Matematika për ekonomi dhe biznes

Dr.sc. Xhevdet Thaqi prof.ass. Fakulteti i Ekonomik

Univerziteti i AAB

Tema : Funksioni kuadratik, eksponencial dhe logaritmik

FUNKSIONI KUADRATIK

• Funksionet e formës: f(x)= a·x 2+ b·x + c, quhen funksione

kuadratike.

• Zona e perkufizimit është (Domeni) D f: R apo intervali (-, ).

• Grafiku i funksionit kuadratik është lakore e cila quhet

parabolë.

• Koeficientet e funksionit kuadratik janë numra apo konstante,

dhe identifikohen si:

• a - termi (koeficienti) i katrorit, b –termi (koeficienti) linear dhe

c - termi (koeficienti) i lire.

Shenja dhe vlera e ekoeficientit a

• eshte konkav nese a>o, dhe konveks nese a<0.

• Varësisht nga fakti se D>0 apo D<0, përcaktohet posicioni i

grafikut ndaj boshtit Ox., prandaj në figuarat e më poshtme nuk

paraqesim boshtin Ox.

• Poashtu varësisht nga vlera apsolute e koeficientit a, “krahët” e

grafikut janë më të hapur apo më të mbyllur,…

Nëse e çvendosim grafikun e funks. f(x)= x2 për p-njësi drejt anës

së djathtë, dhe për k – njësi në drejtim të kahjes pozitive të

boshtit y, fitojmë grafikun e funksionit: g(x) = a(x - p)2 + k

Shembull: Ne figurë kemi f(x)= x2, të çvendosur për 4.58 njësi në

drejtim pozitiv te boshtit x dhe per 3.92 njësi në drejtim pozitiv

të boshtit y, kemi fituar funksionin f(x)= (x– 4.58)2 + 3.92

Çvendosja e grafikut f(x)=ax2

Ekuacionet kuadratike

> 0 = 0 < 0

GrAFIKU I FUNKSIONIT KUADRATIK

Te llogaritet Shenohen në grafikun e funksionit

Duke zbatuar formulen gjenden

rrenjet e ekuacionit kuadratik x1

dhe x2

Nese rrenjet jane reale, ato caktohen

ne boshtin x si pika x1 dhe x2

Njehsohen koordinatat e kulmit:

xv = (x1+x2)/2 ose xv= -b/2a,

dhe

yv = f(xv) – zevend. në funksion

vlera e xv.

Kulmi: V (xv ; yv)

Boshti i simetrisë së grafikut: drejtza

e cila kalon nëpër piken xv

Prerja me boshtin y, x=0, y=c, pra

pika (0 ; c)

Pikeprerja me boshtin Oy, dhe duke

shfrytezuar simetrine mund te

caktohet edhe pika simetrike me te.

• Konkaviteti i funksionit:

• Nëse a > 0 funksioni eshte konkav “”.

• Nëse a < 0 funksioni eshte konveks “”.

• Intervalet e monotonise (rritja dhe zvoglimi i funksionit)

• Nese a>0, funksioni f(x) eshte zvoglues ne (-∞;xv), dhe rrites

ne intervalin (xv ;+ ∞).

• Nese a<0, funksioni f(x) eshte rrites ne intervalin(-∞;xv), dhe

zvogelues ne intervalin (xv ;+ ∞).

• Shenja e funksionit kuadratik:

• Ne rastin e funksionit kuadratik dallojme:

• Nese a>0, pozitiv ne (-, x1), dhe (x2, ) negativ ne (x1, x2),

• Nese a<0, pozitiv ne (x1, x2), negativ ne (-, x1), dhe (x2, )

• Max dhe min.

Vetite e funksionit kuadratik

Shembull: Eshte dhene funksioni f(x)= x2 +x - 3.75

ushtrime

a) Vizatoni grafikun e funksioneve:

f(x)= (x + 5 ) 2 - 8 g(x) = -3 x 2 - 6 x + 12

h(x) = x 2 - 4 x + 4 t(x) = - x 2 + 3x

Zgjidhni ekuacionet e meposhtme:

1) 0,5 x 2 + 8 = 0

2) 3 x 2 + 2,5 x = 0

3) (2 x ) 2 - 3 = 6 4) 3 x ( 7 - x ) = 0

5) 2 x2 - 3 x + 1 = 1/ 2 ( 2x + 2) 6) 6 (1/ 3 X+ 1/ 2) = x 2 + 3

Gjeni numrat e plotë të cilet plotësojne kushtet e dhëna me posht:

a) Ndryshimi ndermjet katrorit të trefishit të një numri dhe katrorit të dyfishit të tij është 125.

b) Prodhimi i numrit (të plotë) pasardhes dhe paraardhesit është 399.

c) Trefishi i katrorit të pasardhesit të një numri është 147.

• Funksióni exponencial eshte i formes:

• ku a eshte numer real positiv, x-ndryshore e pavarur.

• Prandaj funksioni i cili çdo numri real x i korrespondon fuqia ax

quhet funksion eksponencial me base a dhe eksponent x.

• Shembull 1. Le te jete dhene funksioni

• Per x marrim vlera te ndryshme, fitojme vlerat e ndryshores y:

Fnksioni eksponencial

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

Shembulli 2. le te jete:

Shembulli 2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = (1/2)x 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8

• Ekuacion exponencial eshte ekuacioni në të cilën e panjohura paraqitet në

eksponent. P.sh. ekuacioni është ekuacion exponencial.

Ekuacionet eksponenciale

Për të zgj idhë një ekuacion exponencial duhet t ë kemi parasysh:

1.

2.

3. Vetite e fuqive:

a0 = 1 ,

a1 = a ,

,

,

am

· a n

= am+ n

am

: a n

= am - n

(am

)n = a

m · n

an

· b n

= (a · b) n

an

: b n

= (a : b) n

Shembull

Shembull i 3: Te zgj idhen ekuacionet exponenciale:

1 . , 2 . , 3 .

Zgj idhje:

1 .

2.

,

3 .

Funksioni logaritmik

L ogaritëm i n jë numri x me bazë të dhënë a, është exponenti y me

të ci l in duhet ngri tur bazën a në mënyrë që të f i tohet numeri x .

Simbolikisht shënojmë:

Duke qenë a bazë, x numri , dhe y logari tmi , do t ë kemi:

Shembull 1 . Ne bazë të përkufizimit për logaritmet, l logaritni

vleren e y:

1.

2.

3.

4.

Logaritmi natyral dhe dhjetor

Varësisht nga baza e logari tmit , dal lojmë dy klasa të veqanta të

logari tmeve: logari tmet dhjetore dhe logari tmet natyrale.

Logaritmet dhjetore : jane ato logari tme qe kan per ba ze numrin 10.

Shenohen s imbolikisht me log(x) .

p.sh.: log10100 =log 100=2, sepse 102=100

Logaritmet neperiane apo logaritmet natyrale: jane logari tmet te

ci lat per baze kan numrin e . Shkruhen s imbolikisht me ln(x) ose

L(x).

p.sh. logex=lnx, etj

Vetitë e logaritmeve Vetitë e logaritmeve

Ne vazhdim po perkuj tojme disa nga vet i te e logar i tmeve te ci lat

rr jedhn drej tperdrej t nga perkufiz imi i logari tmit :

Pra nga perkufiz imi i logari tmit rr jedh se :

- Nuk existon logari tmi i nje numri me base negat ive:

- Nuk existon logari tmi i nje numri negat iv:

- Nuk existon logari tmi i numri t zero:

- Logaritmi i numrit 1 eshte zero.

- Logaritmi i numrit a me base a eshte i barabarte me nje:

- Logaritmi me baze a i n je fuqie te a eshte i barabarte me

eksponent in e a :

Funksioni logaritmik Fnksion logarítmik me baze a eshte funcióni invers i funksionit

exponencial me baze a . S imbolikisht e shenojme:

f (x)=log a x , a>0, a≠1 , eshte inverz i funksioni t f (x)= ax

Shembull . Shqyrtojme funksionin:

Marrim disa vlera te ndryshores x dhe njehsojme vlerat perkatese te

f(x) , dhe ato i paraqesim ne tabele:

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

-3 -2 -1 0 1 2 3

Vlerat e f i tuara i paraqesim ne s is temin koordinat iv kendedrej te dhe

me bashkimin e tyre f i tojme lakoren s i ne f igure n e mëposhtme:

Funksioni logaritmik

Shembull i 2. Shohim tani funksionin:

Duke vepruar ne te njej ten menyre s i ne shembull in emeparshem,

f i tojme:

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

3 2 1 0 -1 -2 -3

Grafiku i te ci l i t esh te:

Vetitë e funksionit logaritmik Veti te e përgj i thshme të funksioni t logar i tmik jan ë:

1 . Domeni (Fusha e perkufiz imit) : ,

2. Kodomeni (Fusha e vlerave te funksioni t ) : .

3. Eshte funksion i vazhdueshem .

4. Eshte injekt iv: d .m.th: a≠1, dhe x 1x2 v len log ax1 log ax2.

5 . Eshte rr i tes nese a >1 , dhe funksion zvoglues nese a < 1 .

6 . Lakorja e funk. y =log ax

eshte s imetr ike me lakoren e funks. y =ax

Vetitë e funksionit logaritmik

Përveq vet ive të cekura më s ipër funksioni logari tmik ka edhe këto

vet i :

1. shembull :

2. shembull :

3. shembull :

4. shembull :

5. Ndrrimi i bazave :

, për shembull :

ushtrime

A) V iza ton i gra f ikun e funks ioneve logar i tmike

1 . Log 3x, log 32x, log 33x

2. Log 2x, log 2 (x-2) , log 2 (x-3)

B) Te zg j idhen ekuac ione t logar i tmike

1 .

2 .

3 .

4 .

5 .

6 .

7 .

8 .

Te zgj idhen ekuacionet logari tmike:

1 . ,

2 .

3 .

4 .