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formulario de Matematicas basicas
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CUADRANTE
SECTOR CIRCULAR
SEGMENTO CIRCULAR
EMBECADURA
Permetro del trianguloTringulo EquilteroTringulo IsscelesTringulo Escaleno
rea del tringulo: Conociendo la base y la altura Conociendo dos lados y el ngulo que forman. Circunferencia circunscrita a un tringulo R = radio de la circunferencia circunscrita
Circunferencia inscrita en un tringulo r = radio de la circunferencia inscritap = semipermetro
Frmula de Hern. p = semipermetro
ngulos de un tringuloLa suma de los ngulos de un tringulo es igual a 180.TeoremasDel cateto
De la altura
De Pitgoras
Semejanza de tringulos
Criterios de semejanza de tringulos1Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos iguales.
2Dos tringulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
3Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos igual.
Criterios de semejanza de tringulos rectngulos1Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo agudo igual.
2Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
3Los tringulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.
Permetro del trianguloTringulo EquilteroTringulo IsscelesTringulo Escaleno
rea del tringuloConociendo la base y la altura Conociendo dos lados y el ngulo que forman. Circunferencia circunscrita a un tringulo R = radio de la circunferencia circunscritaCircunferencia inscrita en un tringulo r = radio de la circunferencia inscritap = semipermetro
Frmula de Hern. p = semipermetro
ngulos de un tringuloLa suma de los ngulos de un tringulo es igual a 180.Teoremas Del cateto
De la altura De Pitgoras
Semejanza de tringulos
Criterios de semejanza de tringulos1Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos iguales.
2Dos tringulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
3Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos igual.
Criterios de semejanza de tringulos rectngulos1Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo agudo igual.
2Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
3Los tringulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.
1. LongitudesLongitud de una circunferencia Longitud de un arco de circunferencia 2. reasrea del crculo rea del sector circular rea de la corona circular rea del trapecio circular rea del segmento circular
rea del segmento circular AB = rea del sector circular AOB rea del tringulo AOBrea de la lnula
3. ngulos en la circunferenciaCentral Inscrito Semiinscrito Interior Exterior
Tringulo Cuadrado Rectngulo Rombo Romboide P = 2 (a + b) A = b hTrapecio Polgono A = T1+ T2+ T3+ T4Polgono regular
Longitud de unacircunferencia Longitud de unarco de circunferencia Crculo Sector circular Corona circular Trapecio circular Segmento circular rea del segmento circular AB = rea del sector circular AOB rea del tringulo AOBLnula de Hipcrates
Tabla de reas y volmenesTetraedro Octaedro Icosaedro Dodecaedro Cubo
Ortoedro Prisma
Pirmide
Tronco de pirmide
Cilindro
Cono
Tronco de cono
Esfera
rea delhuso esfricoy volumen de lacua esfrica
rea y volumen delcasquete esfrico
rea y volumen de lazona esfrica
Frmulas de traslaciones, giros y simetrasTraslacin de un punto
Composicin de traslaciones
Giro de centro O(0,0)
Giro de centro O'(a,b)
Simetra central de centro O(0,0)
P' = (-x, -y)x' = -x y' = -ySimetra central de centro O'(a, b)
P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)x' = -x + 2ay' = -y + 2bSimetra axial respecto al eje de ordenadas
P(x, y)P(-x, y)x = -x'y = y'Simetra axial respecto al eje de abscisas
P(x, y)P(x, -y)x = x'y = -y'DIAGONALESDiagonales de un polgonoLas diagonales son los segmentos que determinan dos vrtices no consecutivosNmero de diagonales de un polgonoSi n es el nmero de lados de un polgono:Nmero de diagonales = n (n 3) : 24 (4 3) : 2 = 2
5 (5 3) : 2 = 56 (6 3) : 2 = 9
Diagonal del cuadrado
Calcularladiagonalde uncuadradode 5 cm de lado.
Diagonal del rectngulo
Calcularladiagonalde unrectngulode 10 cm de base y 6 cm de altura.
Diagonales de un poliedroLasdiagonalesde unpoliedrosonsegmentosque unendos vrticesnopertenecientes a la mismacara.Diagonal del cubo
Diagonal del ortoedro
EjerciciosCalcularladiagonalde uncubode 5 cm dearista.
Calcularladiagonalde unortoedrode 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.
Teoremas de los tringulos rectngulos1.Del cateto
2.De la altura
3.De Pitgoras
Aplicaciones del teorema de Pitagoras
Altura del tringulo equiltero
Lado de un tringulo equiltero inscrito
Diagonal del cuadrado
Lado de un cuadrado inscrito
Diagonal del rectngulo
Lado oblicuo del trapecio rectngulo
Altura del trapecio issceles
Apotema de un polgono regular
Apotema del hexgono inscrito
Geometra analtica planaCoordenadas de un vector
Mdulo
Vector unitario
Suma
Resta
Producto de un vector por un escalar
Producto escalar de vectores
Expresin analtica del producto escalar
Expresin analtica del mdulo de un vector
Expresin analtica del ngulo de dos vectores
Expresin analtica de la ortogonalidad de dos vectores
Proyeccin
Combinacin lineal de vectores
Sistema de referencia
Distancia entre dos puntos
Coordenadas del punto medio
Simtrico de un punto
Divisin de un segmento
Puntos alineados
Coordenadas del baricentro
Ecuaciones de la rectaVectorial
Paramtricas
Continua
Pendiente
Punto-pendiente
General
Explcita
Cannica o segmentaria
Que pasa por dos puntos
Paralelas al eje OX
Paralelas al eje OY
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
Posiciones relativasSecantes
Paralelas
Coincidentes
ngulo que forman dos rectas
Distancia de un punto a una recta
Ecuaciones de las bisectrices
Ecuacin de la mediatriz
CnicasEcuacin de la circunferencia
Ecuacin reducida
Ecuacin de la elipse
Excentricidad
Ecuacin reducida
De eje vertical
De eje horizontal y centro distinto al origen
De eje vertical y centro distinto al origen
Ecuacin de la hiprbola
Excentricidad
Asntotas
Ecuacin reducidaF'(-c,0) y F(c,0)
De eje verticalF'(0, -c) y F(0, c)
De eje horizontal y centro distinto al origen
DondeA y B tienen signos opuestos.De eje vertical y centro distinto al origen
Hiprbola equiltera
Asntotas,Excentricidad
Referida a sus asntotas
Ecuacin de la parbola Ecuacin reducida de la parbolaDe ejes el de abscisas y de vrtice (0, 0)
De ejes el de ordenadas y de vrtice (0, 0)
Paralela a OX y vrtice distinto al origen
Paralela a OY, y vrtice distinto al origen
Frmulas de vectoresCoordenadas de un vector en el plano
Mdulo de un vector
Distancia entre dos puntos
Vector unitario
Suma de vectores
Resta de vectores
Producto de un nmero por un vector
Coordenadas del punto medio de un segmento
Condicin para que tres puntos estn alineados Simtrico de un punto respecto de otro Coordenadas del baricentro Divisin de un segmento en una relacin dada Combinacin lineal de vectores
Sistema de referencia
Producto escalar de vectores
Expresin analtica del producto escalar
Expresin analtica del mdulo de un vector
Expresin analtica del ngulo de dos vectores
Expresin analtica de la ortogonalidad de dos vectores
Proyeccin
Aplicaciones de vectoresDistancia entre dos puntos
Coordenadas del punto medio Tres puntos alineados Simtrico de un punto Coordenadas del baricentro Divisin de un segmento Producto escalar de vectoresProducto escalar
Mdulo de un vector
ngulo de dos vectores
Vectoresortogonales
Proyeccin
Frmulas de traslaciones, giros y simetrasTraslacin de un punto
Composicin de traslaciones Giro de centro O(0,0)
Giro de centro O'(a,b)
Simetra central de centro O(0,0)
P' = (-x, -y)x' = -x y' = -ySimetra central de centro O'(a, b)
P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)x' = -x + 2ay' = -y + 2bSimetra axial respecto al eje de ordenadas
P(x, y)P(-x, y)x = -x'y = y'Simetra axial respecto al eje de abscisas
P(x, y)P(x, -y)x = x'y = -y'COORDENADAS POLARES:Cuando se conoce el mdulo del vector=y el nguloque forma con el eje OX, lascoordenadasde P son:x = || cos y = || sen
Coordenada xx = || cos Coordenada yy = || sen EjemplosPasar a coordenadas cartesianas:2120
10=(1, 0)1180=(1, 0)190=(0, 1)1270= (0, 1)Paso de coordenadas cartesianas a polaresMdulo
Argumento o ngulo
Ejemplos: Pasar a coordenadas polares:
260
2120
2240
2300
(2, 0)
20
(2, 0)
2180
(0, 2)
290
(0, 2)
2270Ecuaciones de la rectaEcuacin vectorial de la recta
Ecuaciones paramtricas de la recta
Ecuacin continua de la recta
Pendiente
Ecuacin punto-pendiente de la recta
Ecuacin general de la recta
Ecuacin explcita de la recta
Ecuacin cannica o segmentaria
Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos
Rectas paralelas al eje OX
Rectas paralelas al eje OY
Rectas paralelas
Rectas perpendiculares
Posiciones relativas de dos rectasSecantes
Paralelas
Coincidentes
ngulo que forman dos rectas
Distancia de un punto a una recta
Ecuacin de la mediatriz
Ecuaciones de las bisectrices
Ejercicios: Escribir la ecuacin punto pendiente de:1Una recta pasa por el puntoA(-1, 3) y tiene un vector director= (2,5).
2Una recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).
3Una recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinacin de 45.
Escribir la ecuacin general de la recta que:1Pasa por A (1,5) y tiene como vector directorigual (-2, 1).
2Pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.
Escribe de todas las formas posibles la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).
Estudiar la posicin relativa de las rectas de ecuaciones:12x + 3y - 4 =02x - 2y + 1= 033x - 2y -9 = 044x + 6 y - 8 = 052x - 4y - 6 = 062x + 3y + 9 = 0Las rectas 1 y 4 son coincidentes, porque todos sus coeficientes son proporcionales:
Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente, ya que existe proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y, pero no en el trmino independiente.
Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).
Hallar la distancia entre r 3 x - 4 y + 4 = 0 y s 9 x - 12 y - 4 = 0.
Halla el punto simtrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r 2 x + y - 12 = 0.
Una recta es paralela a la que tiene por ecuacin r 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. Cul es su ecuacin?
Ecuaciones de cnicasEcuacin de la circunferencia
Ecuacin reducida
Ecuacin de la elipse
Excentricidad
Ecuacin reducida
Elipse de eje vertical
Elipse de eje horizontal y centro distinto al origen
Elipse de eje vertical y centro distinto al origen
Ecuacin de la hiprbola Excentricidad
Asntotas
Ecuacin reducidaF'(-c,0) y F(c,0)
Hiprbola de eje verticalF'(0, -c) y F(0, c)
Hiprbola de eje horizontal y centro distinto al origen DondeA y B tienen signos opuestos.Hiprbola de eje vertical y centro distinto al origen
Hiprbola equiltera
Asntotas,Excentricidad
Hiprbola equiltera referida a sus asntotas
Ecuacin de la parbola Ecuacin reducida de la parbolaDe ejes el de abscisas y de vrtice el origen de coordenadas
De ejes el de ordenadas y de vrtice el origen de coordenadas
Parbola con eje paralelo a OX y vrtice distinto al origen
Parbola con eje paralelo a OY, y vrtice distinto al origen
Ecuacin de la circunferencia
Ecuacin reducida de la circunferencia
Ejercicios: Dada la circunferencia de ecuacin x2+ y2- 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.
Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).Si sustituimos x e y en la ecuacinpor las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:Indicar si la ecuacin: 4x2+ 4y2- 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.1.Como los coeficientes de x2e y2son distintos a la unidad, dividimos por 4:
2.No tiene trmino en xy.3.Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.
Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.
Calcula la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto de interseccin de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica con la ecuacin , y que pasa por el punto (-3,4).Por ser concntricas tienen el mismo centro.
Los extremos del dimetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). Cul es la ecuacin de esta circunferencia?
Hallar la ecuacin de la circunferencia concntrica a la circunferenciaque sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.
Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.
Calcula la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio esy cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
Ecuacin de la elipse
Excentricidad
Ecuacin reducida de la elipse
Elipse con los focos en el eje OY
Elipse con eje paralelos a OX y sin centro en el origen
Elipse con eje paralelo a OY y sin centro en el origen
Ejercicios: Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes elipses.1
2 3
4
Halla la ecuacin de la elipse conociendo:Escribe la ecuacin reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuacin reducida de dicha elipse.Determina la ecuacin reducida de un elipse cuya distancia focal esy el rea del rectngulo construidos sobre los ejes 80 u2.Determina la ecuacin reducida de una elipse sabiendo que uno de los vrtices dista 8 de un foco y 18 del otro.Halla la ecuacin reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su excentricidad es 3/5.Ecuacin de la hiprbola
Excentricidad
Asntotas
Ecuacin reducida de la hiprbolaF'(-c,0) y F(c,0)
Ecuacin de la hiprbola con los focos en el eje OYF'(0, -c) y F(0, c)
Ecuacin de la hiprbola con eje paralelo a OX, sin centro el origen
DondeA y B tienen signos opuestos.Ecuacin de la hiprbola con eje paralelo a OY, sin centro el origen
Ecuacin de la hiprbola equilteraAsntotas,Excentricidad
Ecuacin de la hiprbola equiltera respecto a sus asntotas
Ejercicios: Representa grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas:Hallar la ecuacin de una hiprbola de eje focal 8 y distancia focal 10.El eje principal de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su ecuacin.Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vrtice ms prximo es 2.Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por el puntoy su excentricidad es.Determina la ecuacin reducida de una hiprbola sabiendo que un foco dista de los vrtices de la hiprbola 50 y 2.El eje principal de una hiprbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la ecuacin de la hiprbola.Calcular la ecuacin de una hiprbola equiltera sabiendo que su distancia focal es.El eje no focal de una hiprbola mide 8 y las ecuaciones de las asntotas son:. Calcular la ecuacin de la hiprbola, sus ejes, focos y vrtices.Ecuacin de la parbolaGeometra en el espacioVectores en el espacioComponentes de un vector en el espacio
Mdulo de un vector
Distancia entre dos puntos
Vector unitario
Suma de vectores
Producto de un nmero real por un vector
Vectores linealmente dependientes
Vectores linealmente independientes
Producto escalar
Expresin analtica del mdulo de un vector
Expresin analtica del ngulo de dos vectores
Vectores ortogonales
Proyeccin
Cosenos directores
Producto vectorial
rea del paralelogramo
rea de un tringulo
Producto mixto Volumen del paraleleppedo
Volumen de un tetraedro
PuntosCoordenadas del punto medio de un segmento
Coordenadas del baricentro de un tringulo
Puntos alineadosTres o ms puntos esn alineadossi estn en unamisma recta, y por tanto elrango de los vectoresdeterminados por ellos es1.Puntos coplanariosDos o msvectoressoncoplanariossi sonlinealmente dependientes, y por tanto suscomponentessonproporcionalesy surangoes2.Dos o mspuntossoncoplanarios, si losvectoresdeterminados por ellos tambin soncoplanarios.Rectas en el espacioEcuacin vectorial de la recta
Ecuaciones paramtricas de la recta
Ecuaciones continuas de la recta
Ecuaciones implcitas de la recta
El planoEcuacin vectorial del plano
Ecuaciones paramtricas del plano
Ecuacin general o implcita del plano
Ecuacin cannica o segmentaria del plano
ngulos: ngulo entre dos rectas
Dos rectassonperpendicularessivectores directoressonortogonales.ngulo entre dos planos
Dos planossonperpendicularessivectores directoressonortogonales.
ngulo entre recta y plano
Si la recta r y el plano son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma direccin y, por tanto, sus componentes son proporcionales.
Distancias: Distancia entre un punto y una recta
Distancia entre rectas paralelas
Distancia entre rectas que se cruzanSeanylas determinaciones lineales de las rectas r y s. Distancia de un punto a un plano
Distancia entre planos paralelos
Puntos en el espacioCoordenadas del punto medio de un segmentoSean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) los extremos de un segmento, elpunto mediodel segmento viene dado por: Coordenadas del baricentro de un tringuloSean A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2) y C (x3, y3, z3) los vrtices de un tringulo, lascoordenadas del baricentroson: Puntos alineadosTres o ms puntos esn alineadossi estn en unamisma recta, y por tanto elrango de los vectoresdeterminados por ellos es1.Puntos coplanariosDos o msvectoressoncoplanariossi sonlinealmente dependientes, y por tanto suscomponentessonproporcionalesy surangoes2.Dos o mspuntossoncoplanarios, si losvectoresdeterminados por ellos tambin soncoplanarios.Ejercicios1.Dados los puntos A(3, 2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.
2.Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = (4, 1, 2) los vrtices de un tringulo. Determinar las coordenadas delbaricentro.
3.Comprobar si lospuntosA(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) estnalineados.
Los puntos no estn alineados.4.Comprobar si lospuntosA(1, 2, 3), B(4, 7, 8), C(3, 5, 5), D(1, 2, 3) y E(2, 2, 2) son coplanarios.LospuntosA, B, C, D y E soncoplanariossi:
Los puntos A, B, C, D y E no son coplanarios.El planoEcuacin vectorial del planoPara determinar unplano del espaciose necesita conocer unpunto Py unpar de vectoresque formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.
Para que el punto P pertenezca al plano el vectortiene que ser coplanario cony, es decir, que dependa linealmente dey.
Ecuaciones paramtricas del planoSi operamos en la ecuacin vectorial del plano llegamos a la igualdad:
Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:
Ecuacin general o implcita del planoUn punto est en el plano si tiene solucin el sistema:
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incgnitas y Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los trminos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollando el determinante obtenemos:
Damos los valores:
Sustituimos:
Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:
Obtenemos laecuacin general de plano:
Ecuacin cannica o segmentaria del plano
Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), laecuacin cannicaviene dada por:
Ejercicios1.Hallar lasecuaciones paramtricaseimplcitasdel plano que pasa por el punto A(1, 1, 1) y tiene como vectores directores ay.
2.- Hallar lasecuaciones paramtricaseimplcitasdel plano que pasa por los puntos A(1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector.
3. Hallar lasecuaciones paramtricaseimplcitasdel plano que pasa por los puntos A(1, 1, 1), B(0, 1, 1) y C(4, 3, 2).
4. Sea el plano deecuaciones paramtricas:
Se pide comprobar si los puntos A (2, 1, 9/2) y B(0, 9, 1) pertenecen al plano.
5. Hallar laecuacin segmentariadel plano que pasa por los puntos A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 1).
Dividiendo por 2 obtenemos laecuacin segmentaria:
6. Hallar laecuacin del planoque pasa por el punto A(2, 0, 1 y contiene a la recta de ecuacin:
De la ecuacin de la recta obtenemos el punto B y el vector.
7. Hallar la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(1, 2, 4), B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta:
8. Dadas las rectas
Determinar laecuacin del planoque contiene a r y es paralelo a s.
Posiciones relativasPosiciones relativas de dos rectasRectas definidas por un punto y un vectorSi la recta r viene determinada poryy la recta s pory, laposicin relativa de r y sviene dada por la posicin de.Sihay dos posibilidades:1.Rectas coincidentessi.2.Rectas paralelassi.Sihay otras dos posibilidades:3.Rectas secantessi.
4.Rectas que se cruzansi.
Rectas definidas por sus ecuaciones implicitasSi:r=rango de la matriz de los coeficientes.r'=rango de la matriz ampliada.Lasposicones relativas de dos rectasvienen dada por la siguiente tabla:DISTANCIAS. Distancia entre un punto y una rectaLadistancia de un punto, P,a una recta, r, es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta.Esta distancia corresponde a laperpendicular trazada desde el punto hasta la recta. Distancia entre rectas paralelasLadistancia de una recta, r, aotra paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de r a s.
Distancia entre rectas que se cruzanLadistancia entre dos sectas que se cruzanse mide sobre laperpendicular comn.Seanylas determinaciones lineales de las rectas r y s. Distancia de un punto a un planoLadistanciade unpunto, P, a unplano, , es la menor de la distancia desde el punto a los infinitos puntos del plano.Esta distancia corresponde a laperpendicular trazada desde el punto al plano.
Distancia entre planos paralelosPara calcular ladistancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.Tambin se puede calcular de esta otra forma:
Ejercicios1.Hallar ladistanciadesde elpuntoP(1, 3, 2) a larecta.
2.Hallar ladistanciadesde elpuntoP(1, 2, 3) a larecta.
3.Hallar la mnimadistancia entre las rectas:
4.Hallar la distancia del punto P(3, 1, 2) a los planosy.
5.Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al plano.
6.Calcular la distancia entre los planosy.
Los dos planos son paralelos.Transformamos la ecuacin del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector normal.
reas y volmenesrea de un tringulo rea del paralelogramoGeomtricamente, elmdulo del producto vectorialde dos vectores coincide con elrea del paralelogramoque tiene por lados a esos vectores. Volumen de un tetraedroElvolumen de un tetraedroes igual a1/6 del producto mixto, en valor absoluto.
Volumen del paraleleppedoGeomtricamente, el valor absoluto delproducto mixtorepresenta elvolumen del paraleleppedocuyas aristas son tres vectores que concurren en un mismo vrtice.Ejercicios1.Determinar elrea del tringulocuyos vrtices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, 1, 5) y C(3, 3, 1).
2.Dados los vectoresy, hallar el rea del paralelogramo que tiene por lados los vectoresy
3.Obtener elvolumen del tetraedrocuyos vrtices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).
4.Hallar elvolumen del paraleleppedoformado por los vectores:
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