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Pr-Clculo
Humberto Jos Bortolossi
Departamento de Matemtica Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 16
23 de junho de 2011
Aula 16 Pr-Clculo 1
Funo polinomial
Aula 16 Pr-Clculo 2
Funo polinomial
Diz-se que p : R R uma funo polinomial se existe inteiro n 0e existem nmeros reais a0, a1, . . . , an tais que, para todo x R,tem-se
p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0.Se an 6= 0, dizemos que p tem grau n.
Uma funo polinomial chama-se identicamente nula quando se temp(x) = 0 para todo x R (no se define grau para uma funopolinomial identicamente nula).
Dizemos que uma raiz de p se p() = 0 (note que todo nmeroreal raiz de uma funo polinomial identicamente nula).
Definio
Aula 16 Pr-Clculo 3
Funo polinomial
Diz-se que p : R R uma funo polinomial se existe inteiro n 0e existem nmeros reais a0, a1, . . . , an tais que, para todo x R,tem-se
p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0.Se an 6= 0, dizemos que p tem grau n.
Uma funo polinomial chama-se identicamente nula quando se temp(x) = 0 para todo x R (no se define grau para uma funopolinomial identicamente nula).
Dizemos que uma raiz de p se p() = 0 (note que todo nmeroreal raiz de uma funo polinomial identicamente nula).
Definio
Aula 16 Pr-Clculo 4
Funo polinomial
Diz-se que p : R R uma funo polinomial se existe inteiro n 0e existem nmeros reais a0, a1, . . . , an tais que, para todo x R,tem-se
p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0.Se an 6= 0, dizemos que p tem grau n.
Uma funo polinomial chama-se identicamente nula quando se temp(x) = 0 para todo x R (no se define grau para uma funopolinomial identicamente nula).
Dizemos que uma raiz de p se p() = 0 (note que todo nmeroreal raiz de uma funo polinomial identicamente nula).
Definio
Aula 16 Pr-Clculo 5
Funo polinomial
Diz-se que p : R R uma funo polinomial se existe inteiro n 0e existem nmeros reais a0, a1, . . . , an tais que, para todo x R,tem-se
p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0.Se an 6= 0, dizemos que p tem grau n.
Uma funo polinomial chama-se identicamente nula quando se temp(x) = 0 para todo x R (no se define grau para uma funopolinomial identicamente nula).
Dizemos que uma raiz de p se p() = 0 (note que todo nmeroreal raiz de uma funo polinomial identicamente nula).
Definio
Aula 16 Pr-Clculo 6
Funo polinomial
Diz-se que p : R R uma funo polinomial se existe inteiro n 0e existem nmeros reais a0, a1, . . . , an tais que, para todo x R,tem-se
p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0.Se an 6= 0, dizemos que p tem grau n.
Uma funo polinomial chama-se identicamente nula quando se temp(x) = 0 para todo x R (no se define grau para uma funopolinomial identicamente nula).
Dizemos que uma raiz de p se p() = 0 (note que todo nmeroreal raiz de uma funo polinomial identicamente nula).
Definio
Aula 16 Pr-Clculo 7
Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
Aula 16 Pr-Clculo 8
Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
Aula 16 Pr-Clculo 9
Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
Aula 16 Pr-Clculo 10
Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
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Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
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Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
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Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
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Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
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Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
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Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
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Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
Aula 16 Pr-Clculo 18
Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
Aula 16 Pr-Clculo 19
Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
Aula 16 Pr-Clculo 20
Funo polinomial: exemplos
So exemplos de funes polinomiais:
p(x) = x3 2 x + 1 (de grau 3), p(x) = x7
2 x 9 (de grau 7),
as funes afins e quadrticas,
p(x) =(x2 + 1)2 = x2 + 1, p(x) = sec2(arctg(x)) = x2 + 1.
No so funes polinomiais:
f (x) =1x= x1, f (x) =
x = x1/2, f (x) = 2x .
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Funo polinomial versus polinmio
Um polinmio uma expresso formal do tipo
p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,
onde a0, a1, . . . , an so nmeros (os coeficientes do polinmio) e X umsmbolo (chamado indeterminada), sendo X i uma abreviatura para X X X(i fatores). Em essncia, o polinmio p(X ) o mesmo que a lista ordenada de seuscoeficientes:
p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).
Se os coeficientes so nmeros reais, ento cada polinmio determina uma funopolinomial e vice-versa. Por esse motivo, para o caso dos nmeros reais, no hnecessidade de fazer distino entre polinmios e funes polinomiais. Existemcertos conjuntos numricos, contudo, onde a diferena existe.
Aula 16 Pr-Clculo 22
Funo polinomial versus polinmio
Um polinmio uma expresso formal do tipo
p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,
onde a0, a1, . . . , an so nmeros (os coeficientes do polinmio) e X umsmbolo (chamado indeterminada), sendo X i uma abreviatura para X X X(i fatores). Em essncia, o polinmio p(X ) o mesmo que a lista ordenada de seuscoeficientes:
p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).
Se os coeficientes so nmeros reais, ento cada polinmio determina uma funopolinomial e vice-versa. Por esse motivo, para o caso dos nmeros reais, no hnecessidade de fazer distino entre polinmios e funes polinomiais. Existemcertos conjuntos numricos, contudo, onde a diferena existe.
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Funo polinomial versus polinmio
Um polinmio uma expresso formal do tipo
p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,
onde a0, a1, . . . , an so nmeros (os coeficientes do polinmio) e X umsmbolo (chamado indeterminada), sendo X i uma abreviatura para X X X(i fatores). Em essncia, o polinmio p(X ) o mesmo que a lista ordenada de seuscoeficientes:
p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).
Se os coeficientes so nmeros reais, ento cada polinmio determina uma funopolinomial e vice-versa. Por esse motivo, para o caso dos nmeros reais, no hnecessidade de fazer distino entre polinmios e funes polinomiais. Existemcertos conjuntos numricos, contudo, onde a diferena existe.
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Funo polinomial versus polinmio
Um polinmio uma expresso formal do tipo
p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,
onde a0, a1, . . . , an so nmeros (os coeficientes do polinmio) e X umsmbolo (chamado indeterminada), sendo X i uma abreviatura para X X X(i fatores). Em essncia, o polinmio p(X ) o mesmo que a lista ordenada de seuscoeficientes:
p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).
Se os coeficientes so nmeros reais, ento cada polinmio determina uma funopolinomial e vice-versa. Por esse motivo, para o caso dos nmeros reais, no hnecessidade de fazer distino entre polinmios e funes polinomiais. Existemcertos conjuntos numricos, contudo, onde a diferena existe.
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Funo polinomial versus polinmio
Um polinmio uma expresso formal do tipo
p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,
onde a0, a1, . . . , an so nmeros (os coeficientes do polinmio) e X umsmbolo (chamado indeterminada), sendo X i uma abreviatura para X X X(i fatores). Em essncia, o polinmio p(X ) o mesmo que a lista ordenada de seuscoeficientes:
p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).
Se os coeficientes so nmeros reais, ento cada polinmio determina uma funopolinomial e vice-versa. Por esse motivo, para o caso dos nmeros reais, no hnecessidade de fazer distino entre polinmios e funes polinomiais. Existemcertos conjuntos numricos, contudo, onde a diferena existe.
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Funo polinomial versus polinmio
Um polinmio uma expresso formal do tipo
p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,
onde a0, a1, . . . , an so nmeros (os coeficientes do polinmio) e X umsmbolo (chamado indeterminada), sendo X i uma abreviatura para X X X(i fatores). Em essncia, o polinmio p(X ) o mesmo que a lista ordenada de seuscoeficientes:
p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).
Se os coeficientes so nmeros reais, ento cada polinmio determina uma funopolinomial e vice-versa. Por esse motivo, para o caso dos nmeros reais, no hnecessidade de fazer distino entre polinmios e funes polinomiais. Existemcertos conjuntos numricos, contudo, onde a diferena existe.
Aula 16 Pr-Clculo 27
Funo polinomial versus polinmio
Um polinmio uma expresso formal do tipo
p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,
onde a0, a1, . . . , an so nmeros (os coeficientes do polinmio) e X umsmbolo (chamado indeterminada), sendo X i uma abreviatura para X X X(i fatores). Em essncia, o polinmio p(X ) o mesmo que a lista ordenada de seuscoeficientes:
p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).
Se os coeficientes so nmeros reais, ento cada polinmio determina uma funopolinomial e vice-versa. Por esse motivo, para o caso dos nmeros reais, no hnecessidade de fazer distino entre polinmios e funes polinomiais. Existemcertos conjuntos numricos, contudo, onde a diferena existe.
Aula 16 Pr-Clculo 28
Funo polinomial versus polinmio
Um polinmio uma expresso formal do tipo
p(X ) = anX n + an1X n1 + + a1X + a0,
onde a0, a1, . . . , an so nmeros (os coeficientes do polinmio) e X umsmbolo (chamado indeterminada), sendo X i uma abreviatura para X X X(i fatores). Em essncia, o polinmio p(X ) o mesmo que a lista ordenada de seuscoeficientes:
p(X ) = (a0,a1, . . . ,an).
Se os coeficientes so nmeros reais, ento cada polinmio determina uma funopolinomial e vice-versa. Por esse motivo, para o caso dos nmeros reais, no hnecessidade de fazer distino entre polinmios e funes polinomiais. Existemcertos conjuntos numricos, contudo, onde a diferena existe.
Aula 16 Pr-Clculo 29
O algoritmo da diviso de Euclides
Aula 16 Pr-Clculo 30
O algoritmo da diviso de Euclides
Dadas duas funes polinomiais p e d (com d no identicamentenula), existem nicas funes polinomiais q e r tais que
p(x) = q(x)d(x) + r(x),x R,
onde r identicamente nula ou o grau de r menor do que o graude d . Neste caso, p chamado de dividendo, d de divisor, q dequociente e r de resto da diviso de p por d . Quando o resto r umafuno identicamente nula, dizemos que p divisvel por d .
O algoritmo da diviso de Euclides
possvel demonstrar este teorema formalizando o processoque descreveremos a seguir.
Aula 16 Pr-Clculo 31
O algoritmo da diviso de Euclides
Dadas duas funes polinomiais p e d (com d no identicamentenula), existem nicas funes polinomiais q e r tais que
p(x) = q(x)d(x) + r(x),x R,
onde r identicamente nula ou o grau de r menor do que o graude d . Neste caso, p chamado de dividendo, d de divisor, q dequociente e r de resto da diviso de p por d . Quando o resto r umafuno identicamente nula, dizemos que p divisvel por d .
O algoritmo da diviso de Euclides
possvel demonstrar este teorema formalizando o processoque descreveremos a seguir.
Aula 16 Pr-Clculo 32
O algoritmo da diviso de Euclides
Dadas duas funes polinomiais p e d (com d no identicamentenula), existem nicas funes polinomiais q e r tais que
p(x) = q(x)d(x) + r(x),x R,
onde r identicamente nula ou o grau de r menor do que o graude d . Neste caso, p chamado de dividendo, d de divisor, q dequociente e r de resto da diviso de p por d . Quando o resto r umafuno identicamente nula, dizemos que p divisvel por d .
O algoritmo da diviso de Euclides
possvel demonstrar este teorema formalizando o processoque descreveremos a seguir.
Aula 16 Pr-Clculo 33
O algoritmo da diviso de Euclides
Dadas duas funes polinomiais p e d (com d no identicamentenula), existem nicas funes polinomiais q e r tais que
p(x) = q(x)d(x) + r(x),x R,
onde r identicamente nula ou o grau de r menor do que o graude d . Neste caso, p chamado de dividendo, d de divisor, q dequociente e r de resto da diviso de p por d . Quando o resto r umafuno identicamente nula, dizemos que p divisvel por d .
O algoritmo da diviso de Euclides
possvel demonstrar este teorema formalizando o processoque descreveremos a seguir.
Aula 16 Pr-Clculo 34
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 35
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 36
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 37
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 38
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 39
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 40
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 41
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 42
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 43
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 44
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 45
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 46
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 47
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 48
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 49
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
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O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 51
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 52
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 53
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 54
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 55
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
=(x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 56
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + x 1 p(x)
= (x2 + x 3) q(x)
(x2 x + 1) d(x)
+(3x + 2) r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 57
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 58
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 59
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 60
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 61
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 62
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 63
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 64
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 65
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 66
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 67
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 68
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 69
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 70
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 71
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 72
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 73
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 74
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 75
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 76
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 77
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 78
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 79
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 80
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
=(x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 81
O algoritmo da diviso de Euclides: exemplo
x4 3x3 + 2x2 2 p(x)
= (x3 4x2 + 6x 6) q(x)
(x + 1) d(x)
+ 4r(x)
Aula 16 Pr-Clculo 82
O dispositivo de Horner(dispositivo de Briot-Ruffini)
Aula 16 Pr-Clculo 83
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini) umamaneira rpida de efetuarmos a diviso de uma funopolinomial p por uma funo polinomial de grau 1 da formad(x) = x .
Aula 16 Pr-Clculo 84
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1
Aula 16 Pr-Clculo 85
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1
1?
Aula 16 Pr-Clculo 86
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1 1
1*(1)
Aula 16 Pr-Clculo 87
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1 1
1 4?+
Aula 16 Pr-Clculo 88
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1 1 4
1 4*(1)
Aula 16 Pr-Clculo 89
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1 1 4
1 4 6?+
Aula 16 Pr-Clculo 90
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1 1 4 6
1 4 6*(1)
Aula 16 Pr-Clculo 91
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1 1 4 6
1 4 6 6?+
Aula 16 Pr-Clculo 92
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1 1 4 6 6
1 4 6 6*(1)
Aula 16 Pr-Clculo 93
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1 1 4 6 6
1 4 6 6 4?+
Aula 16 Pr-Clculo 94
O dispositivo de Horner (dispositivo de Briot-Ruffini)
p(x) = x4 3x3 + 2x2 + 0x 2, d(x) = x + 1 = x (1).
1 3 2 0 2 1 1 4 6 6
1 4 6 6 4
Aula 16 Pr-Clculo 95
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 96
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 97
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 98
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 99
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 100
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 101
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 102
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 103
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 104
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 105
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 106
Teorema de DLambert
Teorema (de DLambert). Se p uma uma funo polinomial e d(x) = x , com R, ento o resto da diviso de p por d p().
Demonstrao. Pelo algoritmo da diviso de Euclides, p(x) = q(x)(x ) + r(x), onder uma funo polinomial identicamente nula ou de grau zero (isto , r uma funoconstante: r(x) = c, para todo x R). Logo,
p() = q()( ) + c p() = c. r(x) = c = p().
No exemplo anterior, p(x) = x4 3x3 + 2x2 2, d(x) = x + 1 e r(x) = 4 = p(1).
Corolrio. Uma funo polinomial p divisvel por d(x) = x , com R, se, esomente se, uma raiz de p, isto , se, e somente se,
p(x) = q(x)(x ),
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n 1 se p tem grau n.
Aula 16 Pr-Clculo 107
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 108
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 109
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 110
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 111
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 112
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 113
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 114
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 115
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 116
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 117
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 118
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 119
Teorema de DLambert
Corolrio. Mais geralmente, 1, 2, . . . , k so razes distintas de uma funopolinomial p se, e somente se,
p(x) = q(x) (x 1)(x 2) (x k ), ()
para todo x R, onde q uma funo polinomial de grau n k se p tem grau n.
Demonstrao. Se 1 uma raiz de p, ento pelo corolrio anterior, podemos escreverque p(x) = q1(x)(x1),para todo x R, onde o grau de q1 igual a n1. Substituindox = 2 nesta igualdade, obtemos que 0 = p(2) = q1(2)(2 1). Como 1 6= 2,conclumos que q1(2) = 0, isto , 2 uma raiz de q1. Usando agora o corolrioanterior para q1, conclumos que q1(x) = q2(x)(x 2),para todo x R, onde o graude q2 igual a n 2. Logo,
p(x) = q2(x)(x 2)(x 1),
para todo x R, onde o grau de q2 igual a n 2. Substituindo x = 3 nestaigualdade, obtemos que 0 = p(3) = q2(3)(3 2)(3 1). Como 1 6= 3e 2 6= 3, conclumos que q2(3) = 0. Prosseguindo recursivamente com esteargumento, obtemos que a funo polinomial p pode ser escrita na forma ().
Aula 16 Pr-Clculo 120
Teorema de DLambert
Corolrio. Uma funo polinomial de grau n no pode ter mais do que n razes reaisdistintas.
Aula 16 Pr-Clculo 121
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 122
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 123
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 124
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 125
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 126
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 127
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 128
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 129
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 130
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 131
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 132
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 133
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 134
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 135
Exemplo
Considere a funo polinomial p(x) = x43 x3+3 x23 x+2. Como p(1) = 0, segue-seque 1 = 1 raiz de p. Logo p divisvel por x 1. Usando o dispositivo de Horner:
1 3 3 3 21 1 2 1 2
1 2 1 2 0
conclumos ento que p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = q1(x)(x 1), onde q1(x) =x32 x2 +x 2. Como q1(2) = 0, segue-se que 2 = 2 raiz de q1. Logo q1 divisvelpor x 2. Usando o dispositivo de Horner mais uma vez:
1 2 1 22 2 0 2
1 0 1 0
conclumos ento que q1(x) = q2(x)(x 2), onde q2(x) = x2 + 1. Portanto,
p(x) = x4 3 x3 + 3 x2 3 x + 2 = (x2 + 1)(x 2)(x 1).
Aula 16 Pr-Clculo 136
O teorema fundamental da lgebra
Aula 16 Pr-Clculo 137
O teorema fundamental da lgebra
Teorema. Toda funo polinomial de grau 1 possui pelo menos uma raiz complexa.
A demonstrao deste teorema requer recursos de anlise. Ela ser feitaposteriormente no curso de variveis complexas.
Definio. Dizemos que uma raiz de uma funo polinomial p tem multiplicidade m(m 1) se p for divisvel por (x )m e no for divisvel por (x )m+1. Observe queuma raiz tem multiplicidade m se, e s se,
p(x) = q(x)(x )m,
onde q() 6= 0.
Corolrio. Se p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomialcom razes distintas 1, 2, . . . , k de multiplicidades m1, m2, . . . , mk , respectivamente,ento
p(x) = an(x 1)m1(x 2)m2 (x k )mk ,com m1 +m2 + +mk = n.
Aula 16 Pr-Clculo 138
O teorema fundamental da lgebra
Teorema. Toda funo polinomial de grau 1 possui pelo menos uma raiz complexa.
A demonstrao deste teorema requer recursos de anlise. Ela ser feitaposteriormente no curso de variveis complexas.
Definio. Dizemos que uma raiz de uma funo polinomial p tem multiplicidade m(m 1) se p for divisvel por (x )m e no for divisvel por (x )m+1. Observe queuma raiz tem multiplicidade m se, e s se,
p(x) = q(x)(x )m,
onde q() 6= 0.
Corolrio. Se p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomialcom razes distintas 1, 2, . . . , k de multiplicidades m1, m2, . . . , mk , respectivamente,ento
p(x) = an(x 1)m1(x 2)m2 (x k )mk ,com m1 +m2 + +mk = n.
Aula 16 Pr-Clculo 139
O teorema fundamental da lgebra
Teorema. Toda funo polinomial de grau 1 possui pelo menos uma raiz complexa.
A demonstrao deste teorema requer recursos de anlise. Ela ser feitaposteriormente no curso de variveis complexas.
Definio. Dizemos que uma raiz de uma funo polinomial p tem multiplicidade m(m 1) se p for divisvel por (x )m e no for divisvel por (x )m+1. Observe queuma raiz tem multiplicidade m se, e s se,
p(x) = q(x)(x )m,
onde q() 6= 0.
Corolrio. Se p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomialcom razes distintas 1, 2, . . . , k de multiplicidades m1, m2, . . . , mk , respectivamente,ento
p(x) = an(x 1)m1(x 2)m2 (x k )mk ,com m1 +m2 + +mk = n.
Aula 16 Pr-Clculo 140
O teorema fundamental da lgebra
Teorema. Toda funo polinomial de grau 1 possui pelo menos uma raiz complexa.
A demonstrao deste teorema requer recursos de anlise. Ela ser feitaposteriormente no curso de variveis complexas.
Definio. Dizemos que uma raiz de uma funo polinomial p tem multiplicidade m(m 1) se p for divisvel por (x )m e no for divisvel por (x )m+1. Observe queuma raiz tem multiplicidade m se, e s se,
p(x) = q(x)(x )m,
onde q() 6= 0.
Corolrio. Se p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomialcom razes distintas 1, 2, . . . , k de multiplicidades m1, m2, . . . , mk , respectivamente,ento
p(x) = an(x 1)m1(x 2)m2 (x k )mk ,com m1 +m2 + +mk = n.
Aula 16 Pr-Clculo 141
O teorema fundamental da lgebra
Teorema. Toda funo polinomial de grau 1 possui pelo menos uma raiz complexa.
A demonstrao deste teorema requer recursos de anlise. Ela ser feitaposteriormente no curso de variveis complexas.
Definio. Dizemos que uma raiz de uma funo polinomial p tem multiplicidade m(m 1) se p for divisvel por (x )m e no for divisvel por (x )m+1. Observe queuma raiz tem multiplicidade m se, e s se,
p(x) = q(x)(x )m,
onde q() 6= 0.
Corolrio. Se p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomialcom razes distintas 1, 2, . . . , k de multiplicidades m1, m2, . . . , mk , respectivamente,ento
p(x) = an(x 1)m1(x 2)m2 (x k )mk ,com m1 +m2 + +mk = n.
Aula 16 Pr-Clculo 142
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 143
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 144
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 145
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 146
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 147
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 148
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 149
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 150
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 151
O teorema da decomposio em fatores irredutveis
Lema. Seja p(x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 uma funo polinomial cujoscoeficientes a0,a1, . . . ,an so nmeros reais. Se C uma raiz de p, ento o seucomplexo conjugado tambm uma raiz de p.
Demonstrao. Temos que
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 p() = 0.
Teorema (da decomposio em fatores irredutveis). Se p uma funo polinomialcujos coeficientes so nmeros reais, ento p pode ser decomposta como um produtode potncias inteiras no negativas de fatores lineares (do tipo (ax + b)k , associadoss razes reais) e/ou fatores quadrticos irredutveis em R (do tipo (ax2 + bx + c)k ,associados s pares de razes conjugadas).
Aula 16 Pr-Clculo 152
Como calcular as razes de uma funopolinomial?
Aula 16 Pr-Clculo 153
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 154
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 155
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 156
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 157
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 158
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 159
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 160
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 161
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 162
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 163
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 164
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 165
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 166
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 167
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 168
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 169
Como calcular as razes de uma funo polinomial?
Se a funo polinomial de grau 1, existe uma frmula para calcular suaraiz.
Se a funo polinomial de grau 2, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Bhaskara.
Se a funo polinomial de grau 3, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Tartaglia/Cardano (ver a frmula noMaxima). A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 4, existe uma frmula (com radicais) paracalcular sua raiz: a frmula de Ferrari (ver a frmula no Maxima).A frmula, contudo, no prtica.
Se a funo polinomial de grau 5, Niels Henrik Abel (1802-1829) mostrouque no existe uma frmula (com radicais).
Remdios: casos particulares (razes inteiras, razes racionais) e mtodosnumricos.
Aula 16 Pr-Clculo 170
Pesquisa de razes inteiras
Teorema. Seja p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomial comcoeficientes inteiros, isto , a0,a1, . . . ,an Z. Se Z {0} for raiz de p, divisorde a0.
Demonstrao. Se Z {0} uma raiz de p, ento
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 a0 = an n an1 n1 a1 a0
= an n1 an1 n2 a1 Z.
Logo, se a0/ Z, ento um divisor de a0.
Aula 16 Pr-Clculo 171
Pesquisa de razes inteiras
Teorema. Seja p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomial comcoeficientes inteiros, isto , a0,a1, . . . ,an Z. Se Z {0} for raiz de p, divisorde a0.
Demonstrao. Se Z {0} uma raiz de p, ento
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 a0 = an n an1 n1 a1 a0
= an n1 an1 n2 a1 Z.
Logo, se a0/ Z, ento um divisor de a0.
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Pesquisa de razes inteiras
Teorema. Seja p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomial comcoeficientes inteiros, isto , a0,a1, . . . ,an Z. Se Z {0} for raiz de p, divisorde a0.
Demonstrao. Se Z {0} uma raiz de p, ento
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 a0 = an n an1 n1 a1 a0
= an n1 an1 n2 a1 Z.
Logo, se a0/ Z, ento um divisor de a0.
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Pesquisa de razes inteiras
Teorema. Seja p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomial comcoeficientes inteiros, isto , a0,a1, . . . ,an Z. Se Z {0} for raiz de p, divisorde a0.
Demonstrao. Se Z {0} uma raiz de p, ento
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 a0 = an n an1 n1 a1 a0
= an n1 an1 n2 a1 Z.
Logo, se a0/ Z, ento um divisor de a0.
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Pesquisa de razes inteiras
Teorema. Seja p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomial comcoeficientes inteiros, isto , a0,a1, . . . ,an Z. Se Z {0} for raiz de p, divisorde a0.
Demonstrao. Se Z {0} uma raiz de p, ento
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 a0 = an n an1 n1 a1 a0
= an n1 an1 n2 a1 Z.
Logo, se a0/ Z, ento um divisor de a0.
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Pesquisa de razes inteiras
Teorema. Seja p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polinomial comcoeficientes inteiros, isto , a0,a1, . . . ,an Z. Se Z {0} for raiz de p, divisorde a0.
Demonstrao. Se Z {0} uma raiz de p, ento
p() = 0 an n + an1 n1 + + a1 + a0 = 0 a0 = an n an1 n1 a1 a0
= an n1 an1 n2 a1 Z.
Logo, se a0/ Z, ento um divisor de a0.
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Pesquisa de razes inteiras
Teorema. Seja p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x + a0 uma funo polin
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