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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMATICAS
ESCUELA DE INGENIERIA EN SISTEMAS
LOS LÍMITES Y SU APLICACIÓN EN LAS ASINTOTAS
TECNICAS PARA GRAFICAR ASINTOTAS
ENSAYO
ING. JOSÉ CEVALLOS SALAZAR
DOCENTE
ROLANDO ZARES MARQUEZ
ALUMNO
INTRODUCCION
Muchas veces las funciones tienen un comportamiento curioso. Al ir aumentando (o
disminuyendo) constantemente el valor de la x vemos que su valor imagen, F(x), tiende a
estabilizarse, tendiendo a un número Real (que es el límite). En el caso mostrado se
observa sus principales asíntotas que son la asíntota horizontal y vertical .
Vemos como obtenemos asíntota horizontal y vertical en una misma grafica
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS
DESARROLLO APLICACIONES DEL LÍMITE ASÍNTOTAS Si existen, corresponden a líneas rectas que determinan valores a los cuales la
funcióntiende, pero nunca llega a tomarlos. Existen Asíntotas Horizontales, Asíntotas
Verticales y Asíntotas Oblicuas, donde las dos primeras corresponden a aplicaciones
particulares de la teoría de Límites.
ASINTOTA HORIZONTAL
Si existe este tipo de asíntota para lafunción que se evalúa, esta corresponde al valor a
que toma y, cuando x ®µ, y corresponde a la línea horizontal y = a
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INFORMÁTIVOS
La asíntota horizontal existe cuando se cumple la siguiente igualdad:
Características y pasos para calcular asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales nos indican a que tiende la función cuando la x es muy grande o
muy pequeña
1. Calculamos el límite de la función cuando tiende a infinito.
Si existe el límite (valor finito), el valor del límite es una asíntota horizontal
Lim f(x)=b se escribe y=b
x->
2. Son rectas paralelas al eje OX .Se escriben y= valor de la asíntota horizontal
3. Las funciones racionales tienen asíntota horizontal en estos casos:
=> 1. Cuando el numerador y el denominador son del mismo grado
2.Cuando el grado del denominador es mayor que el grado del numerador.
4. Las funciones exponenciales tienen una asíntota horizontal en y=0
EJEMPLO
Hay una asíntota horizontal en y=1
Para saber si la función tiende a uno por arriba o por abajo damos valores “grandes y pequeño” a x
La función se acerca a uno por arriba de la asíntota para x- >+
La función se acerca a uno por abajo para x-> -
Ver su grafica en el ejemplo de asíntotas verificables en funciones racionales
Hay una asíntota horizontal en y=0 que es la ecuación del eje OX
ASINTOTA VERTICAL
Si existe, se presenta en funciones racionales de la forma y corresponde aquellos valores para los
cuales se indetermina la función para cuando q(x) = 0 , o mediante la interpretación del siguiente
limite
Características y pasos para calcular asíntotas verticales
1. Calculamos el dominio de la función
2. Tomamos , para los valores de x que no pertenece al dominio , si el límite nos da
infinito , en esos valores hay una asíntota vertical
3. Para saber a que tiende la función hay que tener tomar el o los limites laterales , la
solución puede ser ±
4. Son rectas paralelas al eje OY, se escriben x= valor de la asíntota vertical
Funciones racionales: indeterminación
Funciones logarítmica.
Función tangente.
ASINTOTA OBLICUA
Aunque la Asíntota Oblicua no representa una aplicación del Límite como tal, se incluyeen este
capítulo por tratarse de una característica más de la gráfica de una expresión y tiene
comportamiento similar al definido para las asíntotas Horizontal y vertical.
Se presenta en expresiones de la forma
La Asíntota Oblicua representa el resultado de realizar la división que se estápresentando en el
enunciado de la expresión, y cuando se presenta, este resultado se puede interpretar como, una
parte entera que corresponde a la definición de la asíntota Oblicua, más una fracción que
corresponde a el valor que hace falta para pasar de la asíntota a la función f (x).
Hay que tener en cuenta que debido a que la Asíntota Oblicua se define como el resultado de
realizar la división entre las expresiones que componen el polinomio, y dado que el grado del
Numerador excede en uno ( 1 ) el grado del Denominador, el resultado siempre será la expresión
de una función lineal, es decir, un expresión de grado uno ( 1 ).
Lo anterior quiere decir que una Asíntota Oblicua se puede entender así:
Dada la expresión.Donde el grado del Polinomio del Numerador es dos ( 2 ) y el grado del
polinomio del Denominador es ( 1 ), entonces se cumple la definición que dice que el grado del
polinomio del Numerador debe exceder en uno el grado del polinomio del denominador lego se
presume que existe entonces una Asíntota Oblicua.
Se dice que la gráfica de una funciónracional tiene
Asíntota Oblicuo si el máximo exponente de la variable
independiente del polinomio del numeradorexcede en
uno (1) el máximo exponente de la variable
independiente en el polinomio del denominador
Para determinar cual es la Asíntota Oblicua se realiza la división que se tiene indicada en Obteniendo como resultado Esta interpretación se puede expresar como
Esta expresión puede ser analizada gráficamente mediante la siguiente representación, en donde
se ha indicado cual es la Asíntota Oblicua, y para un valor cualquiera de “x” se ha realizado un
análisis de la expresión, descomponiendo el valor de “y”, para la parte entera (Asíntota) y para la
parte fraccionaria (Residuo), así:
TECNICAS PARA GRAFICAR ASINTOTAS
La gráfica de la función tiene una asíntota
horizontal en y = 0.
Si analiza uno un poco el límite calculado, se
da uno cuenta que existe una diferencia entre el
límite hacia oo y el de -oo.
Si se calcula el límite cuando x tiende hacia oo,
se divide entre un número muy grande positivo,
lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca
uno a cero, por los valores positivos.
Si se calcula el límite cuando x tiende hacia -
oo, se divide entre un número negativo muy
grande, y la división tiende a cero, pero por
valores negativos.
Estas dos observaciones son de gran importancia,
ya que nos pueden dar información de por dónde
se acerca la curva a la asíntota horizontal.
En el caso "x tiende a oo", se acerca por arriba.
En el caso "x tiende a -oo", se acerca por abajo.
OJO: Analícese la siguiente función, que
cruza la asíntota horizontal, para poder acercarse
a la asíntota por arriba viniendo de abajo.
La función tiende a 0 cuando x tiende a valores
muy grandes o muy negativos.
Cabe mencionar, que cuando x tiende a valores
muy grandes la función tiende a cero pero
manifestando valores positivos. Esto implica,
que se acerca a la asíntota horizontal por arriba.
Por otro lado, si x tiende a valores muy
negativos, la función tiende a cero, pero por
valores negativos, lo cual nos indicaría, que se
acerca a la asíntota horizontal por abajo.
Tiene una ASINTOTA HORIZONTAL en y = 0
En la gráfica se alcanza a distinguir, que del lado
derecho, la función va por encima del eje "x", en
cambio del lado izquierdo, se acerca por abajo.
OJO: Esto tiene implicaciones serias para la
función. Después de cruzar la asíntota horizontal,
debe tener un máximo y un punto de inflexión, ya
que de otra manera no podría acercarse a la
asíntota horizontal en y = 0
La función tiene una asíntota horizontal en
y = 0
Los dos límites tienden a cero, si hacemos el
estudio, como en el primer problema, vemos que
los dos límites se acercan a cero por arriba. (Ver
gráfica)
GRADO DEL NUMERADOR IGUAL AL GRADO DEL DENOMINADOR
Asíntota horizontal en
y = 3
Haciendo la división de polinomios, se llega a:
, y se puede deducir, que la
parte fraccionaria:
Suma una cierta cantidad al 3, cuando x tiende
a oo, aunque siempre más pequeña.
Resta una cierta cantidad al 3, cuando x tuende
a -oo, aunque cada vez más cercana a cero.
Si suma una cierta cantidad, se acerca al 3 por
valores mayores que el 3, o sea, por arriba.
Si resta cierta cantidad, se acerca al 3 por valores
menores que el 3, por lo tanto, se acerca a la
asíntota por abajo.
OJO: A veces las gráficas pueden ser un poco
engañosas, ya que la escala es reducida y no se
alcanza a distinguir bien. Por lo tanto se puede
hacer un análisis de cruce con las asíntotas
horizontales.
Tiene una asíntota horizontal en y = 2
A la hora de hacer uan división de polinomios,
se obtiene una parte entera, que es 2, misma
que es la asíntota horizontal.(Esto se debe a
que los grados del numerador y denominador,
son iguales)
Cabe hacer un análisis de la importancia de los
coeficientes de los términos de mayor grado
tanto en el numerador como en el
denominador.
Nótese que conforme el grado del numerador y
el grado del denominador crece, las gráficas son
más complejas. Esta gráfica presenta dos
asíntotas verticales, una horizontal y dos
intersecciones con los ejes.
FUNCIONES NO RACIONAL CON ASÍNTOTAS HORIZONTALES
La función exponencial:
, tiene una asíntota horizontal
unilateral, sólo cuando x tiende a infinito, ya
que su límite es 2. Por lo tanto la recta y = 2 es
la asíntota horizontal. La gráfica de la función
se acerca a la recta y=2, por abajo, ya que
siempre se va a restar una cantidad al 2
conforme crezca x.
Al calcular los límites hacia más y menos
infinito, se puede ver, que no son iguales, que
uno tiende a 2 y el otro a menos infinito.
, este primer límite nos
dice que hay una asíntota horizontal unilateral,
sólo hacia la derecha de la función.
, este límite nos indica,
que la función no tiene asíntota horizontal
hacia la izquierda, que la función decrece
rápidamente. No hay que confundir este hecho
con el de una asíntota vertical, ya que la
función no la tiene. No hay valor para el cual
la función no esté definida.
La función:
, presenta una asíntota horizontal
hacia ambos lados de la función.
Esto se debe a que los límites de la función
cuando x tiende a más o menos infinito, los
dos son cero. Por lo tanto la asíntota
horizontal se encuentra en y = 0, o sea, el eje
"x".
El límite cuando x tiende a más infinito, es:
El límite cuando x tiende a menos infinito, es:
Nótese que la función aparte de tener una
asíntota horizontal presenta un máximo y
además dos puntos de inflexión, sin los cuales
no se podría acercar asintóticamente al eje "x".
La función logarítmica
, tiene, aparte de varias
peculiaridades, que habría que analizar
posteriormente, una asíntota hrizontal
unilateral en y = 0, o sea, el eje "x" funciona
con asíntota.
Este límite nos dice, que existe esa asíntota
horizontal.
Es evidente, que x no puede tender hacia
menos infinito, ya que el ln de números
negativos no existe.
Así también queda claro, que la función no
está definida para ningín valor negativo de x.
Tampoco está definida para x = 0. Sólo se
puede calcular el límite cuando x tiende a o
por la derecha:
CONCLUSIÓN
Concluyo este ensayo enfocado en las técnicas para graficar las asíntotas porque es
donde se practica su teoría entonces:
Si se calcula el límite cuando x tiende hacia, se divide entre un número muy
grande positivo, lo cual nos lleva a la conclusión, que se acerca uno a cero, por
los valores positivos.
Cuando x tiende a valores muy grandes la función tiende a cero pero
manifestando valores positivos. Esto implica, que se acerca a la asíntota
horizontal por arriba
Después de cruzar la asíntota horizontal, debe tener un máximo y un punto de
inflexión, ya que de otra manera no podría acercarse a la asíntota horizontal en y
= 0.
A veces las gráficas pueden ser un poco engañosas, ya que la escala es reducida
y no se alcanza a distinguir bien. Por lo tanto se puede hacer un análisis de cruce
con las asíntotas horizontales
BIBLIOGRAFIA
http://www.vadenumeros.es/primero/asintotas-verticales.htm
http://www.mitecnologico.com/Main/AsintotasVerticalesHorizontalesUOblicuas
http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Limites/Asintotas.pdf
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
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