Estructuras lingüísticas, ejemplificaciones y...

Estructuras lingüísticas, ejemplificaciones y morfismos

Marco A. Perez - IMATE

(junto con David I. Spivak - MIT)

Noviembre 30, 2015

Marco A. Pérez (maperez@im.unam.mx) Estructuras lingüísticas, ejemplificaciones y morfismos

Introducción y motivación

• Problema general:

Comunicación de un fenómeno o de un experimento.

Suele hacerse por medio de artículos de investigación y/o

libros (prosa).

• Pregunta:

¿Qué otras formas distintas a la prosa existen para

representar el conocimiento?

• Idea:

Considerar las oraciones del idioma inglés como morfismos.

Algo de historia

� [2012] Registros ontológicos: categorías y funtores.

(D. I. Spivak, R. Kent). Ologs: A categorical framework for

knowledge representation.

� [2015] Formalización de registros ontológicos: bicategorías,

funtores laxos y transformaciones laxas.

(-, D. I. Spivak). Toward formalizing ologs: linguistic structures,

instantiations, and mappings.

Registros ontológicos: à la Kent-Spivak

Definición (informal)

Un registro ontológico (también llamado olog, de “ontologylog”) es una categoría que modela una situación dada del mundo

a person an address

a city

lives at

lives inincludes

Registros ontológicos: ventajas

• Dan una formulación precisa de una situación conceptual.

• De puede extender a medida que se obtiene nueva

información.

• Puede ser referido de forma fácil y precisa por otros autores.

• Se pueden comparar por medio de funtores.

• Se pueden convertir en un esquema de bases de datos, y

almacenados en una computadora.

pan amino acid

found in diaryh parginine h

an amino acid

an amine group a carboxylic acid

has has

información.

pan amino acid

found in diaryh parginine h p

an electrically

charged side

pan amino acid h pa side chain h

pan amine group h pa carboxylic acid h

has has

información.

C : pa moonh pa planethorbits

a moon orbits a planet, namely

The Moon Earth

Phobos Mars

Deimos Mars

Ganymede Jupiter

Titan Saturn

Ejemplificación: un funtor C −→ Set.

Registros ontológicos: desventajas

• Dada una ejemplificación C −→ Set, no hay manera de

asegurar que lo datos arrojados en Set correspondan con el

significado de los conceptos descritos en C.

• Los autores que diseñan un registro ontológico no forman

parte de su estructura.

Registros ontológicos: desventajas

• Puede darse el caso que los funtores entre registros no

tengan un significado:

pa manh

pan objecth

is“?”−−−−−→

pa womanh

pa number between 20 and 500h

has as weight (in kilograms)

Esquema

1 Estructuras lingüísticas:

Viendo al idioma inglés como una bicategoría.

2 Funtores lingüísticos:

Morfismos entre registros ontológicos.

3 Ejemplificaciones sobre estructuras lingüísticas:

Bases de datos.

4 Funtores ejemplificados:

Preservación de bases de datos.

Esquema

1 Estructuras lingüísticas:Viendo al idioma inglés como una bicategoría.

Bases de datos.

Expresiones lingüísticas

DefiniciónUna frase nominal está formada por un artículo indefinido “a/an”

seguido por un sustantivo en Inglés, el cual refiere a un concepto

para el cual un autor puede dar un conjunto de ejemplos.

DefiniciónDadas dos frases nominales N1 y N2 y una frase verbalV,

diremos queV conecta funcionalmente N1 and N2 si la

concatenación 〈〈N1VN2〉〉 refiere a una oración funcional.

pa personh pa womanhhas as mother

define una oración funcional.

pa womanh pa caninehhas as dog?

no es funcional.

Definición

Dos oraciones Σ = (N1,V,N2) y Σ′ = (N1,V′,N2) se dicen

equivalentes, denotado Σ ' Σ′ (o tambiénV ' V′), si refieren a

la misma relación funcional.

pan integerh pan integerh

has as successor

yields, by adding 1,

Definición

La concatenación de Σ1 = (N1,V1,N2) y Σ2 = (N2,V2,N3) se

define como la oración

Σ1; Σ2 := (N1,V1;V2,N3)

〈〈V1;V2〉〉 := 〈〈V1N2〉〉 “which” 〈〈V2〉〉

pa personh pan addressh

pa cityh

lives at

lives inincludes

Este diagrama (mejor conocido como un hecho) se lee como sigue:

For any person x, we know that x lives at an address

which includes a city y1, and we know that x lives in a

city y2; and the fact is, y1 and y2 are the same for any x.

El diagrama

pa personh pa cityh

pan addressh pa house numberh

lives in

lives athas its most

affluent residence at

includes

no es un hecho.

Autores y el concepto de aprobación

Sea s un autor.

DefiniciónSea N una frase nominal. Diremos que s aprueba una frase

nominal N , denotado s |= N , si el concepto al cual refiere 〈〈N〉〉 es

reconocible por s, es decir, si s está de acuerdo que N refiere a

un conjunto para el cual se pueden registrar ejemplos.

Definición

Sea Σ = (N1,V,N2) una oración tal que s |= N1 y s |= N2.

Diremos que s apruebaV si s está de acuerdo que 〈〈N1VN2〉〉

refiere a una oración funcional, y entiende cómo los ejemplos de

N1 corresponden a ejemplos de N2 a través deV.

Autores y el concepto de aprobación

Sea s un autor.

Definición

Sean Σ = (N1,V,N2) y Σ′ = (N1,V′,N2) dos oraciones tales

que s |= Σ y s |= Σ′. Diremos que s aprueba que Σ y Σ′ son

equivalentes, denotado s |= [Σ ' Σ′], si s está de acuerdo queV

yV′ refieren a la misma relación funcional, y queV yV′ actúan

de la misma forma sobre los ejemplos de N1.

Postulados de aprobación

PostuladoSean Σ1 y Σ2 dos oraciones concatenables. Si s |= Σ1 y s |= Σ2,

entonces s |= Σ1; Σ2.

PostuladoAsumiremos que existe una única frase verbal e, que se lee

〈〈e〉〉 = “is of course”

tal que si N es una frase nominal y s es un autor con s |= N ,

entonces s |= (N , e,N).

A la frase e la llamaremos frase verbal unidad.

Postulados de aprobación

Postulado

Para toda oración Σ = (N1,V,N2) y para todo autor s, si s |= Σ

entonces

s |= [Σ; (N2, e,N2) ' Σ] y s |= [(N1, e,N1); Σ ' Σ].

Estructura de bicategoría del idioma Inglés

Definición (0-células)

Un tipoN = (N ,T)

consiste en una frase nominal N y en un conjunto de autores T tal

que T |= N .

Denotamos

Auth(N) := T .

Definición (1-células)Dados dos tipos N1 y N2, un aspecto de N1 a N2, denotado

V : N1 → N2, consiste en un par

V = (V,A)

dondeV es una frase verbal, y A es un conjunto de autores tal

que A ⊆ Auth(N1) ∩ Auth(N2) y A |= V.

Denotamos

Auth(V) := A .

Definición (2-células)Dados dos tipos N1 y N2, y dos aspectos V1,V2 : N1 → N2, un

hecho de V1 a V2, denotado

F : V1 ⇒ V2,

está dado por un conjunto de autores F ⊆ Auth(V1) ∩ Auth(V2) tal

que F |= [V1 ' V2].

N1 ⇓ F N2

Construcción de Eng:

• Denotaremos por Ob(Eng) la colección de todos los tipos.

• Para cada par de tipos N1,N2 ∈ Ob(Eng), existe una

categoría Eng(N1,N2), cuyos objetos están dados por

aspectos

V : N1 → N2,

y los morfismos entre aspectos V1,V2 : N1 → N2 están dados

por hechos

F : V1 ⇒ V2.

• Composiciones verticales:

N1 N2 := N1 N2

⇓ F1

⇓ F2

⇓ F1 ∩ F2

PostuladoDadas tres frases verbalesV1,V2,V3 : N1 → N2. Si s es un autor

tal que s |= [V1 ' V2] y s |= [V2 ' V3], entonces s |= [V1 ' V3].

• Hecho identidad:

Para todo aspecto V : N1 → N2, se tiene un hecho

⇓ Auth(V)

• Composiciones horizontales:

Eng(N1,N2) × Eng(N2,N3) −→ Eng(N1,N3)

(V ,V ′) 7→ V ; V ′ sobre aspectos,

(F ,F ′) 7→ F • F ′ sobre hechos.

V ; V ′ := ((V;V′),Auth(V) ∩ Auth(V ′)),

y para F : V1 ⇒ V2 y F ′ : V ′1 ⇒ V ′2, F • F ′ : V1; V ′1 ⇒ V2; V ′2 es

el hecho

F ∩ F ′ |= [(V1;V2) ' (V′1;V′2)].

N1 N2 N3 := N1 N3

V ′1 V ′2

V ′1;V′2

⇓ F ⇓ F ′ ⇓ F ∩ F ′

PostuladoSeanV1,V

′1 : N → N ′ yV2,V

′2 : N ′ → N ′′ frases verbales, y s

un autor tal que s |= [V1 ' V′1] y s |= [V2 ' V

′2].

Entonces

s |= [V1;V2 ' V′1;V′2].

Proposición (-, D. I. Spivak)

La colección Eng de todos los tipos, aspectos y hechos, equipada

con las operaciones anteriores, define una bicategoría.

Registros ontológicos (redefinidos)

DefiniciónDada una categoría pequeña C. Una estructura lingüística sobre

C es un funtor laxo

L : C −→ Eng.

Un registro ontológico es un par (C, L) donde C es una

categoría pequeña y L es una estructura lingüística sobre C.

Dada una estructura lingüística L : C −→ Eng:

• Cada objeto c ∈ Ob(C) es enviado a un tipo

L(c) = (L(c),Auth(L(c))), es decir Auth(L(c)) |= L(c).

• Cada morfismo f : c → c′ en C es enviado a un aspecto

L(f) = (L(f),Auth(f)) : L(c)→ L(c′)

donde L(f) : L(c)→ L(c′) es una frase verbal con

Auth(L(f)) |= L(f)

Auth(L(f)) ⊆ Auth(L(c)) ∩ Auth(L(c′)).

• Cada par de morfismos 1f−→ 2

g−→ 3 en C, con h = f ; g, es

enviado a una 2-célula (hecho) F : L(f); L(g)⇒ L(h), es decir

F |= [L(f);L(g) ' L(h)].

L(1) L(2)

L(h)L(g)

Sea C la categoría

•1 •2

con la estructura lingüística

(C, L) =

1pa personh

pa pair (w,m) where w isa woman and m is a man

3pa womanh

has as parents

has as mother

yields as w

Esquema

2 Funtores lingüísticos:Morfismos entre registros ontológicos.

Bases de datos.

Funtores lingüísticos

Definición

Sean (C, L) y (D,M) dos registros ontológicos. Un funtorlingüístico entre ellos, denotado

(F ,F]) : (C, L) −→ (D,M),

consiste en un funtor F : C −→ D junto con una transformación

laxa F] : L ; M ◦ F .

El morfismo F] incluye:

• Para cada c ∈ Ob(C), un aspecto

F]c : L(c) ; M(Fc),

llamado c-componente de F], con un conjunto de autores

Auth(F]c) |= F]c .

• Para cada morfismo f : c → c′, se tiene un hecho

L(c) M(Fc)

L(c′) M(Fc′)

F#c′

L(f) M(Ff)

Definición

Si F] es la identidad, en cuyo caso tenemos

L = M ◦ F ,

diremos que L es el pullback de M a lo largo de F , y denotamos

L = F∗(M).

(C, L) :=

1pa manh

2pan objecth

(D,M):=

apa womanh

cpan animalh

pa numberbetween

20 and 500

pa numberh

has as weight(in kilograms) has as weight

(in kilograms)

Sean F ,G : C −→ D los siguientes funtores:

C D C D

1 c 1 a

2 d 2 b

Pregunta

¿Se pueden extender F y G a funtores lingüísticos?

(C,F∗(M)) :=

1pan animalh

2pa numberh

has as weight(in kilograms)

F] ?←−−−−−

(C, L) :=

1pa manh

2pan objecth

G] ?−−−−−→

(C,G∗(M)) :=

1pa womanh

pa numberbetween

20 and 120

Construcción de F] : L ; M ◦ F :

pa manh1

pan animalh

pan objecth2

pa numberh

¿Se puede construir G] : L ; M ◦ G?:

pa manh1

pa womanh

pan objecth

pa number between

20 and 120h

has as mother

Esquema

3 Ejemplificaciones sobre estructuras lingüísticas:Bases de datos.

El idioma Inglés con ejemplos

DefiniciónSea N una frase nominal. Diremos que x es un token de N si x

es un ejemplo para el cual la el concepto 〈〈N〉〉 aplica, es decir, si

la siguiente oración es cierta:

N(x) := x “is” 〈〈N〉〉

Dado un autor s, si s |= N y N(x) es cierta según s, diremos que

s aprueba a x como token de N , denotado

s |= (x : N).

Definición

Sea (N1,V,N2) una oración, x e y tokens de N1 y N2,

respectivamente. Diremos que x corresponde a y a través deV

si la siguiente oración es cierta:

V(x, y) := x “is” 〈〈N1〉〉 “which” 〈〈VN2〉〉, “namely” y

Si s es un autor tal que

s |= (N1,V,N2), s |= (x : N1), s |= (y : N2),

yV(x, y) es cierta según s, entonces diremos que s aprueba la

correspondenciaV(x, y) entre x e y, denotado

s |= V(x, y).

pa US presidenth pan integerh

can, using the usual chronologicalordering of presidents, be assigned

s |= (Abraham Lincoln : a US president),

s |= (16 : an integer).

Entonces s |= V(Abraham Lincoln, 16) si la siguiente oración es

cierta:

Abraham Lincoln is a US president which can, using the

usual chronological ordering of presidents, be assigned

an integer, namely 16.

Definición

Un tipo ejemplificado es un par N = (N,T), donde N es un tipo

con frase nominal N y T es un conjunto tal que para todo x ∈ T,

tenemos

Auth(N) |= (x : N).

Denotamos el conjunto T por T(N) := T.

Definición

Sean N1 y N2 dos tipos ejemplificados. Un aspecto ejemplificadode N1 a N2, denotado

V : N1 → N2,

consiste en un par (V , f), donde V : N1 → N2 es un aspeto, y f es

una función f : T(N1)→ T(N2), tal que para todo token x ∈ T(N1),

se tiene

Auth(V) |= V(x, f(x)).

Denotaremos la función f por T(V) := f .

Definición

Dados dos aspectos ejemplificados V1,V2 : N1 → N2 tales que

T(V1) = T(V2). Un hecho ejemplificado de V1 a V2, denotado

F : V1 ⇒ V2,

consiste en un hecho F = F , donde F |= [V1 ' V2].

La colección InstEng de todos los tipos, aspectos y hechos

ejemplificados define una bicategoría.

(a) Las aplicaciones

N 7→ N, para todo tipo ejemplificado N,

V 7→ V , para todo aspecto ejemplificado V ,

definen un funtor estricto entre bicategorías

U : InstEng −→ Eng.

(b) Las aplicaciones

N 7→ T(N), para todo tipo ejemplificado N,

V 7→ T(V), para todo aspecto ejemplificado V ,

definen un funtor estricto entre bicategorías

T : InstEng −→ Set.

(c) Juntos, estos funtores definen una inclusión

(U,T) : InstEng ↪→ Eng × Set.

Estructuras lingüísticas ejemplificadas

DefiniciónSea C una categoría pequeña. Una estructura lingüísticaejemplificada sobre C es un funtor laxo

L : C −→ InstEng.

Un registro ontológico ejemplificado es un par (C, L) donde C

es una categoría pequeña y L : C −→ InstEng es una estructura

lingüística ejemplificada sobre C.

DefiniciónDada una estructura lingüística L : C −→ Eng y un funtor

I : C −→ Set, diremos que I se ajusta a L si el par

(L , I) : C −→ Eng × Set se factoriza a través de InstEng.

C Eng × Set

InstEng

(L , I)

L(U,T)

Al funtor L se le denomina ejemplificación de L .

Observación

Toda estructura lingüística ejemplificada L : C −→ InstEng está

dada por un par (L , I), donde L : C −→ Eng es una estructura

lingüística y I : C −→ Set es un funtor que se ajusta a L .

A saber:

L = CL−→ InstEng

U−→ Eng,

I = CL−→ InstEng

T−→ Set.

Dado el registro ontológico (C, L):

pa personh pa fatherhhas

Consideremos un funtor I : C −→ Set con los siguientes datos re-

gistrados:

a person has a father, namely

George W. Bush George H. W. Bush

Jeb Bush George H. W. Bush

Emmy Noether Max Noether

a father

George H. W. Bush

Max Noether

Bill Clinton

Para que (L , I) sea válido como estructura lingüístuca ejemplifica-

da, los autores deben aprobar los tokens anteriores y las siguientes

oraciones:

• “George W. Bush is a person, which has a father, namely George H. W.Bush”.

• “Jeb Bush is a person, which has a father, namely George H. W. Bush”.

• “Emmy Noether is a person, which has a father, namely Max Noether”.

Esquema

Bases de datos.

4 Funtores ejemplificados:Preservación de bases de datos.

Funtores lingüísticos ejemplificados

Definición

Dados dos registros ontológicos ejemplificados (C, L) y (D,M).

Un funtor lingüístico ejemplificado entre ellos, denotado

(F ,F \) : (C, L) −→ (D,M)

consiste en un funtor F : C −→ D y en una transformación laxa

F \ : L ; M ◦ F .

InstEng

Observación

Sean (C, L) y (D,M) dos registros ontológicos ejemplificados,

L = (L , I) : C −→ Eng × Set,

M = (M, J) : D −→ Eng × Set.

Un funtor lingüístico ejemplificado (C, L) −→ (D,M) está dado

• Un funtor F : C −→ D.

• Una transformación laxa F] : L ; M ◦ F .

• Una transformación natural F[ : I ⇒ J ◦ F que se ajusta a F].

ObservaciónEsto último quiere decir que la transformación laxa

(F],F[) : C −→ Eng × Set

se factoriza a través de la inclusión InstEng ↪→ Eng × Set.

Explícitamente: Para cada c ∈ Ob(C) se tienen un aspecto y una

función

F]c : L(c) ; M(Fc) y F[c : I(c)→ J(Fc)

tales que

s |= F]c(x,F[c(x)) ∀x ∈ I(c) y ∀s ∈ Auth(F]c(x)).

M ◦F

J ◦ F

Sean I : C −→ Set y J : D −→ Set dos ejemplificaciones (también

llamadas esquemas de bases de datos).

Supongamos que estas dos bases de datos se quieren unir por

medio de un funtor F : C −→ D, es decir, se quiere hallar

F[ : I ⇒ J ◦ F .

ObservaciónEsta tarea es más fácil si se cuenta con una transformación laxa

F] para la cual se ajuste F[.

Supongamos

(C, L) =1

pa humanhF−→ (D,M) =

pa personh

I(1) :=a human

Emmy Noether

George W. Bush

J(a) :=

a person

Emmy Noether

Max Noether

Bill Clinton

George H. W. Bush

George W. Bush

Existen 52 = 25 formas de definir I ⇒ J ◦ F .

Supongamos que tenemos las siguientes opciones para F]:

F] = pa humanh pa personhis

F∗ = pa humanh pa personhhas as father

Así se tiene:

(F],F[) : =

a human is a person, namely

Emmy Noether Emmy Noether

George W. Bush George W. Bush

(F∗,F !) : =

a human has as father a person, namely

Emmy Noether Max Noether

George W. Bush George H. W. Bush

¡Muchas gracias por su atención!

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