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Analisi FE con elementi piani di una piastra forata
C. Colombo, L. Patriarca
POLITECNICO DI MILANO, Dipartimento di Meccanica
2Informazioni utili
Auleesercitazioninumeriche9 L 1 3 e L 1 59 L1.3eL1.5
Contatti9 Mail:luca.patriarca@mail.polimi.it9 Numerotelefonoufficio: 02239986669 Si riceve solo con appuntamentoSiricevesoloconappuntamento
Lettureconsigliate9 F C i I d i l d d li l i fi i i Pi Edi i9 FrancescoCesariIntroduzionealmetododeglielementifiniti,PitagoraEditriceBologna,19899 R.D.CookFiniteElement Modeling for StressAnalysis,JohnWiley &Sons,Inc.9 O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor,J.Z.ZhuTheFiniteElementMethod:ItsBasisandFundamentals,6th Ed.,ButterworthHeinemann9 O.C.Zienkiewicz,R.L.TaylorTheFiniteElementMethodforSolidandStructuralyMechanics,6th Ed.,ButterworthHeinemann
C. Colombo, L. Patriarca
3Sommario
TematichetrattatenellesercitazioneodiernaAula didatticaAuladidattica9 RichiamisuglielementifinitipianieintroduzioneadAbaqus9 RichiamisullasoluzioneanaliticaperilcasodilastraforataAuleinformatizzate9 Esempioguidatodicostruzionedelmodelloadelementifinitiperlastrapiana9 Esempio guidato di costruzione del modello ad elementi finiti per lastra piana conEsempioguidatodicostruzionedelmodelloadelementifinitiperlastrapianaconforocentrale
AppendiceAppendice9 ComandiutilidiAbaqusperlacostruzionedelmodelloaelementifinitiinesame
C. Colombo, L. Patriarca
4Il metodo degli elementi finiti (FEM)
FEM:FiniteElement Method9 Metodo numerico che si diffonde in corrispondenza dellavvento dei primi calcolatori9 Metodonumerico chesidiffondeincorrispondenzadell avventodeiprimicalcolatori9 Vieneutilizzatoperanalizzaresvariatifenomenifisici(fluidodinamica,acustica,ecc),inparticolarenellambitopistrettamentestrutturale perlenostreapplicazioni9 d l dd d d f9 Lastrutturadaanalizzarevienesuddivisainregionididimensionifinite,ciascunadellequalicostituisceunelementofinito(adifferenzadegliapproccianaliticidovesilavoraconelementiinfinitesimi)99 Glielementisonocollegatifralorosoloinalcunipunti(dettinodi)9 Dallasoluzionediunproblemacontinuopostotipicamenteinterminidiequazionidifferenzialioallederivateparzialisipassaallasoluzionediunproblemadiscretointerminidiunsistemadiequazionilinearidovesideterminanolegrandezzediinteresseincorrispondenzadeinodi
Spostamentideinodi
=
n FuKK
MMMOML 11111
nnnnn FuKK
MML
MOM1
Carichi/condizioniMatrice di
C. Colombo, L. Patriarca
LagrigliavienechiamatameshCarichi/condizioniesterne
Matricedirigidezza
5Problemi 2D
Esempio:piastrasottilesottopostaatrazione9 Lo spessore S trascurabile rispetto alle altre9 LospessoreS trascurabilerispettoallealtredimensionidelcomponente9 LedeformazioniindirezioneZ sonolibere
xyx 02 += yx [ ]
=
z
yyx
xyx
00
02
+=
+=
0
0
yxy
x
xx
EE
EE
}{ [ ] }{ }{ 01 += E
[ ]
= 00
yyx
xyx
+= 0xy
xyxy G
EE
[ ]
000
yyx
01
Ipotesi9 Materialeisotropo9 Stato di sforzo piano
[ ]( )
=
21000101
1 2/
EE
9 Statodisforzopiano
C. Colombo, L. Patriarca
( ) 2100 /
6Elementi finiti piani
Glispostamentideipuntiinterniallelementosonodefinitidaglispostamentideinoditramitele
funzionidiforma
1vuFunzionidiforma
( )( )( )
=
...00
...00,,
2
2
1
21
21
vuv
NNNN
yxvyxu ( )( ) [ ]{ }nodiuNyxv
yxu =
,,
...
9 Le funzioni di forma definiscono in maniera univoca lo stato deformazione interno al9 Lefunzionidiformadefinisconoinmanieraunivocalostatodeformazioneinternoalgenericoelementofinito9 Ilproblemaquellodiscegliereunopportunamorfologiadellefunzionidiformachepermetta di definire le deformazioni dei singoli elementi finiti e approssimare nella
C. Colombo, L. Patriarca
permettadidefinireledeformazionideisingolielementifinitieapprossimare,nellamanieramigliore,larealedeformatadelcontinuo
7Elementi finiti piani
Ledeformazionisonodeterminateinfunzionedegli
spostamentideipuntiallinternodellelemento
0/Relazione deformazionispostamenti
=
vu
xy
y
x
xy
y
x
//0
/0/
{ }
=vu
yxy //
9 Validesoloperpiccolispostamentip p p9 Lamatricedellederivateunoperatorelineare
C. Colombo, L. Patriarca
8Elementi finiti piani
Formulazionegeneraledellamatricedirigidezza
{ } [ ]{ } [ ]{ }uBuN == ( )( ) [ ]{ } diuNyxu = ,{ } = u { } [ ]{ } [ ]{ }nodinodi uBuN == ( ) [ ]{ }nodiuNyxv ,{ } v
dVEdU T1{ } [ ]{ } { } [ ] [ ][ ] { } === nodiV TTnodiV T udVBEBudVEU 2121
Energiadideformazioneelastica
dVEdU T 21=
{ }[ ]{ } [ ] [ ] [ ][ ]
==V
Tnodi
Tnodi
VV
dVBEBKuKu21
22
Lamatricedirigidezzadipendedallefunzionidiformaadottate
C. Colombo, L. Patriarca
9Elementi finiti piani
Funzionediformaperelementopianocon4nodi(8g.d.l)
Per ridurre il pi possibile gli
xyyxvxyyxu
8765
4321
+++=+++=
Perridurreilpipossibileglierrori introdottidalmetodooccorreaumentareilnumerodi elementi finiti o utilizzare
xyx 42
8765
+=+=
dielementifiniti outilizzarefunzionidiformapiraffinate
( ) yxx
xy
y
8463
87
+++=+=
216
215
21413
21211109
28
27
265
24321
xyyxyxyxyxv
xyyxyxyxyxu
+++++++=
+++++++=
287542 22 yxyyxx ++++=
( ) ( ) ( ) ( ) 2161582713612510316
215141311
222
22
yxyxyx
xyxyx
xy
y
+++++++++=++++=
C. Colombo, L. Patriarca
Funzionediformaperelementopianocon8nodi(16g.d.l)
10Applicativi per il FEM
Ambiente grafico di definizione del
PREPROCESSOREAmbientegrafico didefinizione delproblema(geometria,materiale,vincoli,carichi,elementi,ecc.)Es : ABAQUS CAE PATRANEs.:ABAQUSCAE,PATRAN,
SOLUTOREEsecuzione delcalcolo (lutentenoninterviene)
{ } [ ] { }{ } { } = FKu 1
Es.:ABAQUS,NASTRAN,ANSYS, { } { }
POST PROCESSOREAmbientegrafico perlavalutazionedei risultatiPOSTPROCESSORE deirisultatiEs.:ABAQUSCAE,PATRAN,
C. Colombo, L. Patriarca
11Costruire un modello FEM con Abaqus
Abaqus strutturatoinmoduli attraversoiqualisiprocedeallacostruzioneedefinizionedellecaratteristiche del modello FEcaratteristichedelmodelloFE9 ModuloPART:definizionegeometricadellepartidelcomponente9 ModuloPROPERTY:definizionedellecaratteristichedelmateriale9 d l bl d ll d f9 ModuloASSEMBLY:assemblaggiodellepartidefinite9 ModuloSTEP:creazionedeglistep delleanalisiedefinizionedeglioutput9 ModuloINTERACTION:definizionedicontatti,cricche,molle,eccetera9 ModuloLOAD:definizionedicarichi,condizionialcontorno9 ModuloMESH:costruzionedellamesh9 Modulo JOB: definizione e start dellanalisi9 ModuloJOB:definizioneestartdell analisi9 ModuloVISUALIZATION:visualizzazioneemanipolazionedeirisultatifinalidellanalisi
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12Lastra piana forata
Analisidiunapiastraforata9 Lo spessore S trascurabile rispetto alle altre dimensioni del componente9 LospessoreS trascurabilerispettoallealtredimensionidelcomponente9 LedeformazioniindirezioneZ sonolibere9 Lipotesidistatodisforzopiano(plane stress)ragionevole9 Ilcaricoindirezionexsiassumevalere0=1[Mpa]
ObiettiviObiettivi9 Determinareilcoefficientediintaglio perilforodato9 Tracciare landamento degli sforzi caratteristici9 Tracciarel andamentodeglisforzicaratteristicinellintornodelforo9 Determinarelinfluenzadelladimensionedellelemento finito e la scelta del tipo di elementodellelementofinitoelasceltadeltipodielemento(quindilafunzionediforma)sullasoluzione9 Allungarelapiastraecondensareilcaricodi t ib it i f t l li t ddistribuitoinunaforzapuntuale applicataadunsingolonodo:sufficientelallungamentodellapiastraperpotertrascurareleffettodellasingolaritintrodotta con il carico concentrato?
C. Colombo, L. Patriarca
introdottaconilcaricoconcentrato?
13Lastra piana forata
Simmetriedelcomponente9 Il componente presenta una doppia simmetria in termini geometrici e di carico In9 Ilcomponentepresentaunadoppiasimmetriainterminigeometrici edicarico.Infasedicostruzionediunmodellonumericomoltoimportantesaperindividuare esfruttare lesimmetriedelproblemainesameinquantounariduzionedelnumerodielementi porta a una drastica diminuzione del tempo computazionale per la risoluzioneelementiportaaunadrasticadiminuzionedeltempocomputazionale perlarisoluzionenumericadelmodello.
Geometriadellapiastra
C. Colombo, L. Patriarca
14Coefficiente di intaglio teorico
Definizione9 Gli elementi strutturali reali sono molto diversi da quelli ideali trattati per lo studio dei9 Glielementistrutturalirealisonomoltodiversidaquelliidealitrattatiperlostudiodeicampidisforzoedeformazione.Laforma,ivincolielecondizionidiapplicazionideicarichifannoschenascanolocaliconcentrazionidisforziedeformazioni.Siparlaquindidi sovrasollecitazione di intagliodisovrasollecitazionediintaglio.9 Questoincrementolocaledisforziedeformazionivienequantificatodalcoefficientediintaglio chemisuralaggraviodellostatodisollecitazionenelcorpointagliatorispettoalcorpo non intagliatocorpononintagliato.
i
K = i K = Incampoelasticolineare t KKK ==
n n
9 Incampopluriassiale siintroduceunosforzodiconfrontomassimoottenutoconunopportunocriteriodiresistenza.pp
=n
it
K Attenzionealladipendenzaconilcriteriodiresistenzaadottato!
9 Cisononumeroseraccoltedivaloridelcoefficientediintaglioteoricopersvariategeometrie.
n
C. Colombo, L. Patriarca
15Coefficiente di intaglio teorico per foro circolare su lastra indefinita
SoluzioneSi perviene alla soluzione analitica del problema Landamentodi sul
++
= 24311
240
20 cosaaa
Sipervieneallasoluzioneanaliticadelproblema. contornodelforo
+
+=
++
=
2311
212
12
40
20
242
cosaa
cosrrrr
+=
+
+=
2231
212
12
240
42
senaa
cosrr
+= 212 24 senrrr
C ffi i di i liCoefficientediintaglioAnalizzandolandamentodi sulcontornodelforodiraggioasiottieneilvaloremassimoincorrispondenza
/ /di/2e3/2.
33 max,0max, === tK
C. Colombo, L. Patriarca
0,
16Coefficiente di intaglio teorico per foro circolare su lastra indefinita
Correzioneperastasottiletesa9 Quando la larghezza dellasta sottile non ha Coefficienti di intaglio teorici per9 Quandolalarghezzadell astasottilenonhaunvaloregrandissimorispettoaldiametrodelforosidevetenerecontodellalarghezzab9 La soluzione presentata nelle slide precedenti
Coefficientidiintaglioteoriciperastaforatasottiletesa
9 Lasoluzionepresentatanelleslideprecedentinonpivalida
C. Colombo, L. Patriarca
17Punti dellelaborato
9 Brevedescrizionedelmodellointerminiditipologiadielementiutilizzati,condizionialcontorno, tipo di carico (lobiettivo quello di produrre un report da consegnare a personecontorno,tipodicarico(l obiettivoquellodiprodurreunreportdaconsegnareapersonechegiconosconolamodellazionenumericaaglielementifiniti,evitareintroduzioniteoricheocosediquestotipo!)9 Determinare la dimensione media degli elementi in prossimit del foro per la quale9 Determinareladimensionemediadeglielementiinprossimitdelforoperlaqualelandamentodeglisforzinonsubiscegrossevariazioni,siaperglielementiconfunzionediformalineare,siaperquelliconfunzionediformaquadratica Convergenzadellasoluzione (anche in questo caso apprezzata la capacit di sintesi!)soluzione(ancheinquestocasoapprezzatalacapacitdisintesi!)
Coarse andfiner mesh,quadrilateral elementsCoarse andfiner mesh,linear elements
9 Tracciareglisforzisignificativilungoiduepianidisimmetriamediantegraficiconvaloriestrattidallanalisieimmaginideicontours (comemostratosopra)deglisforzisignificativi
C. Colombo, L. Patriarca
18Punti dellelaborato
9 Aumentarelalunghezzadellapiastranelladirezionediapplicazionedelcaricoesostituiretale carico distribuito con una forza concentrata applicata nel punto posto a met larghezzatalecaricodistribuitoconunaforzaconcentrataapplicatanelpuntopostoametlarghezzadellapiastra:achelunghezzasiperdeleffettodellaforzaconcentrata?
9 Costruireunmodelloconraggiodelforoa=1mmeconfrontarelandamentodeglisforziottenuti con la soluzione analitica (facoltativo ma consigliato!)
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ottenuticonlasoluzioneanalitica(facoltativomaconsigliato!)
19Appendice Comandi utili CREATE PART
Definizionedellageometriadelmodello9 CREATE PART definisce la creazione di9 CREATEPART,definiscelacreazionediunapartegeometrica delmodello 2Dplanar(spazioperla
modellazionedellapartegeometrica)
Deformable(tipologiadelmodello)
Shell (PerciascunModeling Space sonoModeling Space sonodateunsetdifeatureconcuipuesseredefinta la parte)
C. Colombo, L. Patriarca
definta laparte)
20Appendice Comandi utili CREATE PART
Conicomandiallinternodellambientedidisegnosicostruisceilcontornodelcomponente
Createlines (Rectangle oppure Connected) percostruireilcontornorettangolare
C t i l t i il t d l f
C. Colombo, L. Patriarca
Createcircle percostruireilcontornodelforo
21Appendice Comandi utili CREATE PART
Conicomandiallinternodellambientedidisegnosicostruisceilcontornodelcomponente
Add constraint conquestocomandosiintroduconovincolisullageometriainmodotaledamigliorare il controllo per la sua costruzionemigliorareilcontrolloperlasuacostruzione
C. Colombo, L. Patriarca
Add dimension conquestocomandosicontrollanoledimensionidellegeometrietracciate
22Appendice Comandi utili CREATE PART
Tagliodelleentitgeometrichenonnecessarie
C. Colombo, L. Patriarca
23Appendice Comandi utili CREATE PART
Definizionediunapartizionediunasuperficie9 PARTITION lobiettivo quello di creare delle sotto superfici del modello geometrico in9 PARTITION,l obiettivoquellodicrearedellesottosuperficidelmodellogeometricoinmodotaledaaveredellegeometriepisemplicisullequaliadagiarelamesh.Questaoperazionefavorisceilcontrolloelaqualitdellamesh generatasuccessivamente
Createlines (Connected) perdefinireicontornidellepartizioni
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24Appendice Comandi utili MESH
Definizionedellecaratteristichedellamesh9 ASSIGN MESH CONTROLS si assegnano alle superfici del modello geometrico le9 ASSIGNMESHCONTROLS,siassegnanoallesuperficidelmodellogeometricolemodalit concuiilsoftwareprocedeacrearelamesh
Element shape Quad,costruzionediunamesh conelementia4latiT h i St t d lt d ll t i di h t fi i t i h li i l
C. Colombo, L. Patriarca
Technique Structured,sceltadellatecnicadimeshatura,consuperficigeometrichesemplicilastructured latecnicaconsigliata
25Appendice Comandi utili MESH
Definizionedellecaratteristichedellamesh9 SEED EDGE si assegna il grado di infittimento della mesh alle geometrie del9 SEEDEDGE,siassegnailgradodiinfittimentodellamesh allegeometriedelcomponente,questositraducenellassegnareunnumerodielementioppureladimensionemedia.Inoltresipucontrollareladensitlocaledeglielementilungounlato
Seed edge By number,sonoassegnatiilnumerodinodi che si desidera averenodichesidesideraaverelungolageometriascelta,adesempiolalineaevidenziatadaltrattorosso
C. Colombo, L. Patriarca
26Appendice Comandi utili MESH
Definizionedellecaratteristichedellamesh9 ASSIGN ELEMENT TYPE si assegna il tipo di elemento alle regioni selezionate9 ASSIGNELEMENTTYPE,siassegnailtipodielementoalleregioniselezionate
Family(Plane stress)
Geometric order(LinearorQuadratic)
Element controls(default)( )
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27Appendice Comandi utili MESH
Definizionedellecaratteristichedellamesh9 MESH REGION il comando che permette di generare la mesh della regione selezionata9 MESHREGION,ilcomandochepermettedigenerarelamesh dellaregioneselezionata
l d fi i l h l i i i dUnavoltadefinitalamesh perlaprimaregione siprocedeaeseguirelamesh dellealtresuperfici.possibileeseguiredirettamentetuttalamesh delcomponenteconil d h t
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ilcomandomesh part
28Appendice Comandi utili PROPERTY
Definizionedelmaterialedaapplicarealmodello9 PROPERTY permette di definire le caratteristiche del materiale da applicare al modello9 PROPERTY,permettedidefinirelecaratteristichedelmaterialedaapplicarealmodello
11
Creatematerial,definizionedellecaratteristichelinearielastichedel materiale
23delmateriale
Createsection,definizionedellasezione,applicazionedelmateriale allasezioneedefinizionedellospessore (unitario)
Assign section,Selezionedelleregionie applicazione della
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p ( )eapplicazionedellasezionecreata
29Appendice Comandi utili ASSEMBLY
Assemblaggiodellepartidelmodello9 ASSEMBLY il modulo che permette di accorpare una o pi parti del componente9 ASSEMBLY,ilmodulochepermettediaccorpareunaopipartidelcomponente
Instance part,definiscequalepartedeveessereinserita nellassemblaggio del modello, in questo casoinseritanell assemblaggiodelmodello,inquestocasolapartesolouna
C. Colombo, L. Patriarca
30Appendice Comandi utili STEP
Creazionediunostep9 STEP il modulo che permette di creare sequenze di step durante lanalisi che possono9 STEP,ilmodulochepermettedicrearesequenzedistep durantel analisichepossonovariareinterminidicarichievincoli,inoltrepermetteladefinizionedeglioutputdellanalisi.
Static,General,permettedidefinireunanalisiditipostatico
C. Colombo, L. Patriarca
31Appendice Comandi utili LOAD
Definizionedellecondizionialcontorno:carichi9 LOAD il modulo che permette di definire carichi e condizioni al contorno9 LOAD,ilmodulochepermettedidefinirecarichiecondizionialcontorno
Edit load,sidefiniscelavariazione,delcaricoallinternodellostep
C. Colombo, L. Patriarca
32Appendice Comandi utili LOAD
Definizionedellecondizionialcontorno:vincoli9 LOAD il modulo che permette di definire carichi e condizioni al contorno9 LOAD,ilmodulochepermettedidefinirecarichiecondizionialcontorno
C. Colombo, L. Patriarca
33Appendice Comandi utili JOB
Startdellanalisi9 JOB il modulo che permette di far partire lanalisi numerica9 JOB,ilmodulochepermettedifarpartirel analisinumerica
SUBMIT!!!
C. Colombo, L. Patriarca
34Appendice Comandi utili VISUALIZE
Visualizzazionedeirisultati9 VISUALIZE il modulo che permette di analizzare i risultati dellanalisi9 VISUALIZE,ilmodulochepermettedianalizzareirisultatidell analisi
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35Appendice Comandi utili VISUALIZE
Visualizzazionedeirisultati9 VISUALIZE il modulo che permette di analizzare i risultati dellanalisi9 VISUALIZE,ilmodulochepermettedianalizzareirisultatidell analisi
Createpath,definisceuninsiemedinodidaiqualipossibileestrarreivaloridellagrandezza di output desiderata (sforzi Selezione dei lati degli elementi di
C. Colombo, L. Patriarca
grandezzadioutputdesiderata(sforzi,deformazione,temperatura,eccetera)
Selezionedeilatideglielementidiinteresse
36Appendice Comandi utili VISUALIZE
Visualizzazionedeirisultati9 VISUALIZE il modulo che permette di analizzare i risultati dellanalisi9 VISUALIZE,ilmodulochepermettedianalizzareirisultatidell analisi
XYDatafrom path,siscelgonolegrandezzedaplottare infunzionedeinodiselezionati precedentemente e contenuti
C. Colombo, L. Patriarca
selezionatiprecedentementeecontenutinelpath
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