Elementi specijalne teorije relativnosti (STR) - pmf.unsa.ba · PDF fileNewtonovi zakoni...

Elementi specijalne teorije relativnosti (STR)

Relativnost

Klasična,Galileijeva

Specijalnateorija

relativnosti

Opća teorija

relativnosti

v<<c v c v c

v jednolikaneakcelerirani sistemi

v nije jednolikaakcelerirani sistemi

17.vijek Einstein 1905.g. Einstein 1915.g.

Klasičan princip relativnosti

Newtonovi zakoni vrijede jednako bez obzira miruje li sistem(u kojem ih provjeravamo) ili se jednoliko translacijski kre će(nerelativisti čki-brzinom puno manjom

od brzine svjetlosti).

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

Ovaj sistem se krećejednoliko brzinom v puno manjom od c(u smjeru osi x)

Sx

y

z

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

peron vlakOpažač O

- prometnik stoji (miruje) na peronu

Opažač O’

– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu

koji se giba jednoliko (brzinom

v puno manjom od c)

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

peron vlak

Opažač O

- prometnik stoji (miruje) na peronu

T

Opažač O’

– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu

koji se kreće jednoliko (brzinom

v puno manjom od c)

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

peron vlak

Zadatak za obojicu: opišite položaj točke T

T

Opažač O

- prometnik stoji (miruje) na peronu

Opažač O’

– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku

koji se giba jednoliko (brzinom

v puno manjom od c)

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

peron vlak

r ’ (x’,y’,z’)r (x,y,z)

T

Zadatak za obojicu: opišite položaj točke T

Opažač O

- prometnik stoji (miruje) na peronu

Opažač O’

– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu

koji se kreće jednoliko (brzinom

v puno manjom od c)

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

peron vlak

T

U kakvoj su (matematičkoj) vezi r i r’ ?

r ’r

Opažač O

- prometnik stoji (miruje) na peronu

Opažač O’

– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu

koji se kreće jednoliko (brzinom

v puno manjom od c)

S

y

z

S’

y’

x’

z’

peron vlak

T

U kakvoj su (matematičkoj) vezi r i r’ ?

r ’r

v t

Opažač O

- prometnik stoji (miruje) na peronu

Opažač O’

– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku

koji se giba jednoliko (brzinom

v puno manjom od c)

r = r’+ vt

Galileijeve transformacije koordinata

x = x’+ vt koordinata u smjeru kretanjay = y’z = z’

t = t’

Transformacije koordinata

Galileijeve transformacije

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

peron vlak

Zadatak za obojicu: izmjerite brzinu putnika P

Opažač O

- prometnik stoji (miruje) na peronu

Opažač O’

– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu

koji se kreće jednoliko (brzinom

v puno manjom od c)

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

peron voz

Zadatak za obojicu: izmjerite brzinu putnika P

brzina (u S’) je u’brzina (u S) je u

Opažač O

- prometnik stoji (miruje) na peronu

Opažač O’

– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu

koji se kreće jednoliko (brzinom

v puno manjom od c)

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

peron voz

brzina (u S’) je u’brzina (u S) je u

U kakvoj su (matematičkoj) vezi u i u’ ?

u = u’+ v

u = u’+ v

Galileijeve transformacije brzina

Sabiranje (slaganje) brzina

x = x’+ vt koordinata u smjeru kretanjay = y’z = z’t = t’

u = u’+ v

Galileijeve transformacije - klasična relativnost

Transformacije koordinata

Transformacije brzina

slaganje ili sabiranje brzina

Galileijeve transformacije i Newtonov zakon kretanja

xdt

dxu ɺ== '

'

'' x

dt

dxu ɺ==

vxx −= ɺɺ'dt

d/

0' −= xx ɺɺɺɺ m⋅/xmxm ɺɺɺɺ ='

FF ='

vuu −='

Zapišimo brzine

Relacija sabiranja brzina je tada

Newtonov zakon kretanja je invarijantan na Galileijeve transformacije

Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

Klasičan princip relativnosti

Newtonovi zakoni vrijede jednako bez obzira miruje li sistem (u kojem ih provjeravamo)

ili se jednoliko translacijski kreće(nerelativistički-brzinom puno manjom od brzine svjetlosti).

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

PeronPrometnik...

VozMašinovoña...

Mjere li oba opažača isto vrijeme ?

Klasična fizika (mehanika, relativnost): DA

Zagarantirana istodobnost

Što se dogaña ako v c ?

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

Vrijedi li i tada sabiranje brzina ?

Sx

y

z

S’

y’

x’

z’

peron raketa

Opažač O

- prometnik stoji (miruje) na peronu

Opažač O’

– pilot koji sjedi (miruje) u raketi koja

se kreće jednoliko brzinom v

uporedivom s c

Zadatak za obojicu: izmjerite brzinu putnika P

brzina (u sistemu S’) je u’brzina (u sistemu S) je u

Problemi sa Galilejevim transformacijama• Mawellove jednačine nisu invarijatne u odnosu na Galilejeve transformacije

Rješenje problema:

• 1. Maxwellove jednadžbe su pogrešne - ispravna teorija elektrodinamike je invarijantna pri Galilejevim transformacijama.

Ili

• 2. Galilejev princip relativnosti je ispravan, ali u elektromagnetizmu postoji preferirani IRS ≡ eter, pa je prostiranje svjetlosti kroz eter analogno prostiranju mehaničkog vala kroz neko sredstvo.

Ili

• 3. Postoji novi princip relativnosti koji važi i za mehaniku i za elektromagnetizam koji nije zasnovan na Galilejevim transformacijama - ova mogućnost zahtijeva promjene osnovnih zakona mehanike!

Albert Michaelson (1852-1931)

Michaelson - Morley eksperiment1881.g.

krah klasične relativnostikrah koncepta etera

Specijalna teorija relativnosti

SP

EC

IJA

LNA

R

ELA

TIV

NO

ST

Svjetlost udaljene zvijezde

Zemlja u ovoj tački putanje ide ususret svjetlosti zvijezde

Zemlja u ovoj tački putanje ide od smjera kretanja svjetlosti zvijezde

Michaelson - Morley eksperiment - ideja

ogledalo M

N

Smjer kretanja Zemlje

Polupropusno ogledalo

izvor

detektor:nije opažen pomak interferencijskih pruga tj.

svjetlost je uvijek imala istu brzinu bez obzira na smjer!

O

OM=ON

Michaelsonov interferometar, 1887

ogledalo

Michaelsonov eksperiment

• Rezultati su začuñujući- svjetlost ima istu brzinu u svim smjerovima!!!!!

• Konstantnost brzine svjetlosti ruši sve predstave o sabiranju brzina, prostoru i vremenu u mehanici

• Galilejeve transformacije ne vrijede za svjetlost

• Einstein uvodi relativiziranje vremena i prekida sa tradicionalnim shvatanjima- vrijeme nije apsolutno

Principi specijalne relativnosti (Einstein)

• Sistem koji se kreće konstantnom brzinom zove se “inercijalni sistem”

• 1. Svi prirodni zakoni su isti u svim inercijalnim sistemima referencije

• 2. Brzina svjetlosti u vakuumu je ista u svim sistemima referencije

• Nema apsolutnog prostora ni vremena

Lorentzove transformacije

Transformacije koje zadovoljavaju Einstenov zahtjev bi trebale zadovoljiti drugačije uslove od Galilejevih

• Transformacije izmeñu inercijalnih sistema moraju biti takve da brzina svjetlosti ostane konstantna

• Svi prirodni zakoni su invarijantni s obzirom na takve transformacije

• Zahtjev da prostor bude homogen ukazuje da su transformacije linearne

BtAxt

btaxx

+=+=

'

'

Lorentzove transformacije

⇒

Konstante a,b, A i B su nepoznate i treba ih odrediti. Neka se crtani sistem udaljava brzinom v od mirnog sistema. Ishodište crtanog sistema x’=0 opisuje u necrtanom sistemu kretanje x=vt. Uvrstimo to u (1):

(1)

(2)

( )0 a vt bt= + ⇒ b av= −

( )'x ax avt a x vt= − = − (3)

• Možemo sad pretpostaviti da crtani sistem miruje, a necrtani se prema njemu kreće.

• x koordinata necrtanog sistema biće izražena na isti način sa x’ i t’, samo što ispred brzine dolazi pozitivan predznak jer se necrtani sistem prema crtanom kreće u suprotnom smjeru:

( )' 'x a x vt= +

Konstantu a možemo odrediti iz uslova da se svjetlosni signal u oba slučaja širi jednakom brzinom. Pustimo u početnom trenutku t=t’=0 signal iz ishodišta obaju sistema.

U jednom sistemu širenje signala opisuje jednačina

x=ct, a u drugom x’=ct’. Uvrstimo to u prethodne dvije jednačine:

(4)

⇒( )( )

'

' '

ct a ct vt

ct a ct vt

= −

= +

( )2 2 2 2' 'c tt a tt c v= −

⇒

Nakon množenja lijevih i desnih strana ovih jednačina, dobivamo

2

2

1

1

av

c

=−

Uvrštavanjem x’ iz (3) u jednačinu (4) i uz korištenje a iz (5) dobivamo izraz zat’

Označava se sa γ

)('

)('

2tx

c

vt

vtxx

+−=

−=

γ

γ

Lorentzove transformacije

2

2

1

1

av

c

γ= =

−avb −= aB = 2c

avA −=

BtAxt

btaxx

+=+=

'

'⇒

γ ∈ (1, ∞)

)('

)('

2tx

c

vt

vtxx

+−=

−=

γ

γ

Posljedice Lorentzovih transformacija

1. Kontrakcija dužine

2. Dilatacija vremena

U sistemu koji miruje dužina objekta koji se kreće je kraća

nego u sistemu koji se kreće.

U sistemu koji miruje vrijeme se produžava u odnosu na vrijeme

proteklo u sistemu koji se kreće.

Paradoks blizanaca

Kontrakcija dužine

Posljedice specijalne teorije relativnosti

dužina štapa u sustavu u kojem štap miruje (S ’)

vlastita dužina štapa, dužina mirovanja

''' 12 xxddo −==

- sistem S’ se jednoliko translacijski kreće duž osi x u odnosu na S

- u S’ miruje štap dužineod

Koliku dužinu štapa d mjeri opažač iz S?

Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

Kontrakcija duljine

12 xxd −=

Dužina štapa koju mjeri opažač iz S:

Odnos d i d’ ? Lorentzove transformacije

2

2

1

1

c

v−=γ

)(' vtxx −= γ)(' 111 vtxx −= γ

=−= 12 ''' xxd _

)()( 1212 ttvxx −−−= γγ

0 jer se mjerenje mora obaviti u istom trenutku

d

)(' 222 vtxx −= γ

)( 11 vtx −γ)( 22 vtx −γ Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

Kontrakcija duljine

'd dγ=

2

2

1

1

c

v−=γ

vlastita dužina štapa dužina štapa mjerena

u sistemu S

1≥γBudući da je 'dd⟨

Kontrakcija ili skraćenje dužine

(u smjeru kretanja)

Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

Dilatacija vremena

Vrijeme koje mjeri opažač iz S:

Odnos ∆t’ i ∆t ? Lorentzove transformacije

2

2

1

1

c

v−=γ

_

0 jer se dogañaj zbivana istom mjestu

12 ttt −=∆

)''(2

txc

vt += γ )''( 1121 tx

c

vt += γ

)''( 2222 txc

vt += γ

=−=∆ 12 ttt )''( 222tx

c

v +γ )''( 112tx

c

v +γ

)''()''( 12122ttxx

c

v −+−= γγ

't∆

Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

't tγ∆ = ∆

2

2

1

1

c

v−=γ

Vlastito vrijeme

Vrijeme mjereno

u sistemu S

cv≤ 1≥γBudući da je 'tt ∆⟩∆

Dilatacija vremena

Dilatacija ili produženje vremena

Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

Slaganje brzina

2

( )'

(1 )

u vu

vu

c

−=−

Za v<<c u’=u-v što je Galileijev izraz za slaganje brzina

Relativistička masa

γomm=

2

2

1

1

c

v−=γ

Količina kretanja

vmvmp o

��� γ==

nije svojstvo tijela nego je

ovisna o brzini kojom se tijelo giba

v

m

c

mo

Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

Relativistički izraz za silu

dt

pdF

��

=

2

2

1

1

c

v−=γ

vmvmp o

��� γ==

)( γvmdt

dF o

��=

Relativistički oblik 2. N.z.

(Lorentz invarijantan)

Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

Relativistički izraz za energiju

dt

vmdF

)(�

�=

Kinetička energija

FvdtFdsdE

FsE

k

k

===

vdtdt

mvddEk

)(=

[ ]dmvmvdv

vdmmdvv

mvvd

2

)(

+=+=

=

Diferencijal kinetičke energije ����

Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

Relativistički izraz za energiju

Iz izraza za relativističku masu:

Usporedbom s izrazom ���� za diferencijal kinetičke energije dobivamo

2

2

1c

v

mm o

−=

2

2

2

22

1c

v

mm o

−=

22

22

vc

cmo

−= 222222 cmvmcm o=−

dt

d

0)22(2 222 =+− vdvmdmmvdmmc

dmcdmvmvdv 22 =+

dmcdEk2=

Izv.

pro

f. dr

. sc.

Raj

ka J

urda

na Š

epić

FIZI

KA 1

Relativistički izraz za energiju

dmcdEk2=

)( 2mcddEk = ∫

∫∫ =m

mo

Ek

k mcddE )( 2

0

)(0 2ok mmcE −=−

22 cmmcE ok −=

Energija

mirovanja

Ukupna

energija

Kinetička

energija

E= mc2 – ukupna energija (princip ekvivalencije mase i energije)E0=m0c2- energija mirovanja

2 22 0

2

2

2 220

2 2

2

1

1

m vp

v

c

m cE

c v

c

=−

=−

2 2 4 2 20E m c p c= +⇒

FotoniE hν ω= = ℏ

Prema teoriji relativnosti ako je m0=0 dobijamo da je za foton E=pc

Foton ne može postojati u stanju mirovanja, tj. postoji samo kad se kreće brzinomprostiranja svjetlosti. Impuls fotona je:

2E hp k

c c c

p k

ν ω πλ

= = = = =

=

ℏ ℏℏ

��ℏ