1
2 2 4
yye
x y y Cey
2.6 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI.
Una ecuación diferencial de Bernoulli es aquella que se puede escribir de la
forma:
ny P x y Q x y
Donde n, es un número real.
Cabe destacar que n debe ser distinto de 0 y 1, ya que si 0n la ecuación
diferencial es lineal, pero si 1n es una ecuación diferencial en variables separables.
Toda ecuación diferencial de Bernoulli, mediante un cambio de variable se
convierte en una ecuación diferencial lineal.
Los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial de Bernoulli son:
Luego de que la ecuación diferencial tenga la forma ny P x y Q x y ,
multiplicarla por ny
-
1n n n n n ny y P x yy Q x y y y y P x y Q x
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 49
Realizar el cambio de variable de la forma 1 nz y , con lo cual al derivar
también se tiene que 1 nz n y y , y al sustituir en la ecuación diferencial
se obtiene,
1 11
zP x z Q x z n P x z n Q x
n
Suponiendo que 1P x n P x y 1Q x n Q x , la ecuación
diferencial se transforma en una ecuación lineal
z P x z Q x
La cual al resolver se obtendrá la solución general de la ecuación diferencial
de Bernoulli, recordando que al final se debe sustituir 1 ny
por z
Ejemplo 1. Resuelva 2
2 2
y xy
x y
Se acomoda la ecuación diferencial de la forma ny P x y Q x y
211
2 2
xy y y
x
Con lo cual se verifica que es una ecuación de Bernoulli con 1n , entonces
se procede a multiplicar toda la ecuación diferencial por 1
y
, es decir, por y.
2 21 21 1
2 2 2 2
x xyy yy y y yy y
x x
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 50
Ahora se realiza el cambio de variable 1 1
z y
, es decir, 2z y con su
respectiva derivada 2z yy , por lo tanto se tiene:
221 1
2 2 2
z xz z z x
x x
La cual es una ecuación diferencial lineal con 1
P xx
y 2Q x x , cuya
solución general es:
3
2
xz Cx
Sin embargo como 2z y , entonces la solución general es:
32
2
xy Cx
Ejemplo 2. Resuelva 2
62
xy xy
y
Primero acomodando la ecuación diferencial, se tiene que:
22 6y xy xy
Por lo tanto es una ecuación de Bernoulli con 2n , entonces se procede a
multiplicar la ecuación diferencial por 2
y
, es decir, por 2y .
2 2 2 2 2 32 6 2 6y y xyy xy y y y xy x
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 51
Luego se realiza el cambio de variable 1 2
z y
, es decir, 3z y con su
respectiva derivada 23z y y , por lo tanto se tiene:
2 6 6 183
zxz x z xz x
La cual es una ecuación diferencial lineal con 6P x x y 18Q x x ,
cuya solución general es:
233 xz Ce
Sin embargo como 3z y , entonces la solución general de la ecuación
diferencial es:
23 33 xy Ce
Ejercicios Propuestos.
1. 2
2y x
yx y
con 1 1y
Rta. 3 2 33 4y x x
2. 2
3
3
1
xy
x y
Rta. 3 2 yx y Ce
3. 2 3
xy
x y y
Rta. 22 2 1 yx y Ce
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Cristian Castillo 52
4. 4 3xy y x y
Rta. 2 4 2y x Cx
5.
3
2
2
2 xx x y
y y
con 1 1y
Rta. 3y x
6. 2 3 cos xxy y y
x
Rta. 3 3 3 sin 3cosx y x x x C
7. 2 3 2 0x y y xy
Rta. 2 42
5y Cx
x
8. 4y
y x yx
Rta. 21
ln2
y x C x
9. 4tan cosy y x y x
Rta. 3 33tan cosy C x x
10. 26 1 2 0y y x dx xdy
Rta. 2
6 x
xy
Ce
CAPÍTULO 3
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Este capítulo está destinado a presentarnos las técnicas para resolver
ecuaciones diferenciales de orden superior, no importando si son homogéneas o no
homogéneas, pero si teniendo en cuenta que siempre sean lineales.
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 54
3.1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR.
Una ecuación diferencial lineal de orden superior que tienen la forma:
1
1 2 1 0
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x
En donde sí 0g x , la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero
si 0g x , entonces la ecuación se llama no homogénea.
Sin embargo, antes de estudiar cada una de estas ecuaciones diferenciales,
primero se desarrollará una teoría preliminar necesaria para comprender este
capítulo.
3.1.1 Principio de Superposición
Sean 1 2 3 1, , , ,n ny y y y y soluciones de una ecuación diferencial homogénea
de orden n, entonces la combinación lineal de estas,
1 1 2 2 3 3 1 1n n n ny x C y C y C y C y C y
También es solución de dicha ecuación diferencial.
3.1.2 Dependencia e independencia lineal.
Un conjunto de funciones 1 2 3 1, , , , ,
n nf x f x f x f x f x
, es
linealmente independiente si para
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 55
1 2 3 11 2 3 1, , 0n nn n
C f x C f x C f x C f x C f x
Se cumple que 1 2 3 1 0n nC C C C C .
Si el conjunto de soluciones no es linealmente independiente, entonces se dice
que es linealmente dependiente, es decir, si al menos alguna de las constantes
1 2 1, , , ,n nC C C C es no nula.
Para entender mejor este concepto, supongamos que 1y y 2y , son funciones
linealmente dependientes, entonces existen las constantes 1C y 2C no nulas tale que:
1 1 2 2 0C y C y
Entonces como 1 0C , es posible escribir la ecuación de la forma:
21 2
1
Cy y
C
Por lo tanto si 1y y 2y , son funciones linealmente dependientes si y solo si
una función es múltiplo constante de la otra. Y por consiguiente, esto nos lleva a
concluir, que dos funciones son linealmente independientes, si ninguna función no es
múltiplo constante de la otra.
3.1.3 Wronskiano.
Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-
Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 56
Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un
conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones
1 2 1, , , ,
n nf x f x f x f x
poseen al menos n-1 derivadas, entonces el
wronskiano viene dado por:
2 11
2 11
2 111 2 1
1 1 11
2 11
, , , ,
n n
n n
n nn n
n n nn
n n
f f ff
f f ff
f f ffW f f f f
f f ff
Uno de los usos más importantes que se le da al wronskiano en las ecuaciones
diferenciales, es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente
independiente o no.
Dado un conjunto de soluciones 1 2 3 1, , , ,n ny y y y y de una ecuación
diferencial homogénea de orden n. Entonces dicho conjunto de soluciones es
linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que
1 2 3 1, , , , , 0n nW y y y y y
3.1.4 Ecuación diferencial homogénea.
Como se dijo al principio del capítulo una ecuación diferencial homogénea es
aquella que tiene la forma:
1
1 2 1 0 0n n
n na x y a x y a x y a x y a x y
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 57
Este tipo de ecuación diferencial tiene como solución general:
1 1 2 2 3 3 1 1n n n ny x C y C y C y C y C y
Donde 1 2 3 1, , , ,n ny y y y y es un conjunto fundamental de soluciones
linealmente independientes.
Cabe destacar que el número de funciones que conformarán el conjunto de
soluciones es igual al orden de la ecuación diferencial homogénea, de este modo, una
ecuación diferencial de segundo orden tendrá un conjunto de soluciones conformado
por dos funciones.
Otra característica de las ecuaciones diferenciales homogéneas, es que la
solución trivial siempre la satisface, sin embargo en el estudio de estas ecuaciones la
despreciaremos.
3.1.5 Ecuación diferencial no homogénea.
Una ecuación diferencial lineal no homogénea tiene la forma:
1
1 2 1 0
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x
Con 0g x .
La solución de este tipo de ecuación está conformada por la suma de dos
soluciones, llamadas solución complementaria cy y solución particular py .
La solución complementaria, es la solución que se obtiene luego de
transformar la ecuación diferencial no homogénea en una ecuación homogénea.
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 58
La solución particular, es una solución dada de la ecuación diferencial no
homogénea, la cual dependerá de la acción de la función g x sobre la ecuación.
En conclusión la solución general de una ecuación diferencial no homogénea
de orden n viene dada por:
c py x y y
Una ecuación diferencial no homogénea debe tener un conjunto de soluciones
formado por al menos n+1 funciones, las cuales deben ser linealmente independientes
entre sí.
En este capítulo, más adelante, se presentarán técnicas para determinar la
solución particular de la ecuación diferencial no homogénea.
3.2 REDUCCIÓN DE ORDEN
El método de reducción de orden consiste en construir una segunda solución
de una ecuación diferencial a partir de una solución conocida.
Dada la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden,
2 1 0 0a x y a x y a x y
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 59
Con 2 0a x , y además 2a x , 1a x y 0a x continuas en I, si se divide
por 2a x y haciendo
1
2
a xP x
a x y
0
2
a xQ x
a x , se tiene la forma estándar
o canoníca
0y P x y Q x y
Esta ecuación tiene como solución general 1 1 2 2y x c y c y , donde 1y x y
2y x , deben ser linealmente independientes, esto implica que 2 1y x u x y x .
Por lo tanto es posible hallar una segunda solución 2y x , a partir de una solución ya
conocida 1y x , para toda u x diferente de una constante.
Entonces si se tiene como posible solución a 2 1y x u x y x , implica que
debe satisfacer a la ecuación, por lo tanto primero se deriva dos veces a 2y x
2 1 1y uy y u y 2 1 1 12y uy u y y u
Se sustituyen la derivadas de 2y x en la ecuación diferencial
1 1 1 1 1 12 0uy u y y u P x uy y u Q x uy
Aplicando propiedad distributiva y agrupando en función de u x , se tiene:
1 1 1 1 1 12 0y u y P x y u y P x y Q x y u
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 60
Pero de acuerdo a la ecuación diferencial de segundo orden, se tiene que
1 1 1 0y P x y Q x y , por lo tanto:
1 1 12 0y u y P x y u
Como z u , y además z u , entonces:
1 1 12 0y z y P x y z
La cual es una ecuación diferencial de variables separables. Por lo tanto
llevándola a su forma diferencial y separando las variables se tiene:
1
1
2ydzP x dx
z y
Ahora integrando la ecuación anterior se obtiene,
2
1 1ln 2ln lnz y P x dx C zy P x dx C
Por consiguiente
2
1 1
P x dx
zy C e
Despejando z, para luego regresar el cambio z u
1 1
2 2
1 1
P x dx P x dx
C e C ez u
y y
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 61
Escribiendo la ecuación en su forma diferencial y volviendo a integrar:
1 22
1
P x dx
eu C dx C
y
Tomando a 1 1C y 2 0C , además como 2 1y x u x y x , entonces:
2 1 2
1
P x dx
ey x y x dx
y
Ejemplo 1. Sea 1 sen lny x x x una solución de la ecuación diferencial
2 2 0x y xy y , halle una segunda solución que satisfaga la ecuación.
Lo primero que se debe hacer es escribir la ecuación diferencial en su forma
canónica, es decir, dividimos la ecuación por 2x :
2
1 20y y y
x x
Por lo tanto de acuerdo a (3) una segunda solución para la ecuación
diferencial viene dada por:
1
2 2sen ln
sen ln
dxxe
y x x x dxx x
Resolviendo la integral del numerador, se tiene:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 62
ln
2 22 2 2 2sen ln sen ln
sen ln sen ln
xe xy x x x dx y x x x dx
x x x x
Ahora simplificando y utilizando un cambio de variable, se obtiene:
2 22 2
ln
sen ln sen lnsen ln sen
z xdx du
y x x x y x x xdxx x udz
x
Acomodando e integrando, se tiene:
2
2 2sen ln csc sen ln coty x x x udu y x x x u
Por último regresando el cambio de variable lnz x ,
2 sen ln cot lny x x x x
Ejercicios propuestos.
Utilice el método de reducción de orden para obtener una segunda solución.
1. 2 7 16 0x y x y con 4
1y x
Rta. 4
2 lny x x
2. 2 2 6 0x y xy y con 2
1y x
Rta. 2 3
1
5y
x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 63
3. 0xy y con 1 lny x
Rta. 2 1y
4. 2 2 0x y xy y con 1 sen lny x x
Rta. 2 cos lny x x
5. 0y y con 1 coshy x
Rta. 2 sinhy x
6. 1 2 4 4 0x y xy y con 2
1
xy e
Rta. 2y x
7. 2 5 9 0x y xy y con 3
1 lny x x
Rta. 3
2y x
8. 2 1 4 1 4 0x y x y y con 1 1y x
Rta. 2
2
xy e
9. 9 12 4 0y y y con 2
31
x
y e
Rta. 2
32
x
y xe
3.3 ECUACIÓN LINEAL HOMOGÉNEA CON COEFICIENTE CONSTANTE
Se dice que una ecuación diferencial lineal es homogénea con coeficientes
constantes si esta tiene la forma:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 64
1 2
1 2 2 1 0 0n n n
n n na y a y a y a y a y a y
Donde 0 1 2 1, , , , ,n na a a a a son constantes reales con 0na .
Este tipo de ecuación diferencial tiene como característica fundamental que
todas sus soluciones son funciones exponenciales de la forma mxe o, al menos, están
formadas a partir de funciones exponenciales.
Para mostrar cómo se resuelven las ecuaciones diferenciales homogéneas de
coeficiente constante, primero se comenzará por el caso especial de la ecuación
diferencial de segundo orden, para luego describir cómo resolver ecuaciones de orden
superiores en general.
3.3.1 Ecuaciones de segundo orden.
Una ecuación diferencial de segundo orden viene dada por:
0ay by cy
Como se dijo antes, la solución de esta ecuación tiene la forma mxy e ,
entonces al derivar dos veces dicha solución y sustituirla en la ecuación, se tiene:
2 20 0mx mx mx mxam e bme ce e am bm c
De esta última ecuación, se sabe que mxe nunca puede ser cero, mientras x
tenga valor real, por lo tanto la única forma de que pueda ser cero es que:
2 0am bm c
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 65
Esta ecuación se denomina ecuación auxiliar o ecuación característica de la
ecuación diferencial. Ahora bien como se observa, esta ecuación es cuadrática, y una
forma de determinar las raíces (resolver), es a través de la ecuación:
2 4
2
b b acm
a
De la cual, como ya se sabe, se puede obtener tres casos, de acuerdo al tipo de
raíces que tenga la ecuación, los cuales se analizarán a continuación:
CASO I. Raíces reales diferentes. 2 4 0b ac
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales diferentes, es decir,
1 2m m con lo cual se obtienen las soluciones 1
1
m xy e y 2
2
m xy e . Como estas
soluciones son linealmente independientes, se puede concluir que la solución general
de la ecuación diferencial es:
1 2
1 2
m x m xy x C e C e
Ejemplo 1. Resuelva 3 10 0y y y .
Como se sabe este tipo de ecuación tiene como solución general mxy e , la
cual al derivar y sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
2 23 10 0 3 10 0mx mx mx mxm e me e e m m
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 66
Entonces la ecuación auxiliar es 2 3 10 0m m y sus raíces 1 5m y
2 2m , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación
diferencial es:
5 2
1 2
x xy x C e C e
CASO II. Raíces reales iguales. 2 4 0b ac
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales iguales, es decir,
1 2m m con lo se obtendrá una sola solución 1
1
m xy e , donde al resolver 12
bm
a .
Sin embargo una ecuación diferencial de segundo orden debe tener dos soluciones,
por lo tanto utilizando el método de reducción de orden, se puede determinar 2y x ,
a partir de la ya conocida 1y x , esto es:
1
1
2 2
P x dx
m x
m x
ey e dx
e
Como al escribir la ecuación en su forma canónica se obtiene
0b c
y y ya a
, entonces b
P xa
, y además como 12
bm
a , se puede concluir
que 12P x m , por lo tanto:
11
1 1
11
2 2
2 22 2
m dx m xm x m x
m xm x
e ey e dx y e dx
ee
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 67
Con lo cual se obtiene:
1 1
2 2
m x m xy e dx y xe
Por lo tanto la solución general viene dada por:
1 1
1 2
m x m xy x C e C xe
Ejemplo 2. Resuelva. 6 9 0y y y .
Como la solución general mxy e , la cual al derivar y sustituir en la ecuación
se tiene:
2 26 9 0 6 9 0mx mx mx mxm e me e e m m
Entonces la ecuación auxiliar es 2 6 9 0m m y sus raíces 1 3m y
2 3m , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación
diferencial es:
3 3
1 2
x xy x C e C xe
CASO III. Raíces complejas conjugadas. 2 4 0b ac .
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces complejas, es decir,
1m i y 2m i , donde y son números reales con 0 y además
que 2 1i . Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 68
1 2
i x i xy x k e k e
Sin embargo, por lo general es preferible trabajar con funciones reales y no
con exponenciales complejas. Por lo tanto:
1 2 1 2
x i x x i x x i x i xy x k e e k e e y x e k e k e
Luego utilizando la formula de Euler, la cual viene dada por:
cos senie i
Se tiene:
cos seni xe x i x y cos seni xe x i x
Entonces:
1 2cos sen cos senxy x e k x i x k x i x
Con lo cual:
1 2 1 2cos senxy x e k k x k k x
Luego asumiendo que 1 1 2C k k y 2 1 2C k k , concluimos que la solución
general es:
1 2cos senxy x e C x C x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 69
Ejemplo 3. Resuelva 0y y y
Como la solución general mxy e , la cual al derivar y sustituir en la ecuación
se tiene:
2 20 1 0mx mx mx mxm e me e e m m
Entonces la ecuación auxiliar es 2 6 9 0m m , con lo cual luego de
aplicar la ecuación (5), se obtienen las raíces: 1
1 3
2 2m i y 2
1 3
2 2m i ,
por lo tanto se tiene que 1
2 y
3
2 , por consiguiente se puede concluir que la
solución general de la ecuación diferencial es:
21 2
3 3cos sen
2 2
x
y x e C x C x
3.3.2 Ecuaciones de orden superior.
Ahora, de manera más general, se estudiará la ecuación diferencial
homogénea de orden superior,
1 2
1 2 2 1 0 0n n n
n n na y a y a y a y a y a y
Que, como se dijo antes, tiene como solución general la función mxy e , por
lo tanto su ecuación auxiliar, viene dada por:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 70
1 2 2
1 2 2 1 0 0n n n
n n na m a m a m a m a m a
Este tipo de ecuación puede general muchas combinaciones de soluciones,
sobre todo combinaciones de los casos que se vieron para ecuaciones homogéneas de
segundo grado, por ejemplo una ecuación diferencial de cuarto orden, puede tener
cuatro raíces diferentes, cuatro raíces iguales, dos raíces reales iguales y dos
complejas, dos complejas y dos reales diferentes, o cualquier otra combinación, sin
embargo a continuación se presentarán tres casos que ayudarán en la resolución de las
ecuaciones diferenciales de orden superior:
Caso I. Múltiples raíces diferentes.
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes,
es decir 1 2 1n nm m m m , entonces la solución general tiene la forma:
3 11 2
1 2 3 1n nm x m x m xm x m x
n ny x C e C e C e C e C e
Caso II. Múltiples raíces iguales.
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales,
es decir 1 2 1n nm m m m , entonces la solución general tiene la forma:
1 1 1 1 12 2 1
1 2 3 1
m x m x m x m x m xn n
n ny x C e C xe C x e C x e C x e
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 71
Caso III. Múltiples raíces complejas conjugadas iguales.
Si todas las raíces de la ecuación diferencial son conjugadas complejas
iguales, es decir, si 1m i es una raíz compleja de multiplicidad k, y su raíz
conjugada 2m i también es una raíz de multiplicidad k, entonces con base en
las 2k soluciones complejas, se tiene como solución general:
1 2 3 4
1
2 1 2
cos sen cos sen
cos sen
x
n
n n
C x C x x C x C xy x e
x C x C x
Ejemplo 4. Resuelva 4 5 0y y y
Esta ecuación diferencial tiene como ecuación auxiliar:
3 24 5 0m m m
La cual luego de factorizar se hallan sus raíces:
1
2
3
0
5 1 0 5
1
m
m m m m
m
Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
5
1 2 3
x xy x C C e C e
Ejemplo 5. Resuelva 3 3 0y y y y
La cual tiene como ecuación auxiliar:
3 23 3 1 0m m m
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 72
Por lo tanto luego de factorizar se hallan sus raíces:
3
1 2 31 0 1m m m m
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:
2
1 2 3
x x xy x C e C xe C x e
Ejemplo 6. Resuelva 4
4 4 0y y y
Esta ecuación diferencial tiene como ecuación auxiliar:
4 24 4 0m m
Con lo cual luego de factorizar se hallan sus raíces:
2 1 32 2 2
2 4
0 22 0 2 2 0
0 2
m m im m m
m m i
Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
1 2 3 4cos 2 sen 2 cos 2 sen 2y x C x C x x C x C x
Ejemplo 7. Resuelva 6
81 0y y
La cual tiene como ecuación auxiliar:
6 281 0m m
Por lo tanto luego de factorizar se hallan sus raíces:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 73
1 2
2 2
3 4
5 6
0
3 3 9 0 3, 3
0 3, 0 3
m m
m m m m m m
m i m i
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:
3 3
1 2 3 4 5 6cos3 sen3x xy x C C x C e C e C x C x
Ejemplo 8. Resuelva 0y y con 0 0y y 22
y
La cual tiene como ecuación auxiliar:
2 1 0m
Y sus raíces son: 1 0m i y 1 0m i , por lo tanto la solución general
de la ecuación diferencial es:
1 2cos seny x C x C x
Luego como 0 1y , entonces se tiene:
1 2 11 cos 0 sen 0 1C C C
Y además como 2y , entonces:
1 2 1 2 2sen cos 2 sen cos 2y x C x C x C C C
Con lo cual podemos determinar la solución particular, la cual viene dada por:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 74
cos 2seny x x x
Ejercicios propuestos.
1. 2 3 0y y y
Rta. 3
1 2
x xy x C e C e
2. 2 3 0y y y con 0 0y , 0 4y
Rta. 3
2
x xy x e C e
3. 6 9 0y y y
Rta. 3 3
1 2
x xy x C e C xe
4. 4 4 0y y y con 0 1y y 0 1y
Rta. 2 2x xy x e xe
5. 2 2 0y y y
Rta. 1 2cos senxy x e C x C x
6. 416 0y y
Rta. 2 2
1 2 3 4cos2 sen 2x xy x C e C e C x C x
7. 681 0y y
Rta. 3 3
1 2 3 4 5 6cos3 sen3x xy x C C x C e C e C x C x
8. 48 16 0y y
Rta. 1 2 3 4cos2 sen 2 cos2 sen 2y x C x C x C x x C x x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 75
3.4. MÉTODOS DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
El método de coeficientes indeterminados es utilizado para determinar la
solución particular py de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de
coeficiente constante, es decir para ecuaciones que tengan la forma:
1
1 2 1 0
n n
n na y a y a y a y a y g x
Con 1 2 1 0, , , , ,n na a a a a constantes reales.
Sin embargo este método solo es posible utilizarlo si la función g x es del
tipo:
Polinómica 2
0 1 2
n
na a x a x a x
Exponencial xe
Seno ó coseno cos senx o x
Sumas y/o producto finito de las anteriores.
Algunos ejemplos de funciones para g x permitidas en este método son:
3 4 35, 4 8, 4 , 5 , 2 4x xg x g x x g x x x g x e g x x e
2 4 3
2 4 , 2sen 5 ,
6 cos 4 , sen 2
x
x x
g x x e g x x
g x x x x g x xe xe
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 76
Caso contrario, algunos ejemplos de funciones que para g x no están
permitidas:
2 3
1ln , , ,
2
4, , arccos
cos sen
xg x x g x g x
x x x
xg x g x g x x
x x
Este método lleva el nombre de coeficientes indeterminados debido a que
inicialmente la solución particular que se determina tiene coeficientes desconocidos,
luego parte de este método es determinar el valor de dichos coeficientes.
El método de coeficientes indeterminado presenta dos enfoques, uno llamado
superposición y otro anulador. A continuación se describirá cada uno de estos
enfoques.
3.4.1 MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Enfoque de
superposición.
Este enfoque consiste en proponer una solución particular py , que contenga
uno o más coeficientes desconocidos. Esta solución particular debe ser de forma
semejante a la función g x de la ecuación diferencial no homogénea.
Es importante resaltar, una vez más, que la solución general de una ecuación
diferencial no homogénea debe contener funciones linealmente independientes entre
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 77
sí. Por lo tanto se debe verificar que la solución particular propuesta no sea múltiplo
de ninguna de las funciones que conforman la solución complementaria, de así serlo,
la solución particular debe ser multiplicada por nx , donde n indica el número de
repeticiones que presente yp.
Además, si la función g x , está conformada por una suma de funciones
1 2 ng x g x g x g x , la solución particular también estará conformada
por una suma de soluciones 1 2p p p pny y y y , donde 1py es la posible
solución particular de 1g x , y así sucesivamente. En este caso se debe verificar que
sean linealmente independientes pero de forma individual.
En la tabla 3.1, se presentan algunos ejemplos de posibles soluciones
particulares a partir de una función g x dada. Cabe destacar que en esta tabla se
asume que no existe repetición de funciones entre el yp asumido y la solución
complementaria.
A continuación se presenta los pasos necesarios para resolver una ecuación
diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes, usando el enfoque de
superposición:
Se verifica que la función contenida en g x , se encuentre entre las
permitidas por el método de coeficientes indeterminados.
Se determina la solución complementaria cy .
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 78
Se escribe una posible solución particular py , de acuerdo a la función g x
Se verifica que la solución particular planteada sea linealmente independiente
con respecto a las funciones que conforman la solución particular.
Se sustituye la solución particular en la ecuación diferencial, para de este
modo determinar los coeficientes desconocidos de py
Se escribe la solución general de la ecuación diferencial no homogénea.
g x py Sugerida
2 A
4 3x Ax+B
22 6x 2Ax Bx C
3 24x x 3 2Ax Bx Cx D
2xe 2xAe
sen 4x sen 4 cos4A x B x
cos3x sen3 cos3A x B x
2 24 xx e 2 2xAx Bx C e
5 sen3xe x 5 sen3 cos3xe A x B x
4 cos2x x sen 2 cos2Ax B x Cx D x
2 34 sen 2xx x e x 2 3 2 3sen 2 cos2x xAx Bx C e x Dx Ex F e x
Tabla 3.1
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 79
Ejemplo 1. Resuelva 4 3 7 2y y y x
Primero se determina la solución complementaria, transformando la ecuación
diferencial en homogénea, es decir: 4 3 0y y y
Su ecuación auxiliar es:
2 4 3 0 3 1 0m m m m
Con lo cual las raíces de la ecuación auxiliar son: 3
1
m
m
Por lo tanto la solución complementaria viene dada por:
3
1 2
x x
cy C e C e
Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función contenida en
g x , entonces como 7 2g x x , se propone como solución particular a:
py Ax B
Inmediatamente debe verificarse si Ax B es linealmente independiente con
respecto a las funciones que conforman la solución complementaria, es decir, si es
múltiplo de 3xe o xe . En este caso, como no hay multiplicidad, se concluye que la
solución particular a utilizarse es la asumida, por lo tanto se confirma que
py Ax B .
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 80
Se deriva yp dos veces debida a que es una ecuación diferencial de segundo
orden:
0p p py Ax B y A y
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial
se tiene:
4 3 7 2 0 4 3 7 2y y y x A Ax B x
En consecuencia
4 3 3 7 2 3 4 3 7 2A Ax B x Ax A B x
Con lo cual
3 7 4 3 2A y A B
Por lo tanto se tiene que: 7
3A y
22
9B , entonces la solución particular
es:
7 22
3 9py x
Por último se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
3
1 2
7 22
3 9
x x
cy C e C e x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 81
Ejemplo 2. Resuelva 1y y x
Se determina la solución complementaria de 0y y , primeo se construye
la ecuación auxiliar y se determinan sus raíces:
1
3 2 2
2
3
0
0 1 0 0
1
m
m m m m m
m
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
1 2 3
x
py C C x C e
Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función que contiene
g x
Como 1g x x entonces se asume py Ax B
Sin embargo al verificar si yp es linealmente independiente con respecto a yc,
se comprueba que si hay multiplicidad, por lo tanto se multiplica la solución
particular por 2x , con lo cual se tiene que la nueva solución particular es:
3 2
py Ax Bx
Es importante cotejar que si se hubiese multiplicado la solución particular por
x, todavía seguiría siendo linealmente independiente.
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 82
Entonces se deriva la solución particular tres veces porque es una ecuación
diferencial de tercer orden, con lo cual se tiene:
3 2 23 2 6 2 6p p p py Ax Bx y Ax Bx y Ax B y A
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial,
se tiene:
1 6 6 2 1y y x A Ax B x
En consecuencia
6 6 2 1 6 6 2 1A Ax B x Ax A B x
Con lo cual
6 1 6 2 1A y A B
Por lo tanto se tiene que: 1
6A y 1B , entonces la solución particular
es:
3 21
6py x x
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
3 2
1 2 3
1
6
xy x C C x C e x x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 83
Ejemplo 3. 2 seny y x x
Se determina la solución complementaria de 0y y , construyendo primero
la ecuación auxiliar y determinando sus raíces:
1
2
20
1 00
m i
m im
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
1 2cos sency C x C x
Ahora se asume una solución particular de acuerdo a la función que contiene
g x
Como 2 seng x x x entonces se asume cos senpy Ax B x Cx D x
Sin embargo al verificar si yp es linealmente independiente con respecto a yc,
se comprueba que si hay multiplicidad, por lo tanto se multiplica la solución
particular por x , con lo cual se tiene que la nueva solución particular es:
2 2cos senpy Ax Bx x Cx Dx x
Entonces se deriva la solución particular dos veces porque es una ecuación
diferencial de segundo orden, con lo cual se tiene:
2 22 cos 2 senpy Ax B Cx Dx x Ax Bx Cx D x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 84
2 22 4 2 cos 4 2 2 senpy Ax A Bx Cx D x Ax B Cx C Dx x
Sustituyendo la solución particular y sus derivadas en la ecuación diferencial,
se tiene:
2 2
2 2
2 4 2 cos 4 2 2 sen
cos sen 2 sen
Ax A Bx Cx D x Ax B Cx C Dx x
Ax Bx x Cx Dx x x x
En consecuencia
2 4 2 cos 4 2 2 sin 2 senA Cx D x Ax B C x x x
4 cos 2 2 cos 4 sen 2 2 sen 2 senCx x A D x Ax x B C x x x
Con lo cual
4 0, 2 2 0, 4 2, 2 2 0C A D A B C
Por lo tanto se tiene que: 1
2A , 0B , 0C y
1
2D , entonces la
solución particular es:
21 1cos sen
2 2py x x x x
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
2
1 2
1 1cos sen cos sen
2 2y x C x C x x x x x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 85
Ejemplo 4. 2 24 4 4 xy y y x e
Se determina la solución complementaria de 4 4 0y y y , construyendo
primero la ecuación auxiliar y determinando sus raíces:
1
3 2
2
3
0
4 0 2 2 0 24
2
m
m
m m m m m m
m
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
2 2
1 2 3
x x
cy C C e C xe
Ahora se asume que una solución particular de acuerdo a la función que
contiene g x.
Como 2 24 xg x x e , se verifica que está compuesta por la suma de dos
funciones, es decir, 1 2g x g x g x , con 2
1g x x y 2
2 4 xg x e . Lo que
implica que la solución particular tendrá la forma: 1 2p p py y y .
Entonces, para 2
1g x x se asume 2
1y Ax Bx C y además para
2
2 4 xg x e se asume 2
2
xy De , con lo cual la solución particular a priori seria:
2 2x
py Ax Bx C De
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 86
Sin embargo, todavía falta verificar si la solución particular que se está
asumiendo es linealmente independiente con las funciones que conforman la solución
complementaria. En este caso, se debe hacer en forma individual, por consiguiente:
Primero se compara 2
1y Ax Bx C con 2 2
1 2 3
x x
cy C C e C xe , con lo
cual se comprueba que existe multiplicidad, ya que en la solución complementaria
hay una función polinómica constante representada por 1C , por lo tanto debe
multiplicarse 1py por x, de esta manera se tendrá como primera solución particular a:
3 2
1py Ax Bx Cx
Ahora se compara, 2
2
xy De con 2 2
1 2 3
x x
cy C C e C xe , y se verifica
que también existe multiplicidad pero esta vez, debe multiplicarse 2py por 2x , con
lo cual se tendrá como segunda solución particular a:
2 2
2
xy Dx e
Por consiguiente se tiene que la solución particular a utilizarse es:
3 2 2 2x
py Ax Bx Cx Dx e
Derivando la solución particular tres veces, se tiene:
3 2 2 2 2 2 23 2 2x x
p py Ax Bx Cx Dx e y Ax Bx C x x De
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 87
Con lo cual al sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
2 2 2 2
2 2 2 2 2
6 6 12 4 2 4 6 2 1 4 2 2
4 3 2 2 4
x x
x x
A x x De Ax B x x De
Ax Bx C x x De x e
Acomodando un poco la ecuación queda:
2 2 2 212 8 24 6 4 8 4 4x xAx B A x A C B De x e
Con lo cual
12 1, 8 24 0, 6 4 8 0, 4 4A B A A C B D
En consecuencia: 1
12A ,
1
4B ,
3
8C , 1D y la solución particular es:
3 2 2 21 1 3
12 4 8
x
py x x x x e
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
2 2 3 2 2 2
1 2 3
1 1 3
12 4 8
x x xy x C C e C xe x x x x e
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 88
Ejercicios propuestos.
Resuelva usando el enfoque de superposición del método de coeficientes
indeterminados
1. 8 64y y x
Rta. 1 2 4cos 5senx xy x C e C xe x x
2. 34 3 4 18 15xy y y e x
Rta. 3 3
1 2 2 6 3x x xy x C e C e xe x
3. 2 2 1y y y x
Rta. 1 2
1cos sen
2
xy x e C x C x x
4. 2 2cos xy y x e x
Rta. 3 2
1 2
1 5 1 1 1sen 2 cos 2
3 2 2 20 10
x xy x C C e x x x e x x
5. 36 9 6 9 50senxy y y xe x
Rta. 3 3 3 3
1 2 1 4sen 3cosx x xy x C e C xe x e x x
6. 1y y
Rta. 2
1 2 3
1
2
xy x C C x C e x
7. 4 216x
y y e
Rta. 2 2 21 2 3 4cos sen 2
2 2
x x xx x
y x C e C e C C xe
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 89
8. 25 20sen5y y x
Rta. 1 2cos5 sen5 2 cos5y x C x C x x x
9. 5 6y y x con 0 0, 0 10y y
Rta. 25200 200 3 30x
y x e x x
10. 52 2 24 40x xy y y e e con 1 5 9
0 , 0 , 02 2 2
y y y
Rta. 2 5111 11 9 2 12
2
x x x xy x e xe x x e e
3.4.2 MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS. Enfoque de anulador.
Este enfoque al igual que el de superposición es utilizado para resolver
ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de coeficientes constantes, sin
embargo en este caso se utiliza operadores diferenciales.
3.4.2.1 Operadores diferenciales
El operador diferencial, denotado por una D mayúscula, está definido por:
dyDy
dx
Si se desea escribir una derivada de orden enésimo utilizando operadores
diferenciales, se tendría:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 90
nn
n
d yD y
dx
Donde la potencia del operador diferencial indica el orden de la derivada.
Por lo tanto una ecuación diferencial de la forma:
1
1 2 1 0
n n
n na x y a x y a x y a x y a x y g x
Puede escribirse como:
2
1 2 0
1
1
n n
n ny ya D a D a D y a Dy a y g x
O también de la forma:
2
1 2
1
1 0n
n n
nD a D a D a D a y g xa
La expresión 1 2
1 2 1 0n
n n
nP D a D a D a Da aD
, se llama
operador diferencial de orden n.
El operador diferencial de orden n, presentan las siguientes características:
P D se puede factorizar como el producto de operadores
diferenciales de primer orden y operadores diferenciales de segundo
orden que no son posibles reducirlos a primer orden.
Los factores de P D pueden conmutarse.
P D f g P D f P D g , para cualquier función f y g
siempre que sean derivables al menos n veces.
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 91
Por ejemplo la ecuación diferencial 3 4 0y y y , se puede reescribir
con operadores diferenciales de la forma:
3 23 4 0D y D y Dy
Y por consiguiente
3 23 4 0 4 1 0D D D y D D D y
Cuando un operador diferencial anula una función f, la cual es suficientemente
diferenciable, se denomina operador anulador.
Por ejemplo si se tiene la función 4 2f x x , su operador anulador sería
2D , ya que:
24 2 4 4 2 0D x D x
A continuación se presentará en forma general, una serie de operadores
anuladores que podrán ser utilizados en este enfoque.
a. El operador diferencial 1nD , anula a cualquier polinomio de la forma:
1
1 2
2 1 0n n
n na x x xa a a ax
b. El operador diferencial D , anula a cualquier exponencial de la forma:
xe
c. El operador diferencial 1n
D
, anula a cualquier función de la forma:
1 2
1 2 1 0n
n
n
n xa x x xa a eaxa
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 92
d. El operador diferencial 2 2D , anula cualquier función de la forma:
sina x ó cosa x
e. El operador diferencial 1
2 2 22n
D D
, anula cualquier función
de la forma:
2
2 1 0 senn
n
xe a x x xa a a x ó
2
2 1 0 cosn
n
xe a x x xa a a x
En la tabla 4.2 se presentan algunas funciones con sus respectivos operadores
anuladores.
g x Operador anulador
2 D
4 3x 2D
3 24x x 4D
2xe 2D
sen 4x 2 16D
2 24 xx e 3
2D
5 sen3xe x 2 10 36D D
4 cos2x x 2
2 4D
2 34 sen 2xx x e x 3
2 6 13D D
Tabla 4.2
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 93
Ahora muchas veces se puede presentar que la función que se desea anular
tiene la forma:
1 2 ng x g x g x g x
Es decir, la función a anular, está compuesta por dos o más funciones. En este
caso, el operador anulador de g x , será el producto de todos los operadores
anuladores de las funciones que componen g x , por lo tanto, si 1L D es el
operador que anula a 1g x , 2L D es el operador que anula a 2g x y así
sucesivamente hasta nL D que es el operador que anula ng x , entonces:
1 2 0nL D L D L D g x
3.4.2.2 Coeficientes indeterminados.
Dada la ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes:
P D y g x
Donde 1 2
1 2 1 0n
n n
nP D a D a D a Da aD
y como se dijo
anteriormente para este método la función g x es del tipo:
Polinómica 2
0 1 2
n
na a x a x a x
Exponencial xe
Seno ó coseno cos sinx o x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 94
Sumas y/o producto finito de las anteriores.
Entonces existe un operador diferencial 1P D que anule a g x , con lo cual
se tiene:
1 0P D P D y
Con lo cual, la ecuación diferencial no homogénea se transforma en una
homogénea, y de ella se podrá obtener la solución particular py de la ecuación
diferencial no homogénea.
A continuación se presentan los pasos necesarios para resolver una ecuación
diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes usando el enfoque
anulador:
Determinar la solución complementaria.
Escribir la ecuación diferencial utilizando los operadores diferenciales.
Determinar el operador anulador de g x , y multiplicarlo por toda la
ecuación diferencial.
Determinar la ecuación auxiliar, factorizarla y determinar sus raíces
Escribir la solución general con los coeficientes indeterminados.
Extraer de la solución general la solución particular py , verificando no
haber incluido un término que pertenezca a la solución complementaria cy
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 95
Sustituir la solución particular py en la ecuación diferencial para
determinar sus coeficientes desconocidos.
Escribir la solución general definitiva.
Ejemplo 5. Resuelva 24 4y y y x x
Primero tal como se especificó en el procedimiento, se hallará la solución
complementaria, para ello primero transformamos la ecuación en homogénea
4 4 0y y y , para luego determinar su ecuación auxiliar con sus respectivas
raíces
2 12
2
24 4 0 2 0
2
mm m m
m
Con lo cual la solución complementaria es:
2 2
1 2
x x
cy C e C xe
Ahora se reescribe la ecuación diferencial utilizando operadores diferenciales,
2 2 2 24 4 4 4D y Dy y x x D D y x x
Luego como 2g x x x su operador anulador es 3D , entonces:
3 2 3 2 3 24 4 4 4 0D D D y D x x D D D y
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 96
Por consiguiente se tiene:
2 1 2 33
4 5
02 0
2
m m mm m y
m m
Por lo tanto una aproximación a la solución general sería:
2 2 2
1 2 3 4 5
x xy x C C x C x C e C xe
Sin embargo como 2 2
4 5
x xC e C xe pertenecen a la solución complementaria,
entonces la solución particular viene dada por:
2 2
1 2 3p py C C x C x y A Bx Cx
Ahora para conseguir los coeficientes desconocidos, primero derivamos la
solución particular para luego sustituirla en la ecuación diferencial dada:
2 2 2p p py A Bx Cx y B Cx y C
2 2 2 22 4 2 4 4 8 4 2 4 4C B Cx A Bx Cx x x Cx C B x C B A x x
Con lo cual
4 1, 8 4 1, 4 2 4 0C C B A C B
En consecuencia: 1
8A ,
1
4B y
1
4C la solución particular es:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 97
21 1 1
8 4 4py x x
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
2 2 2
1 2
1 1 1
8 4 4
x xy x C e C xe x x
Ejemplo 6. Resuelva 22 2 xy y y y e x
Primero se hallará la solución complementaria, para ello primero
transformamos la ecuación en homogénea 2 2 0y y y y , para luego
determinar su ecuación auxiliar con sus respectivas raíces
1
3 2
2
3
1
2 2 0 1 1 2 0 1
2
m
m m m m m m m
m
Con lo cual la solución complementaria es:
2
1 2 3
x x x
cy C e C e C e
Reescribiendo la ecuación diferencial con operadores diferenciales,
3 2 2 3 2 22 2 1x xD y D y Dy y e x D D D y e x
Luego como 2xg x e x , entonces su operador anulador es 3 1D D ,
debido a que para xe el operador anulador es 1D y para 2x , el operador anulador
es 3D , por lo tanto:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 98
3 3 2 3 2
3 3 2
1 2 1 1
1 2 1 0
xD D D D D y D D e x y
D D D D D y
Por consiguiente se tiene:
1 2 3
23
4 5
6 7
0
1 1 2 0 1
1, 2
m m m
m m m m m m
m m
Por lo tanto una aproximación a la solución general sería:
2 2
1 2 3 4 5 6 7
x x x xy x C C x C x C e C xe C e C e
Sin embargo como 2
4 6 7
x x xC e C e C e pertenecen a la solución
complementaria, entonces la solución particular viene dada por:
2 2
1 2 3 5
x x
py x C C x C x C xe y A Bx Cx Exe
Esta vez, no se ha utilizado la letra D, para no confundirlo con el operador
diferencial. Entonces, luego de derivar y sustituir en la ecuación diferencial, tal como
se ha realizado en todos los ejercicios anteriores, se obtiene que:
5 1 1 1, , ,
4 2 2 6A B C E
En consecuencia la solución particular es:
25 1 1 1
4 2 2 6
x
py x x xe
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 99
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial es:
2 2
1 2 3
5 1 1 1
4 2 2 6
x x x xy x C e C e C e x x xe
Ejercicios propuestos.
Resuelva usando el enfoque anulador del método de coeficientes indeterminados
1. 22 xy y y x e
Rta. 4
1 2 112x x xy x C e C xe x e
2. 2 5xy y x e
Rta. 2 3
1 2 14 14 16x x x x xy x C e C e xe x e x e
3. 24 cosy y x
Rta. 1 2
1 1cos 2 sen 2 sen 2
8 8y x C x C x x x
4. seny y y x x
Rta. 21 2
3 3cos cos cos 2cos sen
2 2
x
y x e C x C x x x x x
5. 25 6seny y x
Rta. 1 2cos5 sen5 14seny x C x C x x
6. 2 5 senxy y y e x
Rta. 1 2cos2 sen 2 13 senx x xy x C e x C e x e x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 100
7. 5 2y y x con 0 0, 0 1y y
Rta. 5 241 41 1 9
125 125 10 25
xy x e x x
8. 34 8y y y x con 0 2, 0 4y y
Rta. 2 2 3 23 1 3 32 cos 2 sen 2
64 8 16 32
x xy x e x e x x x x
9. 52 2 24 40x xy y y e e con 1 5 9
0 , 0 , 02 2 2
y y y
Rta. 2 5111 11 9 2 12
2
x x x xy x e xe x x e e
3.5 MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS
Hasta ahora se han resuelto ecuaciones diferenciales no homogéneas de
coeficiente constante usando el método de coeficientes indeterminados, sin embargo
como se dijo antes este método solo es efectivo para algunas funciones contenidas en
g x . Debido a esto, es necesario conocer otro método que ayude a resolver
ecuaciones que no tengan esa restricción. Afortunadamente el matemático Joseph
Lagrange, descubrió un método muy ingenioso y poderoso para resolver ecuaciones
diferenciales no homogéneas, sin importar el tipo de función que se encuentre del
lado derecho de la igualdad en la ecuación diferencial.
Es importante aclarar, que éste método es posible utilizarlo tanto en
ecuaciones diferenciales con coeficiente constante como variable.
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 101
Al igual que en el método para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas
de coeficientes constantes, primero se realizará el estudio con las ecuaciones de
segundo orden y luego se generalizará para ecuaciones diferenciales de orden n.
3.5.1 Ecuaciones de segundo orden.
Dada ecuación diferencial no homogénea de segundo orden:
2 1 0a x y a x y a x f x
Al dividirla por 2a x , se obtiene su forma reducida o canónica:
y P x y Q x y g x
La cual tiene como solución complementaria
1 1 2 2cy C y C y
Con 1y y 2y funciones linealmente independientes.
Entonces el método de variación de parámetros indica que la solución
particular py , tendrá la misma forma de la solución complementaria pero
sustituyendo las constantes arbitrarias por dos funciones, es decir,
1 1 2 2 1 1 2 2p py u x y x u x y x y u y u y
Por lo tanto para poder obtener la solución particular es necesario determinar
las funciones 1u x y 2u x .
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 102
Antes de comenzar a trabajar se debe establecer una condición que luego será
utilizada:
1 1 2 2 0y u y u
Ahora, comencemos primero derivando dos veces la solución particular,
1 1 1 1 2 2 2 2py u y u y u y u y
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2py u y u y u y u y u y u y u y u y
Entonces sustituyendo en la ecuación diferencial en su forma reducida se
tiene:
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
u y u y u y u y u y u y u y u y P x u y u y u y u y
Q x u y u y g x
Agrupando términos se tiene:
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 1 1
u y P x y Q x y u y P x y Q x y u y u y u y u y
P x u y u y u y u y g x
Como 1y y 2y , son funciones que conforman la solución complementaria,
significa que satisfacen la ecuación diferencial homogénea en su forma reducida, por
lo tanto:
1 1 1 0y P x y Q x y y 2 2 2 0y P x y Q x y
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 103
Entonces se tiene que:
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1u y u y u y u y P x u y u y u y u y g x
Pero, 1 1 1 1 1 1
du y u y u y
dx del mismo modo 2 2 2 2 2 2
du y u y u y
dx ,
entonces:
1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1
d du y u y P x u y u y u y u y g x
dx dx
Además por diferenciación 1 1 2 2 1 1 2 2
d d du y u y u y u y
dx dx dx , por lo
tanto:
1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1
du y u y P x u y u y u y u y g x
dx
Como ya se había establecido la condición 1 1 2 2 0y u y u , entonces queda:
2 2 1 1u y u y g x
Con lo cual se formará un sistema de dos ecuaciones con 1u x y 2u x
como incógnitas
1 1 2 2
2 2 1 1
0y u y u
u y u y g x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 104
Al resolver este sistema por la regla de Cramer, se obtiene lo siguiente:
2
2
1
1 2
1 2
0 y
g x yu x
y y
y y
y
1
1
2
1 2
1 2
0y
y g xu x
y y
y y
Como 1 2
1 2
y y
y y , es el wronskiano de las soluciones 1y y 2y , y utilizando las
notaciones de la regla de Cramer, se puede escribir 1u x y 2u x como
11
Wu x
W y 2
2
Wu x
W
Con lo cual se puede definir las funciones incógnitas 1u y 2u , de la solución
particular como:
11
Wu x dx
W
y 2
2
Wu x dx
W
Es importante recordar que como 1y y 2y son las funciones que conforman
la solución complementaria, ellas son linealmente independientes, por lo tanto, su
wronskiano siempre es diferente de cero.
Por último la solución general viene dada por:
1 21 1 2 2 1 2
W Wy x C y C y y dx y dx
W W
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 105
En resumen los pasos necesarios para resolver una ecuación diferencial no
homogénea por el método de variación de parámetros son:
Escribir la ecuación diferencial en su forma reducida
Determinar la solución complementaria 1 1 2 2cy C y C y
Determinar las funciones 1u y 2u , de acuerdo a 11
Wu x dx
W
y
22
Wu x dx
W
Sustituir 1u y 2u , en la solución particular 1 1 2 2py u y u y
Escribir la solución general de la ecuación diferencial, que viene dada por:
c py x y y
Ejemplo 1. Resuelva tany y x
Como la ecuación ya está en su forma reducida, entonces procedemos a
determinar la solución complementaria, de 0y y , construyendo primero la
ecuación auxiliar y determinando sus raíces:
1
2
20
1 00
m i
m im
Lo que implica que la solución complementaria de la ecuación dada es:
1 2cos sincy C x C x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 106
Por lo tanto como 1 cosy x y 2 seny x , entonces la solución particular
es:
1 2cos senpy u x u x
Ahora se determina los valores de W , 1W y 2W :
2 2cos sen
cos sen 1sen cos
x xW W x x W
x x
2
1 1 1
0 sen sentan sen
tan cos cos
x xW W x x W
x x x
2 2 2
coscos tan sen
sen tan
x oW W x x W x
x x
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incógnitas:
22
1 1 1
1 cossenln sec sen
cos cos
xxu x dx u x dx u x x x
x x
2 2sen cosu x xdx u x x
Por lo tanto la solución particular viene dada por:
ln sec sen cos cos sen cos ln secp py x x x x x y x x
Entonces se puede concluir que la solución general a la ecuación dada es:
1 2cos sen cos ln secy x C x C x x x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 107
Ejemplo 2. Resuelva 2 3 2xy y y e x
Como la ecuación ya está en su forma reducida, entonces procedemos a
determinar la solución complementaria, la cual viene dada por:
3
1 2
x x
cy C e C e
Por lo tanto como 3
1
xy e y 2
xy e , entonces la solución particular es:
3
1 2
x x
py u e u e
Ahora se determina los valores de W , 1W y 2W :
3
3 3 2
33 4
3
x x
x x x x x
x x
e eW W e e e e W e
e e
1 1 1
02 1 2
2
x
x x x
x x
eW W e e W e
e e
3
3 4 3
2 2 23
02 2
3 2
x
x x x x
x x
eW W e e W e e
e e
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incógnitas:
2 3 2 3
1 1 12
1 2 1 1 1 1
4 4 2 8 6
x
x x x x
x
eu x dx u x e e dx u x e e
e
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 108
4 3
2 2
2 2 22
2 1 1 1 1
4 4 2 8 2
x x
x x x x
x
e eu x dx u x e e dx u x e e
e
Por lo tanto la solución particular viene dada por:
2 3 3 21 1 1 1 1 2
8 6 8 2 4 3
x x x x x x x
p py e e e e e e y e
Entonces se puede concluir que la solución general a la ecuación dada es:
3
1 2
1 2
4 3
x x xy x C e C e e
Nótese que cada vez que se resolvieron las integrales para hallar las funciones
1u y 2u , se obvió la constante de integración, y esto se debido a que si se utilizará, al
multiplicarla por las soluciones 1y y 2y se repetiría la solución complementaria.
3.5.2 Ecuaciones de orden superior.
Este método de variación de parámetros es posible generalizarlo para
ecuaciones diferenciales no homogéneas de orden n. Para ello primero se debe
escribir la ecuación en su forma reducida:
1
1 1 0
n n
ny P x y P x y P x y g x
La cual tiene una solución complementaria de la forma:
1 1 2 2 3 3c n ny C y C y C y C y
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 109
Entonces su solución particular es:
1 1 2 2 3 3p n ny u y u y u y u y
Que al sustituir en la ecuación diferencial, generaría el siguiente sistema de
ecuaciones:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 1 1
1 1 2 2 3 3
0
0
n n
n n
n n n n
n n
y u y u y u y u
y u y u y u y u
y u y u y u y u g x
Con lo cual, luego de emplear la regla de Cramer e integrar se tiene:
Ejemplo 3. Resuelva 2 2 xy y y y e
Como la ecuación ya está en su forma reducida, entonces procedemos a
determinar la solución complementaria, la cual viene dada por:
2
1 2 3
x x x
cy C e C e C e
Por lo tanto como 3
1
xy e , 2
xy e y 3
xy e , entonces la solución
particular es:
3
1 2 3
x x x
py u e u e u e
31 21 2 3, , , n
n
W WW Wu dx u dx u dx u dx
W W W W
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 110
Ahora se determina los valores de W , 1W , 2W y 3W :
3
3 2 2 2 2
3
3 2 2 6 6
9
x x x
x x x x x x x
x x x
e e e
W e e e W e e e W e
e e e
1 1 1
0
0 2
x x
x x x x x x x x
x x x
e e
W e e W e e e e e W e
e e e
3
3 3 3 5
2 2 2
3
0
3 0 3 2
9
x x
x x x x x x x x
x x x
e e
W e e W e e e e e W e
e e e
3
3 3 3 3
3 3 3
3
0
3 0 3 4
9
x x
x x x x x x x x
x x x
e e
W e e W e e e e e W e
e e e
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incógnitas:
1 1 12
2 1 1
6 3 3
xx x
x
eu x dx u x e dx u x e
e
5
3 3
2 2 22
2 1 1
6 3 9
xx x
x
eu x dx u x e dx u x e
e
3
3 3 32
4 2 2
6 3 3
xx x
x
eu x dx u x e dx u x e
e
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 111
Por lo tanto la solución particular viene dada por:
3 3 21 1 2 10
3 9 3 9
x x x x x x x
p py e e e e e e y e
Entonces se puede concluir que la solución general a la ecuación dada es:
3 2
1 2 3
10
9
x x x xy x C e C e C e e
Problemas propuestos.
1. 2 1sen 2 cosy y x x x x
Rta. 1 2cos sen ln seny x C x C x x x
2. 2 25 6 sec 1 2tanxy y y e x x
Rta. 3 2 2
1 2 tanx x xy x C e C e e x
3. 2 lnxy y y e x
Rta. 2
2
1 2
3ln
2 4
x x x xxy x C e C xe e x x e
4. 16 csc4y y x
Rta. 1 2
1 1cos 4 sen 4 cos 4 sen 4 ln sen 4
4 16y x C x C x x x x x
5. secy y x
Rta. 1 2cos sen sen cos ln cosy x C x C x x x x x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 112
6. 2 5 sec2xy y y e x
Rta. 1 2
1 1cos 2 sen 2 sen cos 2 ln cos 2
2 4
xy x e C x C x x x x x
7. sen cosx x xy y e e e
Rta. 1 2 senx x x xy x C e C e e e
8. 3secy y x
Rta. 1 2
1cos sen sec
2y x C x C x x
9. seny y x
Rta. 1 2 3
1cos
2
x xy x C C e C e x
10. 22 8 2 x xy y y e e con 0 1, 0 0y y
Rta. 4 2 24 25 1 1
9 36 4 9
x x x xy x e e e e
3.6 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER.
Hasta ahora hemos visto técnicas para resolver, con relativa facilidad,
ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Ahora cuando en una
ecuación diferencial sus coeficientes son variables es realmente complicado obtener
una solución y para ello se utilizan las series de potencia. Sin embargo existe una
ecuación diferencial de coeficientes variables que es posible aplicarle las técnicas que
hemos visto hasta ahora, y se llama ecuación diferencial de Cauchy-Euler.
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 113
La ecuación de Cauchy-Euler, es toda ecuación diferencial que tenga la forma:
1 2
1 2
1 2 1 01 2
n nn n
n nn n
d y d y d y dya x a x a x a x a y f x
dx dx dx dx
Donde 1 2 1 0, , , , ,n na a a a a son coeficientes constantes.
Así como las ecuaciones diferenciales de coeficiente constante tenían como
solución general a mxy e , las ecuaciones de Cauchy-Euler tienen como solución
general a my x .
Para aprender a resolver ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler, primero
realizaremos el estudio cuando las ecuaciones son homogéneas.
3.6.1 Ecuaciones homogéneas
Para aprender a resolver ecuaciones de Cauchy-Euler homogéneas primero
empecemos analizando las de segundo orden para luego generalizar a cualquier
orden.
Una ecuación de Cauchy-Euler homogénea de segundo orden tiene la forma:
2 0ax y bxy cy
Como la solución general de esta ecuación tiene la forma my x , entonces al
derivar dos veces dicha solución y sustituirla en la ecuación, se tiene:
2 1 21 0 0m m m mam m x bmx cx x am b a m c
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 114
Con lo cual se obtiene la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial.
2 0am b a m c
Ahora bien como se observa, que esta es una ecuación cuadrática, de la cual,
como ya se sabe, se puede obtener tres casos, de acuerdo al tipo de raíces que tenga la
ecuación, los cuales se analizarán a continuación:
CASO I. Raíces reales diferentes.
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales diferentes, es decir,
1 2m m con lo cual se obtienen las soluciones 1
1
my x y 2
2
my x . Como estas
soluciones son linealmente independientes, se puede concluir que la solución general
de la ecuación diferencial es:
1 2
1 2
m my x C x C x
Ejemplo 1. Resuelva 2 3 8 0x y xy y .
Como se sabe este tipo de ecuación tiene como solución general my x , la
cual al derivar y sustituir en la ecuación diferencial se tiene:
2 2 1 21 3 8 0 2 8 0m m m mx m m x xmx x x m m
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 115
Entonces la ecuación auxiliar es 2 2 8 0m m y sus raíces 1 2m y
2 4m , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación
diferencial es:
2 4
1 2y x C x C x
CASO II. Raíces reales iguales.
Ocurre cuando la ecuación auxiliar tiene dos raíces reales iguales, es decir,
1 2m m con lo se obtendrá una sola solución 1
1
my x , donde
1
2
b am
a
. Sin
embargo una ecuación diferencial de segundo orden debe tener dos soluciones, por lo
tanto utilizando el método de reducción de orden, se puede determinar 2y x , a partir
de la ya conocida 1y x , esto es:
1
1
2 2
P x dx
m
m
ey x dx
x
Como la ecuación en su forma canónica se obtiene 2
0b c
y y yax ax
,
entonces b
P xax
, y además como ln
ln
b
a
b bx
xa ae e x
se tiene:
1 1 1
1 11
ln
2 2 22 2 2
b b bdx xax a a
m m m
m mm
e e xy x dx y x dx y x dx
x xx
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 116
Luego como
12
b am
a
entonces
12
b am
a
, por lo tanto:
1 1 1 12
2 2 2
b b b a b b a
m m m ma a a ay x x x dx y x x x dx y x x dx
Por consiguiente:
1 1 11
2 2 2
1ln
m m my x x dx y x dx y x x
x
Por lo tanto la solución general viene dada por:
1 1
1 2 lnm my x C x C x x
Ejemplo 2. Resuelva. 2 3 4 0x y xy y .
Como la solución general my x , la cual al derivar y sustituir en la ecuación
se tiene:
2 2 1 21 3 4 0 4 4 0m m m mx m m x xmx x x m m
Entonces la ecuación auxiliar es 2 4 4 0m m y sus raíces 1 2m y
2 2m , por lo cual se puede concluir que la solución general de la ecuación
diferencial es:
2 2
1 2 lny x C x C x x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 117
CASO III. Raíces complejas conjugadas.
Ocurre cuando la ecuación auxiliar, tiene dos raíces complejas, es decir,
1m i y 2m i , donde y son números reales con 0 y además
que 2 1i . Por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial es:
1 2
i iy x k x k x
Sin embargo, por lo general es preferible trabajar con funciones reales y no
con exponenciales complejas. Por lo tanto:
1 2 1 2
i i i iy x k x x k x x y x x k x k x
Luego como ln xx e , entonces se tiene:
ln ln
1 2
i x i xy x x k e k e
Ahora utilizando la formula de Euler, la cual viene dada por:
cos senie i
Se tiene:
ln cos ln sen lni xe x i x y ln cos ln sen lni xe x i x
Entonces:
1 2cos ln sen ln cos ln sen lny x x k x i x k x i x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 118
Con lo cual:
1 2 1 2cos ln sen lny x x k k x k k x
Luego asumiendo que 1 1 2C k k y 2 1 2C k k , concluimos que la solución
general es:
1 2cos ln sen lny x x C x C x
Ejemplo 3. Resuelva 2 9 0x y xy y
Como la solución general my x , la cual al derivar y sustituir en la ecuación
se tiene:
2 2 1 21 9 0 9 0m m m mx m m x xmx x x m
Entonces la ecuación auxiliar es 2 9 0m , y sus raíces: 1 0 3m i y
2 0 3m i , por lo tanto se tiene que 0 y 3 , por consiguiente se puede
concluir que la solución general de la ecuación diferencial es:
1 2cos 3ln sen 3lny x C x C x
Ahora bien de manera más general, una ecuación diferencial de Cauchy-Euler
homogénea de orden superior tiene la forma:
11 2
1 2 1 0 0n nn n
n na x y a x y a x y a xy a y
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 119
Para esta ecuación se presentará tres casos que ayudarán en su resolución:
Caso I. Múltiples raíces diferentes.
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes,
es decir,
1 2 1n nm m m m , entonces la solución general tiene la forma:
11 2
1 2 1n nm mm m
n ny x C x C x C x C x
Caso II. Múltiples raíces iguales.
Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales,
es decir 1 2 1n nm m m m , entonces la solución general tiene la forma:
1 1 1 12 1
1 2 3ln ln lnnm m m m
ny x C x C x x C x x C x x
Caso III. Múltiples raíces complejas conjugadas iguales.
Si todas las raíces de la ecuación diferencial son conjugadas complejas
iguales, es decir, si 1m i es una raíz compleja de multiplicidad k, y su raíz
conjugada 2m i también es una raíz de multiplicidad k, entonces con base en
las 2k soluciones complejas, se tiene como solución general:
1 2 3 4
1
2 1 2
cos ln sen ln ln cos ln sen ln
ln cos ln sen lnn
n n
y x x C x C x x C x C x
x C x C x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 120
Ejemplo 4. Resuelva 3 25 7 8 0x y x y xy y
Como la solución general my x , la cual al derivar y sustituir en la ecuación
se tiene:
3 3 2 2 1 3 21 2 5 1 7 8 0 2 4 8 0m m m m mx m m m x x m m x xmx x x m m m
Entonces se tiene como ecuación auxiliar a 3 22 4 8 0m m m , y sus
raíces: 1 2m , 2 0 2m i y 3 0 2m i , por consiguiente se puede concluir que la
solución general de la ecuación diferencial es:
2
1 2 3cos 2ln sen 2lny x C x C x C x
3.6.2 Ecuaciones no homogéneas.
Debido a que el método de coeficientes indeterminados solo se aplica a las
ecuaciones diferenciales de coeficiente constante, no es posible emplearlo en las
ecuaciones de Cauchy-Euler, por lo tanto el método que se utilizará para resolver
ecuaciones diferenciales no homogéneas será el de variación de parámetros.
Ejemplo 5. Resuelva 2 43 3x y xy y x
Sabiendo que la solución general es my x , entonces derivando y
sustituyendo en la ecuación diferencial luego de transformarla en homogénea, se
tiene:
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 121
2 2 1 21 3 3 0 2 3 0m m m mx m m x xmx x x m m
Por lo tanto la ecuación auxiliar y sus raíces de la ecuación diferencial son:
12
2
32 3 0 3 1 0
1
mm m m m
m
Entonces la solución complementaria de la ecuación diferencial es:
3
1 2cy C x C x
Ahora se determina la solución particular por medio del método de variación
de parámetros. Sin embargo, es importante antes de empezar a utilizar este método,
verificar que la ecuación diferencial esté escrita en su forma reducida, con lo cual en
este caso, primero se debe dividir la ecuación diferencial por 2x
2 2 4 2
2
3 33 3x y xy y x x y y y x
x x
Luego, como las funciones 3
1y x y 2y x conforman a la solución
complementaria, entonces se tiene que la solución particular viene dada por:
3
1 2py u x u x
Ahora se determina los valores de W , 1W y 2W :
3
3 4 3
43 4
3 1
x xW W x x x W x
x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 122
2 3
1 1 12
00
1
xW W x x W x
x
3
3 2 1
2 2 24 2
00
3
xW W x x W x
x x
Con lo cual ahora se puede determinar las funciones incógnitas:
3
6 7
1 1 13
1 1
4 4 28
xu x dx u x x dx u x x
x
1
2 3
2 2 23
1 1
4 4 12
xu x dx u x x dx u x x
x
Por lo tanto la solución particular es:
7 3 3 41 1 1
28 12 84p py x x x x y x
Con lo cual se concluye que la solución general de la ecuación diferencial
dada es:
3 4
1 2
1
84y x C x C x x
Ejercicios propuestos.
1. 2 2 lnx y xy y x x
Rta. 1 2cos ln sen ln lny x C x x C x x x x
CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cristian Castillo 123
2. 2 3lnx y xy y x x
Rta. 5
1 2
1ln ln
20y x C x C x x x x
3. 2 24 6 lnx y xy y x
Rta. 3 3
1 2 3
1ln ln
27y x C C x C x x
4. 3
2 2 21
xx y xy y
x
Rta. 2 2
1 2 ln 1 ln 1y x C x C x x x x x
5. 2
3
59 10x y xy y
x
Rta. 2 10 3
1 2
1
7y x C x C x x
6. 3 2 33 5x y x y y x
Rta. 2 3
1 2 3
1ln ln
27y x C C x C x x
7. 3 23 4 sen 3 lnx y x y xy x
Rta. 1 2 3
1cos 3 ln sen 3 ln ln sen 3 ln
6y x C C x C x x x
8. 2 3 0x y xy con 1 0, 1 4y y
Rta. 12 2y x x
CAPÍTULO 4
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Este capítulo está destinado a la presentación de diferentes problemas de
aplicaciones que puedan expresarse a través de modelos matemáticos en los que estén
involucradas ecuaciones diferenciales. Estos modelos podrán ser resueltos con las
técnicas vistas en los capítulos anteriores.
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 125
4.1 TRAYECTORIAS ORTOGONALES.
Dada dos familias uniparamétricas de curvas,
1, , 0f x y C y 2, , 0g x y C
Se dicen que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia
cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia.
Con lo cual si f y g son ortogonales, entonces deben cumplir con la condición
de perpendicularidad entre dos curvas, la cual viene dada por:
1
,,
f x yg x y
En la figura 4.1 se observa como en ese caso la familia de curvas de la elipse
son ortogonales a la familia de curvas de la hipérbola.
Figura 4.1
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 126
Los pasos necesarios para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la
familia uniparamétrica 1, , 0f x y C , son:
Se deriva la función 1, , 0f x y C
Si la derivada de f también está en función de C1, despejar de
1, , 0f x y C la constante C1, y sustituirla en f .
Construir la ecuación 1
,,
g x yf x y
, con la f encontrada en
el paso anterior.
Por último, al integrar la ecuación obtenida se determinará la función
2, , 0g x y C , cuyas curvas son ortogonales a las curvas de
1, , 0f x y C .
Ejemplo1. Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas 2y Cx
Primero de la ecuación dada se obtiene:
2
yC
x con 0x
Luego se deriva la ecuación dada:
22 2 2
y yy Cx y x y
x x
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 127
Entonces según la condición de perpendicularidad, se tiene:
1 1
1
2
xy y
y y
Por consiguiente, resolviendo por variables separables
2
222 2
dy x xydy xdx y k
dx y
Por lo tanto la familia de curvas ortogonales a 2y Cx es:
2 2
12y x C
Ejercicios propuestos.
1. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia 2 3y Cx .
Rta. 2 2
12 3x y C
2. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas equiláteras
xy C
Rta. 2 2
1x y C
3. Determinar las trayectorias ortogonales de 2 2x y Cx
Rta. 2 2
1x y C y
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 128
4.2 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL
Quizás uno de los problemas sobre los cuales se han realizados mas estudios
son aquellos que involucran la predicción del crecimiento o decrecimiento de una
población. Este tipo de problema se consigue comúnmente en las ciencias de la salud,
con el estudio de crecimiento de bacterias, células, plantas, entre otros, pero también
los demógrafos al estudiar la cantidad de población en una zona determinada. Es
obvio que se trata de una predicción, y que para ello se pueden utilizar diferentes
modelos, sin embargo en este apartado se desarrollará el crecimiento exponencial, por
ser el más sencillo y versátil.
Todo problema de crecimiento y decrecimiento exponencial, tiene como
ecuación diferencial
0 0, dx
kx x t xdt
Donde x es la población por unidad de tiempo, t representa el tiempo y k es
una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos
en los que intervienen crecimiento, decaimiento o desintegración y por último 0x es
la población existente en cierto instante inicial 0t .
Entonces como:
dx
kxdt
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 129
Resolviendo mediante el método de variables separables, se tiene:
1
1 lnkt C ktdx
k dt x kt C x e x Cex
Ahora como se tiene unas condiciones iniciales tal que 0 0x t x , entonces:
0
0 0
0 00
kt kt
kt kt
x xx Ce C x e
e e
Suponiendo, como en casi todos los problemas, que 0 0t , entonces se tiene
la solución general:
0
ktx x e
Cabe destacar que si 0k , el problema es de crecimiento, del mismo modo si
0k , el problema será de decrecimiento, tal como lo muestra la figura 4.2
Figura 4.2
x
y
0k
0k
kty e
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 130
Ejemplo 1. Crecimiento poblacional.
Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez
proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la
población se duplicó en 5 años, ¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?
La ecuación diferencial a utilizar es:
dx
k dtx
Cuya solución general ya sabemos que es:
0
ktx x e
De acuerdo al problema, se tiene como condiciones iniciales 05 2x x
Por consiguiente se tiene:
5
0 0
12 ln 2
5
kx x e k
Con lo cual obtenemos la solución:
1
ln 25
0
t
x t x e
Ahora se determina en cuanto tiempo se triplicará la población, es decir
03x t x
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 131
Entonces:
1 1ln 2 ln 2
5 5
0 0
5ln33 3
ln 27,92
t t
x x e e t t
Y para determinar en cuanto tiempo se cuadruplicará la población, es decir
04x t x , se tiene:
1 1ln 2 ln 2
5 5
0 0
5ln 44 4 10
ln 2
t t
x x e e t t
Por consiguiente se concluye que se necesitan 7,92 años para triplicar la
población y 10 años para cuadruplicarla.
Ejemplo 2. Crecimiento bacteriano.
La población de una comunidad de bacterias crece a razón proporcional a su
población en cualquier momento t. Al cabo de 3 horas se observa que hay 400
individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de
bacterias?
Como este problema es de crecimiento, ya se sabe que su solución viene dada
por:
0
ktx t x e
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 132
En este caso las condiciones iniciales son 3 400x y 10 2000x , con
lo cual:
10
0
3
0
2000
400
k
k
x e
x e
Del sistema anterior se obtiene 0,22992k y 0 200x
Por lo tanto se concluye que la población inicial de bacterias era de 200.
Ejemplo 3. Antigüedad de un fósil.
Luego de analizar un hueso fosilizado, se verificó que poseía la centésima
parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil sabiendo que el
período medio (tiempo en desintegrarse la mitad del compuesto) del C-14 es
aproximadamente 5600 años.
Como se sabe la ecuación a utilizar para este tipo de problema es:
0
ktx t x e
De acuerdo a lo planteado en el problema 056002
xx , por lo tanto se tiene:
5600 560000
10,00012378
2 2
k kxx e e k
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 133
Por consiguiente se obtiene la solución general:
0,00012378
0
tx t x e
Ahora como actualmente se tiene una centésima parte de la cantidad inicial de
C-14, entonces 0
100
xx t , por lo tanto:
0,00012378 0,0001237800
137204,48
100 100
t txx e e t
Con lo cual se concluye que el fósil tenía una edad aproximada de 37.204.
Ejercicios propuestos.
1. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos
de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 días el número N ha
aumentado a 1000N. Sin embargo, el número 200N es considerado como el
límite saludable. A cuantos días, después de elaborado, vence el alimento.
Rta. 46.02 días
2. Se ha determinado que el 0,5 por ciento del radio desaparece en 12 años.
Determine: ¿Qué porcentaje desaparecerá en 1000 años? y ¿Cuál es la vida
media del radio?
Rta. 43,2%; 1.660 años
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 134
4.3 LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO.
Según la ley de Newton, en un cuerpo que esta enfriándose, la tasa de cambio
de la temperatura con respecto al tiempo, es proporcional a la diferencia de la
temperatura del cuerpo (T) y la temperatura del medio ambiente que lo rodea mT ,
esto se traduce en:
m
dTk T T
dt con 00T T
Donde k es la constante de proporcionalidad, y 0T es la temperatura inicial
del cuerpo.
Este tipo de ecuación diferencial puede ser resuelta por la técnica de variables
separables, con lo cual se tiene:
ln m
m
dTkdt T T kt C
T T
Como el problema es de enfriamiento siempre se cumple que mT T entonces
m mT T T T
Por consiguiente se tiene que:
kt C kt
m mT T e T T Ce
Cabe destacar que si el cuerpo se enfría entonces siempre 0k , pero caso
contrario si el cuerpo se calienta entonces 0k .
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 135
Ejemplo 1. Una cabilla de acero es sacada de un horno a una temperatura de 1000°C,
y es llevaba a un espacio cuya temperatura ambiente es de 30°C. Si luego de 1 horas
la temperatura de la cabilla es de 60°C. Determine, ¿Qué temperatura tendrá la
cabilla luego de 30 minutos de haber salido del horno? y ¿en cuánto tiempo la
temperatura de la cabilla será de 40°C?
De acuerdo a los datos del problema se tiene que la temperatura del medio
ambiente es de 30°C, con lo cual de acuerdo a la solución de todo problema de
enfriamiento se tiene:
30kt kt
mT t T Ce T t Ce
Además de acuerdo a las condiciones iniciales del problema 0 1000T °C,
se tiene:
030 1000 30 970
kktT t Ce Ce C
Por lo tanto se obtiene:
30 970 ktT t e
Ahora como luego de 1 hora la temperatura que experimenta la cabilla es de
60°C, entonces 1 60T °C, se tiene:
160 30 970 3,4761
ke k
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 136
Entonces la solución general del problema es:
3,476130 970 tT t e
Para determinar la temperatura de la cabilla luego de 30 minutos (0,5 horas)
de haber salido del horno, se tiene:
3,4761 0,50,5 30 970 0,5 133,46T e T
°C
Por último, el tiempo transcurrido para que la cabilla esté a 40°C, es:
3,476140 30 970 1,316te t h.
Ejercicios propuestos.
1. Un cuerpo se calienta a 1100°C y se expone al aire libre a una temperatura de
100°C. Si al cabo de una hora su temperatura es de 600°C. ¿Cuánto tiempo
adicional debe transcurrir para que se enfríe a 300 C?
Rta. ln 5
ln 2t
2. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrigerador a una
temperatura constante de 1°F. Si después de 20 minutos la temperatura del
cuerpo es de 40°F y 40 minutos mas tarde la temperatura del cuerpo es de
20°F. Determinar la temperatura inicial de este.
Rta. 81°F
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 137
4.4 MEZCLAS.
Una mezcla o solución es la unión de un soluto (gaseoso, líquido o sólido) con
un solvente (líquido o gaseoso).
Se tienen dos tipos de mezclas:
Gaseosas, cuando se disuelve un gas en otro gas
Líquidas, cuando se disuelve un sólido o líquido en un líquido o gas.
No importando el tipo de mezcla que se presente, todo problema de mezclado
viene dado por la ecuación diferencial:
e s
dAR R
dt
Donde A(t) es la cantidad de soluto presente en la mezcla en un tiempo
determinado, eR la tasa de entrada de la mezcla y sR la tasa de salida de la mezcla.
Figura 4.3
Mezcla
Entrada
Salida
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 138
Ejemplo1. Un tanque está lleno con 20 gal. de salmuera (solución de sal en agua), en
la cual están disueltas 10 lb. de sal. Entra al tanque a 2 gal/min salmuera con una
concentración de 4 lb. de sal por gal. Sale del tanque una mezcla a la misma tasa que
la que entra. Determinar, ¿Cuánta sal está presente en el tanque luego de 12 min? y
¿Cuánta sal está presente en el tanque luego de un tiempo largo?
De acuerdo a la ecuación diferencial que modela las mezclas, primero es
necesario determinar tanto las tasas de entrada como de salida. Entonces para la
entrada se tiene:
2 4 8min min
e e
gal lb lbR R
gal
Ahora para la tasa de salida se tiene:
2min 20 10 min
s e
gal Alb A lbR R
gal
Entonces se tiene que:
810
dA A
dt
Entonces usando el método de variables separables, se obtiene:
10ln 80 8080 10 10
tCdA dt t
A C A eA
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 139
Por consiguiente:
1080t
A t Ce
Pero como según las condiciones iniciales se tiene que para 0t están
contenidas en el tanque 10 lb de sal, es decir 0 10A , entonces:
0
1010 80 70Ce C
Con lo cual se obtiene la solución general del problema:
1080 70t
A t e
Se determinar la cantidad de sal presente en el tanque a los 12 min, se tiene:
12
1012 80 70 12 58,92A e A
lb
Por último para determinar l cantidad presente en el tanque luego de mucho
tiempo, se tiene:
10lim lim 80 70 lim 80t
t t tA t e A t
Ejercicios propuestos.
1. Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera la cual
contiene 2 libras de sal/galón de salmuera entran al tanque cada minuto. La
mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 140
concentración es de 1,8 libras de sal/galón de salmuera al cabo de 1 hora.
Calcular las libras de sal que habían inicialmente en el tanque.
Rta. 118,08 libras
2. Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que
contiene 12 libra de sal/galón de salmuera fluye al interior del tanque a una
rapidez de 2 gal/min. y la mezcla bien homogenizada sale del tanque con la
misma velocidad. Después de 10 minutos el proceso se detiene y se introduce
al tanque agua pura con una rapidez de 2 gal/min, abandonando el tanque a la
misma velocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han
pasado un total de 20 minutos.
Rta. 7,34 libras
4.5 CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE.
Un circuito en serie es un conjunto de elementos activos y pasivos por los
cuales circula la misma intensidad de corriente i t . En este apartado estudiaremos
los circuitos RL y RC, para los cuales se crearán modelos matemáticos mediante el
uso de la segunda ley de Kirchhoff.
4.5.1 Circuito RL.
Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado E t , un
resistor o resistencia R y un inductor L, tal como lo muestra la figura 4.4.
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 141
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff y sabiendo que RV iR y L
diV L
dt ,
se tiene:
L R
diE t V V E t L iR
dt
Figura 4.4
Con lo cual luego de dividir por L, se obtiene:
E tdi Ri
dt L L
Que es una ecuación diferencial lineal, la cual se debe resolver como tal, sin
embargo si el voltaje aplicado E t es constante es posible resolver la ecuación
utilizando la técnica de variables separables.
Ejemplo 1. Un generador con una fuerza electromagnética de 100 voltios se conecta
en serie con una resistencia de 10 ohmios y un inductor de 4 henrios. Determine una
ecuación la corriente que circula por el circuito a los 2 s . Suponga que el circuito
inicialmente se encuentra abierto.
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 142
De acuerdo a los datos del problema y a la ecuación diferencial que modela un
circuito en serie RL, se tiene:
10 100 525
4 4 2
E tdi R di dii i i
dt L L dt dt
Entonces resolviendo la ecuación obtenida como una lineal de primer orden,
se determina primero el factor integrante, el cual viene dado por:
5 5
2 2dt t
t e t e
Por consiguiente:
5 5 5 5
2 2 2 25
25 252
t t t tdi di e e e i e
dt dt
En conclusión se obtiene que la intensidad de corriente viene dada por:
5
210t
i t Ce
Como el circuito inicialmente está abierto, entonces para un instante 0t , no
circula corriente por el circuito, es decir 0 0i , por lo tanto:
5 50
2 210 0 10 10t
i t Ce Ce C
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 143
Por lo tanto se tiene la ecuación de la corriente en función del tiempo para este
circuito:
5
210 10t
i t e
Entonces la corriente que circula por el circuito a los 2 microsegundos es:
65
2 106 6 522 10 10 10 2 10 5 10i e i
A
4.5.2 Circuitos RC.
Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado E t , un
resistor o resistencia R y un capacitor C, tal como lo muestra la figura 4.5.
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff y sabiendo que RV iR y c
qV
C ,
donde q es la carga del capacitor, entonces se obtiene que:
C R
qE t V V E t iR
C
Ahora como dq
idt
, y además dividiendo toda la ecuación por R se obtiene:
1 E tdqq
dt RC R
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 144
Que es una ecuación diferencial lineal, la cual se debe resolver como tal, sin
embargo al igual que el circuito RL en serie, si el voltaje aplicado E t es constante
es posible resolver la ecuación utilizando la técnica de variables separables.
Figura 4.5
Ejemplo 2. Una fuerza electromotriz 5200 tE t e , se conecta con una resistencia
de 20 ohmios y un capacitor de 0,01 faradios. Asumiendo que el capacitor
inicialmente se encuentra descargado. Determine la carga y la corriente en cualquier
tiempo. Calcule la carga máxima y determine cuando se obtiene.
De acuerdo al problema se tiene:
551 1 200
5 1020 0,01 20
tt
E tdq dq e dqq q q e
dt RC R dt dt
La cual se resuelve como una ecuación lineal de primer orden, por lo tanto
primero se obtiene el factor integrante:
5 5dt tt e t e
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 145
Por consiguiente:
5 5 5 5 55 10 10 10t t t t tdq dq e e e qe q t t C e
dt dt
Ahora como inicialmente el capacitor esta descargado 0 0q , entonces se
tiene:
5 00 10 0 0C e C
Entonces se concluye que la carga para cualquier instante de tiempo es:
510 tq t te
Luego como dq
idt
, entonces la corriente para cualquier instante de tiempo
es:
5 5 510 10 50t t tdi t te i t e te
dt
Por último para determinar la carga máxima y el instante en que ocurre, es
necesario derivar la carga e igualar a cero, por lo tanto:
5 5 50 10 50 0 10 50 0 0,2t t tdqe te t e t
dt
s
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 146
Por consiguiente:
5 0,20,2 10 0,2 0,2 0,736q e q
culombios
Ejercicios propuestos.
1. Un generador con una fuerza electromotriz de 10sen 7E t t se conecta en
serie con una resistencia de 6 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si para 0t
no circula corriente por el circuito. Determine la corriente para cualquier
instante de tiempo.
Rta. 35 353sen 7 7cos7
58 58
ti t t t e
2. Una resistencia R varía con respecto al tiempo de acuerdo a 1 0,01R t . Se
conecta en serie con un capacitor de 0,1 faradios y un generador con una
fuerza electromotriz de 100 voltios. Si la carga inicial en el condensador es de
5 culombios. Determine la carga y la corriente en función del tiempo y
además la carga máxima del condensador.
Rta. 1000
10 5 1 0,01q t t
; 1001
50 1 0,01i t t
; 10 culombios.
4.6 ABSORCIÓN DE DROGAS EN ÓRGANOS O CÉLULAS
En muchos estudios en la salud, en ocasiones es conveniente considerar un
organismo, como lo es un humano, un animal o planta, como una colección de
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 147
componentes individuales llamados Comportamientos. Dicho comportamiento puede
estar representado por un órgano, tal como lo es el estómago, el riñón, el pulmón,
entre otros; o un grupo de células las cuales actúan como una unidad.
Una problema importante consiste en la absorción de químicos (como por
ejemplo la droga), por un órgano o por células. Esto tiene aplicación en el campo de
la medicina, ya que puede ocurrir que ciertas drogas fatales se acumulen en un
órgano o un grupo de célula, y por consiguiente lleva a la destrucción parcial o total
de los mismos.
El caso más simple de situación o problema trata solamente con un
comportamiento. Pero cabe destacar que se puede estar en presencia de un sistema
que involucre dos o más comportamientos, por lo tanto, esto implica que la dificultad
de un ejercicio viene dado por el número de comportamientos.
Supongamos que un líquido transporta una droga dentro de un órgano de
volumen V cm 3 a una tasa de a cm 3 /seg, y sale a una tasa de b cm 3 /seg, tal como lo
muestra la figura 4.6. La concentración de la droga en el líquido es c g/cm. Entonces
si x, representa la concentración de la droga en el órgano (esto es el número de
gramos de la droga por cm), la cantidad de droga en el órgano en cualquier tiempo t
está dado por xV . Además el número de gramos por segundo que entran al órgano
en un tiempo t, está dado por ac , y el número de gramos por segundo que salen del
órgano viene dado por bx .
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 148
Figura 4.6
Ahora , la tasa de cambio de la cantidad de droga en el órgano es igual a la
tasa a la cual entra la droga menos la tasa a la cual sale, así que podemos decir que:
d
xV ac bxdt
La forma como se resolverá la ecuación diferencial dependerá de cuáles de los
elementos que intervienen en la ecuación son constantes y cuales variables.
Asumiendo que a, b, c y V son constantes, entonces resolvemos utilizando la
técnica de variables separables con la condición inicial es 00x x :
0
bt
Vdx ac ac
V ac bx x x edt b b
De acuerdo a los datos se nos pueden presentar dos casos:
Caso I: cuando a sea igual a b, tendríamos que la tasa de entrada es igual a la tasa de
salida, por lo tanto nuestra solución se convierte en.
0
bt
Vx c x c e
Volumen V a cm3/s b cm3/s
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 149
Caso II: cuando a sea igual a b, y 0x igual a cero (0), nuestro solución es:
1b
tVx c e
Ejemplo 1. Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de 500 cm3 de
volumen, a una tasa de 10 cm3/seg y sale a la misma tasa. La concentración de la
droga en el líquido es de 0,08g/cm3. Asumiendo que inicialmente la droga no está en
el órgano encuentre:
a) La concentración de la droga en el órgano después de 30 segundos.
b) ¿Cuánto tiempo demoraría para que la concentración de la droga en el órgano
alcance 0,04 g/cm3 a los 30 segundos?
c) La concentración de la droga en el organismo a los 30 segundos, si la
concentración inicial es de 0,20 g/cm3.
De acuerdo a los datos del problema y como ya es conocida la solución de la
ecuación diferencial que modela este tipo de problema, entonces:
10
5000
10 0,08 10 0,080
10 10
tbt
Vac ac
x x e x eb b
Por consiguiente:
0,020,08 0,08 tx t e
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 150
Entonces la concentración de la droga luego de 30 segundos es:
0,02 3030 0,08 0,08 30 0,0361x e x
Ahora para determinar el tiempo que demoraría para que la concentración de
la droga en el órgano alcance 0,04g/cm3 se tendría que:
0,02 0,020,08 0,040,04 0,08 0,08 34,65 .
0,08
t te e t s
Por último para calcular la concentración de la droga en el organismo a los 30
segundos, si el órgano presenta una concentración inicial de 0,2 gr/cm3, se tiene:
10
3050030 0,08 0,20 0,08 30 0,146x e x
Ejercicio propuesto.
1. Suponga que un líquido de una droga entra a un órgano con una
concentración constante c, de tal manera que la tasa de entrada a es mayor que
la tasa de entrada b, lo que implica que el volumen del órgano se expande a
una tasa constante m de modo que 0V V mt . Si la concentración inicial de
la droga en el organismo es 0x , Determine la concentración en cualquier
tiempo.
Rta.
00
0
b m m
Vac acx t x
b m b m V mt
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 151
2. Suponga que se tiene el mismo anterior pero que el volumen varía de acuerdo
a 0 senV V m t , con 0 ,V m y constantes. Determine la concentración
de la droga está dada por el problema de valor inicial
Rta. 0 0
cos
sen sen
dx b m t bax
dt V m t V m t
con 0 0x
4.7 CRECIMIENTO LOGÍSTICO.
El modelo logístico está comprobado que es más preciso para el estimar el
crecimiento de algunos tipos de población en especifico. Por ejemplo las curvas
logísticas predicen con bastante exactitud el crecimiento de ciertas bacterias,
protozoarios, pulgas de agua y moscas de la fruta en un espacio predeterminado. Sin
embargo este tipo de modelo no es muy confiable cuando la población es muy
grande.
El modelo logístico viene dado por supones que la tasa per cápita de
crecimiento 1 dP
P dt
es igual a la tasa promedio de nacimiento, la cual se supondrá
que es constante, menos la tasa promedio de defunción, que es proporcional a la
población. Con lo cual se tiene:
1 dPa bP
P dt
Donde a y b son constantes.
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 152
Este tipo de ecuación diferencial puede ser resuelta por la técnica de variables
separables, por lo tanto:
dP dP dPP a bP dt dt
dt P a bP P a bP
El lado izquierdo de la ecuación debe ser resuelto por fracciones parciales con
lo cual se obtiene luego de integrar:
1
1 1ln ln ln atP P
P a bP t C at aC C ea a a bP a bP
Despejando, se obtiene:
1 1
1 11
at
at at
aC e aCP t P t
bC e e bC
Como 00P P y además 0a
Pb
, entonces se tiene:
01 1
0 10
1 01
at a
PaC aCP t P C
e bC a bPe bC
Con lo cual luego de sustituir, se obtiene la solución la cual viene dada por:
0
0 0
at
aPP t
bP a bP e
Ejemplo 1. La cantidad de supermercados que emplean cajas computarizadas en un
país, denotado por C t , está definida por el problema de valor inicial:
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 153
1 0,05dC
C Cdt
con 0 1C
Donde t expresada en años. Entonces determine: ¿cuántos supermercados
utilizan las cajas computarizadas luego de 10 años? y ¿Cuántos lo adoptarán después
de mucho tiempo?
Lo primero que hacemos es resolver la ecuación diferencial, mediante la
técnica de variables separables, entonces:
1 0,0005
1 0,0005 1 0,0005
ln ln 1 0,0005
dCdt dC dt
C C C C
C C t K
Luego como se tiene que 0 1C , entonces:
4ln 1 ln 1 0,0005 1 0 5,00125 10K K
Por consiguiente:
4 4ln ln 1 0,0005 5,00125 10 ln 5,00125 101 0,0005
CC C t t
C
Y además:
4
4
4
5,00125 105,00125 10
5,00125 101 0,0005 1 0,0005
tt
t
C ee C t
C e
Ahora se determinará el número de supermercados que utilizarán cajas
computarizadas luego de 10 años, entonces:
CAPÍTULO 4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Cristian Castillo 154
4 4
4 4
5,00125 10 10 5,00125 10
5,00125 10 10 5,00125 1010 10
1 0,0005 1 0,0005
t
t
e eC C
e e
Por consiguiente
10 1833C
Ahora luego de tanto tiempo se tiene:
0,0513
0,05132000
1 0,0005
t
tt t t
eLimC t Lim LimC t
e
APÉNDICE I
NÚMEROS COMPLEJOS
Existen infinitas ecuaciones que no tienen soluciones reales. Un ejemplo
característico de ello es la ecuación cuadrática
2 4 0x
La cual no posee raíces reales, debido a que ningún número real al ser
sustituido en la variable x puede satisfacer la ecuación. Esta problemática fue razón
suficiente para que matemáticos hayan creado un nuevo sistema que utiliza la unidad
imaginaria i, la cual viene definida por:
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
Cristian Castillo 156
. 1i donde 2 1i
Entonces de acuerdo a lo anterior si se tiene la ecuación cuadrática 2 4 0x ,
sus raíces se obtienen de la siguiente forma:
4 4 1 4 1 2x x x x i
A partir de la definición de la unidad imaginaria, se tiene que:
2 1i
iiiii )1(23
4 2 2 2( ) ( 1) 1i i
5 4 1i i i i i
6 4 2 1( 1) 1i i i , y así para cualquier potencia entera de i.
Raíz cuadrada de un número negativo.
Si m es un número positivo, la raíz cuadrada del número negativo –m viene
dada por:
m mi
Es importante ser precavido al aplicar ciertas propiedades de los números
reales, debido a que por ejemplo se puede pensar que:
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
Cristian Castillo 157
416)4)(4(44 , lo cual es incorrecto.
Esto es debido a que la propiedad ab a b , no es válida si a y b son
valores reales negativos. Para evitar estos errores, es conveniente utilizar m mi ,
con lo cual:
44)2)(2(1414)1(4)1(444 2 iii ,
lo cual es correcto.
Número complejo.
Es un número que puede escribirse de la forma a bi , siendo a y b números
reales y 0b . En todo número complejo a bi , a recibe el nombre de parte real y
bi el de parte imaginaria. Si 0a , el número complejo se llama imaginario puro.
Todo número complejo a bi se puede representar como un punto ,a b en
un plano coordenado, llamado plano complejo. El eje horizontal de este plano se
llama eje real y al eje vertical se le denomina eje imaginario, tal como se muestra en
la figura A.1.
Conjugado de un número complejo.
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
Cristian Castillo 158
Todo número complejo a bi tiene como conjugado al número a bi , y
viceversa. Por ejemplo el número conjugado de 4 3i es el número 4 3i .
Figura A.1
Operaciones con números complejos.
Dados dos números complejos 1z a bi y 2z c di , entonces las
siguientes operaciones son permitidas:
a. Suma 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z a bi c di z z a c b d i
b. Resta 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )z z a bi c di z z a c b d i
c. Multiplicación 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )z z a bi c di z z ac bd ad bc i
d. División
1 1 1
2 2
2 2 2
ac bd bc ad iz z za bi a bi c di
z c di z c di c di z c d
r
b
a
Eje
imaginario
Eje real
,a b
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
Cristian Castillo 159
Forma polar de un número complejo.
La forma polar de todo número complejo z, donde z a bi , es:
cos senz r i
Donde cosa r , senb r y 2 2r a b , esto se puede apreciar en la
figura A.1. Aquí al parámetro r, se le denomina módulo de z, y a se le llama
argumento de z.
Fórmula de Euler.
La fórmula de Euler viene dada por la identidad:
cos senie i
Esto permite escribir la forma polar de un número complejo como:
iz re
A continuación se presenta a partir de la ecuación iz re , otra forma mucho
más sencilla de multiplicar y dividir los números complejos.
Multiplicación de números complejos.
Dados dos números complejos 1
1 1
iz re y 2
2 2
iz r e , entonces el producto
de 1z y 2z , viene dado por:
APÉNDICE I. NÚMEROS COMPLEJOS
Cristian Castillo 160
1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2
ii iz z re r e z z rr e
División de números complejos
Dados dos números complejos 1
1 1
iz re y 2
2 2
iz r e , entonces el cociente
entre 1z y 2z , viene dado por:
1
1 21 2
2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
iii i
i
z re z r z re e e
z r e z r z r
APÉNDICE II
TABLA DE DERIVADAS
APÉNDICE II. TABLA DE DERIVADAS
Cristian Castillo
162
1. uDnuuD x
nn
x
1)(
2. vDuDvuD xxx )(
3. uvDvuDuvD xxx )(
4. 2v
vuDuvD
v
uD xx
x
5. uDeeD x
uu
x )(
6. uDaaaD x
uu
x ln)(
7. uDu
uD xx
1)(ln
8. uDuusenD xx cos)(
9. uDusenuD xx )(cos
10. uDuuD xx
2sec)(tan
11. uDuuD xx
2csc)(cot
12. uDuuuD xx tansec)(sec
13. uDuuuD xx cotcsc)(csc
14. uDu
uarcsenD xx21
1)(
15. uDu
uD xx21
1)(arccos
16. uDu
uD xx 21
1)(arctan
17. uDu
uarcD xx 21
1)cot(
18. uDuu
uarcD xx
1
1)sec(
2
19. uDuu
uarcD xx
1
1)csc(
2
20. uDuusenhD xx cosh)(
21. uDusenhuD xx )(cosh
22. uDuhuD xx
2sec)(tanh
23. uDuhuD xx
2csc)(coth
24. uDuuhuhD xx tanhsec)(sec
25. uDuuhuhD xx cothcsc)(csc
APÉNDICE III
TABLA DE INTEGRALES
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Formas elementales
1. cudu
2. caudua
3. duugduufduuguf )()()]()([
4. )1(1
1
ncn
uduu
nn
5. cuu
du ln
Formas racionales que contienen bua
6.
cbuaabuabbua
duuln
12
7. cbuaabuaabuabbua
duu
ln)(22
11 22
3
2
8.
cbua
bua
a
bbua
duuln
122
9.
cbuaa
bua
abua
bbua
duuln2
1 2
32
2
10.
cbuabua
a
bbua
duu
1
2
1223
11.
c
bua
u
abuau
duln
1
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 165
12.
c
u
bua
a
b
aubuau
duln
122
13.
cbua
u
abuaabuau
du
ln
1122
Formas que contienen bua
14. cbuaabub
dubuau 23
323
15
2
15. cbuaaabuubb
dubuau 23222
3
2 81215105
2
16.
dubuau
nb
an
nb
buaudubuau n
nn 1
23
32
2
32
2
17.
cbuaabubbua
duu2
3
22
18. cbuaaabuubbbua
duu
222
3
2
84315
2
19.
bua
duu
nb
an
nb
buau
bua
duu nnn 1
12
2
12
2
20.
1ln 0
2arctan 0
a bu ac si a
a a bu adu
u a bu a buc si a
aa
21.
buau
du
na
nb
una
bua
buau
dunnn 11 12
32
1
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 166
22.
buau
duabua
u
dubua2
23.
11
23
12
52
1 nnn u
dubua
na
nb
una
bua
u
dubua
Formas que contienen 22 ua
24. ca
u
aua
du
arctan1
22
25. 2 2
1arctan
1ln
12coth
uh c si u a
du u a a ac
ua u a u aarc c si u a
a a
26. 2 2
1arctan
1ln
12coth
uh c si u a
du u a a ac
uu a a u aarc c si u a
a a
Formas que contienen 22 au
27. cauuau
du
22
22ln
28. cauua
auu
duau 22
22222 ln
22
29. cauua
auauu
duauu 22
42222222 ln
82
8
30. cu
auaaau
u
duau
22
22
22
ln
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 167
31. ca
uarcaau
u
duau
sec22
22
32. cauuu
au
u
duau
22
22
2
22
ln
33. cauua
auu
au
duu
222
22
22
2
ln22
34. cu
aua
aauu
du
22
22ln
1
35. ca
arcaauu
du
1sec
1
22
36. cua
au
auu
du
2
22
222
37. cauua
auauu
duau 22
422222
322 ln
8
352
8
38.
caua
u
au
du
222
23
22
Formas que contienen 22 ua
39. ca
uarcsen
ua
du
22
40. ca
uarcsen
aua
uduua 22
22222
41. ca
uarcsen
auaau
uduuau 8
28
42222222
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 168
42. 2 2
2 2 arccosa u du a
a u a h cu u
43. ca
uarcsen
u
ua
u
duua
22
2
22
44. ca
uarcsen
aua
u
ua
duu
22
222
22
2
45. cu
ah
ac
u
uaa
auau
du
arccos
1ln
122
22
46. cua
ua
uau
du
2
22
222
47. ca
uarcsen
auaau
uduua 8
352
8
422222
322
48.
cuaa
u
ua
du
222
23
22
Formas que contienen 22 uau
49. cau
auau
auduuau
11arccos2
22
222
50. ca
uauau
aauuduuauu
1arccos
22
6
322
32
222
51. ca
uauau
u
duuau
1arccos2
22
2
52. ca
u
u
uau
u
duuau
1arccos
222 2
2
2
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 169
53. ca
u
uau
du
1arccos
2 2
54. ca
uauau
uau
duu
1arccos2
2
2
2
55.
ca
uauau
au
uau
duu
1arccos
2
32
2
3
2
22
2
2
56. cau
uau
uauu
du
2
2
2
2
57.
cuaua
au
uau
du
22
23
2 22
58.
cuaua
u
uau
duu
2
23
2 22
Formas que contienen funciones trigonométricas
59. cuduusen cos
60. cusenduu cos
61. cuduu seclntan
62. cusenduu lncot
63. cucuuduu 21
41tanlntanseclnsec
64. cucuuduu 21tanlncotcsclncsc
65. cuduu tansec2
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 170
66. cuduu cotcsc2
67. cuduuu sectansec
68. cuduuu csccotcsc
69. cusenuduusen 24
1
2
12
70. cusenuduu 24
1
2
1cos 2
71. cuuduu tantan2
72. cuuduu cotcot 2
73.
duusenn
nuusen
nduusen nnn 21 1
cos1
74.
duun
nusenu
nduu nnn 21 cos
1cos
1cos
75.
duuu
nduu nnn 21 tantan
1
1tan
76.
duuu
nduu nnn 21 cotcot
1
1cot
77.
duu
n
nuu
nduu nnn 22 sec
1
2tansec
1
1sec
78.
duu
n
nuu
nduu nnn 22 csc
1
2cotcsc
1
1csc
79.
cnm
unmsen
nm
unmsendunusenmusen
22
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 171
80.
c
nm
unmsen
nm
unmsendunumu
22coscos
81.
cnm
unm
nm
unmdunumusen
2
cos
2
coscos
82. cuuusenduusenu cos
83. cusenuuduuu coscos
84. cuuusenuduusenu cos22 22
85. cusenuuuduuu 2cos2cos 22
86. duuunuuduusenu nnn coscos 1
87. duusenunusenuduuu nnn 1cos
88.
duuusen
nm
m
nm
uusenduuusen nm
nmnm cos
1coscos 2
11
Formas que contienen funciones trigonométricas inversas
89. cuuarcsenuduuarcsen 21
90. cuuuduu 21arccosarccos
91. cuuuduu 21lnarctanarctan
92. cuuarcuduuarc 21lncotcot
93. cuuuarcuduuarc 1lnsecsec 2
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 172
94. cuuuarcuduuarc 1lncsccsc 2
Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas
95. cedue uu
96. ca
adua
uu ln
97. cueduue uu 1
98. dueuneudueu ununun 1
99. duau
a
n
a
auduau un
unun 1
lnln
100.
11 1
1
1 n
u
n
u
n
u
u
due
nun
e
u
due
101.
11 1
ln
1 n
u
n
u
n
u
u
dua
n
a
un
a
u
dua
102. cuuuduu lnln
103.
cunn
uduuu
nn
1ln11
ln2
1
104. cuuu
du lnln
ln
105. cnunnusenana
edunusene
auau
cos
22
106. cnusennnuana
edunue
auau
coscos
22
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 173
Formas que contienen funciones hiperbólicas
107. cuduusenh cosh
108. cusenhduu cosh
109. cuduu coshlntanh
110. cusenhduu lncoth
111. cusenhduuh arctansec
112. cuduuh 21tanhlncsc
113. cuduuh tanhsec 2
114. cuduuh cothcsc 2
115. cuhduuuh sectanhsec
116. cuhduuuh csccothcsc
117. cuusenhduusenh 2
12
4
12
118. cuusenhduu 2
12
4
1cosh 2
119. cuuduu tanhtanh2
120. cuuduu cothcoth2
121. cusenhuuduusenhu cosh
APÉNDICE III. TABLA DE INTEGRALES
Cristian Castillo 174
122. cuusenhuduuu coshcosh
123. cnunnusenhana
edunusenhe
auau
cosh
22
124. cnusenhnnuana
edunue
auau
coshcosh
22
BIBLIOGRAFÍA
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física. Primera edición. Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco. España.
Apostol, T. (1977) Calculus. Volumen 1. Editorial Reverté. España.
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aplicaciones. Primera edición. Editorial Nopase. Mexico.
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Bucheli, C. (2009). Modulo de ecuaciones diferenciales. Primera edición. Editorial de
la Universidad Nacionla y Abierta y a Distancia. Colombia.
Campbell, S y Haberman, R. (1998) Introducción a las ecuaciones diferenciales con
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Murray, S. (1983) Ecuaciones diferenciales aplicadas. Tercera edición. Editorial
Prentice Hill Hispanoanérica. México.
Nápoles J. y Negrón C. (2002) La historia de las ecuaciones diferenciales contadas
por sus libros de texto. Revista Electrónica de la Didáctica de las Matemáticas. 3 (2):
33-57
Viola-Prioli, J. y Viola-Prioli A de. (2006) Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Primera edición. Editorial Equinoccio. Venezuela.
Zill, D. (1997) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta
edición. International Thomson Editores. México.
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