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GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano
Problemas MétricosDistância Resumo
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES - Distâncias
Os problemas métricos são situações que envolvem a determinação de alguma grandeza mensurável (distância ou ângulo). Por norma, trata-se da determinação da verdadeira grandeza.
Para resolver estes problemas métricos é necessário a utilização dos métodos geométricos auxiliares, em particular o rebatimento e a mudança de diedro de projecção.
Quando se refere à distância, entende-se que se trata da menor distância entre dois elementos.
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS - via rebatimento do
Segmento de Recta para um Plano Horizontal A distância entre o ponto A e o ponto B é obtida com o rebatimento do segmento de recta oblíquo [AB], via uma recta e (uma recta do plano) como charneira, rebatendo o plano projectante horizontal do segmento de recta para um plano horizontal que passa por um dos pontos. Esta é talvez a mais fácil das variações do processo de rebatimento. Seria igualmente possível o rebatimento para um plano frontal.
x
xz
xy
α
fα
hα
A2
A1 ≡ O1 B1
B2
B ≡ Br
A
x
A2
B2
A1 ≡ O1 ≡ Or
B1 ≡ Br
e1
e
ArV.G.
ArV.G.
≡ e2
υ
≡ e1
(fυ) ≡ e2
(fυ) ≡ e2 O2
O ≡ Or
O2
GENERALIDADES – Distância entre em Ponto e uma Recta
A distância de um ponto a uma recta é medida numa perpendicular à recta que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta perpendicular à recta dada.
A
rp
d
I
Nas diferentes situações, haverá a necessidade de recorrer a um ou outro elemento auxiliar (ponto, recta ou plano) para resolver o exercício.
DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RECTA
ENTRE UM PONTO E UMA RECTA - geral1 - Conduzir um plano ortogonal à recta dada, passando pelo ponto dado;
2 - Determinar o ponto de intersecção da recta dada com o plano;
3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e a recta dada.
ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta frontal ou horizontalExiste um processo mais simples que passa pela utilização do teorema das três perpendiculares, para medir este tipo de distância, que começa com a condução de uma recta perpendicular à recta dada, passando pelo ponto dado.
ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta oblíquaExiste um processo alternativo que começa com o rebatimento do plano formado pelo ponto dado e a recta dada para um plano auxiliar (frontal ou horizontal) que contém o ponto dado.
ENTRE UM PONTO E UMA RECTA – recta de perfilExiste um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção, que permite transformar a recta de perfil em recta frontal ou horizontal.
Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Método Geral
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f.
x
I1
I2
f2
f1
Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, o plano α.
fα
hα
P1
P2
É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f.
Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ.
Pr
V.G.
≡ Ir
≡ (hφ) ≡ e1
≡ e2
Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal.
Distância entre um Ponto e uma Recta Frontal - via Teorema das Três Perpendiculares
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta frontal f.
x
I1
I2
f2
f1
Para o caso de rectas frontais ou horizontais, é possível este processo mais simples.
Primeiro, é conduzido uma recta perpendicular à recta dada, passando por P.
p2
P1
P2
É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com a recta f. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta f.
Para obter a V.G., é utilizado a rotação do segmento de recta [PI] para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta frontal, perpendicular à recta f e passando pelo ponto I.
Pr
V.G.
≡ Ir
≡ (hφ) ≡ e1
≡ e2
p1
Para medir a distância entre um ponto e uma recta horizontal, o processo é semelhante, com a diferença entre a recta frontal e horizontal.
Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via Método Geral
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r.
x
r2
r1
Primeiro, é conduzido um plano ortogonal à recta dada, passando por P, utilizando uma recta frontal do plano que passa por P e é ortogonal à recta r.
É obtido o ponto I, ponto de intersecção do plano α com a recta r. A distância entre P e I é a distância do ponto P à recta r. É utilizado um plano auxiliar projectante θ, que contém a recta r.
Para obter a V.G., é utilizado o rebatimento do plano projectante frontal de [PI] (o plano α) para o plano frontal φ, que contém o ponto I, sendo a charneira a recta de intersecção entre os planos α e φ.
P1
P2
f1
H1
H2
f2fα
hα
F1
F2
fθ
≡ hθ
H’1
H’2
i2
≡ i1
I1
I2
≡ (hφ) ≡ e1
e2
Ir≡ PrV.G.
Distância entre um Ponto e uma Recta Oblíqua - via Rebatimento do Plano Formado pelo Ponto e a Recta
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto P e a recta oblíqua r.
x
r2
r1
É rebatido o plano formado pelo ponto P e a recta r para o plano frontal φ que contém o ponto P.
A é o ponto de intersecção do plano φ com a recta r.
B é um qualquer ponto da recta r para auxiliar o processo de rebatimento da recta r, e rebatido pelo processo do triângulo de rebatimento.
Ir é obtido via uma perpendicular entre o ponto Pr e a recta rr.
Para obter as projecções do ponto I, é necessário inverter o rebatimento do ponto I.
P1
P2
A1
A2
I1
I2
(hφ) ≡ e1
e2
Ir
≡ Pr
V.G.
B1
B2
Br
≡ Ar
rr
Br1
Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via Rebatimento
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p.
x
A1
A2
p1 ≡ p2
N1
M2
N2
M1
Pelo ponto A é conduzido um plano perpendicular à recta p, um plano de rampa ρ, definido pela recta fronto-horizontal g, que passa pelo ponto A.
O plano de perfil π é o plano que contém p.
A recta i é a recta de intersecção dos planos ρ e π, é perpendicular a p e contém A’. A’ é o ponto de intersecção de π com a recta g, que contém A.
O plano π é rebatido para o Plano Frontal de Projecção, com fπ como charneira.
I1
I2g2
e’2
Ir1
≡ Ar
V.G.
g1
≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2
A’2
A’1
≡ e2 ≡ fπr
≡ hπr
(e1)
Mr
Nr
A’r
pr
ir
Ir
A V.G. de AI é obtida rebatendo o plano projectante frontal de [AI] para o plano frontal φ que contém o ponto A.
≡ (hφ) ≡ e’1
Distância entre um Ponto e uma Recta de Perfil - via Mudança de Diedro de Projecção
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e a recta de perfil p.
x
A1
A2
p1 ≡ p2
N1
M2
N2
M1
A mudança de diedro de projecção permite transformar a recta de perfil em recta frontal ou horizontal, consoante a opção, que neste caso será frontal.
21
x’
41
N4
M4
p4
A4
I4 é obtido via uma recta (r) perpendicular entre o ponto A4 e a recta p4.
Depois é seguido um processo invertido de mudança de diedros de projecção para obter I1, I2, r1 e r2.
Os pontos I e A são rebatidos para obter a V.G.
r4
I4
I1
I2
r2
r1
(fυ) ≡ e2
≡ e1
Ir
≡ Ar
V.G.
GENERALIDADES - Distância entre em Ponto e um Plano
A distância de um ponto a um plano é medida numa recta ortogonal ao plano que passa pelo ponto, sendo o comprimento do segmento de recta que tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no plano (no ponto de intersecção da recta com o plano).
A
p
d
I
α
DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO
ENTRE UM PONTO E UM PLANO - geral1 - Conduzir uma recta ortogonal ao plano dado, passando pelo ponto dado;
2 - Determinar o ponto de intersecção da recta ortogonal com o plano dado;
3 - A distância entre o ponto de intersecção e o ponto dado é a distância entre o ponto dado e o plano dado.
ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano projectanteProcesso sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante.
ENTRE UM PONTO E UM PLANO – plano não projectanteProcesso com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante.
Distância entre um Ponto e um Plano ProjectantePretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto M e o plano α.
x
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por M.
fα
hα
M1
M2
É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α, a partir do cruzamento das projecções horizontais da recta com o plano, tendo em conta que o plano α é projectante horizontal.
p2
p1
I1
I2
A distância de M a I é a distância do ponto M ao plano α. O segmento de recta [MI] é um segmento de recta horizontal, pelo que a V.G. de MI está na projecção horizontal de MI, M1I1.
V.G.
Distância entre um Ponto e um Plano OblíquoPretende-se as projecções e a V.G. da distância entre o ponto A e o plano α.
x
A1
A2fα
hα
p2
p1
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal ao plano α, a recta p, passando por A.
É obtido o ponto I, ponto de intersecção da recta p com o plano α; utilizando um plano auxiliar θ, (plano vertical neste caso, plano projectante horizontal da recta p), e através da recta de intersecção dos dois planos, a recta i.
F1
F2
H1
H2
fθ
≡ hθ
≡ i1
i2
I1
I2
A distância de A a I é a distância do ponto A ao plano α. O segmento de recta [AI] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de MI tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.
≡ e2
(hφ) ≡ e1
Ar
≡ Ir
V.G.
GENERALIDADES - Distância entre dois Planos
A distância entre dois planos é medida numa recta ortogonal aos dois planos, para planos paralelos entre si. A distância entre dois planos é a distância entre quaisquer dois pontos dos planos (um ponto de cada plano) contidos numa mesma recta ortogonal aos planos.
pdA
αδ
B
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS
ENTRE DOIS PLANOS - geral1 - Conduzir uma recta ortogonal aos dois planos dados;
2 - Determinar os pontos de intersecção da recta ortogonal com os planos dados;
3 - A distância entre os pontos de intersecção é a distância entre os planos dados.
ENTRE DOIS PLANOS – planos projectantesProcesso sem necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância está em V.G., devido ao factor projectante.
ENTRE DOIS PLANOS – planos não projectanteProcesso com necessidade de método auxiliar, como o rebatimento ou mudança do diedro de projecção, porque a distância não está em V.G., devido ao factor não projectante.
ENTRE DOIS PLANOS – planos de rampaExiste um processo alternativo que utiliza o método de mudança do diedro de projecção.
Distância entre Dois Planos ProjectantesPretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
x
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.
fα
hα
A1
A2Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como os planos são projectantes frontais, as intersecções são determinadas nos cruzamentos da projecção frontal da recta com os traços frontais dos planos.
p2
p1 B1
B2
A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta frontal, pelo que a V.G. de AB está na projecção frontal de AB, A2B2.
V.G.
fδ
hδ
Distância entre Dois Planos OblíquosPretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
x
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.
fα
hα
A1
A2
Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar γ, que é projectante horizontal e contém a recta p.
p2
p1
B1
B2
A distância de A a B é a distância entre os dois planos. O segmento de recta [AB] é um segmento de recta oblíquo, pelo que a V.G. de AB tem que ser obtida pelo processo de rebatimento.
V.G.
fθ
hθ
F1
F2
H1
H2
fγ
≡ hγ≡ i1
i2
H’1
H’2
i’2
≡ i’1
(fυ) ≡ e2
≡ e1 Br
≡ Ar
Distância entre Dois Planos de Rampa via Rebatimento
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
x
fρ
hσ
hρ
fσ
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p.
p1 ≡ p2
Depois, são determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos. Como nem a recta nem os planos são projectantes, as intersecções são determinadas pelos cruzamentos dos traços dos planos com as projecções da recta, através do plano auxiliar π, que é plano de perfil e contém a recta p.
Para se determinar os pontos A e B é necessário recorrer ao processo de rebatimento.
≡ fπ ≡ hπ
H2
H1
≡ F1
F2
≡ i1 ≡ i2
F’2
≡ F’1
≡ i’1 ≡ i’2
≡ e1 ≡ hπr
≡ (e2)
≡ fπr
≡ Hr
Fr
ir
F’r
i’r
pr
Ar
Br
V.G.
ArBr é a V.G. da distância entre os dois planos.
Invertendo o rebatimento do plano π, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB].
A1
A2
B1
B2
Distância entre Dois Planos de Rampa via Mudança de Diedro de Projecção
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
x
hσ
hρ
fρ
fσ
Primeiro, é conduzido uma recta ortogonal aos dois planos, a recta p. p1 ≡ p2
São determinados os pontos de intersecção da recta p com os planos, depois de transformar os dois planos em planos projectantes via a mudança de diedro de projecção. Um ponto auxiliar P, que pertence a hρ, vai permitir determinar h4ρ, que passa por P4 e é concorrente com fρ no eixo x’.
21
x’
2 4
P1
P2
P4
h4
ρh
4σ
p4
A4
B4V.G
.
A4B4 é a V.G. da distância entre os dois planos, pois os dois planos são projectantes horizontais, no novo diedro de projecção.
Invertendo a mudança de diedro de projecção, obtêm-se as projecções dos pontos A e B, e do segmento de recta [AB].
A2
B2
A1
B1
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