Engineering Mechanics: Statics in SI Units, 12e...2.1 Skaler ve Vektörler • Vektör – Bir...

Force Vectors 2

Engineering Mechanics:

Statics in SI Units, 12e

Bölüm Hedefleri

• Parallelkenar kuralı

• Kartezyen vektörler

• Skaler çarpım ve iki vektör arasındaki açı

Bölüm Özeti

1. Skalerler ve vektörler

2. Vectörel işlemler

3. Kuvvetlerin vektörel toplamı

4. Düzlemsel kuvvetlerin toplanması

5. Kartezyen vektörler

6. Kartezyen vektörlerlerde toplama ve çıkarma

7. Konum vektörleri

8. Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü

9. Skaler çarpım

2.1 Skaler ve Vektörler

• Skaler

– Pozitif veya negatif bir sayı ile karakterize edilen

büyüklüğe denir

–A skaleri gibi italik harfle gösterilecektir.

Örneğin. Kütle ,hacim ve uzunluk

2.1 Skaler ve Vektörler

• Vektör

– Bir büyüklük ve doğrultuya sahip bir büyüklüktür.

e.g. Konum,kuvvet ve moment

–Harfin üstüne ok konarak gösterilir.

– Büyüklüğü veya sadece A ile gösterilir.

– Bu dersde vektörler A olarak ve pozitif olan büyüklük

ise A olarak gösterilecek

A

A

2.2 Vektörel işlemler

• Vektörün bir skalerle çarpımı ve bölümü

- A vektörünün a skaleriyle çarpımı = aA

- Büyüklük =

- Çarpım kuralı geçerlidir e.g. A/a = ( 1/a ) A, a≠0

aA

2.2 Vektörel işlemler

• Vektörlerin toplamı

- A ve B iki vektörün toplanması paralelkenar kuralına göre

R bileşke vektörünü verir.

- R bileşke vektörü üçgen oluşturularak da elde edilebilir

- Değişme özelliği e.g. R = A + B = B + A

- özel durum: A ve B vektörü aynı doğru üzerinde ise

R=A+B cebirsel toplamına indirgenir

2.2 Vektörel işlemler

• Vektörlerin farkı

- toplamın özel bir durumudur.

e.g. R’ = A – B = A + ( - B )

- vektör toplama kuralı uygulanır

2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı

Bileşke kuvvetin bulunması

• Parallelkenar kuralı kullanılarak bulunur

• Resultant,

FR = ( F1 + F2 )

2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı

Analizde incelenecek yol

• Parallelkenar kuralı

– Paralelkenar kuralı kullanılarak vektör toplamını

gösteren bir şekil çiziniz

– Kuvvetlerin iki bileşenini bileşke kuvveti oluşturmak için

ekleyiniz

– Bileşke kuvvet paralelkenarın diyagonelinde göster

2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı

Analizde incelenecek yol

• Trigonometri

– Parelelkenarın yarısını çiziniz

– Bileşke kuvvetin büyüklüğü cosinüs kuralı

kullanılarak bulunabilir.

– Bileşke kuvvetin yönü sinüs kuralı kullanılarak

bulunabilir

– İki bileşenin büyüklüğü sinüs kuralı kullanılarak bulunabilir

Örnek 2.1

Kanca, F1 ve F2 kuvvetlerine maruzdur.bileşke kuvvetin

büyüklük ve doğrultusunu belirleyiniz.

Çözüm

Parallelkenar kuralı

Bilinmeyen: FR nin büyüklüğü ve θ açısı

Çözüm

Trigonometri

Cosinüs kuralı

Sinüs kuralı

NN

NNNNFR

2136.2124226.0300002250010000

115cos150100215010022

8.39

9063.06.212

150sin

115sin

6.212

sin

150

N

N

NN

Çözüm

Trigonometri

Direction Φ of FR measured from the horizontal

8.54

158.39

2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması

• Skalar Gösterim

– x ve y eksenleri pozitif ve negatif olarak belirtilir

– Kuvvetin bileşenleri cebirsel skalerle ifade edilir

sin and cos FFFF

FFF

yx

yx

2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması

• Kartezyen Vektör Gösterimi

– Kartezyen birim vektörler i ve j x ve y yönlerini

göstermek için kullanılır.

– Birim vektörler i ve j boyutsuz birim değere sahiptir

( = 1 )

– Skaler Fx ve Fy ile gösterilen büyüklük daima pozitiftir.

jFiFF yx

2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması

• Düzlemsel kuvvetlerin bileşkeleri

Çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için

kullanılır. :

– Kuvvet x ve y bileşenlerine ayrılır.

– Karşılıklı bileşenler skaler cebir kullanılarak toplanır.

– Bileşke kuvvet paralelkenar kuralı kullanlarak bulunur.

– Kartezyen vektör gösterimi

jFiFF

jFiFF

jFiFF

yx

yx

yx

333

222

111

2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması

• Düzlemsel kuvvetlerin bileşkeleri

– Bileşke kuvvet

– Skaler gösterim kullanılırsa

jFiF

FFFF

RyRx

R

321

yyyRy

xxxRx

FFFF

FFFF

321

321

2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması

• Düzlemsel kuvvetlerin bileşkeleri

– Bütün durumlarda

– FR nin büyüklüğü Pisagor teoreminden bulunur.

yRy

xRx

FF

FF

Rx

Ry

RyRxRF

FFFF 1-22 tan ve

* İşaretlere dikkat

örnek 2.5

F1 ve F2 nin x ve y bileşenlerini Belirleyiniz.Herbir kuvveti

kartezyen vektör şeklinde gösteriniz.

Çözüm

Skaler gösterim

Hence, from the slope triangle, we have

NNNF

NNNF

y

x

17317330cos200

10010030sin200

1

1

12

5tan 1

Çözüm

Benzer üçgenden

Skaler gösterim:

Kartezyen vektör gösterimi:

N10013

5260

N24013

12260

2

2

y

x

F

F

NNF

NF

y

x

100100

240

2

2

NjiF

NjiF

100240

173100

2

1

Çözüm

Skaler gösterim

Hence, from the slope triangle, we have:

Cartesian Vector Notation

NNNF

NNNF

y

x

17317330cos200

10010030sin200

1

1

12

5tan 1

NjiF

NjiF

100240

173100

2

1

Örnek 2.6

Kanca F1 ve F2 kuvvetlerine maruzdur.Bileşke kuvvetin

büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.

Çözüm I

Skaler Gösterim:

N

NNF

FF

N

NNF

FF

Ry

yRy

Rx

xRx

8.582

45cos40030sin600

:

8.236

45sin40030cos600

:

Çözüm I

Bileşke kuvvet

θ açısı

N

NNFR

629

8.5828.23622

9.67

8.236

8.582tan 1

N

N

Çözüm II

Kartezyen vektör notasyonu

F1 = { 600cos30°i + 600sin30°j } N

F2 = { -400sin45°i + 400cos45°j } N

Böylece,

FR = F1 + F2

= (600cos30ºN - 400sin45ºN)i

+ (600sin30ºN + 400cos45ºN)j

= {236.8i + 582.8j}N

FR büyüklüğü ve yönü önceki şekilde bulunur.

2.5 Kartezyen vektörler

• Sağ-el koordinat sistemi

Bir diktörtgen veya kartezyen koordinat sistemine sağ-el

koordinat sistemi denir. :

– Sağ elin başparmağı pozitif z eksenini gösteriyorsa

– z-ekseni 2 boyutlu problem için kağıda dik ve dışarı

doğru yönelecektir.

2.5 Kartezyen vektörler

• Bir vektörün dik bileşenleri

– Bir A vektörünün x y ve z koordinat eksenlerine göre

yönelimine bağlı olarak ,bu eksenler üzerinde bir,iki veya üç

dik bileşeni olabilir.

– Paralel kenar kuralını iki kez ard arda uygulayarak

A = A’ + Az

A’ = Ax + Ay

– Bu denklemler birleştirilerek,

A

A = Ax + Ay + Az olarak ifade edilir.

2.5 Kartezyen vektörler

• Birim vektör

– A nın yönü birim vektör kullanılarak tanımlanabilir

– Birim vektörün büyüklüğü 1 dir.

– Eğer A büyüklüğü A ≠ 0 olan vektörse, A ile aynı yönlü

birim vektör uA = A / A.

A = A uA

2.5 Kartezyen vektörler

• Kartezyen vektör gösterimi

– A nın üç bileşeni i, j ve k nın pozitif yönünde

etkimektedir,

A = Axi + Ayj + AZk

*herbir bileşen vektörün büyüklüğü ve

doğrultusu ayrılır ve bu vektör cebri

işlemlerini basitleştirir

2.5 Kartezyen vektörler

• Kartezyen vektörün büyüklüğü

• Renkli üçgenden,

– Gölgelim üçgenden,

– Denklemleri birleştirerek

A nın büyüklüğünü verir

2 2 2 z y x A A A A

2 2 ' y x A A A

2 2 ' z A A A

2.5 Kartezyen vektörler

• Kartezyen vektörün doğrultusu

– A vektörünün yönü başlangıç noktası ve bu noktada yer

alan pozitif x, y ve z eksenleri arasında ölçülen α, β ved

γ koordinat doğrultu açıları ile tanımlanır. es

– 0° ≤ α, β ve γ ≤ 180 °

– A nın doğrultu kosinüsleri

A

Axcos

A

Aycos

A

Azcos

2.5 Kartezyen vektörler

2.5 Kartezyen vektörler

• Kartezyen vektörün doğrultusu

– α, β ve γ açıları ters kosinüs fonksiyonlarından

belirlenebilir.

A = Axi + Ayj + AZk

Birim vektör,

uA = A /A = (Ax/A)i + (Ay/A)j + (AZ/A)k

burada 222

zyx AAAA

2.5 Kartezyen vektörler

• Kartezyen vektörün doğrultusu – uA şu şekildede ifade edilebilir.

uA = cosαi + cosβj + cosγk

– olduğundan ve uA = 1, o zaman

– A kartezyen vektör formunda ifade edilebilir.

A = AuA

= Acosαi + Acosβj + Acosγk

= Axi + Ayj + AZk

222

zyx AAAA

1coscoscos 222

2.6 Kartezyen vektörlerde toplama ve çıkarma

• Aynı noktadan geçen kuvvet sistemleri

– Bileşke kuvvet sisteme etki eden bütün kuvvetlerin

toplamına eşittir.

FR = ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk

örnek 2.8

F kuvvetini kartezyen vektör formunda yazınız.

Çözüm

İki açı bilindiğinden ,üçüncü açı

İki ihtimal var

1205.0cos 1

60 5 . 0 cos 1

5 . 0 707 . 0 5 . 0 1 cos

1 45 cos 60 cos cos

1 cos cos cos

2 2

2 2 2

2 2 2

±

Çözüm

α = 60º olduğu görülür çünkü Fx +x yönündedir.

F = 200N verilmiş

F = Fcosαi + Fcosβj + Fcosγk

= (200cos60ºN)i + (200cos60ºN)j

+ (200cos45ºN)k

= {100.0i + 100.0j + 141.4k}N

Control edilirse

N

FFFF zyx

2004.1410.1000.100222

222

Örnek 2

örnek 3

2.7 Konum vektörleri

• x,y,z koordinatları

– Sağ-el koordinat sistemi

– Pozitif z ekseninin ,bir nesnenin uzunluğunu veya bir

noktanın yüksekliğini ölçecek şekilde ,yukarı doğru yönelmesi

şeklinde uylaşım kullanacağız.

– Noktalar O orijinine göre belirlenir.

2.7 Konum vektörleri

Konum vektörü

– r konum vektörü ,bir noktanın uzaydaki konumunu diğer

bir noktaya göre belirleyen bir vektördür.

– E.g. r = xi + yj + zk

2.7 Konum vektörleri

Konum vektörü

– Vectörlerin uc uca eklenmesi ile rA + r = rB

– Çözersek

r = rB – rA = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k

or r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB –zA)k

2.7 Konum vektörleri

• AB kablosunun yönü ve boyu A ve B nin x, y, z eksenleri

kullanılarak ölçülür ve bulunur.

• r konum vektörü kurulabilir.

• r büyüklüğü kablonun boyunu verir.

• α, β ve γ açıları kablonun yönünü gösterir.

• Birim vektör, u = r/r

Örnek 2.12

A ve B noktalarına elastik bir bant tutturulmuştur. Bantın

uzunluğunu ve A’dan B’ye ölçülen doğrultusunu belirleyiniz.

Çözüm

Konum vektörü

r = [-2m – 1m]i + [2m – 0]j + [3m – (-3m)]k

= {-3i + 2j + 6k}m

Büyüklük = elastik bantın uzunluğu

r doğrultusundaki birim vektör

u = r /r

= -3/7i + 2/7j + 6/7k

mr 7623222

Çözüm

α = cos-1(-3/7) = 115°

β = cos-1(2/7) = 73.4°

γ = cos-1(6/7) = 31.0°

2.8 Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü

• 3 boyutlu problemlerde, F kuvvetinin doğrultusu etki

çizgisinin geçtiği iki nokta ile belirlenir.

• F Kartezyen vektör olarak formüle edebiliriz.

F = F u = F (r/r)

• F kuvvet birimi (N)

ancak, uzunluk birimidir (m)

2.8 Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü

• Zincir boyunca hareket eden F kuvveti Kartezyen vektörle

gösterilebilir.

- x, y, z eksenleri kurarak

- Zincir boyunca r konum vektörü oluştararak

• Birim vektör, u = r/r hem kuvvetin hem de zincirin yönünü

tanımlar.

• F = Fu elde ederiz.

Örnek 2.13

Adam ipi 350N luk bir kuvvetle çekmektedir.A mesnedine

etkiyen bu kuvveti Kartezyen vektör şeklinde ifade ediniz ve

doğrultusunu belirleyiniz

Çözüm

İpin uç noktalarının koordinatları A (0m, 0m, 7.5m) ve B (3m, -2m, 1.5m)

r = (3m – 0m)i + (-2m – 0m)j + (1.5m – 7.5m)k = {3i – 2j – 6k}m

Büyüklük = AB ipinin uzunluğu

Birim vektör, u = r /r

= 3/7i - 2/7j - 6/7k

mmmmr 7623222

Çözüm

F in büyüklüğü 350N ve doğrultusu u ile tanımlandığından.

F = Fu

= 350N(3/7i - 2/7j - 6/7k)

= {150i - 100j - 300k} N

α = cos-1(3/7) = 64.6°

β = cos-1(-2/7) = 107°

γ = cos-1(-6/7) = 149°

2.9 Skaler çarpım

• A ve B vektörlerinin skaler çarpımı A·B şeklinde yazılır ve

(A skaler çarpım B diye okunur.)

• A ve B nin büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının

kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır.

A·B = AB cosθ where 0°≤ θ ≤180°

• Bu çarpım adını sonucun bir skaler olmasından alır.

2.9 Skaler çarpım

• İşlem kuralları

1. Değişme özelliği

A·B = B·A

2. Skaler ile çarpım

a(A·B) = (aA)·B = A·(aB) = (A·B)a

3. Dağılma kuralı

A·(B + D) = (A·B) + (A·D)

2.9 Skaler çarpım

• Kartesian Vektör Formulasyonu

- birim vektörlerin skaler çarpımı

i·i = (1)(1)cos0° = 1

i·j = (1)(1)cos90° = 0

- benzer şekilde

i·i = 1 j·j = 1 k·k = 1

i·j = 0 i·k = 0 j·k = 0

2.9 Skaler çarpım

• Kartesian Vektör Formulasyonu

– A ve B iki vektörün skaler çarpımı

A·B = AxBx + AyBy + AzBz

• uygulamalar

– İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı

θ = cos-1 [(A·B)/(AB)] 0°≤ θ ≤180°

– Bir vektörün bir doğruya parelel ve dik bileşenleri

Aa = A cos θ = A·u

Örnek 2.17

Çerçeveye F = {300j} N yatay kuvveti etkimektedir.bu kuvvetin

AB elemanına paralel ve dik bileşenlerini belirleyiniz..

çözüm

Since

Thus

N

kjijuF

FF

kji

kji

r

ru

B

AB

B

BB

1.257

)429.0)(0()857.0)(300()286.0)(0(

429.0857.0286.0300.

cos

429.0857.0286.0

362

362

222

çözüm

Sonuç pozitif bir skaler olduğundan, FAB nin yönü uB ile

aynıdır. kartesyen formda

Dik bileşen

NkjikjijFFF

Nkji

kjiN

uFF

AB

ABABAB

}110805.73{)1102205.73(300

}1102205.73{

429.0857.0286.01.257

çözüm

F┴ büyüklüğü Pisagor teoreminden veya bu vektörden

belirlenebilir.

N

NN

FFF AB

155

1.25730022

22

örnek

çözüm

çözüm

QUIZ

1. Which one of the following is a scalar quantity?

A) Force B) Position C) Mass D) Velocity

2. For vector addition, you have to use ______ law.

A) Newton’s Second

B) the arithmetic

C) Pascal’s

D) the parallelogram

QUIZ

3. Can you resolve a 2-D vector along two directions,

which are not at 90° to each other?

A) Yes, but not uniquely.

B) No.

C) Yes, uniquely.

4. Can you resolve a 2-D vector along three directions

(say at 0, 60, and 120°)?

A) Yes, but not uniquely.

B) No.

C) Yes, uniquely.

QUIZ

5. Resolve F along x and y axes and write it in vector

form. F = { ___________ } N

A) 80 cos (30°) i – 80 sin (30°) j

B) 80 sin (30°) i + 80 cos (30°) j

C) 80 sin (30°) i – 80 cos (30°) j

D) 80 cos (30°) i + 80 sin (30°) j

6. Determine the magnitude of the resultant (F1 + F2)

force in N when F1={ 10i + 20j }N and F2={ 20i + 20j }

N .

A) 30 N B) 40 N C) 50 N

D) 60 N E) 70 N

30°

x y

F = 80 N

QUIZ

7. Vector algebra, as we are going to use it, is based on

a ___________ coordinate system.

A) Euclidean B) Left-handed

C) Greek D) Right-handed E) Egyptian

8. The symbols , , and designate the __________ of

a 3-D Cartesian vector.

A) Unit vectors B) Coordinate direction angles

C) Greek societies D) X, Y and Z components

QUIZ

9. What is not true about an unit vector, uA ?

A) It is dimensionless.

B) Its magnitude is one.

C) It always points in the direction of positive X- axis.

D) It always points in the direction of vector A.

10. If F = {10 i + 10 j + 10 k} N and

G = {20 i + 20 j + 20 k } N, then F + G = { ____ } N

A) 10 i + 10 j + 10 k

B) 30 i + 20 j + 30 k

C) – 10 i – 10 j – 10 k

D) 30 i + 30 j + 30 k

QUIZ

11. A position vector, rPQ, is obtained by

A) Coordinates of Q minus coordinates of P

B) Coordinates of P minus coordinates of Q

C) Coordinates of Q minus coordinates of the origin

D) Coordinates of the origin minus coordinates of P

12. A force of magnitude F, directed along a unit vector U, is given

by F = ______ .

A) F (U)

B) U / F

C) F / U

D) F + U

E) F – U

QUIZ

13. P and Q are two points in a 3-D space. How are the

position vectors rPQ and rQP related?

A) rPQ = rQP B) rPQ = - rQP

C) rPQ = 1/rQP D) rPQ = 2 rQP

14. If F and r are force vector and position vectors,

respectively, in SI units, what are the units of the

expression (r * (F / F)) ?

A) Newton B) Dimensionless

C) Meter D) Newton - Meter

E) The expression is algebraically illegal.

QUIZ

15. Two points in 3 – D space have coordinates of P (1, 2, 3) and Q (4, 5, 6) meters. The position vector rQP is given by

A) {3 i + 3 j + 3 k} m

B) {– 3 i – 3 j – 3 k} m

C) {5 i + 7 j + 9 k} m

D) {– 3 i + 3 j + 3 k} m

E) {4 i + 5 j + 6 k} m

16. Force vector, F, directed along a line PQ is given by

A) (F/ F) rPQ B) rPQ/rPQ

C) F(rPQ/rPQ) D) F(rPQ/rPQ)

QUIZ

17. The dot product of two vectors P and Q is defined as

A) P Q cos B) P Q sin

C) P Q tan D) P Q sec

18. The dot product of two vectors results in a _________

quantity.

A) Scalar B) Vector

C) Complex D) Zero

P

Q

QUIZ

19. If a dot product of two non-zero vectors is 0, then the two vectors

must be _____________ to each other.

A) Parallel (pointing in the same direction)

B) Parallel (pointing in the opposite direction)

C) Perpendicular

D) Cannot be determined.

20. If a dot product of two non-zero vectors equals -1, then the

vectors must be ________ to each other.

A) Parallel (pointing in the same direction)

B) Parallel (pointing in the opposite direction)

C) Perpendicular

D) Cannot be determined.

QUIZ

1. The dot product can be used to find all of the following except ____ .

A) sum of two vectors

B) angle between two vectors

C) component of a vector parallel to another line

D) component of a vector perpendicular to another line

2. Find the dot product of the two vectors P and Q.

P = {5 i + 2 j + 3 k} m

Q = {-2 i + 5 j + 4 k} m

A) -12 m B) 12 m C) 12 m2

D) -12 m2 E) 10 m2