Esercitazione_Lastraforata

Analisi FE con elementi piani di una piastra forata

C. Colombo, L. Patriarca

POLITECNICO DI MILANO, Dipartimento di Meccanica

2Informazioni utili

Auleesercitazioninumeriche9 L 1 3 e L 1 59 L1.3eL1.5

Contatti9 Mail:[email protected] Numerotelefonoufficio: 02239986669 Si riceve solo con appuntamentoSiricevesoloconappuntamento

Lettureconsigliate9 F C i I d i l d d li l i fi i i Pi Edi i9 FrancescoCesariIntroduzionealmetododeglielementifiniti,PitagoraEditriceBologna,19899 R.D.CookFiniteElement Modeling for StressAnalysis,JohnWiley &Sons,Inc.9 O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor,J.Z.ZhuTheFiniteElementMethod:ItsBasisandFundamentals,6th Ed.,ButterworthHeinemann9 O.C.Zienkiewicz,R.L.TaylorTheFiniteElementMethodforSolidandStructuralyMechanics,6th Ed.,ButterworthHeinemann


3Sommario

TematichetrattatenellesercitazioneodiernaAula didatticaAuladidattica9 RichiamisuglielementifinitipianieintroduzioneadAbaqus9 RichiamisullasoluzioneanaliticaperilcasodilastraforataAuleinformatizzate9 Esempioguidatodicostruzionedelmodelloadelementifinitiperlastrapiana9 Esempio guidato di costruzione del modello ad elementi finiti per lastra piana conEsempioguidatodicostruzionedelmodelloadelementifinitiperlastrapianaconforocentrale

AppendiceAppendice9 ComandiutilidiAbaqusperlacostruzionedelmodelloaelementifinitiinesame


4Il metodo degli elementi finiti (FEM)

FEM:FiniteElement Method9 Metodo numerico che si diffonde in corrispondenza dellavvento dei primi calcolatori9 Metodonumerico chesidiffondeincorrispondenzadell avventodeiprimicalcolatori9 Vieneutilizzatoperanalizzaresvariatifenomenifisici(fluidodinamica,acustica,ecc),inparticolarenellambitopistrettamentestrutturale perlenostreapplicazioni9 d l dd d d f9 Lastrutturadaanalizzarevienesuddivisainregionididimensionifinite,ciascunadellequalicostituisceunelementofinito(adifferenzadegliapproccianaliticidovesilavoraconelementiinfinitesimi)99 Glielementisonocollegatifralorosoloinalcunipunti(dettinodi)9 Dallasoluzionediunproblemacontinuopostotipicamenteinterminidiequazionidifferenzialioallederivateparzialisipassaallasoluzionediunproblemadiscretointerminidiunsistemadiequazionilinearidovesideterminanolegrandezzediinteresseincorrispondenzadeinodi

Spostamentideinodi

=

n FuKK

MMMOML 11111

nnnnn FuKK

MML

MOM1

Carichi/condizioniMatrice di


LagrigliavienechiamatameshCarichi/condizioniesterne

Matricedirigidezza

5Problemi 2D

Esempio:piastrasottilesottopostaatrazione9 Lo spessore S trascurabile rispetto alle altre9 LospessoreS trascurabilerispettoallealtredimensionidelcomponente9 LedeformazioniindirezioneZ sonolibere

xyx 02 += yx [ ]

=

z

yyx

xyx

00

02

+=

+=

0

0

yxy

x

xx

EE

EE

}{ [ ] }{ }{ 01 += E

[ ]

= 00

yyx

xyx

+= 0xy

xyxy G

EE

[ ]

000

yyx

01

Ipotesi9 Materialeisotropo9 Stato di sforzo piano

[ ]( )

=

21000101

1 2/

EE

9 Statodisforzopiano


( ) 2100 /

6Elementi finiti piani

Glispostamentideipuntiinterniallelementosonodefinitidaglispostamentideinoditramitele

funzionidiforma

1vuFunzionidiforma

( )( )( )

=

...00

...00,,

2

2

1

21

21

vuv

NNNN

yxvyxu ( )( ) [ ]{ }nodiuNyxv

yxu =

,,

...

9 Le funzioni di forma definiscono in maniera univoca lo stato deformazione interno al9 Lefunzionidiformadefinisconoinmanieraunivocalostatodeformazioneinternoalgenericoelementofinito9 Ilproblemaquellodiscegliereunopportunamorfologiadellefunzionidiformachepermetta di definire le deformazioni dei singoli elementi finiti e approssimare nella


permettadidefinireledeformazionideisingolielementifinitieapprossimare,nellamanieramigliore,larealedeformatadelcontinuo


Ledeformazionisonodeterminateinfunzionedegli

spostamentideipuntiallinternodellelemento

0/Relazione deformazionispostamenti

=

vu

xy

y

x

xy

y

x

//0

/0/

{ }

=vu

yxy //

9 Validesoloperpiccolispostamentip p p9 Lamatricedellederivateunoperatorelineare



Formulazionegeneraledellamatricedirigidezza

{ } [ ]{ } [ ]{ }uBuN == ( )( ) [ ]{ } diuNyxu = ,{ } = u { } [ ]{ } [ ]{ }nodinodi uBuN == ( ) [ ]{ }nodiuNyxv ,{ } v

dVEdU T1{ } [ ]{ } { } [ ] [ ][ ] { } === nodiV TTnodiV T udVBEBudVEU 2121

Energiadideformazioneelastica

dVEdU T 21=

{ }[ ]{ } [ ] [ ] [ ][ ]

==V

Tnodi

Tnodi

VV

dVBEBKuKu21

22

Lamatricedirigidezzadipendedallefunzionidiformaadottate



Funzionediformaperelementopianocon4nodi(8g.d.l)

Per ridurre il pi possibile gli

xyyxvxyyxu

8765

4321

+++=+++=

Perridurreilpipossibileglierrori introdottidalmetodooccorreaumentareilnumerodi elementi finiti o utilizzare

xyx 42

8765

+=+=

dielementifiniti outilizzarefunzionidiformapiraffinate

( ) yxx

xy

y

8463

87

+++=+=

216

215

21413

21211109

28

27

265

24321

xyyxyxyxyxv

xyyxyxyxyxu

+++++++=

+++++++=

287542 22 yxyyxx ++++=

( ) ( ) ( ) ( ) 2161582713612510316

215141311

222

22

yxyxyx

xyxyx

xy

y

+++++++++=++++=


Funzionediformaperelementopianocon8nodi(16g.d.l)

10Applicativi per il FEM

Ambiente grafico di definizione del

PREPROCESSOREAmbientegrafico didefinizione delproblema(geometria,materiale,vincoli,carichi,elementi,ecc.)Es : ABAQUS CAE PATRANEs.:ABAQUSCAE,PATRAN,

SOLUTOREEsecuzione delcalcolo (lutentenoninterviene)

{ } [ ] { }{ } { } = FKu 1

Es.:ABAQUS,NASTRAN,ANSYS, { } { }

POST PROCESSOREAmbientegrafico perlavalutazionedei risultatiPOSTPROCESSORE deirisultatiEs.:ABAQUSCAE,PATRAN,


11Costruire un modello FEM con Abaqus

Abaqus strutturatoinmoduli attraversoiqualisiprocedeallacostruzioneedefinizionedellecaratteristiche del modello FEcaratteristichedelmodelloFE9 ModuloPART:definizionegeometricadellepartidelcomponente9 ModuloPROPERTY:definizionedellecaratteristichedelmateriale9 d l bl d ll d f9 ModuloASSEMBLY:assemblaggiodellepartidefinite9 ModuloSTEP:creazionedeglistep delleanalisiedefinizionedeglioutput9 ModuloINTERACTION:definizionedicontatti,cricche,molle,eccetera9 ModuloLOAD:definizionedicarichi,condizionialcontorno9 ModuloMESH:costruzionedellamesh9 Modulo JOB: definizione e start dellanalisi9 ModuloJOB:definizioneestartdell analisi9 ModuloVISUALIZATION:visualizzazioneemanipolazionedeirisultatifinalidellanalisi


12Lastra piana forata

Analisidiunapiastraforata9 Lo spessore S trascurabile rispetto alle altre dimensioni del componente9 LospessoreS trascurabilerispettoallealtredimensionidelcomponente9 LedeformazioniindirezioneZ sonolibere9 Lipotesidistatodisforzopiano(plane stress)ragionevole9 Ilcaricoindirezionexsiassumevalere0=1[Mpa]

ObiettiviObiettivi9 Determinareilcoefficientediintaglio perilforodato9 Tracciare landamento degli sforzi caratteristici9 Tracciarel andamentodeglisforzicaratteristicinellintornodelforo9 Determinarelinfluenzadelladimensionedellelemento finito e la scelta del tipo di elementodellelementofinitoelasceltadeltipodielemento(quindilafunzionediforma)sullasoluzione9 Allungarelapiastraecondensareilcaricodi t ib it i f t l li t ddistribuitoinunaforzapuntuale applicataadunsingolonodo:sufficientelallungamentodellapiastraperpotertrascurareleffettodellasingolaritintrodotta con il carico concentrato?


introdottaconilcaricoconcentrato?

13Lastra piana forata

Simmetriedelcomponente9 Il componente presenta una doppia simmetria in termini geometrici e di carico In9 Ilcomponentepresentaunadoppiasimmetriainterminigeometrici edicarico.Infasedicostruzionediunmodellonumericomoltoimportantesaperindividuare esfruttare lesimmetriedelproblemainesameinquantounariduzionedelnumerodielementi porta a una drastica diminuzione del tempo computazionale per la risoluzioneelementiportaaunadrasticadiminuzionedeltempocomputazionale perlarisoluzionenumericadelmodello.

Geometriadellapiastra


14Coefficiente di intaglio teorico

Definizione9 Gli elementi strutturali reali sono molto diversi da quelli ideali trattati per lo studio dei9 Glielementistrutturalirealisonomoltodiversidaquelliidealitrattatiperlostudiodeicampidisforzoedeformazione.Laforma,ivincolielecondizionidiapplicazionideicarichifannoschenascanolocaliconcentrazionidisforziedeformazioni.Siparlaquindidi sovrasollecitazione di intagliodisovrasollecitazionediintaglio.9 Questoincrementolocaledisforziedeformazionivienequantificatodalcoefficientediintaglio chemisuralaggraviodellostatodisollecitazionenelcorpointagliatorispettoalcorpo non intagliatocorpononintagliato.

i

K = i K = Incampoelasticolineare t KKK ==

n n

9 Incampopluriassiale siintroduceunosforzodiconfrontomassimoottenutoconunopportunocriteriodiresistenza.pp

=n

it

K Attenzionealladipendenzaconilcriteriodiresistenzaadottato!

9 Cisononumeroseraccoltedivaloridelcoefficientediintaglioteoricopersvariategeometrie.

n


15Coefficiente di intaglio teorico per foro circolare su lastra indefinita

SoluzioneSi perviene alla soluzione analitica del problema Landamentodi sul

++

= 24311

240

20 cosaaa

Sipervieneallasoluzioneanaliticadelproblema. contornodelforo

+

+=

++

=

2311

212

12

40

20

242

cosaa

cosrrrr

+=

+

+=

2231

212

12

240

42

senaa

cosrr

+= 212 24 senrrr

C ffi i di i liCoefficientediintaglioAnalizzandolandamentodi sulcontornodelforodiraggioasiottieneilvaloremassimoincorrispondenza

/ /di/2e3/2.

33 max,0max, === tK


0,

16Coefficiente di intaglio teorico per foro circolare su lastra indefinita

Correzioneperastasottiletesa9 Quando la larghezza dellasta sottile non ha Coefficienti di intaglio teorici per9 Quandolalarghezzadell astasottilenonhaunvaloregrandissimorispettoaldiametrodelforosidevetenerecontodellalarghezzab9 La soluzione presentata nelle slide precedenti

Coefficientidiintaglioteoriciperastaforatasottiletesa

9 Lasoluzionepresentatanelleslideprecedentinonpivalida


17Punti dellelaborato

9 Brevedescrizionedelmodellointerminiditipologiadielementiutilizzati,condizionialcontorno, tipo di carico (lobiettivo quello di produrre un report da consegnare a personecontorno,tipodicarico(l obiettivoquellodiprodurreunreportdaconsegnareapersonechegiconosconolamodellazionenumericaaglielementifiniti,evitareintroduzioniteoricheocosediquestotipo!)9 Determinare la dimensione media degli elementi in prossimit del foro per la quale9 Determinareladimensionemediadeglielementiinprossimitdelforoperlaqualelandamentodeglisforzinonsubiscegrossevariazioni,siaperglielementiconfunzionediformalineare,siaperquelliconfunzionediformaquadratica Convergenzadellasoluzione (anche in questo caso apprezzata la capacit di sintesi!)soluzione(ancheinquestocasoapprezzatalacapacitdisintesi!)

Coarse andfiner mesh,quadrilateral elementsCoarse andfiner mesh,linear elements

9 Tracciareglisforzisignificativilungoiduepianidisimmetriamediantegraficiconvaloriestrattidallanalisieimmaginideicontours (comemostratosopra)deglisforzisignificativi


18Punti dellelaborato

9 Aumentarelalunghezzadellapiastranelladirezionediapplicazionedelcaricoesostituiretale carico distribuito con una forza concentrata applicata nel punto posto a met larghezzatalecaricodistribuitoconunaforzaconcentrataapplicatanelpuntopostoametlarghezzadellapiastra:achelunghezzasiperdeleffettodellaforzaconcentrata?

9 Costruireunmodelloconraggiodelforoa=1mmeconfrontarelandamentodeglisforziottenuti con la soluzione analitica (facoltativo ma consigliato!)


ottenuticonlasoluzioneanalitica(facoltativomaconsigliato!)

19Appendice Comandi utili CREATE PART

Definizionedellageometriadelmodello9 CREATE PART definisce la creazione di9 CREATEPART,definiscelacreazionediunapartegeometrica delmodello 2Dplanar(spazioperla

modellazionedellapartegeometrica)

Deformable(tipologiadelmodello)

Shell (PerciascunModeling Space sonoModeling Space sonodateunsetdifeatureconcuipuesseredefinta la parte)


definta laparte)


Conicomandiallinternodellambientedidisegnosicostruisceilcontornodelcomponente

Createlines (Rectangle oppure Connected) percostruireilcontornorettangolare

C t i l t i il t d l f


Createcircle percostruireilcontornodelforo


Conicomandiallinternodellambientedidisegnosicostruisceilcontornodelcomponente

Add constraint conquestocomandosiintroduconovincolisullageometriainmodotaledamigliorare il controllo per la sua costruzionemigliorareilcontrolloperlasuacostruzione


Add dimension conquestocomandosicontrollanoledimensionidellegeometrietracciate


Tagliodelleentitgeometrichenonnecessarie



Definizionediunapartizionediunasuperficie9 PARTITION lobiettivo quello di creare delle sotto superfici del modello geometrico in9 PARTITION,l obiettivoquellodicrearedellesottosuperficidelmodellogeometricoinmodotaledaaveredellegeometriepisemplicisullequaliadagiarelamesh.Questaoperazionefavorisceilcontrolloelaqualitdellamesh generatasuccessivamente

Createlines (Connected) perdefinireicontornidellepartizioni


24Appendice Comandi utili MESH

Definizionedellecaratteristichedellamesh9 ASSIGN MESH CONTROLS si assegnano alle superfici del modello geometrico le9 ASSIGNMESHCONTROLS,siassegnanoallesuperficidelmodellogeometricolemodalit concuiilsoftwareprocedeacrearelamesh

Element shape Quad,costruzionediunamesh conelementia4latiT h i St t d lt d ll t i di h t fi i t i h li i l


Technique Structured,sceltadellatecnicadimeshatura,consuperficigeometrichesemplicilastructured latecnicaconsigliata


Definizionedellecaratteristichedellamesh9 SEED EDGE si assegna il grado di infittimento della mesh alle geometrie del9 SEEDEDGE,siassegnailgradodiinfittimentodellamesh allegeometriedelcomponente,questositraducenellassegnareunnumerodielementioppureladimensionemedia.Inoltresipucontrollareladensitlocaledeglielementilungounlato

Seed edge By number,sonoassegnatiilnumerodinodi che si desidera averenodichesidesideraaverelungolageometriascelta,adesempiolalineaevidenziatadaltrattorosso



Definizionedellecaratteristichedellamesh9 ASSIGN ELEMENT TYPE si assegna il tipo di elemento alle regioni selezionate9 ASSIGNELEMENTTYPE,siassegnailtipodielementoalleregioniselezionate

Family(Plane stress)

Geometric order(LinearorQuadratic)

Element controls(default)( )



Definizionedellecaratteristichedellamesh9 MESH REGION il comando che permette di generare la mesh della regione selezionata9 MESHREGION,ilcomandochepermettedigenerarelamesh dellaregioneselezionata

l d fi i l h l i i i dUnavoltadefinitalamesh perlaprimaregione siprocedeaeseguirelamesh dellealtresuperfici.possibileeseguiredirettamentetuttalamesh delcomponenteconil d h t


ilcomandomesh part

28Appendice Comandi utili PROPERTY

Definizionedelmaterialedaapplicarealmodello9 PROPERTY permette di definire le caratteristiche del materiale da applicare al modello9 PROPERTY,permettedidefinirelecaratteristichedelmaterialedaapplicarealmodello

11

Creatematerial,definizionedellecaratteristichelinearielastichedel materiale

23delmateriale

Createsection,definizionedellasezione,applicazionedelmateriale allasezioneedefinizionedellospessore (unitario)

Assign section,Selezionedelleregionie applicazione della


p ( )eapplicazionedellasezionecreata

29Appendice Comandi utili ASSEMBLY

Assemblaggiodellepartidelmodello9 ASSEMBLY il modulo che permette di accorpare una o pi parti del componente9 ASSEMBLY,ilmodulochepermettediaccorpareunaopipartidelcomponente

Instance part,definiscequalepartedeveessereinserita nellassemblaggio del modello, in questo casoinseritanell assemblaggiodelmodello,inquestocasolapartesolouna


30Appendice Comandi utili STEP

Creazionediunostep9 STEP il modulo che permette di creare sequenze di step durante lanalisi che possono9 STEP,ilmodulochepermettedicrearesequenzedistep durantel analisichepossonovariareinterminidicarichievincoli,inoltrepermetteladefinizionedeglioutputdellanalisi.

Static,General,permettedidefinireunanalisiditipostatico


31Appendice Comandi utili LOAD

Definizionedellecondizionialcontorno:carichi9 LOAD il modulo che permette di definire carichi e condizioni al contorno9 LOAD,ilmodulochepermettedidefinirecarichiecondizionialcontorno

Edit load,sidefiniscelavariazione,delcaricoallinternodellostep


32Appendice Comandi utili LOAD

Definizionedellecondizionialcontorno:vincoli9 LOAD il modulo che permette di definire carichi e condizioni al contorno9 LOAD,ilmodulochepermettedidefinirecarichiecondizionialcontorno


33Appendice Comandi utili JOB

Startdellanalisi9 JOB il modulo che permette di far partire lanalisi numerica9 JOB,ilmodulochepermettedifarpartirel analisinumerica

SUBMIT!!!


34Appendice Comandi utili VISUALIZE

Visualizzazionedeirisultati9 VISUALIZE il modulo che permette di analizzare i risultati dellanalisi9 VISUALIZE,ilmodulochepermettedianalizzareirisultatidell analisi




Createpath,definisceuninsiemedinodidaiqualipossibileestrarreivaloridellagrandezza di output desiderata (sforzi Selezione dei lati degli elementi di


grandezzadioutputdesiderata(sforzi,deformazione,temperatura,eccetera)

Selezionedeilatideglielementidiinteresse



XYDatafrom path,siscelgonolegrandezzedaplottare infunzionedeinodiselezionati precedentemente e contenuti


selezionatiprecedentementeecontenutinelpath

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