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tudes de fonctions
tudes de fonctions
Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
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tudes de fonctions
1 tudes de fonctionsf
(x
) = (x
2 1
)ln1+x
1x
f(x) = exp(tanx).cosx
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0
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1+
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0
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1+x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0 x] 1 ,1[
Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
d d f i f l
1+x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0 x] 1 ,1[
1.2 f(x) = (x2 1) ln
1x1+x
= f(x)
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t d d f ti f( ) ( 1) l
1+x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0 x] 1 ,1[
1.2 f(x) = (x2 1) ln
1x1+x
= f(x)
La fonction est impaire, ltude sur [0 ,1[suffit.
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tudes de fonctions f(x) (x 1) ln
1+x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0 x] 1 ,1[
1.2 f(x) = (x2 1) ln
1x1+x
= f(x)
La fonction est impaire, ltude sur [0 ,1[suffit.
1.3 limites aux bornes, calcul de : limx1
f(x)
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tudes de fonctions f(x) (x 1) ln
1+x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0 x] 1 ,1[
1.2 f(x) = (x2 1) ln
1x1+x
= f(x)
La fonction est impaire, ltude sur [0 ,1[suffit.
1.3 limites aux bornes, calcul de : limx1
f(x)
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0 x] 1 ,1[
1.2 f(x) = (x2 1) ln
1x1+x
= f(x)
La fonction est impaire, ltude sur [0 ,1[suffit.
1.3 limites aux bornes, calcul de : limx1
f(x)
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
limu0
u ln(u) = 0 limx1
(x 1) ln(1x)= 0
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0 x] 1 ,1[
1.2 f(x) = (x2 1) ln
1x1+x
= f(x)
La fonction est impaire, ltude sur [0 ,1[suffit.
1.3 limites aux bornes, calcul de : limx1
f(x)
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
limu0
u ln(u) = 0 limx1
(x 1) ln(1x)= 0 lim
x1f(x) = 0
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1
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tudes de fonctions f(x) (x 1) ln
1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction logarithme est dfinie pour x>0.Il faut que :1+x1x>0 (1 +x)(1x) >0 x] 1 ,1[
1.2 f(x) = (x2 1) ln
1x1+x
= f(x)
La fonction est impaire, ltude sur [0 ,1[suffit.
1.3 limites aux bornes, calcul de : limx1
f(x)
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
limu0
u ln(u) = 0 limx1
(x 1) ln(1x)= 0 lim
x1f(x) = 0
On tudiera f sur [0 ,1]en posant f(1) = 0 et on complterapar symtrie par rapport (0 ,0)(fonction impaire).
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1 x
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( ) ( )
1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
2. La drive :
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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( ) ( )
1x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
2. La drive :
f(x) = 2xln(1 +x) +
x2 1
1 +x
2xln(1x) +x
2 1
1x(1)
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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1 x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
2. La drive :
f(x) = 2xln(1 +x) +
x2 1
1 +x
2xln(1x) +x
2 1
1x(1)
= 2xln1 +x
1x
2
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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1 x
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
2. La drive :
f(x) = 2xln(1 +x) +
x2 1
1 +x
2xln(1x) +x
2 1
1x(1)
= 2xln1 +x
1x
2
= 2x
ln1 +x
1x
1
x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
2. La drive :
f(x) = 2xln(1 +x) +
x2 1
1 +x
2xln(1x) +x
2 1
1x(1)
= 2xln1 +x
1x
2
= 2x
ln1 +x
1x
1
x
Sur ]0 ,1[, f(x)est donc du signe de g(x) = ln
1+x1x
1x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
tude du signe de :
g(x) = ln1 +x
1x
1
x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
tude du signe de :
g(x) = ln1 +x
1x
1
x= ln(1 +x) ln(1x)
1
x
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
tude du signe de :
g(x) = ln1 +x
1x
1
x= ln(1 +x) ln(1x)
1
x
g(x) =
1
1 +x+
1
1x+
1
x2
=1 +x
2
x2
(1x2
)
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
tude du signe de :
g(x) = ln1 +x
1x
1
x= ln(1 +x) ln(1x)
1
x
g(x) =
1
1 +x+
1
1x+
1
x2
=1 +x
2
x2
(1x2
)
gest donc strictement croissante sur ]0 ,1[.
Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
tude du signe de :
g(x) = ln1 +x
1x
1
x= ln(1 +x) ln(1x)
1
x
g(x) =
1
1 +x+
1
1x+
1
x2
=1 +x
2
x2
(1x2
)
gest donc strictement croissante sur ]0 ,1[.
limx0
+g(x) = et lim
x1g(x) = +
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
tude du signe de :
g(x) = ln1 +x
1x
1
x= ln(1 +x) ln(1x)
1
x
g(x) =
1
1 +x+
1
1x+
1
x2
=1 +x
2
x2
(1x2
)
gest donc strictement croissante sur ]0 ,1[.
limx0
+g(x) = et lim
x1g(x) = + x0 ]0 ,1[ : g(x0) = 0
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
2 1
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
2. La drivef(x) = 2x
ln1 +x
1x
1
x
= 2xg(x)
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
2
1
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
2. La drivef(x) = 2x
ln1 +x
1x
1
x
= 2xg(x)
sannule donc une seule fois en x0 ]0 ,1[
Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
2
1+
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
2. La drivef(x) = 2x
ln1 +x
1x
1
x
= 2xg(x)
sannule donc une seule fois en x0 ]0 ,1[
si 0
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27/57
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
2. La drivef(x) = 2x
ln1 +x
1x
1
x
= 2xg(x)
sannule donc une seule fois en x0 ]0 ,1[
si 0
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
f(x) = (x+ 1)(x 1) ln(1 +x) (x+ 1)(x 1) ln(1x)
2. La drivef(x) = 2x
ln1 +x
1x
1
x
= 2xg(x)
sannule donc une seule fois en x0 ]0 ,1[
si 0
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
3. Tableau des variations.
x 0 x0 1f(x)2 0 + +
f(x) 0 f(x0)
0
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tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f ( ) (2 1) l
1+x
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f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
y
x0 1x0
f(x0)
Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f ( ) (2 1) l
1+x
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31/57
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
y
x0 1x0
f(x0)
Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
tudes de fonctions f(x) = (x 1) ln
1+x1x
f ( ) (2 1) l
1+x
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32/57
f(x) = (x2 1) ln
1+x1x
y
x0 1
1
x0
f(x0)
x0
f(x0)
Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f ( ) exp(tan ) cos
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f(x) = exp(tanx).cosx1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction tangente nest dfinie que pour x= 2 + k, k R ; donc
fest dfinie pourx= 2 + k, k R.
Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) exp(tanx) cosx
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f(x) = exp(tanx).cosx1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction tangente nest dfinie que pour x= 2 + k, k R ; donc
fest dfinie pourx= 2 + k, k R.
1.2 f(x+ 2) = exp
tan(x+ 2).cos(x+ 2) = f(x)puisque la
tangente est -priodique et le cosinus 2-priodique.
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) exp(tanx) cosx
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f(x) = exp(tanx).cosx1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction tangente nest dfinie que pour x= 2 + k, k R ; donc
fest dfinie pourx= 2 + k, k R.
1.2 f(x+ 2) = exp
tan(x+ 2).cos(x+ 2) = f(x)puisque la
tangente est -priodique et le cosinus 2-priodique.
On fera ltude sur : ] 2 ,3
2 [
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) exp(tanx) cosx
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36/57
f(x) = exp(tanx).cosx1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction tangente nest dfinie que pour x= 2 + k, k R ; donc
fest dfinie pourx= 2 + k, k R.
1.2 f(x+ 2) = exp
tan(x+ 2).cos(x+ 2) = f(x)puisque la
tangente est -priodique et le cosinus 2-priodique.
On fera ltude sur : ] 2 ,3
2 [
De plus : f(x+ ) = f(x): on fera ltude sur ] 2 , 2 [et oncompltera par une symtrie par rapport au point : (2 ,0)
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) = exp(tanx) cosx
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f(x) = exp(tanx).cosx1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction tangente nest dfinie que pour x= 2 + k, k R ; donc
fest dfinie pourx= 2 + k, k R.
1.2 f(x+ 2) = exp
tan(x+ 2).cos(x+ 2) = f(x)puisque la
tangente est -priodique et le cosinus 2-priodique.
On fera ltude sur : ] 2 ,3
2 [
De plus : f(x+ ) = f(x): on fera ltude sur ] 2 , 2 [et oncompltera par une symtrie par rapport au point : (2 ,0)
1.3 limites aux bornes :
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) = exp(tanx) cosx
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f(x) = exp(tanx).cosx1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction tangente nest dfinie que pour x= 2 + k, k R ; donc
fest dfinie pourx= 2 + k, k R.
1.2 f(x+ 2) = exp
tan(x+ 2).cos(x+ 2) = f(x)puisque la
tangente est -priodique et le cosinus 2-priodique.
On fera ltude sur : ] 2 ,3
2 [
De plus : f(x+ ) = f(x): on fera ltude sur ] 2 , 2 [et oncompltera par une symtrie par rapport au point : (2 ,0)
1.3 limites aux bornes : lim
x
2+
tanx= limx
2+f(x) = 0
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) = exp(tanx) cosx
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f(x) = exp(tanx).cosx1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction tangente nest dfinie que pour x= 2 + k, k R ; donc
fest dfinie pourx= 2 + k, k R.
1.2 f(x+ 2) = exp
tan(x+ 2).cos(x+ 2) = f(x)puisque la
tangente est -priodique et le cosinus 2-priodique.
On fera ltude sur : ] 2 ,3
2 [
De plus : f(x+ ) = f(x): on fera ltude sur ] 2 , 2 [et oncompltera par une symtrie par rapport au point : (2 ,0)
1.3 limites aux bornes : lim
x
2+
tanx= limx
2+f(x) = 0
limx
2 tanx= + lim
x
2 f(x) = +
Paris Descartes 2012 2013 Mathmatiques et calcul 1
tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) = exp(tanx) cosx
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40/57
f(x) = exp(tanx).cosx1. Domaine de dfinition et domaine dtude :
1.1 la fonction tangente nest dfinie que pour x= 2 + k, k R ; donc
fest dfinie pourx= 2 + k, k R.
1.2 f(x+ 2) = exp
tan(x+ 2).cos(x+ 2) = f(x)puisque la
tangente est -priodique et le cosinus 2-priodique.
On fera ltude sur : ] 2 ,3
2 [
De plus : f(x+ ) = f(x): on fera ltude sur ] 2 , 2 [et oncompltera par une symtrie par rapport au point : (2 ,0)
1.3 limites aux bornes : lim
x
2+
tanx= limx
2+f(x) = 0
limx
2 tanx= + lim
x
2 f(x) = +
On prolongera fpar continuit en 2 en posant : f(
2 ) = 0.
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) = exp(tanx) cosx
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f(x) = exp(tanx).cosx
2. La drive :
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) = exp(tanx).cosx
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f(x) exp(tanx).cosx
2. La drive :
f(x) =
exp(tanx)
cos2x
cosx+ exp(tanx).( sinx)
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) = exp(tanx).cosx
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f(x) exp(tanx).cosx
2. La drive :
f(x) =
exp(tanx)
cos2x
cosx+ exp(tanx).( sinx)
= exp(tanx)
1 cosx.
sinxcosx
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f (x) = exp(tanx).cosx
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f(x) exp(tanx).cosx
2. La drive :
f(x) =
exp(tanx)
cos2x
cosx+ exp(tanx).( sinx)
= exp(tanx)
1 cosx.
sinxcosx
= exp(tanx)2 sin2x
2cosx
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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( ) p( )
2. La drive :
f(x) =
exp(tanx)
cos2x
cosx+ exp(tanx).( sinx)
= exp(tanx)
1 cosx.
sinxcosx
= exp(tanx)2 sin2x
2cosx
f(x)est donc du signe de cosx
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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( ) p( )
2. La drive :
f(x) =
exp(tanx)
cos2x
cosx+ exp(tanx).( sinx)
= exp(tanx)
1
cosx.
sinxcosx
= exp(tanx)2 sin2x
2cosx
f(x)est donc du signe de cosx: sur ] 2 , 2 [, f
(x) >0 ;
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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( ) p( )
2. La drive :
f(x) =
exp(tanx)
cos2x
cosx+ exp(tanx).( sinx)
= exp(tanx)
1
cosx.
sinxcosx
= exp(tanx)2 sin2x
2cosx
f(x)est donc du signe de cosx: sur ] 2 , 2 [, f(x) >0 ;
fest donc strictement croissante.
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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( ) p( )
2. La drive
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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( ) ( )
2. La drive On a prolong par continuit fen 2; tude de la
drivabilit en 2 :
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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2. La drive On a prolong par continuit fen 2; tude de la
drivabilit en 2 :
f
(
2 ) = limx 2+
f(x) f(
2 )
x (2 ) = limx
2+ exp(tanx)
cosx
x+ 2
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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2. La drive On a prolong par continuit fen 2; tude de la
drivabilit en 2 :
f
(
2 ) = limx 2+
f(x) f(
2 )
x (2 ) = limx
2+ exp(tanx)
cosx
x+ 2
limx
2+
exp(tanx) = 0 limx
2+
cosx
x+ 2= sin
2
= 1
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).
cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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2. La drive On a prolong par continuit fen 2; tude de la
drivabilit en 2 :
f
(
2 ) = limx 2+
f(x) f(
2 )
x (2 ) = limx
2+ exp(tanx)
cosx
x+ 2
limx
2+
exp(tanx) = 0 limx
2+
cosx
x+ 2= sin
2
= 1
La tangente en (2 ,0)est donc horizontale.
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).
cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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3. Tableau des variations.
x
2
2
f(x) 0 +
f(x) 0 +
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tudes de fonctions f(x) = exp(tanx).
cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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y
x
1
2
2
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tudes de fonctions f
(x
) = exp(tanx
).
cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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y
x
1
2
2
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tudes de fonctions f(x
) =exp
(tanx
).cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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y
x
1
2
2
3
2
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tudes de fonctions f(x
) =exp
(tanx
).cosx
f(x) = exp(tanx).cosx
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y
x
1
2
2
3
2
5
2
5
2
3
2
7
2
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