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新高中數學課程詮釋
延伸部分單元一
微積分
統計
德軍有多少坦克?
二戰期間,究竟德軍總共製
做了多少部坦克?
戰略中使用點估計的例子
戰略中使用點估計的例子
德國人在製造坦克時是墨守成
規的,他們把坦克從一開始進
行了連續編號。
戰略中使用點估計的例子
在戰爭進行過程中,盟軍繳獲
了一些敵軍坦克,並記錄了它
們的生產編號。
戰略中使用點估計的例子
總體參數是未知的生產出的坦
克總數 N ,而繳獲坦克的編號
則是樣本。
戰略中使用點估計的例子
製造出來的坦克數肯定大於或等於記錄中的
最大編號
計算被繳獲坦克編號的平均值,並認為這個
值是全部編號的中點
因此樣本平均值乘以 2 就是總數的一個估計
戰略中使用點估計的例子
缺點:
不能保證 平均值的 2 倍 一定
大於記錄中的 最大編號
另一個點估計公式
用觀察到的最大編號乘以因
子 ,其中 n 是被俘坦
克個數。例如找到 10 輛坦
克,其中最大編號是60,那
麼坦克總數的 66。
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
n11
今天我希望能:
圖片來源: home.kimo.com.tw/and_whose/4word_ans.htm
演示大綱
解讀延伸部分: 單元一
簡介單元一的 三個領域的重點
基礎知識
微積分
統計
學與教的策略
資源的配合
示例
課程設計原則
本單元是為那些
將來在學科或職業上需要更多及更深
入的數學知識
在高中階段多學習一些數學應用
的學生而設。
釐訂學習重點的原則
提供必修部分以外的技能與概念
強調數學的應用性多於其嚴謹性,從而擴闊學生
在數學方面的視野
提供微積分與統計的直觀概念、相關基本技能及
有用工具,為學生將來深造和就業作準備
組織
單元一 (微積分與統計) 分成三個領域,分別為:
「基礎知識」
「微積分」
「統計」
必修部分
求導法及其應用
積分法及其應用
基
礎
知
識
領
域
進
階
概
率
二項、幾何及泊松分佈及其應用
正態分佈及其應用
點及區間估計
學習目標基礎部分 微積分 統計
學生應能:
• 應用二項展式學習概
率與統計;
• 以建模、繪畫圖像和
應用指數函數及對數
函數解決應用題;及
• 理解指數函數和對數
函數的關係,並使用
它們解現實生活中的
應用題。
• 理解極限作為微積分
學的基礎;
• 透過現實情境理解微
積分的概念;及
• 求簡單函數的導數、
不定積分和定積分。
• 理解概率,隨機變
量,離散及連續概率
分佈的概念;
• 以二項、泊松、幾何
及正態分佈理解統計
推理的基礎概念;
• 運用統計方法觀察和
思考,並作出推斷;
及
• 發展對不確定現象的
數學思維能力,並應
用相關知識和技巧解
應用題。
時間分配
修讀必修部分和單元一(微積分與統
計)的課時佔總課時的15% (大約
405小時)。為協助教師了解課程內
各課題的處理深度,在各學習單位
旁 都 標 示 出 建 議 的 教 學 時 數 。
學習重點的動詞
認識 (recognise)能說出概念和規律(定理、公式、法則等)是甚麼,知道它們是怎樣得出來的,它與
其他概念之間的聯繫,有甚麼用途。
學習重點的動詞
理解 (understand)在認識的基礎上,通過練習,形成技能,
能夠用它去解決一些問題
理解 (understand)
認識 (recognise)
注釋
作為學習重點的補充資料,
主要為清楚闡述
該部分的處理深度
該部分的教學內容
注釋內的用詞
包括 (including): 學習重點 3.4 的注釋
例如 (for example): 學習重點
3.2 的注釋
單元一的學習單位
數學及統計學科
(高級補充程度)表面內容有80%相似
但…
單元一的學習單位
我們的學生
• 平均較年幼 (中五?)• 學業程度較低 (中五?)
期望:• 寧可淺些,但要好些 !
• 要讓學生參加學習過程 !
• 應用,應用,應用 !
注意:必修部分與單元一的某些課題在內容
上有直接連繫,教師在編排教學次序
時須注意
教學次序與文件中學習單位/重點的編排無必然關係 (三個領域 與 進階學習單位)
基礎知識何解
二項展式
Σ讀作 summation
因為寫作 1+2+3+4+5+…+ n 麻煩,所以用
)...54321(1
nkn
k++++++=∑
=
來表示 1 至 n 的數學總和,例如,
)...54321( 2222221
2 nkn
k
++++++=∑=
用Σ是加法的省略形式
資料來源: 汕頭大學出版社 “數字專家最搶手”
二項展式
資料來源: 世界圖書出版公司 “概率統計超入門”
nCr
( ) baba 23中的+
資料來源: 世界圖書出版公司 “概率統計超入門”
指數函數及對數函數
ex 的函數圖像
y = ex
由於 e0 = 1 ,這曲線會通過點 (0, 1 )
它永遠為正值 ; ex > 0
它一直在遞增
它遞增得非常快
使用指數函數與對數函數解應用題
100rt
PeA =
0,)( 0 >= keQtQkt
0,)( 0 >=− keQtQ kt
複利息定理
增長定理
衰變定理
微積分
求導法及其應用簡介:
• 認識導數概念的某些實際背景 (如瞬時速度,加
速度,平滑曲線切線的斜率等)
• 知道函數在一點處的導數的定義及其幾何意義
• 懂得基本導數公式
• 理解函數和、差、積、商及複合函數的求導法則
微積分
求導法及其應用簡介:
• 懂得用導數求函數在閉區間上的最大值和最小值
• 通過解決科技、經濟、社會中的某些簡單問題,
體驗導數求最大值與最小值的應用
求導法及其應用簡介:
沒有單元二所列舉的例子
極限的運算
介紹一些求取極限的定理,可採用,但不須證明,例如:
學生須懂得求取某些簡單函數 當 t 趨向無
窮大時的極限,即 ,
[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→
±=±
tet
t,1如
01lim =∞→ tt
0lim =∞→
tt e
t
函數的導數
學習重點
3.3 的注釋
( )
x
xx
xxx
xxxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxxx
xy
x
x
x
xx
21
1
1lim
lim
lim
limlim
0
0
0
00
=
+=
+∆+=
+∆+∆−∆+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∆++∆+
⋅∆
−∆+=
∆−∆+
=∆∆
→∆
→∆
→∆
→∆→∆xy =求函數 的導數
資料來源: 高等教育出版社 “微積分”
這是看圖的一代
因勢利導
= 0
> 0< 0
學習重點3.4
= 0
> 0 < 0
懂得使用這些法
則求函數的導數
學習重點 4.1
學習重點 4.2 的注釋
學習重點 5.2
求顯函數的二階導數
學習重點 5.1 的注釋
不須引入三階及更高階的導數
求導法的應用
1.不須描繪簡單曲線2.不須求函數值的近似值
( ) xxfxfxxf ∆′+≈∆+ )()(
積分法及其應用:
• 認識定積分概念的某些實際背景(如變速
直線運動的路程,曲邊梯形的面積等)
• 認識定積分的定義及其幾何意義
• 認識微積分基本定理,原函數與不定積分
的概念
• 懂得利用基本積分公式求函數的不定積分
• 懂得利用定積分求一些平面圖形的面積、
變速直線運動的路程
積分法及其應用
學習重點 7.1 的注釋
須介紹不定積分法為求
導法的逆運算
某函數 f (x),“先積分 後求導,則回到原函數"。
何解
)(3.2
3311.
3)(
2
3
2
xfx
Cxx
xxf
⇒+
++
+=
L
L
求導
積分
。例
學習重點 7.1 的注釋
須介紹不定積分法為
求導法的逆運算
某函數 f (x),“先求導 後積分,
則不一定能回到原函數 f (x)” 。何解
不同積分
求導
。例
)(.221.
3)(
2
2
xfCxx
xxf
⇒+
+=
L
L
不定積分及其應用
學習重點 7.4
使用代換積分法求不定積分
學習重點 7.4 的注釋
不須引入分部積分法
定積分及其應用
學習重點 8.5使用定積分法求平面圖形的面積
學習重點 9.1
理解梯形法則及使用它計算定積分的近似值
積分法及其應用
當函數的圖像凹向下時,梯
形法則高估了所求的面積
當函數的圖像凸向上的,梯
形法則低估了所求的面積
內容不涉及誤差的估計
統計
• 認識隨機變量的意義,會求出某些簡單的
離散隨機變量的分佈列
• 認識離散隨機變量的期望值、方差的意義
• 認識二項分佈、泊松分佈及幾何分佈的意
義及其性質
• 認識正態分佈的意義及其性質
• 會利用樣本統計量去推測母體參數值,體
會如何從資料中提取資訊並作出統計推斷
學習單位 10 及 11
•概念重溫,著重運用條件概率解說獨立事件的概念
•使用貝葉斯定理解簡單應用題
學習重點 12.1
學習重點 13.1
認識離散概率分佈的概念,並以表列、圖像和數學公式表示離散概率分佈
擲三枚勻稱的硬幣所得正面的數目的概率分佈
x 0 1 2 3
f(x)81
83
83
81
xx
xCxXPxf−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛===
33
21
21)()(
二項分佈
二項式定理:平均值 = np 方差 = np(1-p)
二項式定理
平均值 方差
二項、幾何及泊松分佈及其應用
在講授學習單位 14 至 17 時,須提及
滿足伯努利分佈,二項分佈,幾何分佈及
泊松分佈的條件
根據不同的隨機現象選取採用何種概率分
佈作為概率模型
各種分佈的平均值與方差但不須證明
不須學習泊松分佈近似二項分佈
正態分佈及其應用
基本定義及其性質
學習重點 18.1 通過正態分佈,認識連續隨機變量及連續概率分佈的概念
正態分佈的概率密度函數 (probability density function) 為:
( )
為標準差和為平均值其中
0,,x,2
1)( 222
σµ
σµπσ
σ
µ
>∞
正態分佈及其應用
在講授學習單位 18 時,須引入 滿足概率密度
函數(pdf) f(x)的條件: 如
概率是用積分表示
對於任意值 x , P(X = x) = 0
不用計算連續概率分佈的概率,把它們視為 pdf
曲線下的面積
( ) ∫∞
∞−=≥ 1)(,0 dxxfxf
正態分佈及其應用
不須提及獨立隨機變量組合成的分佈,即
X1 ~ N(8, 32),X2 ~ N(12, 42),學生不須知道
Y = X1 + X2 的分佈, Y ~ N(20, 52).
不須學習正態分佈近似二項分佈
不須學習正態分佈近似泊松分佈
抽樣分佈和點估計
樣本統計量 ( sample statistic )
總體參數 ( population parameter)
抽樣分佈及點估計
(Sampling distribution and point estimates)
中央極限定理
無論母體分佈為何,自任一平均數
µ、標準差為 σ的母體中抽取大小
為 n 之隨機樣本,若樣本大小 n 夠
大,則樣本平均值 的抽樣分佈會
趨近於正態分佈
x
總體
平均數 = 70
樣本
樣本
樣本
樣本
樣本
樣本
樣本
樣本
樣本
樣本
的平均數 = 68
的平均數 = 73
的平均數 = 80
的平均數 = 73
的平均數 = 77
對來自同一個總體的每個有相同容量(如 60) 的樣本說明
事件發生頻率
正態曲線
點及區間估計(Point and Interval Estimation)
點估計和區間估計的概念
總體平均值的點估計方法
總體方差和標準差的點估計方法
置信區間 (Confidence interval )
置信水平 (Confidence level )
重點
如何利用樣本平均值來估計總體平均值?
在甚麼條件下所找出的置信區間不包含總體
平均值?
如何理解下面這句話:
“α=0.01表示反覆抽樣1000次,則得到的1000個
區間中不包含真值的僅為10個左右。”
總體參數 µ 的 100(1-α)% 置信區間
並不表示 µ 有 100(1-α)% 的概率落在這區間上
而是在所有的100(1-α)% 置信區間中平均不少於 100(1-α)% 的置信區間包含 µ 在內
資料來源: 香港教育圖書公司 “統計學入門”
關於置信區間長度的重點
樣本中的觀察值個數影響置信區間長度。
大的樣本產生較短的置信區間。
置信水平影響置信區間。
短的置信區間能比長的置信區間提供更多
的有關總體參數的資訊。
點及區間估計
提及點估計的性質時,只須提及無偏性,不須提
及其他性質如 一致性,有效性 及 充分性
在求取總體均值的置信區間時,不涉及 t 分佈
須以樣本標準差 s 構作「非正態總體」的總體平
均值 µ 的置信區間
不涉及求取 兩總體均值 或 兩總體比例之差 的置
信區間
進階學習單位
探索與研究
整個課程須有足夠探索與研究的活動,但不表示每一課皆須編排有關活動。
上海教育部的專家張民生
先生的話:
• 教師應改變自己適應學生
• 有耐心、信心、恆心
我說:
Recommended