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Information Theory, 2013 by Toyoaki Nishida
通信路符号化法 ガロア体とBCH符号
Copyright © 2013 Toyoaki Nishida All Rights Reserved.
ガロア体
n 体:加減乗除の四則演算について閉じている系.
n 有限体(ガロア体):有限個の元しか持たない体
… qは元の数(「位数」) (pは素数,mは正整数)
n 素体 (pは素数) … mod演算で作られる
)(qGF
mpqqGF =Û)(
)( pGF
素体の例
)7(GF
+ 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5
× 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1
拡大体
n 拡大体 (pは素数, )は,素体 に,m次原始多項式
(周期が となるm次の多項式)の根を1個追加して体を作る.
n のm次の拡大体 は,m次原始多項式の根 のべき
から構成する.
ここで, であり, は の原始元と呼ばれる.
)( mpGF m£2 )( pGF
1-mp
)2(GF
)2( mGF
a22210 ,,,, -m
aaaa L
112 =-m
a
)2( mGF
a
拡大体
11415
0313414
023123413
012323412
12311
0122410
139
021248
013347
236
125
014
=+=
+=++=
++=+++=
+++=++=
++=
++=+=
+=
+=++=
++=+=
+=
+=
+=
aaa
aaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaa
aaaaaa
aaa
aaaaaa
aaaaaa
aaa
aaa
aaa GF(24)の作り方
n GF(2)上の多項式 は原始多項式である.その
根を α とし, α をGF(2)に付加した体を考える.
n この体は, を含む.
n 乗算の結果は,この体に含まれなければならない. α は
の根,つまり, であることに注意
して,この体に含まれるべき要素を枚挙していくと,
で閉じていることが分かる(加算に関しても,すべての
に対して, が出
現している).
14 ++ xx
},1,0{ a
14 ++ xx014 aaa +=
},,,{ 0123 aaaa
},,,,,,,,,,,,,,1,0{ 141312111098765432 aaaaaaaaaaaaaa
00
11
22
33 aaaa aaaa +++
拡大体
GF(3) の2次の拡大体GF(32)の構成
(1) GF(3)の原始多項式の探索:下記の通り, は原始多項式である.
つまり, かつ, なる に対し とならない.
22 ++ xx
( ) ( )1|2 132 2
-++ -xxx 132 -<n ( ) ( )1|22 -++ nxxx
1 2 2 0 2 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 2
1 1 2 2 1 0
2 2 1 2 2 0
2 2 1 0 2 0
0 0 0 2 0 0
2 2 1 1 2 0
1 1 2 1 1 2
1 1 2 0
)
n
拡大体
GF(3) の2次の拡大体GF(32)の構成 (つづき)
(2) の根を と置いて,GF(3)を拡張する. であるから,
22 ++ xx 022 =++ bbb
1222 +=--= bbb22)12(22 23 +=++=+= bbbbbb
22)12(2)(2 24 =++=+= bbbbbbb 25 =
2)12(22 26 +=+== bbbb12)12(2)2( 27 +=++=+=+= bbbbbbbb
1)12()1( 28 =++=+=+= bbbbbbb
さらに, が全部そろっているから, となっていることがわかる. ■
)3(01 GFbbb i Î+b
},,,,,,,1,0{)3( 765432 bbbbbbb=GF
拡大体 GF(2m)の元のベクトル表現
n が,m次原始多項式
の根であったとする.ここで, はGF(2)の元
である.
n であるので,
n これを用いると, を,GF(2)の元
を係数とする の1次式
で表すことができる.
n GF(2)の要素からなるGF(2)上の係数ベクトル
をGF(2m)の元のベクトル表現と呼ぶ.
1)( 11
1 ++++= -- xfxfxxF m
mm L
0)( =aF 111
1 +++= -- aaa ff m
mm L
a
)22,,1,0( -= mi i La
011 ,,, aaam L-
011
1 aaa mm
i +++= -- aaa L
1,,,1 aa L-m
),,,( 011 aaam L-
べき表現 による展開 ベクトル表現 0123 ,,, aaaa
11 ,, -mff L
BCH符号 n を の原始元, を 以下の任意の正整数とするとき,
をすべて根として持つ,最小次数のGF(2)上の多項式を
生成多項式とする符号長 の2元巡回符号をBCH符号と呼ぶ. l はふつう1か0に選ばれる.
n 最もよく用いられるBCH符号: .このとき,生成多項式は, 2t 個の元: を根とする最小次数の多項式である.
n BCH限界:BCH符号の最小距離 は を満たす.
n BCH符号は, 符号長 情報ビット数 誤り訂正能力 となる巡回符号である.
a )2( mGF d 12 -m
21 ,,, -++ dlll aaa L
12 -= mn
12,1 +== tdlt22 ,,, aaa L
12 -= mnmtk m --³ 12
tt ³0
mind mindd £
BCH符号
n 上の多項式 の根を とすると, も根である.なぜならば, であるので, ならば, であるから.
n このように t 個の元: を根とする最小次数の多項式の次数
は mt 以下であり,それを生成多項式として使うBCH符号の検査ビット数 を mt 以下にすることができる.
)2(GF 011
1)( fxfxfxfxF ss
ss ++++= -
- L2bb
123 ,,, -taaa L
kn -
0)( =bF
[ ] ( )
)()(
)()(
)(
20
21
221
2
1010
0101
)2(2
)2(2
)1(1
)1(1
00)1()1(
11
201
11
2
xFfxfxfxfxffxff
xffxffxffxffffxffxff
fxfxfxfxF
ss
ss
ssss
ssss
ssss
ssss
ssss
ssss
ss
ss
=++++=
++
++++
+++=
++++=
--
++
+--
-+-
+--
-+-
-+---
+
--
L
L
L
L
0)( 2 =bF
BCH符号
(例) 原始多項式 (根をαとする)を用いて,m=4, t=2とする(少なくとも)2誤り訂
正能力をもつ(15,7)BCH符号を構成する.
(1) 生成多項式の構成
m1(x): αを根とする多項式 → 原始多項式そのもの:
m3(x): α3を根とする多項式: → 求め方は次スライド
生成多項式:
(2) 符号語はG(x)を使って巡回符号の場合と同様に構成する.
14 ++ xx
14 ++ xx
1234 ++++ xxxx
1)1)(1(
))(),((LCM)(
4678
234431
++++=
++++++=
=
xxxxxxxxxx
xmxmxG
BCH符号の復号
n 受信多項式 に対して, によりシンドローム を計算する.
n シンドロームがすべて0ならば,誤りなしと判定する.
n シンドロームのなかに0でないものがあるときは,シンドロームから誤り位置多
項式 を求める.
n の根 を求める.
n から, を求め,これらの位置の記号を訂正する.
n 上の復号過程がうまくいかないときは,訂正不可能な誤りが生じたと判定する.
また,訂正された結果に対して,シンドローム を計算し,すべて0になることを確
かめる.
011
1)( yxyxyxY nn +++= -
- L
)2,,2,1()( tiYS ii L== a tSSS 221 ,,, L
0)( =zs ljjj --- aaa ,,, 21 L
0)( =zs
ljjj --- aaa ,,, 21 L ljjj ,,, 21 L
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