FRACCIONES ESPAD III * TC 2. CONCEPTO DE FRACCIÓN FRACCIÓN COMO DIVISIÓN Una fracción es el...

FRACCIONES

ESPAD III * TC 2

CONCEPTO DE FRACCIÓN• FRACCIÓN COMO DIVISIÓN• Una fracción es el cociente de dos números enteros, donde el divisor tiene

que ser distinto de cero.

• Ejemplos• 2 - 5 1003 - 772• ----- , ------ , ------- , --------• 15 3 - 71 1000

• FRACCIÓN COMO PARTES de la UNIDAD.• El denominador es el número de partes iguales en que queda dividida la

unidad.• El numerador es el número de partes que se toman.

• Ejemplo• 3• --- , que nos señala que hemos tomado 3 partes de las 5.• 5

CONCEPTO DE FRACCIÓN• FRACCIÓN COMO PARTES de la UNIDAD.• Ejemplos gráficos

3 / 4

3 / 4 6 / 8 5 / 84 / 4

7 / 85 / 4

CONCEPTO DE FRACCIÓN• FRACCIÓN COMO OPERADOR• Una fracción es también un número que opera a una cantidad.• Para calcular la fracción de una cantidad se divide el número entre el

denominador y el resultado se multiplica por el numerador.

• Ejemplo 1• Hallar los 3 / 4 de 20 folios

• 3• --- de 20 folios = 20 : 5 . 3 = 4 . 3 = 12 folios• 4

• Ejemplo 2• Hallar los 5 / 7 de 140 chinchetas

• 5• --- de 140 chinchetas = 140 : 7 . 5 = 20 . 5 = 100 chinchetas• 7

• COMPARACIÓN DE FRACCIONES CON LA UNIDAD

• Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador.• Una fracción propia es menor que la unidad.• Una fracción es igual a la unidad si el numerador es igual que el

denominador.• Una fracción es impropia si el numerador es mayor que el denominador.• Una fracción impropia es mayor que la unidad.

• Ejemplos:

Comparación de fraccionescon la unidad

4 / 47 / 8

5 / 4

Fracción propia Fracción impropiaUnidad

SIGNO DE UNA FRACCIÓN• Cada término de una fracción puede ser negativo o positivo.• Se aplica la regla de los signos y el resultado nunca puede llevar un signo

negativo en el denominador.

• Ejemplos

• +3 3 - 7 7• --- = ----- ; ------ = -------• +4 4 - 9 9

• - 5 5 + 2 2• --- = – ----- ; ------ = – -----• +7 7 - 5 5

• - 3 – 3 + 7 – 7• ------ = ------ ; ------ = -------• +11 11 - 10 10

FRACCIONES EQUIVALENTES

• FRACCIONES EQUIVALENTES

• Dos fracciones a / b y c / d son equivalentes ( tienen el mismo valor ) si a.d = c.b

• O sea, si el producto de extremos es igual al producto de medios.

• Ejemplo: 3 / 4 = 6 / 8 ↔ 3.8 = 4.6 , pues 24 = 24

• Si se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un número entero distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.

• Para hallar fracciones equivalentes existen dos métodos:

• MÉTODO DE SIMPLIFICACIÓN

• Dividimos numerador y denominador por un mismo número, que debe ser divisor común a ambos:

• 450 90 18 9 • ------ =[:5]= ---- =[:5]= ---- =[:2]= ----• 700 140 28 14

• Si la fracción resultante no se puede reducir más, se llama IRREDUCIBLE.

• Para hallar de forma rápida la fracción irreducible se divide numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos:

• M.c.d. ( 450 y 700 ) = 2.52 = 50

• 450 / 700 =[:50] = 9 / 14 , que es la fracción irreducible.

• MÉTODO DE AMPLIACIÓN

• Multiplicamos numerador y denominador por un mismo número:• 45 135• ----- =[x3]= -----• 70 210

• 42 63• ---- =[x1,5]= ----- , correcto aunque el factor no sea entero.• 70 105

• 6 9• -- =[x1,5]= ------- , no es correcto pues numerador y denominador• 7 10,5 deben ser números enteros.

• Todas las fracciones equivalentes a una fracción dada determinan un mismo número, que se llama número racional.

• El conjunto de los números racionales se designa con la letra Q.

• COMPARACIÓN DE FRACCIONES

• Dos fracciones sólo pueden compararse si tienen IGUAL numerador o igual denominador.

• Si tienen igual numerador, será mayor quien tenga menor denominador:

• Ejemplos:

• 3 / 7 es mayor que 3 / 8

• 2 / 5 es mayor que 2 / 7

• 4 / 5 es menor que 4 / 3

Comparación de fracciones

• Si dos fracciones no tienen igual denominador, podemos hacer que lo tengan de dos formas:

• Reducción a común denominador:

• Multiplicando los denominadores.• Ejemplo:• 2 / 4 y 3 / 8 16 / 32 y 12 / 32

• Reducción a mínimo común denominador:

• El denominador común a dos o más fracciones es el m.c.m. de los denominadores.

• Ejemplo: • 2 / 4 y 3 / 8 4 / 8 y 3 / 8

• Una vez reducidas la mayor será la que tenga mayor numerador.

• PRIMER CASO

• QUE TENGAN EL MISMO DENOMINADOR

• Entonces el resultado es otra fracción de igual denominador y como numerador la suma o resta de los numeradores.

• Ejemplos:

• 5 4 5+4 9• ---- + ---- = ------ = ----- • 7 7 7 7

• 5 4 9 5 + 4 – 9 0• ---- + ---- – ---- = ------------- = ----- = 0 • 13 13 13 13 13

SUMAS DE FRACCIONES

• SEGUNDO CASO

• QUE TENGAN DISTINTO DENOMINADOR

• Entonces el resultado es otra fracción cuyo denominador es el m.c.m. de los denominadores y como numerador la suma o resta de los numeradores.

• Ejemplos:

• 5 4 25 28 25+28 53• ---- + ---- = ------ + ------ = --------- = ------- • 7 5 35 35 35 35

• 5 4 7 15 + 16 – 7 24 • ---- + ---- – ---- = ----------------- = ----- = 2 • 4 3 12 12 12

• TERCER CASO

• QUE HAYA NÚMEROS ENTEROS EN LA SUMA

• Se transforma el número entero en fracción y se opera como en el caso anterior.

• Ejemplos:

• 5 5 3 5 21 5 – 21 -16• ---- – 3 = ---- – ----- = ---- – ----- = ---------- = ------ • 7 7 1 7 7 7 7

• 3 5 60 9 10 60 – 9 – 10 41 • 5 – ---- – ---- = ---- – ---- – ------ = --------------- = ---- • 4 6 12 12 12 12 12

• Producto de un número por una fracción

• Para multiplicar un número entero por una fracción se multiplica dicho número por el numerador de la fracción.

• b a.b a a.c• a. --- = ------ o también ---- . c = ------- • c c b b• b a.b • Estaría muy mal: a. ---- = ------• c a.c

• EJEMPLOS

• 4 3.4 12• 3 . ---- = ----- = ----• 5 5 5

• 5 5.4 20• --- . 4 = -------- = ------• 3 3 3

• El producto de dos fracciones es otra fracción, que tiene como numerador y denominador el producto de los numeradores y denominadores respectivamente.

• Ejemplo:

• 5 4 5.4 20 10• --- . ---- = -------- = ------, que reducida es ----- • 7 6 7.6 42 21

• Ejemplo:

• 4 7 4 28 14• 7 . ---- = ---- . ---- = ------, que reducida es ----- • 6 1 6 6 3

PRODUCTO DE FRACCIONES

• La inversa de un número a es 1 / a

• La inversa de una fracción a / b es:

• 1 1. b b• -------- = --------- = ---- Así pues se intercambian numerador y• a a a denominador para hallar la inversa.• ----• b

• Ejemplos:

• La inversa de 2 es 1 / 2

• La inversa de – 5 es – 1 / 5

INVERSA DE UNA FRACCIÓN

• Ejemplos:

• La inversa de 2 / 3 es 3 / 2

• La inversa de – 5 / 7 es – 7 / 5

• La inversa de 1 / 7 es 7

• Para dividir dos fracciones se multiplica a la primera la inversa de la segunda.

• Ejemplos:

• 5 4 5 6 30

• ---- : ---- = ----- . ------ = ----- = 15 / 14

• 7 6 7 4 28

• - 3 6 - 3 7 - 21

• ---- : ---- = ----- . ------ = ------ = - 7 / 10

• 5 7 5 6 30

• 5 5 - 2 5 - 1

• ---- : ( - 2) = ----- : ------ = ----- . ----- = - 5 / 14

• 7 7 1 7 2

DIVISIÓN DE FRACCIONES

JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES

• JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES

• Son unas normas básicas de operar con números:

• Primero se realizan los PARÉNTESIS, si les hay.• Si hay paréntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro hacia

fuera.

• Segundo las POTENCIAS y RAÍCES, si las hay.

• Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay.

• Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay

• Si hay una igualdad en el orden o jerarquía en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a DERECHA.

• Ejemplo:

• 5 4 3 8 4 5 • --- + --- . [ ---- – 7. ( ---- – 2 ) ] : ---- .---- + 2• 6 3 2 3 3 7

• Vemos que hay un paréntesis anidado.

• 5 4 3 8 – 6 4 5 • --- + --- . [ ---- – 7. ( --------) ] : ---- .---- + 2• 6 3 2 3 3 7

• 5 4 3 2 4 5 • --- + --- . [ ---- – 7. ---- ] : ---- .---- + 2• 6 3 2 3 3 7

• 5 4 3 14 4 5 • --- + --- . [ ---- – ---- ] : ---- .---- + 2• 6 3 2 3 3 7

• Queda aún un paréntesis que hay que resolver prioritariamente.

• 5 4 9 28 4 5 • --- + --- . [ ---- – ---- ] : ---- .---- + 2• 6 3 6 6 3 7

• 5 4 - 19 4 5 • --- + --- . [ ---- ] : ---- .---- + 2• 6 3 6 3 7

• Ahora los productos y divisiones, de izquierda a derecha:

• 5 - 76 4 5 • --- + ----- : ---- .---- + 2• 6 18 3 7

• 5 - 228 5 • --- + --------- . ---- + 2• 6 72 7

• 5 - 1140 • --- + ----------- + 2• 6 504

• Ahora ya sólo quedan sumas y restas:

• 84.5 - 1140 1008 • ------- + --------- + --------• 504 504 504

• 420 – 1140 + 1008 288• --------------------------- = -------• 540 540

• Y finalmente se simplifica la fracción resultante:

• 288 144 72 24 8• ----- = -------- = ------- = ------ = ---- , que es irreducible.• 540 270 135 45 9