第 2 章 符号计算

教学目标

教学重点

教学内容

教学目标

• 一是讲述 MATLAB 符号计算基本知识，包括符号对象的创建、符号数字、符号表达式的操作；

• 二是介绍符号微积分的计算；• 三是介绍符号矩阵分析和代数方程（组）

的符号解法；• 四是介绍符号计算结果的可视化。

教学重点

• 熟悉符号对象的创建、符号数字、符号表达式的操作。

• 熟悉符号微积分的基本计算函数指令。• 熟悉代数方程（组）的符号解法。• 熟悉符号计算结果可视化的的基本指令。• 了解符号计算帮助系统及其帮助指令。

教学内容

2.1 符号对象和符号表达式2.2 符号数字及表达式的操作 2.3 符号微积分2.4 微分方程的符号解法2.5 符号变换和符号卷积 2.6 符号矩阵分析和代数方程解 2.7 代数状态方程求符号传递函数 2.8 符号计算结果的可视化 2.9 符号计算资源深入利用

Matlab 的符号计算功能matlab 自产生起就在数值计算上功能卓著 , 深受各专业计算人员的欢迎 . 但由于在数学 , 物理等各种科研和工程应用中经常会遇到符号运算的问题 . 为此 , 公司于 1993 年购买了 Maple 软件的使用权 , 并在此基础上 , 开发了符号计算工具箱 (Symbolic Math Toolb

ox)matlab 从 2008b 开始与符号计算语言 MuPAD

相结合，到 2009b 止仍然支持 Maple 引擎（需单独安装 Maple 软件） 。在此版本之间输入指令 symen

gine 弹出选择 MuPAD 和 Maple 引擎的窗口。从 2010a 开始不再支持 Maple 引擎。

符号运算与数值运算的区别：符号运算中，解算数学表达式、方程时，不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式和数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。这种计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础上，所得结果是完全准确的。

符号运算 ---- 代数运算，公式推导

数值运算 --- 算术运算

代值

2.1 符号对象和符号表达式在 matlab 中 , 数值和数值变量用于数值的存储和各种数值计算 . 而符号常量 , 符号变量 , 符号函数 , 符号操作等则是用来形成符号表达式 , 严格按照代数 , 微积分等课程中的规则 , 公式进行运算 , 并尽可能给出解析表达式 .

2.1.1 符号对象的创建和衍生

● 数值计算 --- 变量先赋值 , 再使用 .● 符号计算 --- 先定义基本的符号对象 ( 可以是常量 ,变 量 , 表达式 ), 然后用这些基本符号对象去构成新的表达式 , 再进行所需的符号运算．

2.1.1 符号对象的创建和衍生

1. 生成符号对象的基本规则

① 任何基本符号对象（数字、参数、变量、表达式）都必须借助专门的符号函数指令 sym 或 syms

定义。

② 任何包含符号对象的表达式或方程，将继承符号对象的属性。即任何包含符号对象的表达式、方程也一定是符号对象。

2 符号数字的定义格式： sc=sym('num') % sc 为值为 num 的符号数

字

注意：

i) 单引号必须在英文状态下输入，构成字符串

ii) num 为一个具体的数字如：

sc=sym('2/3')

sb=sym('pi+sqrt(5)')

sc=2/3sb =pi + 5^(1/2)

2 符号数字的定义【例 2.1-1】符号（类）数字与数值（类）数字之间的差异。a=pi+sqrt(5)sa=sym('pi+sqrt(5)')Ca=class(a)Csa=class(sa)vpa(sa-a)

a = 5.3777sa = pi + 5^(1/2)Ca = doubleCsa = symans =0.00000000000000001382237584108520004859354256418

本例表现符号数字总是被准确记录和运算，而数值数字并不总能保证被准确存储，运算时会引进截断误差。

3. 基本符号变量：

定义格式：i) syms para para=sym('para') syms a; a=sym('a')

ii) syms para flag para=sym('para', 'flag') syms a positive; a=sym('a', 'positive')

flag 为参数属性：

positive---- 参数取正实数

real----- 参数为实数

unreal----- 参数为限定的复数

iii) syms a b c syms a b c flag

无逗号

符号参数（表达式中的参数） , “待解符号变量”或“自由符号变量” （表达式中的自变量 x，默认为 x ）

25sin(3) 3 0uz xz w a

4. 自由符号变量

symvar(expression) 列出表达式中所有基本符号变量symvar(expression,n) 列出表达式中认定 n个自由符号变量

expression 是符号表达式或符号表达式矩阵， x 是首选自由符号变量，认定优先次序为 x, y, w, z, v 等

解题结果是“用符号参数构成的表达式表述自由符号变量”。解题时自由符号变量可“人为指定”，也可“默认地自动认定”：与小写字母 x 的 ASII码距离最小的变量。

syms u v w z a5f=sym('3');Eq=sin(f)*u*z^2+v*z+f*w-a5;

【例 2.1-2】 用符号计算研究方程 的解。2

5sin(3) 3 0uz vz w a

symvar(Eq) % 按字母表顺序列出基本符号变量 , 无 fans =[ a5, u, v, w, z] symvar(Eq,100) % 按离 x 的距离列出所有自由符号变量ans =[ w, z, v, u, a5]result_1=solve(Eq) result_1 =a5/3 - (v*z)/3 - (u*sin(3)*z^2)/3 result_2=solve(Eq,z)result_2 = -(v - (v^2 + 4*a5*u*sin(3) - 12*u*w*sin(3))^(1/2))/(2*u*sin(3)) -(v + (v^2 + 4*a5*u*sin(3) - 12*u*w*sin(3))^(1/2))/(2*u*sin(3))

syms a b x X Yk=sym('3');z=sym('c*sqrt(d)+y*sin(t)');EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y;

【例 2.1-3】元符号表达式、衍生符号表达式定义，基本符号变量、自由符号变量的机器认定。

E3=sym('a*sqrt(theta)')

??? Error using ==> sym.sym> convertExpression at 2515 E4=sym('a*sqrt(theta1)')E5=sym(‘a*sqrt(theta*t)’) % 在 R2009b 版本中还正确??? Error using ==> sym.sym> convertExpression at 2515

symvar(EXPR)ans =[ X, Y, a, b, c, d, t, x, y] 无 k zsymvar(EXPR,10) ans =[ x, y, t, d, c, b, a, X, Y ]

4. 自由符号变量

syms a b t u v x yA=[a+b*x, sin(t)+u; x*exp(-t), log(y)+v]symvar(A,1)

A =[ a + b*x, u + sin(t)][ x/exp(t), v + log(y)]

ans = x

【例 2.1-4】 symvar 确定自由变量是对整个矩阵进行的。

2.1.2 符号计算中的算符由于新版 matlab采用了重载 (Overload)技术 , 使得用来构成符号计算表达式的算符和基本函数 ,无论在形式 ,名称 ,还是使用方法上 , 都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全相同 , 这给编程带来极大的方便 .(1) 基本运算符算符 ” +”, ”-”, ”*”, ”\”, “/”,“^” 分别构成矩阵的加 ,

减 , 乘 ,左除 ,右除 , 求幂运算 . 算符 ” .*”, “./”, “.

\”, “.^” 分别实现元素对元素的数组乘 ,除 , 求幂运算 . 算符” ' ”, “ .' ” 分别实现矩阵的共轭转置 ,非共轭转置

2.1.2 符号计算中的算符

(2) 关系运算符

在符号对象的比较中 ,没有大于 ,大于等于 ,小于 ,小于等于的概念 , 而只有是否等于的概念。 ” ==“ “~=

“ 分别用来对算符两边的对象进行相等和不等的比较 ,

返回为逻辑量。事实为真时，比较结果为 1 ，事实为假时，结果为 0.

2.1.3 符号计算中的函数指令

符号计算中的函数分成三个层次：

1.与数值类函数和指令对应的同名符号类函数和指令。

2.约 50个经典特殊函数（误差函数 erf 、贝塞尔函数besselj 、椭圆积分 ElliptiK 等），借助 mfun调用，用 mfunlist 可列出。

3.数量较大的 MuPAD库函数，借助 evalin 和 feval

调用。

(2) 指数 , 对数函数 sqrt, exp, expm 在两者中用法相同．符号计算中只有自然对数 log ，而没有数值计算中的 log2, log10

(3) 复数函数 conj, imag, real, abs 在两者中用法相同 . 但在符号

计算中没有求相角的指令 angle.

(1) 三角函数 ,双曲线函数以及他们的反函数除 atan2只能用于数值计算外 ,另外的在两种运算中使用方法相同 .

与数值类函数和指令对应的同名符号类函数和指令

(4) 矩阵代数指令在符号计算中 , matlab提供的常用矩阵代数指令有：diag, tril, inv, det, rank, eig, svd （ Singular value decomposition奇异值分解）等

与数值类函数和指令对应的同名符号类函数和指令

(5) 方程求解指令 solve ，与数值类不同。

(6) 微积分如 diff ， int ，与数值类不完全相同。

(7) 积分变换和反变换函数如 laplace ， ilaplace ，数值类只有 Fourier 变换。

(8) 绘图函数如 ezplot ， ezsurf ，数值类绘图指令更丰富。

数值计算对象 , 符号计算对象 , 字符串是 MATALB 中最常用的数据对象 .他们遵循各自不同的运算法则 , 但有时在外形上却十分相似 .MATLAB提供了一些识别不同数据对象的指令 , 常用的有 class, isa, whos

例 2.1.3-1 数据对象及其识别指令的使用(1) 生成三种不同类型的矩阵，给出不同的显示形式clear, a=1;b=2;c=3;d=4 % 产生四个数值变量

Mn=[a,b; c,d] % 利用已赋值变量构成数值矩阵

Mc='[a,b; c,d]' % 字符串中的 a,b,c,d 与前面输入的数值变量无关

Ms=sym(Mc) % 符号变量，与前面的各变量无关

2.1.4 符号对象的识别

Mn = 1 2 3 4

Mc =　　 [a,b;c,d]

Ms = [ a, b] [ c, d]

SizeMn=size(Mn), SizeMc=size(Mc), SizeMs=size(Ms)SizeMn = 2 2

SizeMc = 1 9

SizeMs = 2 2

(3) 用 class 获得每种矩阵的类别CMn=class(Mn), CMc=class(Mc), CMs=class(Ms)

CMn = double

CMc = char

CMs = sym

(4) 用 isa判断每种矩阵的类别isa(Mn,‘double’), 　　 isa(Mc,'char'), isa(Ms,'sym')

ans = 1

ans = 1

ans = 1

Mn = 1 2 3 4

Mc =　　 [a,b;c,d]

Ms = [ a, b] [ c, d]

(2) 三个矩阵的大小不同

(5) 利用 whos观察内存变量的类别和其他属性 Name Size 　 Bytes Class

Mc 1x9 18 char array Mn 2x2 32 double array Ms 2x2 312 sym object

a=0:1:6;

theta=sym('30*pi/180*a')

alfa=sym('30*pi/180')*a

theta =30*pi/180*a

alfa =[ 0, 1/6*pi, 1/3*pi, 1/2*pi, 2/3*pi, 5/6*pi, pi]

a 与数组 a无关

whos P26 Name Size Bytes Class

ans 1x1 8 double t 1x201 1608 double y 1x201 1608 double

2.1.5 符号运算机理和变量假设

1. 符号运算的工作机理 Matlab 借助 sym 或 syms 定义符号变量时，启动M

uPAD 引擎并启动一个专供MuPAD 使用的内存工作空间执行符号运算；

matlab 内存空间只保存该符号变量和计算结果。该定义变量的限定性假设（ assumption ）被保存在

MuPAD 的内存空间。若变量不带限定性假设，则 MuPAD默认为复数。

2.1.5 符号运算机理和变量假设2. 对符号变量的限定性假设

i) syms x para=sym('x')

ii) syms x flag para=sym('x', 'flag') syms a positive; a=sym('a', 'positive')

iii) syms a b c syms a b c flag

flag 为参数属性：

positive---- 参数取正实数

real----- 参数为实数

unreal----- 参数为限定的复数

2.1.5 符号运算机理和变量假设3. 清除变量和撤销假设

符号变量和其假设存放在不同的内存空间，因此删除符号变量和撤销关于变量的假设是两件需要分别处理的事情。 clear all 可同时删除

clear x 删除matlab 内存中的 x 变量syms x clear 撤销MuPAD 内存中对变量 x 的假设evalin(symengine,'getprop(x) ') 获取 x 的限定性假设 evalin(symengine,'anames (Properties)') 列出 MuPAD 内存中带限定性假设的符号变量reset(symengine) 重启MuPAD 引擎，清空MuPAD 内存

clear all 删除matlab 及 MuPAD 内存中的所有变量

【例 2.1-6】 syms 对符号变量限定性假设的影响

syms x clearf=x^3+4.75*x+2.5;rf=solve(f,x)rf = -1/2 1/4 - (79^(1/2)*i)/4 (79^(1/2)*i)/4 + 1/4 evalin(symengine,'getprop(x)') ans =C_

syms x realrfr=solve(f,x) rfr =-1/2 evalin(symengine,'getprop(x)') ans =R_

clear xsyms xg=x^2+x+5;rg=solve(g,x)Warning: Explicit solution could not be found. > In solve at 98

rg =[ empty sym ]

evalin(symengine,'anames(Properties)') ans =x

syms x clearrg=solve(g,x) rg = - (19^(1/2)*i)/2 - 1/2 (19^(1/2)*i)/2 - 1/2

reset(symengine)clear all

2.1.6 符号帮助体系 Matlab 符号指令帮助系统与 2008 年前不同，因为用

MuPAD取代 maple 作为符号计算的内核。

help SymNamehelpwin SymNamedoc SymNamedoc mfunlistdoc(symengine)

2.1.6 符号帮助体系 Matlab 符号指令帮助系统与 2008 年前不同，因为用

MuPAD取代 maple 作为符号计算的内核。

help SymNamehelpwin SymNamedocsearch laplacedoc mfunlistdoc(symengine)

2.1.6 符号帮助体系 Matlab 符号指令帮助系统与 2008 年前不同，因为用

MuPAD取代 maple 作为符号计算的内核。

help SymNamehelpwin SymNamedocsearch laplacedoc mfunlistdoc(symengine)

开启MuPAD帮助浏览器。

2.2 符号数字及表达式的操作2.2.1双精度数字与符号数字之间的转换

sym(num, ‘r’) % “有理分数”表达的符号数字 : p/q, n^(p/q)

sym(num) % sym(num, ‘r’) 的简写形式

1. 双精度数字向符号数字的转换

( 52 )[2 2 ]e eN

*2N esym(num, ‘f’) % 以数值 表示“浮点数”， N, e 为整数

sym(1/10,'f') is 3602879701896397/36028797018963968

sym(num, ‘e’) % “有理分数”表达 +机器实际浮点表达误差 e

sym(3*pi/4,'e') is 3*pi/4 - 103*eps/249

sym(num, ‘d’) %十进制小数近似表示，有效数字位数受 digits 指令控制。默认为 digits(32)情况 .

2.2.1双精度数字与符号数字之间的转换

sym(num) % sym(num, ‘r’) 的简写形式sym(‘num’) % ‘num’ 是字符串数字

1. 双精度数字向符号数字的转换

sym(‘num’) 中‘ num’ 用作符号计算函数的输入时，体现其理论真值，对 sym(num) 中的 num 用作符号计算函数的输入时，体现其字面数子的双精度近似。

2.2.1双精度数字与符号数字之间的转换

double(num_sym) % 把符号数字转换为双精度数字

2. 符号数字向双精度数字转换

注意： double(‘num’) 把字符串数字转换为字符的 ASCII码

double(‘0.1’)ans = 48 46 49

f=sym('10/3')

Df=double(f)class(Df)

Df = 3.3333ans = double

digits 显示当前环境下符号数字“十进制浮点” 表示的有效数字位数；

digits(n) 设定 “十进制浮点”表示的有效数字位数； xs=vpa(x) 据表达式 x 得到 digits 指定精度下的符号数字 xs xs=vpa(x,n) 据表达式 x 得到 n位有效数字的符号数字 xs

2.2.2 符号数字的任意精度表达形式

数值计算与符号计算的最重要区别：数值计算存在截断误差，且在计算中不断传播，产生累计误差；符号计算完全准确，没有累计误差，但降低计算速度，增加内存。为兼顾精度和速度，采用“变精度”算法。

reset(symengine) sa=sym('1/3+sqrt(2)') sa =2^(1/2) + 1/3 digits Digits = 32 format longa=1/3+sqrt(2)sa_Plus_a=vpa(sa+a,20)sa_Minus_a=vpa(sa-a,20)a = 1.747546895706428sa_Plus_a =3.4950937914128567869sa_Minus_a =-0.000000000000000022658064826339973669

例 2.2-1 digits, vpa, symengine指令演示sa32=vpa(sa)digits(48)sa5=vpa(sa,5)sa48=vpa(sa)sa32 =1.747546895706428382135022057543sa5 =1.7475sa48 =1.747546895706428382135022057543

03141190300520871

2.2.3 符号表达式的基本操作collect 合并同类项 numden 获取最小公分母和相应分子expand 展开指定项 simplify 简化表达式，消除冗余项factor 因式分解 simple 搜索寻找最简表达horner 转换为嵌套形式 pretty 习惯方式显示

syms x;

f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);

g1=simple(f)

g1 =((2*x + 1)^3/x^3)^(1/3)

验证 :

f2=g1^3f2 =(2*x + 1)^3/x^3expand(f2)ans =12/x + 6/x^2 + 1/x^3 + 8

例 2.2-2 简化

3 261 123 8xx x

f

2.2.4 表达式中的置换操作1. 公共子表达式法简化表达 RS=subexpr(S); RS=subexpr(S,’w’); [RS,w]=subexpr(S,’w’) 其中， w 为 MATLAB 自动寻找的子表达式

syms a b c d W;[V,D]=eig([a,b;c,d]);[RVD,W]=subexpr([V;D],W)

【例 2.2-3】 对符号矩阵 进行特征向量分解。a bA c d

RVD = [ (a/2 + d/2 - w/2)/c - d/c, (a/2 + d/2 + w/2)/c - d/c] [ 1, 1] [ a/2 + d/2 - w/2, 0] [ 0, a/2 + d/2 + w/2]w =(a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)

V =[(a/2+d/2-(a^2-2*a*d+d^2+4*b*c)^(1/2)/2)/c-d/c, (a/2+d/2+(a^2-2*a*d+ d^2+4*b*c)^(1/2)/2)/c-d/c][ 1, 1]D =[a/2 + d/2 - (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2, 0][ 0, a/2 + d/2 + (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2]

2.2.4 表达式中的置换操作2. 通用置换指令• RES ＝ subs(ES,old,new)• RES ＝ subs(ES,new)例 2.2-4 subs置换规则示例

clearsyms a b x;f=a*sin(x)+b f1=subs(f,sin(x),'log(y)')f2=subs(f,a,3.11)f3=subs(f,{a,b,x},{2,5,sym('pi/3')})class(f3)

f1=a* log(y) +b f2 =b + (311*sin(x))/100f3 =3^(1/2) + 5ans =sym

(5)例 2.2-4 subs置换规则示例

format %设为默认输出格式显示format compactf4=subs(f,{a,b,x},{2,5,pi/3})class(f4) f4 = 6.7321ans =double f5=subs(f,x,0:pi/2:pi)class(f5)f5 =[ b, a + b, b]ans =sym t=0:pi/10:2*pi;f6=subs(f,{a,b,x},{2,3,t})plot(t,f6)

0 1 2 3 4 5 6 71

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

k=(0.5:0.1:1)';f6=subs(subs(f,{a,b},{k,2}),x,t);size(f6) plot(t,f6) ans = 6 21

0 1 2 3 4 5 6 71

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

f6=2*sin(t)+3

f=a*sin(x)+b

符号限定假设对方程根不起作用。

Matlab6.5 版本上机问题

findsym(expression,n) 当 n大于实际的基本变量数目时，按字母表顺序列出所有本符号变量；当 n小于等于时，按与 x距离顺序列出。symvar(expression,n) 多一个参数 n 在 Matlab6.5 中不能用

syms x clearf=x^3+4.75*x+2.5;rf=solve(f,x)rf = -1/2 1/4 - (79^(1/2)*i)/4 (79^(1/2)*i)/4 + 1/4

syms x realrfr=solve(f,x) rfr =-1/2 evalin(symengine,'getprop(x)') ans =R_ evalin(symengine,'anames(Properties)')

调用 word 问题。指令的输入、编写用 M文件编辑器。习题 2 (Page114) 除了第 3 题不能得到实根、正根外， 1~12 题 , 23~25 题都可做，只是 4 题结果在差值有效数字上与 2010 版本有差别 , 7 题不能得到最简结果 ,9 题结果 6.5 版本错误 , 。

单周上机，鞋套带上。 clear all; clear mex syms x unreal

通用置换指令• RES ＝ subs(ES,old,new)• RES ＝ subs(ES,new)

digits(n) 设定 “十进制浮点”表示的有效数字位数； xs=vpa(x,n) 据表达式 x 得到 n位有效数字的符号数字 xs

double(num_sym) % 把符号数字转换为双精度数字

sym(num) %双精度数字转符号数字 sym(num, ‘r’) 的简写形式sym(‘num’) % 定义符号数字， ‘ num’ 是字符串数字

syms x flag para=sym('x', 'flag') syms a positive; a=sym('a', 'positive')

review

dfdvn=diff(f,v,n) 求fjac=jacobian(f,v) 求多元向量函数 f(v) 的 jacobian 矩阵

r=taylor(f,n,v,a) 把 f(v) 在 v=a 处进行泰勒展开

2.3 符号微积分2.3.1 极限和导数的符号计算

limit(f,v,a) 求极限limit(f,v,a,’right’) 求右极限limit(f,v,a,’left’) 求左极限

)(lim vfav

)(lim vfav

)(lim vfav

n

n

dv

vfd )(

( )1

0

( )( )

!

knk

k

f ax a

k

【例 2.3-1 】试求kx

x x

11lim

syms x k

f=(1-1/x)^(k*x);

Lf=limit(f,x,inf)

Lf =1/exp(k)

Lf1=vpa(subs(Lf,k,sym('-1')),48)

Lf1=2.7182818284590452353602874713526624977572470937

syms a t x

f=[a, t^3; t*cos(x), log(x)];

df=diff(f)

dfdt2=diff(f,t,2)

dfdxdt=diff( diff(f,x) ,t)

xxt

taf

lncos

3

dx

df2

2

dt

fd

dtdx

fd 2

【例 2.3-2 】 求

df =[ 0, 0] [-t*sin(x), 1/x]

dfdt2 =[ 0, 6*t] [ 0, 0]

dfdxdt =[ 0, 0] [ -sin(x), 0]

例 2.3-5:设 cos(x+siny)=siny, 求 dy/dx(隐函数求导 ).

% 将 dy/dx 表达式用 x,y 表达

syms xg=sym('cos(x+sin(y(x)))=sin(y(x))')dgdx=diff(g,x) g =cos(x + sin(y(x))) = sin(y(x))dgdx = -sin(x + sin(y(x)))*(cos(y(x))*diff(y(x), x) + 1) = cos(y

(x))*diff(y(x), x) dgdx1=subs(dgdx,'diff(y(x),x)','dydx')dgdx1 =-sin(x + sin(y(x)))*(dydx*cos(y(x)) + 1) = dyd

x*cos(y(x)) dydx=solve(dgdx1, 'dydx') dydx =-sin(x + sin(y(x)))/(cos(y(x)) + cos(y(x))*sin(x

+ sin(y(x))))

sym xr=taylor(x*exp(x),9,x,0)pretty(r)

例 2.3-6: 求 f(x)=xex 在 x=0处展开的 8阶Maclaurin级数，即忽略 9阶及以上小量的泰勒级数展开 。

r =x^8/5040 + x^7/720 + x^6/120 + x^5/24 + x^4/6 + x^3/2 + x^2 + x 8 7 6 5 4 3 x x x x x x 2 ----- + --- + --- + -- + -- + -- + x + x 5040 720 120 24 6 2

MATLAB 求解通式求和 问题的指令为：• s=symsum(f,v,a,b) 求通式 f 在指定变量 v取遍 [a,b] 中所有整数时的和。

2.3.2 序列 /级数的符号求和( )

b

v a

f v

说明：

（ 1 ） f 是矩阵时，求和对逐个元素进行，但自变量定义在整个矩阵上。

（ 2 ） v省缺时， f 中的自变量由 findsym （ symvar ）自动辨认； b 可以取有限整数也可以取无穷大。

（ 3 ） a ， b同时省缺时，默认的自变量求和区间为 [0,v-1]

syms n k

f1=1/(k*(k+1));

s1=symsum(f1,k,1,n)

s1 =1 - 1/(n + 1)

1

1

( 1)

n

k k k

1

2

)1(,

)12(

1

k

k

kk 【例 2.3-8 】求 ， 。

f2=[1/(2*k-1)^2, (-1)^k/k ]s2=symsum(f2,1,inf)

s3 =[ pi^2/8, -log(2)]

2.3.3 符号积分

【例 2.3-9 】求 。lnx xdx

• intf=int(f,v) 给出 f 对指定变量 v 的不定积分

• intf=int(f,v,a,b) 给出 f 对指定变量 v 的定积分

syms xf= x*log(x) s=int(f,x)s=simple(s)

f = x*log(x)s = (x^2*(log(x) - 1/2))/2s = x^2*(log(x)/2 - 1/4)

2.3.3 符号积分• intf=int(f,v) 给出 f 对指定变量 v 的不定积分• intf=int(f,v,a,b) 给出 f 对指定变量 v 的定积分

syms a b x;f2=[a*x, b*x^2; 1/x, sin(x)]disp('The integral of f is')pretty(int(f2))

【例 2.3-10 】求 。2

1sin

ax bxdx

xx

The integral of f is +- -+ | 2 3 | | a x b x | | ---- , ---- | | 2 3 | | | | log(x), -cos(x) | +- -+

f2 =[ a*x, b*x^2][ 1/x, sin(x)]

例 2.3-11求积分

syms x y z;

f=x^2+y^2+z^2;

F2=int(int(int(f, z, sqrt(x*y), x^2*y), y, sqrt(x), x^2), x, 1, 2)第一重积分

第二重积分

2 22 2 2 2

1( )

x x y

x xyx y z dzdydx

Warning: Explicit integral could not be found. F2 =(14912*2^(1/4))/4641 - (6072064*2^(1/2))/348075 +

(64*2^(3/4))/225 + 1610027357/6563700

VF2=vpa(F2) %默认 32位有效数字 VF2 =224.92153573331143159790710032805

教材中 48位有效数字

2 2cos , sin , ( ' ) ( ' )x r y r dl x y d syms a r theta phi r=a*theta; x=r*cos(theta); y=r*sin(theta); dLdth=sqrt(diff(x,theta)^2+diff(y,theta)^2);L=simple(int(dLdth,theta,0,phi))

例 2.3-12 求阿基米德螺线 r=a*θ(a>0)在 θ=0到 间的曲线长度函数，并求出 a=1, 时的曲线长度。

2

2 2

0( ' ) ( ' )L x y d

解 :

L_2pi=subs(L,[a,phi],sym('[1,2*pi]')) L_2pi_vpa=vpa(L_2pi)

L =(phi*(a^2*phi^2 + a^2)^(1/2) + log(phi + (phi^2 + 1)^(1/2))*(a^2)^(1/2))/2

L_2pi_vpa =21.256294148209098800702512272566

例2.3-12 画阿基米德螺线 r = a*θ 及其曲线长度图形。cos , sinx r y r

L1=subs(L,a,sym('1'));ezplot(L1*cos(phi),L1*sin(phi),[0,2*pi])grid on; hold onx1=subs(x,a,sym('1'));y1=subs(y,a,sym('1'));h1=ezplot(x1,y1,[0,2*pi]);set(h1,'Color','r','LineWidth',5) title(' '); legend('螺线长度 -幅角曲线 ','阿基米德螺线 ')hold off

L =(phi*(a^2*phi^2 + a^2)^(1/2) + log(phi + (phi^2 + 1)^(1/2))*(a^2)^(1/2))/2

-5 0 5 10 15 20-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

x

y

x = cos() (log( + (2 + 1)1/2)/2 + ( (2 + 1)1/2)/2), y = sin() (log( + (2 + 1)1/2)/2 + ( (2 + 1)1/2)/2)

见 P198

2.4 微分方程的符号解法

S=dslove(‘eq1,eq2,…,eqn’, ’cond1,cond2,…,condn’,’v’)

2.4.1 符号解法和数值解法有互补作用

2.4.2 求微分方程符号解的一般指令

从数值计算角度看，微分方程边值问题的求解比初值问题复杂困难；而对符号计算来说，边值问题和初值问题的求解微分方程的指令形式相同且简单，不过计算时间较长且未必有封闭形式解。

S=dslove(‘eq1’,’eq2’,…,’eqn’,’cond1’,‘cond2’,…,’condn’,’v’)

默认独立变量 t输入量为字符串 必选 可选

条件： y(a)=b, Dy(c)=d

若应变量为 y “，用 Dny” “表示 y的 n” 阶导数 ， Dy为一阶导数。解在 S.y

中。

说明：（ 1）输入量包括三部分：微分方程、初始条件、

指定独立变量（不指定时，默认为 t ）。输入量必须以字符串的形式给出。

（ 2）微分方程的记述规定：当 y是应变量时， 用“ Dny”表示“ y的 n阶导数”。（ 3）关于初始条件或边界条件的规定：应写成 y(a)=b, Dy(c)=d等。

（ 4）如果 y是应变量，则它的解在 S.y中。

【例 2.4-1 】求 的解。dx

dtydy

dtx ,

2.4.3 微分方程符号解示例

clearS=dsolve('Dx=y,Dy=-x') disp([' 微分方程的解 ', blanks(2),'x',blanks(22),'y'])disp([S.x,S.y])

S = x: [1x1 sym] y: [1x1 sym]微分方程的解 x y [ C2*cos(t) + C1*sin(t), C1*cos(t) - C2*sin(t)]

写微分方程遵循原则：导数在前函数在后，导数阶数降阶

[x, y]= dsolve('Dx=y,Dy=-x') % 按字母表输出顺序不变

例 2.4-2. 图示微分方程 y=xy'-(y')2 通解和奇解的关系clear ally=dsolve('(Dy)^2-x*Dy+y=0','x')y = x^2/4 C3*x - C3^2 clf, hold onhy1=ezplot(y(1),[-6,6,-4,8],1);set(hy1,'Color','r','LineWidth',5)for k=-2:0.5:2 y2=subs(y(2),'C3',k);

ezplot(y2,[-6,6,-4,8],1)endhold off;box onlegend('奇解 ',' 通解 ','Location','Best')ylabel('y')title(['\fontsize{14} 微分方程 ',' (y '')^2 – xy '' + y = 0 ',' 的解 '])

见 P199

例2.4-3.求解两点边值问题 : xy’’-3y’=x2,y(1)=0,y(5)=0

y=dsolve('x*D2y-3*Dy=x^2','y(1)=0,y(5)=0','x')

y =(31*x^4)/468 - x^3/3 + 125/468

ezplot(y,[-1,6])

hold on

plot([1,5],[0,0],'.r','MarkerSize',20)

text(1,1,'y(1)=0')

text(4,1,'y(5)=0')

title(['x*D2y-3*Dy=x^2',', y(1)=0,y(5)=0'])

hold off

2.5 符号变换和符号卷积2.5.1 Fourier 变换及其反变换• Fw=fourier(ft,t,w) 求“时域”函数 ft 的 Fourier 变换• ft=ifourier(Fw,w,t) 求“频域”函数 Fw 的 Fourier

反变换

2.5.2 Laplace 变换及其反变换• Fs=laplace(ft,t,s) 求“时域”函数 ft 的 Laplace 变换• ft=ilaplace(Fs,s,t) 求“频域”函数 Fs 的 Laplace

反变换

2.5.3 Z 变换及其反变换• FZ=ztrans(ft,n,z) 求“时域”序列 ft 的 Z 变

换

• fn=itrans(FZ,z,n) 求“频域”序列 FZ 的 Z反变换

2.5.4 符号卷积

利用拉氏变换求取。

【例 2.5-1 】求 的 Fourier 变换。0

0

0

1)(

t

ttf

（ 1 ）求 Fourier 变换syms t wut=heaviside(t);UT=fourier(ut) UT = pi*dirac(w)-i/w （ 2 ）求 Fourier 反变

换Ut=ifourier(UT,w,t) Ut =heaviside(t)

plot(t(kk),ut(kk),'.r','MarkerSize',30)ut(kk)=NaN; hold onplot(t,ut,'-r','LineWidth',3)plot([t(kk),t(kk)],[ut(kk-1), ut(kk+1)],'o

r','MarkerSize',10)hold offgrid onaxis([-2,2,-0.2,1.2])xlabel('\fontsize{14}t'),ylabel('\fontsize

{14}ut')title('\fontsize{14}Heaviside(t)')

（ 3 ）单位阶跃曲线t=-2:0.01:2;ut=heaviside(t);kk=find(t==0);

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

ut

Heaviside(t)

【例 2.5-4 】求 的 Laplace 变换。

>> syms t s; syms a b positive; % 不限定无结果>> Dt=dirac(t-a);

>> Ut=heaviside(t-b);

>> Mt=[Dt,Ut;exp(-a*t)*sin(b*t),t^2*exp(-t)];

>> MS=laplace(Mt,t,s)

MS =

[ exp(-s*a), exp(-s*b)/s]

[ 1/b/((s+a)^2/b^2+1), 2/(s+1)^3]

tat etbte

btuat2sin

)()(

dfdvn=diff(f,v,n) 求r=taylor(f,n,v,a) 把 f(v) 在 v=a 处进行泰勒展开

review2.3.1 极限和导数的符号计算

limit(f,v,a) 求极限limit(f,v,a,’right’) 求右极限limit(f,v,a,’left’) 求左极限

)(lim vfav

)(lim vfav

)(lim vfav

n

n

dv

vfd )(

2.3.2 序列 /级数的符号求和 ( )b

v a

f v

s=symsum(f,v,a,b)

S=dslove(‘eq1,eq2,…,eqn’, ’cond1,cond2,…,condn’,’v’)

2.4.2 求微分方程符号解的一般指令

S=dslove(‘eq1’,’eq2’,…,’eqn’,’cond1’,‘cond2’,…,’condn’,’v’)

默认独立变量 t输入量为字符串 必选 可选

条件： y(a)=b, Dy(c)=d

若应变量为 y “，用 Dny” “表示 y的 n” 阶导数 ， Dy为一阶导数。解在 S.y

中。

review

• intf=int(f,v) 给出 f 对指定变量 v 的不定积分

• intf=int(f,v,a,b) 给出 f 对指定变量 v 的定积分

2.3.3 符号积分

例 2.4-2. 图示微分方程 y=xy'-(y')2 通解和奇解的关系

clear ally=dsolve('(Dy)^2-x*Dy+y=0','x')clf, hold onhy1=ezplot(y(1),[-6,6,-4,8],1);set(hy1,'Color','r','LineWidth',5)for k=-2:0.5:2 y2=subs(y(2),'C3',k);

ezplot(y2,[-6,6,-4,8],1)endhold off;box onlegend(‘奇解’ ,‘ 通解’ ,‘Location’,‘Best’) % 参数的设置有多种ylabel('y')title(['\fontsize{14} 微分方程 ',' (y '')^2 – xy '' + y = 0 ',' 的解 '])legend('奇解 ',' 通解 ','Location','northwest')legend('奇解 ',' 通解 ','Location', [0.4,0.6,0.3,0.1]')

legend(...,'Location','location') location can be either a 1-by-4 position vector ([left bottom width height]) or one of the following strings.

见 P199

docsearch legend Location % 通过帮助指令获取参数

Specifier Location in AxesNorth Inside plot box near topSouth Inside bottomEast Inside rightWest Inside leftNorthEast Inside top right (default for 2-D plots)NorthWest Inside top leftSouthEast Inside bottom rightSouthWest Inside bottom leftNorthOutside Outside plot box near topSouthOutside Outside bottomEastOutside Outside rightWestOutside Outside leftNorthEastOutside Outside top right (default for 3-D plots)NorthWestOutside Outside top leftSouthEastOutside Outside bottom rightSouthWestOutside Outside bottom leftBest Least conflict with data in plotBestOutside Least unused space outside plot

2.6 符号矩阵分析和代数方程的解2.6.1 符号矩阵分析最常用的矩阵分析指令如下：• det(A)• diag(A)• [V,D]=eig(A)• expm(A) 矩阵指数函数 e^A• inv(A)• [V,J]=jordan(A) Jordan 分解，使 AV=VJ• poly(A)• rank(A)

2.6.1 符号矩阵分析

syms a11 a12 a21 a22A=[a11, a12; a21, a22]DA=det(A)IA=inv(A)A =[ a11, a12] [ a21, a22]DA =a11*a22 - a12*a21IA =[ a22/(a11*a22 - a12*a21), -a12/(a11*a22 - a12*a21)] [ -a21/(a11*a22 - a12*a21), a11/(a11*a22 - a12*a21)] EA=subexpr(eig(A),'D') D = (a11^2 - 2*a11*a22 + a22^2 + 4*a12*a21)^(1/2)EA = a11/2 + a22/2 - D/2 a11/2 + a22/2 + D/2

】例 2.6-1【求矩阵 的行列式、逆和特征根。 11 12

21 22

a aA a a

例 2.6-2 Givens 旋转 对矩阵

( 两点 ) 的旋转作用 .

tt

ttG cossinsincos

2/32/12/12/3A

解 : syms t; A=sym([sqrt(3)/2,1/2;1/2,sqrt(3)/2]); % 符号变量G=[cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)]; GA=G*AAn=subs(GA,t,110/180*pi); %旋转后数值阵Op=[0;0]; Ad=double(A); %旋转前数值阵

v1=[Op,Ad(:,1)]', v2=[Op,Ad(:,2)]' %旋转前各点与坐标原点相连直线阵

u1=[Op,An(:,1)]', u2=[Op,An(:,2)]' %旋转后plot(v1(:,1),v1(:,2),'--k',v2(:,1),v2(:,2),'b'), hold onhu=plot(u1(:,1),u1(:,2),'--k',u2(:,1),u2(:,2),'b')set(hu,'LineWidth',4)Lstr=['旋转前的 v1';'旋转前的 v2';'旋转后的 u1';'旋转后的 u2']; legend(Lstr,'Location','South')axis([-1,1,-1,1]), axis square, hold off, grid on

cos sinsin cos

X x t y tY x t y t

2.6.2 线性方程组的符号解（参考 4.2节）矩阵计算是求解线性方程组最简单有效的方法 , 在

matlab 中 , 不管数据对象是数值还是符号 ,实现矩阵运算的指令形式几乎完全相同 .

A=sym([1,1/2,1/2 , -1; 1, 1, -1,1; 1, -1/4, -1,1; -8, -1, 1, 1]);b=sym([0; 10; 0; 1])x=A\b

2 210

4- -8 1

n pd q

n d q pn

q d p

q p n d

】例 2.6-3【求线性方程组的解。

X = 1 8 8 9

A=[1,1/2,1/2 , -1; 1, 1, -1,1; 1, -1/4, -1,1; -8, -1, 1, 1];b=[0; 10; 0; 1];x=A\b

X=1.0000 8.0000 8.0000 9.0000

2.6.3 一般代数方程组的解 一般代数方程包括线性 ( Linear )、非线性 ( Nonlinear )和超越方程 ( Transcendental equation ) 等。

S =solve('eq1','eq2',...,'eqN','v1','v2',...'vn') ( 推荐 )

S =solve(exp1, exp2,..., expN, v1, v2,... vn) ( 可用 )

只能是符号表达式 符号变量2 2

10

4- -8 1

n pd q

n d q pn

q d p

q p n d

】例 2.6-3【求线性方程组的解。syms d n p q eq1= d+n/2+p/2-q ; eq2= d+n-p+q-10 ; eq3= d-n/4-p+q ; eq4= -8*d-n+p+q-1 ; S=solve(eq1,eq2,eq3,eq4, d , n , p , q );disp([' d',' n',' p',' q'])disp([S.d,S.n,S.p,S.q])

d n p q[ 1, 8, 8, 9]

不是符号变量

2.6.3 一般代数方程组的解

2 210

4- -8 1

n pd q

n d q pn

q d p

q p n d

】例 2.6-3【求线性方程组的解。

eq1=sym('d+n/2+p/2-q');eq2=sym('d+n-p+q-10');eq3=sym('d-n/4-p+q');eq4=sym('-8*d-n+p+q-1');S=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,'d','n','p','q');disp([' d',' n',' p',' q'])disp([S.d,S.n,S.p,S.q])

d n p q[ 1, 8, 8, 9]

S=solve('u*y^2+v*z+w=0','y+z+w=0', 'z', 'y')S=solve('u*y^2+v*z+w','y+z+w', 'z,y')syms y z u v w; S=solve(u*y^2+v*z+w,y+z+w, z,y)[y, z]=solve(‘u*y^2+v*z+w’,‘y+z+w’, ‘z,y’) % 按字母表输出顺序不变

】例 2.6-4【求方程组 关于 y, z 的解。 ^ 2 00

uy vz wy z w

S=solve('u*y^2+v*z+w=0','y+z+w=0','y','z')disp('S.y'), disp(S.y), disp('S.z'), disp(S.z) S = y: [2x1 sym] z: [2x1 sym]S.y (v + 2*u*w + (v^2 + 4*u*w*v - 4*u*w)^(1/2))/(2*u) - w (v + 2*u*w - (v^2 + 4*u*w*v - 4*u*w)^(1/2))/(2*u) - wS.z -(v + 2*u*w + (v^2 + 4*u*w*v - 4*u*w)^(1/2))/(2*u) -(v + 2*u*w - (v^2 + 4*u*w*v - 4*u*w)^(1/2))/(2*u)

不能是等式其他形式：

例 2.6-5 求欠定方程的解。2 2

10

4

n pd q

n d q pn

q d p

syms d n p qeq1=d+n/2+p/2-q;eq2=n+d+q-p-10;eq3=q+d-n/4-p;S=solve(eq1,eq2,eq3,d,n,p,q)disp([' S.d',' S.n',' S.p',' S.q'])disp([S.d,S.n,S.p,S.q]) S = d: [1x1 sym]

n: [1x1 sym] p: [1x1 sym] q: [1x1 sym] S.d S.n S.p S.q[z/3 - 2, 8, (4*z)/3 - 4, z ]

例 2.6-5 求欠定方程的解

pn

dqpqdnqpn

d 4

,10,22

解 : syms d n p q eq1=d+n/2+p/2-q; eq2=n+d+q-p-10; eq3=q+d-n/4-p; S=solve(eq1,eq2,eq3) disp([' S.n',' S.p',' S.q']) disp([S.n,S.p,S.q])说明 : 解中自由变量选择规则 : 方程中所有变量按排序最前的变量作为自由变量 .

S = n: [1x1 sym] p: [1x1 sym] q: [1x1 sym]S.n S.p S.q[8, 4*d+4, 3*d+6]

例 2.6-6 求 (x+2)x=2 的解syms x;

s=solve('(x+2)^x=2', 'x')

xs=(s(1)+2)^s(1)

s = 0.69829942170241042826920133106081xs = 2.0

s 是 MuPAD 格式的矩阵，尽管只有一个元素。在 MuPAD 中，标量不能与矩阵相加，并且矩阵的指数矩阵没有定义。所以 xs=(s+2)^s 格式会出错。在 matlab 中是

2.7. 代数状态方程求符号传递函数

2.7.1 结构框图的代数状态方程解法

2.8 符号计算结果的可视化

符号计算结果的可视化两条途径：1. 利用符号表达式直接绘图2. 转换成数值数据，利用数值绘图指令绘图。

2.8.1 直接可视化符号表达式Maltlab有一组专门实现函数可视化的指令 , 例 ezplot,冠以 "ez"字头的指令为函数绘图 (ez意为简易Easy to)

常用简捷作图指令见表 2.8-1

2.8 符号计算结果的可视化2.8.1 直接可视化符号表达式 (ez意为简易Easy to)

指令名 含 义 可执行实例ezcontour 画等位线 ezcontour('cos(x+sin(y))-sin(y)')

ezcontourf 画填色等位线 ezcontourf('sin(x)*sin(y)')

ezmesh 画网线图 ezmesh('exp(-s)*cos(t)','exp(-s)*sin(t)','t',[0,8,0,4*pi])

ezmeshc 画带等位线的网线图 ezmeshc('y/(1+x^2+y^2)',[-5,5,-2*pi,2*pi])

ezplot 画二维曲线 ezplot('1/y-log(y)+log(-1+y)+x-1')

ezplot3 画三维曲线 ezplot3('sin(3*t)*cos(t)','sin(3*t)*sin(t)','t','animate')

ezpolar 画极坐标曲线 ezpolar('sin(tan(t))')ezsurf 画曲面图 ezsurf('(x+8)*((y)^2/((x+8)^2+(y)^4+eps))','circ')

ezsurfc 画带等位线的曲面图 ezsurfc('sin(x)*sin(y)')

1. 单独立变量符号函数的可视化2.8.1 直接可视化符号表达式

ezplot(Fx) — 在 x=[-2 2]*pi内绘制 f(x)的函数图ezplot(Fx,[xmin,xmax,ymin,ymax]) — 给定区间绘 y=f(x) 图形ezplot(Fxy,[xmin,xmax,ymin,ymax],fig) — 指定绘图窗口给定区间绘 f(x,y)=0 图形ezplot(xt,yt,[tmin,tmax]) — 给定区间绘 x=x(t),y=y(t) 图形ezplot(xt,yt, zt,[tmin,tmax])

— 给定区间绘 x=x(t),y=y(t),z=x(t)三维曲形 Fx, Fxy,xt,yt,zt 可以是字符表达式 , 符号函数 , 内联函

数 ,匿名函数句柄 ,函数 M文件句柄 .注意 : plot(x, y) %x,y为数值型数组

tt

dttytstey0

2 .]4,0[)()(2

3cos

3

2 的图形在和它的积分绘制

例 2.8-1 ：

syms t tao;

y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);

sint=int(y,t,0,tao);

s=subs(sint,tao,t)

subplot(2,1,1),ezplot(y,[0,4*pi]);grid on

subplot(2,1, 2),ezplot(s,[0,4*pi]);grid on

title('s= \int y(t)dt')

0 2 4 6 8 10 12-0.2

0

0.2

0.4

0.6

t

(2 cos((31/2 t)/2))/(3 exp(t/2))

0 2 4 6 8 10 12

0.2

0.3

0.4

0.5

t

s = y(t)dt

见 P199

2. 双独立变量符号函数的可视化ezsurf(Fxy) 绘制由表达式 f(x,y) 定义的表面图，自变量

x 和 y 的变化范围为 [-2π,2π] ；ezsurf(Fxy,domain) 绘制由表达式 f(x,y) 定义的表面图，

自变量 x 和 y 的变化范围由 domain 确定， domain可以是 [xmin,xmax,ymin,ymax] ，也可是 [min,max] ，此时， min<x<max,min<y<max 。

ezsurf(x,y,z) 绘制由表达式 x=x(s,t),y=y(s,t) 和 z=z(s,t) 定义的表面图 , 自变量 s 和 t 的变化范围均为 [-2π,2π]

ezsurf(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax]) ；ezsurf(…,ngrid) 绘表面图时按 n×n 的网格密度绘图， n

grid 的缺省值为 60 ；ezsurf(…,’circ’) 以圆盘为自变量域绘制表面图，

2. 双独立变量符号函数的可视化【例 2.8-2 】使用球坐标参量画部分球壳。clfx='cos(s)*cos(t)';y='cos(s)*sin(t)'; z='sin(s)';ezsurf(x,y,z,[0,pi/2,0,3*pi/2])view(17,40)shading interpcolormap(spring)light('position',[0,0,-10],'style','local')light('position',[-1,-0.5,2],'style','local')material([0.5,0.5,0.5,10,0.3])

2.8.2 符号计算结果的数值化绘图【例 2.8-3 】符号求函数 的积分，用 p

lot 指令绘制函数极其积分函数的曲线；对反函数积分的两种算法进行可视化比较。

2( ) 1

1 xy f x

e

clear; syms x y realfx=1-2/(1+exp(x)); fxint=int(fx,x,0,x)

xk=0:0.1:2;fxk=subs(fx,x,xk);fxintk=subs(fxint,x,xk);plot(xk,fxk,'g',xk,fxintk,'r','LineWidth',2.5) title(' 函数极其积分函数 ' )xlabel('x')legend('f(x)','\int^x_0 f(x) dx','Location','best')

fxint =log((exp(x) + 1)^2/4) - x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9函 数 及 其 积 分 函 数

x

f(x)

x0 f(x) dx

见 P199

gy=subs(finverse(fx),x,y) % （ 3 ）求反函数gyint=int(gy,y,0,y) gy =log(-(y + 1)/(y - 1)) gyint =piecewise([y < 1, log(1 - y^2) + y*log(y + 1) - y*log(1 - y)], [1 <= y,

log(y^2 - 1) + y*log(-(y + 1)/(y - 1)) - pi*i]) gf=simplify(subs(gy,y,fx)) % （ 4 ）函数与反函数的互补性gf =x yk=subs(fx,x,xk); % （ 5 ）函数与反函数的积分的互补性gyintk=subs(gyint,y,yk);GYintk=xk.*fxk-fxintk; % fxk, fxintk 是 x取 0:0.1:2 时 fx 及其积分的值plot(yk,gyintk,‘r’,‘LineWidth’,5); hold onplot(yk,GYintk,'+k'); hold off; xlabel('y')legend('直接法计算反函数积分 ', '互补法求反函数积分 ','location','best')

【例 2.8-3 】符号求函数 的积分，对反函数积分的两种算法进行可视化比较。

2( ) 1

1 xy f x

e

clear; syms x y real;fx=1-2/(1+exp(x));

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

y

直 接 法 计 算 反 函 数 积 分互 补 法 求 反 函 数 积 分

2( ) 1

1 xy f x

e

【例 2.8-3】符号求函数 的积分，对反函数积分的两种算法进行可视化比较。

plot(xk,fxk,'-og',xk,fxintk,'r','LineWidth',2.5)hold onplot(xk,gyintk,'b','LineWidth',5)hold onplot(xk,xk.*fxk,'k','LineWidth',5)hold onplot(xk,fxintk+gyintk,'ok','LineWidth',5)legend('f(x)','\int^x_0 f(x) dx','反函数积分 ', ' 函数积分 +反函数积分 ',' 矩形面积 ','location','best')

画图验证函数积分与反函数积分的互补性

% 分段函数的写法syms y x

z=int(x*y,x,0,1);

g = evalin(symengine,[' piecewise([y > 1/2,' char(z) '], [y <= 1/2, 1])'])

G=int(g,y)

g =

piecewise([1/2 < y, y/2], [y <= 1/2, 1])

G =

piecewise([1/2 < y, y^2/4], [y <= 1/2, y])

习题 2 (Page114) 3,4,5,6,7,8,11,12, 23,25

题