GEOMETRI

GEOMETRI

Oleh:

M. IKHSANProgram Studi Pendidikan Matematika

Program Pascasarjana Universitas Syiah Kuala Darussalam - Banda Aceh

2011

1GEOMETRI

2GEOMETRI

Postulat Kesejajaran Euclides

Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehinggga membentuk pasangan sudut dalam sepihak jumlahnya kurang dari dua sudut siku, apabila kedua garis tersebut diperpanjang tak terbatas, maka akan berpoto ngan di pihak dimana jumlah kedua sudut dalam sepihaknya kurang dari dua siku.

GEOMETRI

3

Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam sepihak P1 dan Q2 dimana P1 + Q2 < 180. Apabila m dan n diperpanjang tak terbatas maka m berpotongan dengan n.

GEOMETRI

4

m

n

Illustrasi:

5GEOMETRI

l

m

n

Illustrasi:

6GEOMETRI

Q

P

l

m

n

1

2

Illustrasi:

7GEOMETRI

Q

P

l

m

n

1

2

Illustrasi:

8GEOMETRI

Q

P

l

m

n

1

2

Illustrasi:

9GEOMETRI

Q

P

l

m

n

1

2

R

Illustrasi:

10

GEOMETRI

Teorema Sudut Dalam BerseberanganJika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian sehinggga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan yang kongruen, maka kedua garis tersebut sejajar.

Misalkan diketahui garis m, n dan l. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan P1 dan Q2. Akan dibuktikan bahwa m // n.

GEOMETRI

11

m

n

Illustrasi:

12

GEOMETRI

l

m

n

Illustrasi:

13

GEOMETRI

Q

P

l

m

n

1

2

Illustrasi:

14

GEOMETRI

Q

P

l

m

n

1

2

Illustrasi:

15

GEOMETRI

BUKTI:

Andaikan m // n , berarti m berpotongan dengan n. Berdasarkan teorema dalam geometri insiden maka m dan n berpotongan di satu titik misalkan titik R. Perhatikan ΔPQR, Q2 adalah sudut luarnya. Berdasarkan teorema sudut luar, maka mQ2 > mP1 (kontradiksi dengan hipotesis). Oleh karena itu m // n. Terbukti.

16

GEOMETRI

Teorema: (Konvers TSDB) Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis trans- versal, maka sudut dlm berseberangan kongruen.

Illustrasi:

Misalkan diketahui garis m, n dan l dengan m //

n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan P1 dan Q2. Akan dibuktikan bahwa P1 ≅ Q2.

17

GEOMETRI

m

n

18

GEOMETRI

Q

P

l

m

n

19

GEOMETRI

Q

P

l

m

n

1

2

20

GEOMETRI

Q

P

R

l

m

nk

1

2

21

GEOMETRI

Q

P

R

l

m

nk

1

2

22

GEOMETRI

23

BUKTI:

Andaikan P1 ≅ Q2, berarti P1 > Q2 atau P1 < Q2. Tanpa mengurangi keumuman bukti, misalkanP1 > Q2. Berdasarkan postulat mengkonstruksi sudut maka terdapat titik R pada daerah P1 sehingga QPR ≅ Q2 (misalkan garis yang melalui titik P dan R adalah k). Berdasarkan teorema sudut dlm berseberangan, maka garis k // n. Karena k ≠ m, maka melalui titik P di luar garis n terdapat dua garis yang sejajar dengan n (kontradiksi dengan Postulat Kesejajaran Euclides). Haruslah P1 ≅ Q2. Terbukti. GEOMETRI

24

GEOMETRI

2

1

R

P

Q

k

l

m

n

Diketahui garis m, n dan l dengan m // n. Garis l memotong garis m di titik P dan memotong garis n di titik Q sedemikian sehingga membentuk pasangan sudut dalam berseberangan P1 dan Q2. Buktikan bahwa P1 ≅ Q2.

25

GEOMETRI

26

GEOMETRI

27

GEOMETRI

28

GEOMETRI

Geometri Euclides Geometri Analitik Fungsi (Injektif ,

Surjektif & Bijektif) Pengertian

transformasi Pencerminan &

Isometri Hasilkali Transformasi Transformasi Balikan Translasi & Rotasi Dila(ta)si

29

GEOMETRI

30

GEOMETRI

31

GEOMETRI

SEKIAN

TERIMA KASIH

32

GEOMETRI