View
4.344
Download
16
Category
Preview:
DESCRIPTION
Ky është një libër që lehtëson studimet në Ekonomi, për ata që kanë nevojë në Matematikë!
Citation preview
Matematika për ekonomi dhe biznes
Dr.sc. Xhevdet Thaqi prof.ass. Fakulteti i Ekonomik
Univerziteti i AAB
Tema : Funksioni kuadratik, eksponencial dhe logaritmik
FUNKSIONI KUADRATIK
• Funksionet e formës: f(x)= a·x 2+ b·x + c, quhen funksione
kuadratike.
• Zona e perkufizimit është (Domeni) D f: R apo intervali (-, ).
• Grafiku i funksionit kuadratik është lakore e cila quhet
parabolë.
• Koeficientet e funksionit kuadratik janë numra apo konstante,
dhe identifikohen si:
• a - termi (koeficienti) i katrorit, b –termi (koeficienti) linear dhe
c - termi (koeficienti) i lire.
Shenja dhe vlera e ekoeficientit a
• eshte konkav nese a>o, dhe konveks nese a<0.
• Varësisht nga fakti se D>0 apo D<0, përcaktohet posicioni i
grafikut ndaj boshtit Ox., prandaj në figuarat e më poshtme nuk
paraqesim boshtin Ox.
• Poashtu varësisht nga vlera apsolute e koeficientit a, “krahët” e
grafikut janë më të hapur apo më të mbyllur,…
Nëse e çvendosim grafikun e funks. f(x)= x2 për p-njësi drejt anës
së djathtë, dhe për k – njësi në drejtim të kahjes pozitive të
boshtit y, fitojmë grafikun e funksionit: g(x) = a(x - p)2 + k
Shembull: Ne figurë kemi f(x)= x2, të çvendosur për 4.58 njësi në
drejtim pozitiv te boshtit x dhe per 3.92 njësi në drejtim pozitiv
të boshtit y, kemi fituar funksionin f(x)= (x– 4.58)2 + 3.92
Çvendosja e grafikut f(x)=ax2
GrAFIKU I FUNKSIONIT KUADRATIK
Te llogaritet Shenohen në grafikun e funksionit
Duke zbatuar formulen gjenden
rrenjet e ekuacionit kuadratik x1
dhe x2
Nese rrenjet jane reale, ato caktohen
ne boshtin x si pika x1 dhe x2
Njehsohen koordinatat e kulmit:
xv = (x1+x2)/2 ose xv= -b/2a,
dhe
yv = f(xv) – zevend. në funksion
vlera e xv.
Kulmi: V (xv ; yv)
Boshti i simetrisë së grafikut: drejtza
e cila kalon nëpër piken xv
Prerja me boshtin y, x=0, y=c, pra
pika (0 ; c)
Pikeprerja me boshtin Oy, dhe duke
shfrytezuar simetrine mund te
caktohet edhe pika simetrike me te.
• Konkaviteti i funksionit:
• Nëse a > 0 funksioni eshte konkav “”.
• Nëse a < 0 funksioni eshte konveks “”.
• Intervalet e monotonise (rritja dhe zvoglimi i funksionit)
• Nese a>0, funksioni f(x) eshte zvoglues ne (-∞;xv), dhe rrites
ne intervalin (xv ;+ ∞).
• Nese a<0, funksioni f(x) eshte rrites ne intervalin(-∞;xv), dhe
zvogelues ne intervalin (xv ;+ ∞).
• Shenja e funksionit kuadratik:
• Ne rastin e funksionit kuadratik dallojme:
• Nese a>0, pozitiv ne (-, x1), dhe (x2, ) negativ ne (x1, x2),
• Nese a<0, pozitiv ne (x1, x2), negativ ne (-, x1), dhe (x2, )
• Max dhe min.
Vetite e funksionit kuadratik
ushtrime
a) Vizatoni grafikun e funksioneve:
f(x)= (x + 5 ) 2 - 8 g(x) = -3 x 2 - 6 x + 12
h(x) = x 2 - 4 x + 4 t(x) = - x 2 + 3x
Zgjidhni ekuacionet e meposhtme:
1) 0,5 x 2 + 8 = 0
2) 3 x 2 + 2,5 x = 0
3) (2 x ) 2 - 3 = 6 4) 3 x ( 7 - x ) = 0
5) 2 x2 - 3 x + 1 = 1/ 2 ( 2x + 2) 6) 6 (1/ 3 X+ 1/ 2) = x 2 + 3
Gjeni numrat e plotë të cilet plotësojne kushtet e dhëna me posht:
a) Ndryshimi ndermjet katrorit të trefishit të një numri dhe katrorit të dyfishit të tij është 125.
b) Prodhimi i numrit (të plotë) pasardhes dhe paraardhesit është 399.
c) Trefishi i katrorit të pasardhesit të një numri është 147.
• Funksióni exponencial eshte i formes:
• ku a eshte numer real positiv, x-ndryshore e pavarur.
• Prandaj funksioni i cili çdo numri real x i korrespondon fuqia ax
quhet funksion eksponencial me base a dhe eksponent x.
• Shembull 1. Le te jete dhene funksioni
• Per x marrim vlera te ndryshme, fitojme vlerat e ndryshores y:
Fnksioni eksponencial
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = 2x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
• Ekuacion exponencial eshte ekuacioni në të cilën e panjohura paraqitet në
eksponent. P.sh. ekuacioni është ekuacion exponencial.
Ekuacionet eksponenciale
Për të zgj idhë një ekuacion exponencial duhet t ë kemi parasysh:
1.
2.
3. Vetite e fuqive:
a0 = 1 ,
a1 = a ,
,
,
am
· a n
= am+ n
am
: a n
= am - n
(am
)n = a
m · n
an
· b n
= (a · b) n
an
: b n
= (a : b) n
Shembull
Shembull i 3: Te zgj idhen ekuacionet exponenciale:
1 . , 2 . , 3 .
Zgj idhje:
1 .
2.
,
3 .
Funksioni logaritmik
L ogaritëm i n jë numri x me bazë të dhënë a, është exponenti y me
të ci l in duhet ngri tur bazën a në mënyrë që të f i tohet numeri x .
Simbolikisht shënojmë:
Duke qenë a bazë, x numri , dhe y logari tmi , do t ë kemi:
Shembull 1 . Ne bazë të përkufizimit për logaritmet, l logaritni
vleren e y:
1.
2.
3.
4.
Logaritmi natyral dhe dhjetor
Varësisht nga baza e logari tmit , dal lojmë dy klasa të veqanta të
logari tmeve: logari tmet dhjetore dhe logari tmet natyrale.
Logaritmet dhjetore : jane ato logari tme qe kan per ba ze numrin 10.
Shenohen s imbolikisht me log(x) .
p.sh.: log10100 =log 100=2, sepse 102=100
Logaritmet neperiane apo logaritmet natyrale: jane logari tmet te
ci lat per baze kan numrin e . Shkruhen s imbolikisht me ln(x) ose
L(x).
p.sh. logex=lnx, etj
Vetitë e logaritmeve Vetitë e logaritmeve
Ne vazhdim po perkuj tojme disa nga vet i te e logar i tmeve te ci lat
rr jedhn drej tperdrej t nga perkufiz imi i logari tmit :
Pra nga perkufiz imi i logari tmit rr jedh se :
- Nuk existon logari tmi i nje numri me base negat ive:
- Nuk existon logari tmi i nje numri negat iv:
- Nuk existon logari tmi i numri t zero:
- Logaritmi i numrit 1 eshte zero.
- Logaritmi i numrit a me base a eshte i barabarte me nje:
- Logaritmi me baze a i n je fuqie te a eshte i barabarte me
eksponent in e a :
Funksioni logaritmik Fnksion logarítmik me baze a eshte funcióni invers i funksionit
exponencial me baze a . S imbolikisht e shenojme:
f (x)=log a x , a>0, a≠1 , eshte inverz i funksioni t f (x)= ax
Shembull . Shqyrtojme funksionin:
Marrim disa vlera te ndryshores x dhe njehsojme vlerat perkatese te
f(x) , dhe ato i paraqesim ne tabele:
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
-3 -2 -1 0 1 2 3
Vlerat e f i tuara i paraqesim ne s is temin koordinat iv kendedrej te dhe
me bashkimin e tyre f i tojme lakoren s i ne f igure n e mëposhtme:
Funksioni logaritmik
Shembull i 2. Shohim tani funksionin:
Duke vepruar ne te njej ten menyre s i ne shembull in emeparshem,
f i tojme:
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
3 2 1 0 -1 -2 -3
Grafiku i te ci l i t esh te:
Vetitë e funksionit logaritmik Veti te e përgj i thshme të funksioni t logar i tmik jan ë:
1 . Domeni (Fusha e perkufiz imit) : ,
2. Kodomeni (Fusha e vlerave te funksioni t ) : .
3. Eshte funksion i vazhdueshem .
4. Eshte injekt iv: d .m.th: a≠1, dhe x 1x2 v len log ax1 log ax2.
5 . Eshte rr i tes nese a >1 , dhe funksion zvoglues nese a < 1 .
6 . Lakorja e funk. y =log ax
eshte s imetr ike me lakoren e funks. y =ax
Vetitë e funksionit logaritmik
Përveq vet ive të cekura më s ipër funksioni logari tmik ka edhe këto
vet i :
1. shembull :
2. shembull :
3. shembull :
4. shembull :
5. Ndrrimi i bazave :
, për shembull :
Recommended