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1
香港中學文憑考試
數學 延伸部分
單元二(代數與微積分)
2020年11月
2
內容簡介
考試形式
題目介紹
評卷參考
考生表現
答卷示例
一般建議
3
考試形式
考試時間 : 2小時30分鐘
本單元只考一卷
本卷分為兩部,全部題目均須作答
考生須具必修部分及初中課程基礎部分與非基礎部分的知識
4
題目介紹 – 題 3
(a) 設 x 為一非 的倍數的角。 證明
(i) ,
(ii) 。
(b) 利用 (a)(ii), 證明
。
30
x
xxx
2
3
tan31
tantan33tan
xxxx 3tan)60(tan)60(tantan
85tan75tan65tan55tan
5
題目介紹 – 題 3(續)
需運用複角公式
需認識特殊角的三角比的準確值
需對三角恆等式的運算有較佳的掌握
6
題目介紹 – 題 8
定義 及 。 設
使得 及 , 其中 a 、 b
及 c 均為實數。
(a) 求 a 、 b 及 c 。
615
25P
00
01Q
cb
aM
1
1|| M QMPM
需運用矩陣的性質
7
題目介紹 – 題 8(續)
(b) 定義 。
(i) 計算 。
(ii) 利用 (b)(i) 的結果, 證明對任意實數
及實數 , 。
需計算逆矩陣
運用矩陣的乘法結合律求矩陣的乘方
515
26R
MRM1
RPRP999999
)(
8
題目介紹 – 題 9
對所有實數 , 設 。
將 的圖像記為 H 。
(a) 求 H 的漸近線。
(b) 求 。
需對漸近線有較深入認識
需對求導法的運算有較佳的掌握
4x2
3
)4(
)4()(f
x
xx
)(f xy
)(f x
9
題目介紹 – 題 9(續)
(c) 某人宣稱 H 有兩轉向點。 你是否同意?
解釋你的答案。
(d) 求 H 的拐點。
(e) 求 H 、 x 軸與 y 軸圍成的區域的面積。
需對轉向點及拐點有較深入認識
需運用定積分求面積
10
題目介紹 – 題 12
設 及 ,
其中 O 為原點。 R 為 PQ 上的一點使得
。
(a) 求 。
需對向量有基本認識
需計算向量積
k4ji OP k4j7i5 OQ
3:1: RQPR
OROP
11
題目介紹 – 題 12(續)
(b) 定義 。 求四邊形 OPSR
的面積。
(c) 設 N 為一點使得 ,
其中 為一實數。
(i) 是否垂直於 ? 解釋你的答案。
需利用向量計算四邊形的面積
需對純量積的幾何應用有較深入認識
OROPOS
)( OROPON
NR PQ
12
題目介紹 – 題 12(續)
(ii) 設 為一實數使得 平行於 。
(1) 求 及 。
(2) 將 OPQ 與 NPQ 間的交角記為 。
求 tan 。
需對三維空間的向量有較深入認識
需具備必修部分的知識
NQ k10ji11
評卷參考 – 題 3
13
(a)(i) 1M : 給正確運用複角公式
或二倍角公式
1 : 給正確的證明
(ii) 1M : 給正確特殊角的三角比的值
1 : 給正確的證明
(b) 1M : 給代入正確的 x 值
1 : 給正確的證明
評卷參考 – 題 12
14
(a) 1M : 給正確應用向量分點公式
1A : 給正確的向量積
(b) 1M : 給計算四邊形面積
1A : 給正確的四邊形面積
評卷參考 – 題 12(續)
15
(c) (i) 1M : 給
1A : 給正確的結論,並顯示理由
(ii)(1) 1M : 給運用向量的平行性
1A : 給 的值
1A : 給 的值
ONORNR
評卷參考 – 題 12(續)
16
(c)(ii)(2) 1M : 給確定所求的角
1M : 給正確運用 (c)(ii)(1) 的結果
1A : 給 tan 的值
考生表現
17
級別 2019百分率 2020百分率
第5**級 3.9% 4.1%
第5*級或以上 15.5% 15.1%
第5級或以上 38.5% 36.5%
第4級或以上 59.6% 58.3%
第3級或以上 79.6% 80.5%
第2級或以上 92.3% 92.0%
第1級或以上 97.8% 97.9%
考生表現 – 題 3
18
在(a)(i),整體表現甚佳。超過 80%
考生能完成證明。
在(a)(ii),整體表現良好。很多考生
能利用 (a)(i) 的結果完成本部。
考生表現 – 題 3 (續)
19
在(b),整體表現平平。 很多考生
未能把一合適的 x 值代入 (a)(ii) 的
結果來完成證明。
考生表現 – 題 8
20
在(a),整體表現甚佳。超過 75%
考生熟悉矩陣的運算,因此他們能 求得 a 、 b 及 c 。
在(b)(i),整體表現良好。很多考生 能計算 M ̶ 1RM 。惟部分考生未能
正確地求得 M ̶ 1 。
考生表現 – 題 8 (續)
21
在(b)(ii),整體表現甚差。 大部分
考生未能利用 (b)(i) 的結果推證
,
他們因此未能完成證明。
1
0
0
MMRP
考生表現 – 題 9
22
在(a),整體表現甚佳。大部分考生能
寫出 H 的垂直漸近線及斜漸近線。
在(b),整體表現良好。很多考生能
求得 f (x) 。
考生表現 – 題 9(續)
23
在(c),整體表現平平。 很多考生誤以
為 H 於 x = ̶ 4 處有轉向點。
在(d),整體表現平平。 部分考生能
求得 H 的拐點,但其中很多未能
顯示檢驗的步驟。
考生表現 – 題 9(續)
24
在(e),整體表現平平。 部分考生能
寫出所求面積的定積分。惟很多考生
未能利用代換積分法計算定積分。
考生表現 – 題 12
25
在(a),整體表現甚佳。 大部分考生能
求得 。
在(b),整體表現良好。 很多考生能
得出所求的面積。
OROP
考生表現 – 題 12(續)
26
在(c)(i) ,整體表現平平。 很多考生
未能以 及 表 , 因此
他們未能求得 。
OR ON NR
PQNR
考生表現 – 題 12(續)
27
在(c)(ii)(1),整體表現平平。 部分考生
能利用 平行於
這條件去建立方程,因此他們能求得
及 。
在(c)(ii)(2),整體表現甚差。 只有少數
考生能確定 。
NQ k10ji11
ORN
答卷示例
28
http://www.hkeaa.edu.hk/tc/hkdse/hkdse_subj.html?A1&1&4
一般建議
29
考生應注意下列各點:
列出所有步驟
多做變率的練習
多做積分的練習,包括代換積分法、
分部積分法
寫出適當的向量記號,例如向量符號、
純量及向量乘法符號
30
謝謝!
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