View
236
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
4 Oleh :
Debrina Puspita Andriani, ST., M.Eng Teknik Industri
Universitas Brawijaya e-mail : debrina@ub.ac.id
www.debrina.lecture.ub.ac.id
O
U
T
L
I
N
E
1. Gradien a. Gradien Aritmatik b. Gradien Geometrik
2. Bunga Nominal vs Bunga Efektif 3. Majemuk Kontinyu 4. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Diskrit 5. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Kontinyu
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 2
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 3
1. GRADIEN ARITMATIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 4
( )( )niGAGA
in
iGA n
,,/11
1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−=
GRADIEN ARITMATIK CONTOH 1 (1)
Seseorang berencana untuk menyimpan pemasukannya per tahun sebesar $1000 dan dapat menaikkan pemasukannya sebesar $200/tahun selama 9 tahun berikutnya.
Rangkaian cashflow bermula pada akhir tahun pertama, dan jumlah tabungan terakhir akan terjadi pada akhir tahun kesepuluh
Bila bunga adalah 8% per thn, berapa annual worth yang setara yang dimulai pada akhir tahun 1 dan berakhir pada tahun 10, dimana annual worth tsb memperhitungkan adanya rangkaian gradien/kenaikan pemasukan $200/thn?
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 5
SOLUSI :
A = $1.000+$200 10,08
−10
1+ 0,08( )10 −1
"
#$$
%
&''
A = $1.000+$200 12,5− 101,1589
"
#$%
&'
A = $1.000+$200 12,5−8,6287[ ]A = $1.000+$200 3,8713[ ]A = $1.000+$774,2628A = $1.774
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 6
GRADIEN ARITMATIK CONTOH 1 (2)
Atau dengan Tabel
A = $1000+$200(A /G, i,n)A = $1000+$200(A /G,8%,10)A = $1000+$200(3.8713)A = $1.774, 26
GRADIEN ARITMATIK CONTOH 2 (1)
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 7
Bunga 9% per tahun Tentukan annual worth yang ekivalen
SOLUSI :
( )( )
650.3$A350.1$000.5$A
2498,2600$000.5$A6%,9,G/A600$000.5$A
=-=-=-=
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 8
GRADIEN ARITMATIK CONTOH 2 (2)
GRADIEN ARITMATIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 9
F = Gi(1+ i)N −1i(1+ i)N
−N
i 1+ i( )N"
#$$
%
&''1+ i( )N
F =G F /G, i%,N( )
P = Gi(1+ i)N −1i(1+ i)N
−N
i 1+ i( )N"
#$$
%
&''
P =G P /G, i%,N( )
GRADIEN ARITMATIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 10
G / P, i%,N( ) = G / A, i%,N( ) A / P, i%,N( )G / F, i%,N( ) = G / P, i%,N( ) P / F, i%,N( )G / A, i%,N( ) = G / F, i%,N( ) F / A, i%,N( )
Dan seterusnya.
HUBUNGAN P, F, A DENGAN G
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 11
G
A
F P
(A/G, i%, N) (G/A, i%, N)
(F/G, i%, N)
(G/F, i%, N)
(P/G, i%, N)
(G/P, i%, N)
2. GRADIEN GEOMETRIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 12
GRADIEN GEOMETRIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 13
P = F11+ g
1+ g '( )n −1g ' 1+ g '( )n
"
#$$
%
&''
P = F11+ g
P / A,g ',n( )
g ' = 1+ i1+ g
−1
[ ]
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−+
+=→<
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+=→=
+=→>
n
n
ggg
gFPg
gnFPg
ngAPgFPg
'1'1'1
10'
10'
,',/1
0'
1
1
1
Catatan !
SOAL TUGAS
1. Pemasukan dari suatu usaha tertentu diestimasi akan naik 7% per tahun dari dasar tahun pertama sebesar $360.000. Berapa harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan suku bunga 15%?
2. Pemasukan dari aktivitas tertentu dihitung naik 10% per tahun dari awal tahun pertama $10.000. Berapa harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan tingkat suku bunga 10%?
3. Gaji lulusan terakhir diharapkan meningkat 12% per tahun dari awal $52.000 untuk 5 tahun berikutnya. Bila tingkat suku bunga diambil 10% selama periode tersebut, berapa harga saat ini atas pendapatan tersebut?
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 14
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 15
BUNGA NOMINAL VS BUNGA EFEKTIF
Muncul karena adanya pertimbangan frekuensi majemuk Tingkat suku bunga efektif adalah tingkat suku bunga aktual yang
digunakan bila periode pemajemukannya kurang dari satu tahun Tingkat suku bunga nominal dinyatakan atas dasar per tahun dan
ditentukan dengan mengalikan tingkat suku bunga aktual (efektif) per periode bunga dengan jumlah periode majemuk per tahun
Perhitungan tingkat bunga nominal mengabaikan nilai uang dari waktu
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 16
TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL DAN EFEKTIF
r = tingkat suku bunga nominal per tahun i = tingkat suku bunga efektif dalam interval
waktu (per periode pemajemukan) l = jangka interval waktu (dalam tahun) m = timbal balik dari jangka periode
majemuk/jumlah pemajemukan (dalam tahun) c = jumlah periode yang dimajemukkan
dalam interval waktu (c = l x m)
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 17
TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 18
r = i x m
TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 19
ieff = (1 + i)m – 1 ieff = (1 + r/m)m – 1
TING
KAT SUKU BUNG
A N
OM
INAL D
AN EFEKTIF
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 20
Jumlah Pemajemukan/
tahun (m)
Tingkat bunga Nominal
(r)%
Tingkat bunga efektif ieff%
1 15
2 15
12 15
365 15
TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF
Dengan pendekatan lain, tingkat bunga efektif dapat dihitung dari
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 21
ieff =F −PP
ieff =FP−1
F = P(1+ ieff )n ⇔ ieff =
FP#
$%&
'(
1N−1
CONTOH (1)
Seorang karyawan meminjam uang Rp. 3 juta dan dia harus mengembalikan pinjaman tersebut 6,5 tahun lagi sebesar 4,5 juta. Bila periode pemajemukan adalah 6 bulan, berapakah besarnya bunga efektif tahunan dari pinjaman tersebut?
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 22
JAWAB
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 23
setahun
ieff =FP!
"#$
%&
1N−1
ieff =4,53
!
"#$
%&
16,5−1
ieff =1,516,5 −1
ieff =1,0644−1ieff = 0,0644 = 6, 44%
i = FP!
"#$
%&
1n−1
i = 4,53
!
"#$
%&
113−1
i =1,5113 −1
i =1,0317−1i = 0,0317 = 3,17% %44,60644,0
10644,1
120634,01
11
0634,020317,0
2
==
−=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
=
×=
ii
i
mri
rr
m
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 24
JAWAB Atau juga bisa dengan cara
setahun per 6 bln
CONTOH (2)
Apabila seseorang menabung sebanyak Rp. 1 juta
sekarang, Rp. 3 juta untuk 4 tahun dari sekarang, dan
Rp 1,5 juta untuk 6 tahun dari sekarang dengan
tingkat bunga 12% per tahun dan dimajemukkan tiap
6 bulan, berapa uang yang ia miliki 10 tahun dari
sekarang?
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 25
CONTOH
Maka F = Rp. 1 juta (F/P, 12,36%, 10) + Rp. 3 juta (F/P,
12,36%, 6) + Rp. 1,5 juta (F/P, 12,36%, 4) = Rp. 11,6345 juta
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 26
CONTOH
Cara lain F = Rp. 1 juta [F/P, 12/2%, 2(10)] + Rp. 3 juta [F/P,
12/2%, 2(6)] + Rp. 1,5 juta [F/P, 12/2%, 2(4)] = Rp. 1 juta (F/P, 6%, 20) + Rp. 3 juta (F/P, 6%,
12) + Rp. 1,5 juta (F/P, 6%, 8) = Rp. 11,6345 juta
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 27
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 28
BUNGA SETAHUN EFEKTIF UNTUK MAJEMUK TERUS-MENERUS
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 29
ieff = limm→∞1+ r
m#
$%
&
'(m
−1
ieff = limm→∞1+ r
m#
$%
&
'(
mr*
+,,
-
.//
r
−1
limm→∞
1+ rm
#
$%
&
'(
mr≈ e
ieff = er −1 e = 2,71828
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 30
PEMAJEMUKAN KONTINYU UNTUK ALIRAN KAS DISKRIT
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 31
Single Payment Compound Amount Factor
Single Payment Present Worth Factor
Uniform Series Compound Amount Factor
Uniform Series Sinking Fund Factor
Uniform Series Present Worth Factor
Uniform Series Capital Recovery Factor
Gradien Aritmatik & Gradien Geometrik
SINGLE PAYMENT COMPOUND AMOUNT FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 32
F = P(erN )F = P F / P, r%,N( )
SINGLE PAYMENT PRESENT WORTH FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 33
P = F 1erN!
"#$
%&
P = F P / F, r%,N( )
UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 34
F = A erN −1er −1
"
#$
%
&'
F = A F / A, r%,N( )
UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 35
A = F er −1erN −1"
#$
%
&'
A = F A / F, r%,N( )
UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 36
P = A 1− e−rN
er −1"
#$
%
&'
P = A erN −1erN er −1( )"
#$$
%
&''
P = A P / A, r%,N( )
UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 37
A = P er −11− e−rN"
#$
%
&'
A = PerN er −1( )erN −1
"
#$$
%
&''
A = P A / P, r%,N( )
GRADIEN ARITMATIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 38
A =G 1er −1
−N
erN −1"
#$%
&'
A =G A /G, r%,N( )
GRADIEN GEOMETRIK
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 39
g ' =1+ er −1( )( )1+ g( )
−1
g ' = er
1+ g( )−1
P = F1P / A,g ',N( )1+ g
"
#$
%
&'
CONTOH
Seorang pelajar menabung setiap akhir tahun dengan jumlah Rp 60.000 per tahun. Bila tingkat bunga sebesar 10% dan dibungakan secara kontinyu, hitunglah tingkat bunga efektif dan nilai awal (P) dari semua tabungannya!
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 40
JAWAB
( )
( )( )
624.3600104,6000.60
11000.60
11000.60
%52,101052,011
10,01010,0
1010,0
10,0
RpPRpP
eeeRpP
eeeRpP
ieiei
rrn
rn
r
=
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
==
−=
−=
×
×
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 41
Tingkat bunga efektif
Nilai P
42 ENGINEERING
ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.A
C.ID
UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 43
( )nrAFAF
reAFrn
,,/
1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 44
( )nrFAFAerFA rn
,,/1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 45
( )nrAPAP
reeAP rn
rn
,,/
1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 46
( )nrPAPA
erePA rn
rn
,,/
1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
PEMBAYARAN TUNGGAL DAN SERAGAM DAN KONTINYU HANYA DALAM PERIODE N SAJA
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
r
rrn
rn
reeePF
erePF
1
1
( )⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
1
1
rrn
r
rn
eereFP
reeFP
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 47
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 48
Misalkan pengeluaran sebuah instansi terjadi secara kontinyu dengan total $10.000. Bunga uang dimajemukkan secara kontinyu dengan tingkat bunga 15% per tahun. Bila kita mengambil waktu studi 5 tahun, berapakah:
§ Nilai awal (P) § Nilai pada tahun kelima (F)
dari seluruh pengeluaran tersebut?
SOAL TUGAS
Recommended