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쉽게 배우는 알고리즘
7장. 상호 배타적 집합의 처리
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IT COOKBOOKIT COOKBOOK
한빛미디어㈜
7장. 상호 배타적 집합의 처리
얼마 전 나는 학술회의 준비차 다윈을 읽었다.
읽으면서 그 동안 읽지 않기를 잘했다는 생각이 들었다.
다른 때 다윈을 읽었더라면 여전히 이해할 수 없었을 것이기 때문이다.
... 결국, 읽을 준비가 되었을 때 읽어야 한다는 것이다.
-로저 생크
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한빛미디어㈜
학습목표
• 연결 리스트를 이용한 상호배타적 집합의 처리 방법을 이해한다.
• 연결 리스트를 이용한 집합의 처리를 위한 연산들의 수행시간을 분석할 수 있도록 한다.
• 트리를 이용한 상호배타적 집합의 처리 방법을 이해한다.
• 트리를 이용한 집합의 처리를 위한 연산들의수행시간을 기본적인 수준에서 분석할 수 있도록 한다.
숙명여대 멀티미디어과학과- 4 -
Set의 처리
• 이 장에서는 disjoint set(배타적 집합) 만을대상으로 한다.
• 그러므로 교집합은 없다.• 지원할 연산
– Make-Set(x): 원소 x로만 이루어진 집합을 만든다.– Find-Set(x): 원소 x를 가지고 있는 집합을 알아낸다.– Union(x, y): 원소 x를 가진 집합과 원소 y를 가진 집합의
합집합을 만든다.
• Linked list를 이용하는 방법과 Tree를 이용하는방법이 있다.
숙명여대 멀티미디어과학과- 5 -
Linked List를 이용한 처리
• 같은 집합의 원소들을 하나의 linked list로관리한다.
• Linked list의 맨 앞의 원소를 집합의 대표 원소로삼는다.
• 각 집합에는 마지막 원소를 가리키는 tail을 둔다.– tail 포인터는 두 집합을 union 할 때 유용함.
숙명여대 멀티미디어과학과- 6 -
• Make-Set(x) 연산– 원소 x로만 이루어진 집합을 만든다.
• Find-Set(x)– 원소 x가 포함된 집합을 알아낸다.
– 원소 x가 가리키는 대표 노드를 리턴한다.
집합 연산
x tail
숙명여대 멀티미디어과학과- 7 -
• Union(x, y) 연산– 원소 x가 속한 집합과 원소 y가 속한 집합을 합친다.
– 방법• Find-Set(x)와 Find-Set(y)를 이용하여 x와 y가 속한 집합의 대표
노드를 각각 알아낸다.
• 두 집합 중 하나를 다른 집합의 뒤에 붙인다.– 주 집합의 tail이 부 집합의 대표 노드를 가리키게 한다.
– 부 집합의 모든 노드의 대표 원소 포인터는 주 집합의 대표노드를 가리키게 한다.
집합 연산
숙명여대 멀티미디어과학과- 8 -
a b c tail
d e f g h
tail
Linked List로 된 두 집합의 예
숙명여대 멀티미디어과학과- 9 -
a b c
d e f g h
tail
tail
d e f g h
tail
a b c
(a)
(b)
합집합을 만드는 예
파란색은 변동이 생긴 간선들
숙명여대 멀티미디어과학과- 10 -
Weight을 고려한 Union
• Linked list로 된 두 집합을 Union할 때 작은집합을 큰 집합의 뒤에 붙인다.– 대표 원소를 가리키는 포인터 갱신 작업을
최소화하기 위함
숙명여대 멀티미디어과학과- 11 -
수행시간
[정리 1]
Linked list를 이용해 표현되는 배타적 집합들을만들면서 Weight을 고려한 Union을 사용할 때, m번의 Make-Set, Union, Find-Set 중 n번이 Make-Set이라면 이들의 총 수행시간은 O(m + n logn)이다.
숙명여대 멀티미디어과학과- 12 -
Tree를 이용한 처리
• 같은 집합의 원소들은 하나의 트리로 관리한다– 보통의 트리와는 달리 child가 parent를 가리킨다.
• 트리의 root를 집합의 대표 원소로 삼는다.
숙명여대 멀티미디어과학과- 13 -
c
a e
hb
d f g
Tree를 이용한 집합 표현의 예
숙명여대 멀티미디어과학과- 14 -
c
a
hb
e
d f g
c
a
hb e
d f g
두 집합의 합집합
+
=
• 두 집합 중 한집합의 루트가 다른집합의 루트를가리키게 함.
숙명여대 멀티미디어과학과- 15 -
a
하나의 원소로 이루어진 집합
숙명여대 멀티미디어과학과- 16 -
Tree를 이용한 집합 처리 알고리즘
Make-Set(x) ▷ 노드 x를 유일한 원소로 하는 집합을 만든다. {
p[x] ← x ; // p[x] : 노드 x의 부모 노드를 의미}
Union(x, y) ▷ 노드 x가 속한 집합과 노드 y가 속한 집합을 합친다{
p[Find-Set(y)] ← Find-Set(x) ; }
Find-Set(x) ▷ 노드 x가 속한 집합을 알아낸다. 노드 x가 속한 트리의 루트 노드를 리턴한다.
{ if (x = p[x])
then return x ; else return Find-Set(p[x]) ;
}
숙명여대 멀티미디어과학과- 17 -
연산의 효율을 높이는 방법
• Rank를 이용한 Union – 각 노드는 자신을 루트로 하는 subtree의 높이를
랭크(Rank)라는 이름으로 저장한다• 단 하나의 노드로 이루어진 집합 트리의 랭크는 0
• 루트 노드의 랭크가 그 집합의 랭크가 됨
– 두 집합을 합칠 때 효율을 위해 rank가 낮은 집합을rank가 높은 집합에 붙인다.
숙명여대 멀티미디어과학과- 18 -
랭크를 이용한 Union의 예
c
a
e
hb d f00
0
1
1 0
2c
a
ehb
d f000
11 0
2
+ =
숙명여대 멀티미디어과학과- 19 -
• 두 집합의 랭크가 동일하면 합집합의 랭크가증가할 수 있음
랭크를 이용한 Union에서 랭크가 증가하는 예
c
a
e
hb d f01
0
2
1 0
2c
a
ehb
d f010
21 0
3
+ =
g0
g0
숙명여대 멀티미디어과학과- 20 -
• Path compression– Find-Set을 행하는 과정에서 만나는 모든 노드들이
직접 root를 가리키도록 포인터를 바꾸어 준다.
트리의 높이를 줄일 수 있음.
c
a e
hb
d f g
c
a
ehb
d f
gFind-Set(g)
Path Compression의 예
숙명여대 멀티미디어과학과- 21 -
Make-Set(x) ▷ 노드 x를 유일한 원소로 하는 집합을 만든다.{
p[x] ← x; rank[x] ← 0;
}
Union(x, y) ▷ 노드 x가 속한 집합과 노드 y가 속한 집합을 합친다.{
x' ← Find-Set(x); y'← Find-Set(y); if (rank[x'] > rank[y'])
then p[y'] ← x' ; else {
p[x'] ← y' ; if (rank[x'] = rank[y']) then rank[y'] ← rank[y'] + 1;
} }
Rank를 이용한 Union과 Make-Set
숙명여대 멀티미디어과학과- 22 -
Find-Set(x) ▷ 노드 x가 속한 트리의 루트 노드를 리턴한다.{
if (p[x] ≠ x)then p[x] ← Find-Set(p[x]); // path compression 실시
return p[x]; }
Path Compression을 이용한 Find-Set
숙명여대 멀티미디어과학과- 23 -
수행시간
[정리 5]
Tree를 이용해 표현되는 Exclusive set에서 랭크를이용한 Union과 경로압축을 이용한 Find-Set을동시에 사용하면, m번의 Make-Set, Union, Find-Set 중 n번이 Make-Set일 때 이들의 수행시간은O(m log*n)이다.
k
log*n = min {k : loglog …logn ≤ 1}
사실상 linear time임
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Thank you
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