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Ensino Superior. Cálculo 1. 1- Funções e Limites. Amintas Paiva Afonso. Números e Funções Reais. Amintas Paiva Afonso. Números e funções reais. Conjunto dos Números Naturais (N) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos Números Inteiros (Z) Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} - PowerPoint PPT Presentation
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Ensino Superior
Cálculo 1
1- Funções e Limites
Amintas Paiva Afonso
Números e Números e Funções ReaisFunções Reais
Amintas Paiva Afonso
Números e funções reais
Conjunto dos Números Naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}
Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0}
Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
N Z (N está contido em Z)
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Q = {a/b | a,b Z, b 0}
Z Q (Z está contido em Q)
Números e funções reais
Conjunto dos Números Irracionais () É o conjunto formado por números cuja
representação decimal é não exata e não periódica Exemplo: = 3,141592653589...
Conjunto dos Números Reais (R) É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos
números racionais e irracionais
R
QZ
N
Números e funções reais
Operações com números racionais
Adição:
Subtração:
Multiplicação:
Divisão:
bd
bcad
d
c
b
a
bd
bcad
d
c
b
a
bd
ac
d
c
b
a
bc
ad
c
d
b
a
dcba
Números e funções reais
Reta Real Cada ponto de uma reta real representa um número real Numa reta real os números estão ordenados de maneira
crescente da esquerda para a direita. Um número a é menor que qualquer número b colocado
a sua direita e maior que qualquer número c a sua esquerda.
543210-1-2-3-4
R
a bc
Números e funções reais
Conceito de função Dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é
uma lei ou regra de correspondência que relaciona a cada elemento de de A um único elemento de B.
Notação: f: A B y = f(x)
Números e funções reais
Plano Cartesiano O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais Eixo x é o eixo das abscissas Eixo y é o eixo das ordenadas A origem do sistema é o ponto O As coordenadas do ponto P são os números reais x1 e y1
Par ordenado (x1 , y1)
x
y
x1
y1P(x1, y1)
O
Números e funções reais
Domínio É o conjunto de valores assumidos por x.
Imagem É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de
correspondência para os elementos do domínio. Gráfico
É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano.
Retas
Coeficiente angular da reta R:
Obs.: Retas horizontais: m = 0 Retas verticais: Não têm m
12
12
horizontal variação
verticalvariação
xx
yy
x
ym
m
X
RY
12 yyy
12 xxx
),(P 111 yx
),(P 222 yx
1x 2x
1y
2y
Retas
Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular
A equação abaixo é a equação na forma ponto
– coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem
coeficiente angular m.
11
11
)(ou
yxxmy
xxmyy
Retas
Exemplo 1 Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular -
3/2.
x1 = 2
y1 = 3
m = -3/2
62
3
32
33
22
33
11
xy
xy
xy
xxmyy
Retas Exemplo 2
Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4).
x1 = -2
y1 = -1
x2 = 3
y2 = 4 m = ?
1
21
)2(1)1(11
xy
xy
xy
xxmyy
retadaequaçãodaCálculo
15
5
23
14
)2(3
)1(412
12
m
xx
yym
angularecoeficientdoCálculo
Retas
Equação reduzida da reta:
m - coeficiente angular b - coeficiente linear
Equação geral da reta:
A e B diferentes de zero.
bmxy
CByAx
R
b)(0,
X
Y ),( yx
b
Aplicações
Muitas variáveis importantes são relacionadas por equações lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius.
)32(9
532
5
9 FCouCF
mb
Funções e Gráficos
Os valores de uma variável freqüentemente dependem dos valores de outra variável A temperatura de ebulição da água depende da altitude
(o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta) O rendimento anual de suas economias depende da taxa
de juros oferecida pelo banco Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A
um único elemento de outro conjunto B é chamada de função.
BA
OBS:A é o domínioB é a imagem (contra-domínio)
Funções e Gráficos
Nomenclatura (Leonhard Euler) y é igual a f de x
)(xfy Variável independente (domínio)
Variável dependente (contra-domínio ou imagem)
X (domínio)
Y (imagem)
Funções
Definição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função real de uma variável reale denotamos por:• x é chamada de variável independente.• y é chamada de variável dependente.• A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f).• B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f).
Seja f: A → B uma função. Domínio da função f é o conjunto A definido por:A = 𝔻(f) = {x∊ℝ/ ∃ f(x)ℝ} A Imagem da função f, denotada por 𝕀m(f), é um subconjunto do contra domínio B, ou seja, 𝕀m(f)⊂B, definido por:𝕀m(f) = {yB/ ∃ x∊A, com y = f(x)}
𝕀m(f)A = 𝔻(f) B = C𝔻(f)fy=f(x)x
Funções e Gráficos
Domínios e imagens Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio
não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínio natural.
Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo. Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números reais. Se
queremos somente valores positivos de x devemos escrever y = x2, x > 0.
Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e finitos ou infinitos.
Funções e Gráficos As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos
restantes são chamados pontos interiores. Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são
abertos. Aberto AB
A < x < B ou (A, B) Fechado AB
A ≤ x ≤ B ou [A, B] Fechado em A e aberto em B
A ≤ x < B ou [A, B) Aberto em A e fechado em B
A < x ≤ B ou (A, B]
xA B
xA B
xA B
xA B
Funções e Gráficos
Exemplos de domínios e imagens
A função 1 fornece um valor real de y para qualquer número real de x, então o domínio é (-, )
A função 2 fornece um valor real de y somente quando x é positivo ou zero, então o domínio é [0, )
RRxy
RRxy
RRxy
ou),0[ou),0[)3
ou),0[ou),()2
ou),(ou),(2)1
(y) Imagem(x) DomínioFunção
2
Gráfico de uma função
Uma função pode ser representada por pares ordenados e seu gráfico é um subconjunto do ℝ2, isto é:Gr(f) = {(x,y) ℝ2/x𝔻(f) e y = f(x) 𝕀m(f)} ouGr(f) = {(x,f(x)) ℝ/ x 𝔻(f) }(x,y)y1 x1 x2
y2 y=f(x)
xy
𝔻(f)={x∊ℝ/x1 x x2}=[x1 , x2]
𝕀m(f)=[y1 , y2]
Zeros e sinais de uma função
x
y
Zeros ou raízes da função são os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo Ox, ou seja, f(x)=0, ou ainda, onde y=0.
y=f(x)
Os sinais da função: Acima do eixo Ox ela é positiva e abaixo é negativa.
x1 x2 x3
]-∞,x1] y<0[x1,x2] y>0[x2,x3] y<0[x3,+∞[ y>0 ++▁ ▁
Números e funções reais
Tipos de funções Função linear
Ex.: y = x + 1; Função linear afim
Ex.: y = 2x; Função quadrática
Ex.: y = x2 – 2x – 3; Função exponencial
Ex.: y = 2x; Função logarítmica
Ex.: y = log2x; Funções trigonométricas
Ex.: y = senx
Função do 1º Grau
baxy
Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo :
Onde:
a = taxa de variação da função;
b = ponto onde a reta toca o Eixo Y;
R
b)(0,
X
Y ),( yx
b
Propriedades da Reta
É definida por um polinômio de 1o grau;
Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em
apenas um ponto;
O sinal da taxa de variação aa fornece a informação sobre o
crescimento ou decrescimento da função:
a < 0a < 0 função decrescente;
a > 0a > 0 função crescente;
Propriedades da Reta
Só tocam o eixo X uma vez.
Se a < 0, a função decresce.Se a > 0, a função cresce.
---
As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é
justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau)
cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero.
abxbaxbaxy 00
Raízes da Função de 1º Grau
Função Afimy = ax + b ∀a≠0 e bℝ
θ
a>0 reta crescente
b
a coeficiente angular a = tgθb coeficiente lineara<0 reta decrescente
θb
Função do 1º grau
Função Lineary = ax + b
θ
a>0 reta crescente a<0 reta decrescenteθ
y = ax
Até 40h 3,00 por hora
Acima de 40h + 50% (4,50 por hora)
Salário Bruto = (até 40h) + (acima de 40h)
Sendo x o número total de horas,
S(x) = 40.3 + (x – 40).4,5
S(x) = 120 + 4,5x – 180 = 4,5x - 60
Exercícios
Fixa ...... 4,60 + 0,96 por quilômetro
Para um valor de 19,00
F(x) = 4,60 + 0,96.x
19 = 4,6 + 0,96.x
14,4 = 0,96.x
15 = x
Exercícios
X – preço de tabela
À vista: (30% de desc) = 0,7.x
Cartão de crédito: 1,1.x
Logo 0,7.x = 7000
x = 10.000
E portanto, no cartão 1,1.10000 = 11000
Exercícios
Exercícios
Exercícios
cbxax 2y
Uma função de 2º grau, também chamada de função
QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda
função real do tipo:
Desde que a ≠ 0;
Função de 2º Grau
É definida por um polinômio de 2o grau;
Pode possuir:
Duas raízes reais e distintas;
Duas raízes reais e iguais;
Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X).
O sinal de aa fornece a informação sobre a concavidade da
função:
a < 0a < 0 concavidade para baixo;
a > 0a > 0 concavidade para cima;
Propriedades da Parábola
Propriedades da Parábola
Podem ter três tipos de raízes.
Se a < 0, a concavidade é para baixo.
Se a > 0, a concavidade é para cima.
Para encontrar as raízes de funções de 2º Grau, resolvemos a equação:
02 cbxax
Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara:
acbcoma
bx 4,
22
Raízes da Função de 2º Grau
Função Quadrática Função do 2º graua>0 concavidade para cima a<0 concavidade para baixo
Função Quadrática
> 0 = 0
<0x1 x2 x1 = x2
Propriedades das Funções
-4-2-1-3
Propriedades das Funções
1-1f(x+a) com a>0 deslocamento para a esquerda
f(x-a) com a>0 deslocamento para a direita
Propriedades das Funções
Propriedades das Funções
2-2
24f(x) e –f(x) são simétricas em relação ao eixo Ox
-4 f(x) e f(-x) são simétricas em relação ao eixo Oy
Função Polinomial
3 raízes reais diferentes2 raízes reais iguais e 1 diferente
2 raízes complexas e 1 real
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Potência
Função Racional
São função do tipo , onde g(x) e h(x) são polinômios na mesma variável.Exemplo: Dada a função , determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
1-1
-1
-11
Função Logarítmica
1 1
Função Exponencial
1 1
1
Função definida por Sentença Aberta
10 2-1
Função Modular
1/21/4
Círculo Trigonométricoe os eixos das funções trigonométricas
Seno e Cossecante
Cosseno e Secante
Tangente
Cotangente0+
-
Seno e Cossecante
0
Funções sen(x) e cossec(x)
θ
yx0 /2 3/2 2 5/2 3
1-1
-/2--3/2-2
Função Seno
yx0 /2
3/2 25/2 3
1-1
-/2--3/2-2
cosseno e secante0
Funções cos(x) e sec(x)
θ
yx0 /2 3/22 5/2 3
1-1-/2--3/2-2
Função Cosseno
y
x0 /2 3/2 2 5/23
1-1
-/2--3/2-2
Função Secante
0
Funções tg(x) e cotg(x)
θ
Eixo da tangente
Eixo da cotangente
Função Tangente
yx0 /2 3/2 2 5/2-/2-
yx0 /2 3/2 2-/2--3/2
Função cotangente
Função Inversas das funções sen(x), cos(x) e tg(x)
yx0 /2 3/2 2 5/2 3
1-1
-/2--3/2-2
/21-1
-/2
f(x)=sen(x)
f -1(x)=arcsen(x)
/2
1-1
f(x)=cos(x)
f -1(x)=arccos(x)
yx0 /2 3/22 5/2 3
1-1-/2--3/2-2
yx0 /2 3/2 2 5/2-/2-
f(x)=tg(x)
/2
-/2
f-1 (x)=arctg(x)
Funções HiperbólicasDas funções trigonométricas, temos que P(x,y)=(cosθ,senθ) está sobre uma circunferência de equação x2+y2=1. .θ P(x,y)x
y 1
Para as funções hiperbólicas, temos que P(x,y)=(coshθ,senhθ) está sobre uma hipérbole de equação x2-y2=1. P(x,y)=(coshθ,senhθ)θ xy
Definições:
1
Seno hiperbólico Cosseno hiperbólico
Outras funções hiperbólicas
Tangente hiperbólica1
-1
Cotangente hiperbólica1-1
cotgh(x)tgh(x)
Secante hiperbólica1Cossecante hiperbólica
sech(x) cosech(x)
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