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GEOMETRIA DESCRITIVA A10.º Ano
Intersecções – Resumo
© antónio de campos, 2010
INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO
GENERALIDADES – Intersecção entre recta e plano
Uma recta e um plano não paralelos intersectam-se num ponto.
x
xz
xy
αfα
hα
I
r
INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO
ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – geral
1 - Conduzir pela recta dada um plano auxiliar (em geral um plano projectante, mas não necessariamente) que contenha a recta dada;
2 - Determinar a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar;
3 - O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado.
ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta com plano projectantePara um plano projectante horizontal, é no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção.
ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta projectante com plano não projectantePara um plano projectante horizontal, primeiro obtem-se no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, a projecção horizontal do ponto de intersecção. Depois é utilizada uma recta auxiliar qualquer, que contém o ponto de intersecção, para assim se obter a projecção frontal do ponto de intersecção.
INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante).
x
xz
xy
α
x
fα
hα
fα
hα
r2
r1
r2
r1
II2
I1
fθ
≡ hθ
F2
F1
H2
H1
r
θ
F
H
i2
≡ i1
I2
I1
fθ
≡ hθ
≡ i1
i
i2
1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical θ que contenha a recta r;
2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar θ;
3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado α.
INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta de topo t (projectante frontal) com um plano vertical α (projectante horizontal).
x
xz
xy
x
α
fα
hα
hα
fα
t
(t2)
t1
t1
(t2)
I
I1
≡ I2≡ I2
I1É no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante horizontal.
INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r com um plano de topo θ (projectante frontal).
x
xz
xy
x
θfθ
hθ
r
r2
r1
fθ
hθ
r2
r1
I2
I1
I1
I2
I
É no cruzamento da projecção frontal da recta com o traço frontal do plano, aonde se situa a projecção frontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante frontal.
INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta vertical v com um plano de rampa ρ (não projectante).
x
xz
xy
ρ
fρ
hρ
x
fρ
hρ
v2
(v1)
v
v2
(v1)
I
≡ I1
I2
≡ I1
É utilizada uma recta auxiliar r qualquer, que contém o ponto I, para assim se obter a projecção frontal do ponto I.
H2
H1
F2
F1
r2
r1
I2
r
r1
r2
H
F
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS
GENERALIDADES - Intersecção entre dois planos
Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa recta, a recta comum a ambos os planos.
x
xz
xy
α
i
δ
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS
ENTRE DOIS PLANOS – projectantes e não projectantes As projecções da recta de intersecção são coincidentes com as respectivas projectantes, quando a situação for projectante.
A situação de não projectante implica a obtenção das projecções da recta de intersecção através dos traços da recta, localizados no cruzamento dos traços dos dois planos.
ENTRE DOIS PLANOS – um projectante e o outro não definido pelos traçosUma das projecções da recta de intersecção é coincidente com as respectiva projectante; enquanto a outra é obtida pelos pontos de intersecção das rectas que definem um plano com o outro plano.
ENTRE DOIS PLANOS – de rampa, passantesA recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal.
Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar a recta fronto-horizontal.
ENTRE DOIS PLANOS – plano passante e plano projectante com ponto comumO ponto comum e o ponto que define o plano passante definem a recta de intersecção.
ENTRE DOIS PLANOS – oblíquos ou passantes com um ponto comum no eixo x Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar um dos pontos da recta de intersecção entre os dois planos dados.
O outro ponto será o ponto comum para definir a recta de intersecção.
ENTRE DOIS PLANOS – não definidos pelos seus traçosAtravés de um plano auxiliar projectante, obtem-se quatro rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com os dois pontos coincidentes das quatro rectas a localizar a recta de intersecção.
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal).
x
xz
xy
x
α
fα
hα
hα
fα
i
≡ i2
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).
θ
fθ
hθ
fθ
hθ
≡ i1
≡ i2
≡ i1
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante).
x
xz
xy
α
fα
hα
i
θ
fθ
hθ
x
hα
fα
i2
fθ
hθ ≡ i1
H2
H1
F2
F1
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).
Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal.
F
H
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos.
x
xz
xy
α
x
fα
hα
fα
hα
θ
i
fθ
hθ
fθ
hθ
H2
H1
H
F
F2
F1
i1
i2
Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas).
x
(fυ)
r2
r1
s1
s2
R2
R1
S2
S1
i1
≡ i2
x
xz
xy
υ
(fυ)
r
s
α
iR
S
Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i.
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos de rampa, ρ e σ.
x
hσ
hρ
fρ
fσ
x
xz
xy
ρ
fρ
hρ
i
fσ
hσ
σ
fα
hα
α
fα
hα
A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal, sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano projectante auxiliar.
F1
F2
H2
H1
F
H
a2
≡ a1
a
H’2
H’1
≡ F’1
F’2
≡ b1
b2
F’
H’
b
I
I2
I1
i2
i1
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS COM UM PONTO COMUM SOBRE O EIXO X
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, α e δ, cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo x, o ponto A.
x
xz
xy
α
x
fα
hα
fα
hα
fδ
fδ
hδ
hδ
A1 ≡ A2
A
i
Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto A, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano ν com os planos α e δ.
(fν)
(fν)
F2
F1
F
F’
I
a
b
F’2
F’1
≡ a2≡ b2
a1b1
I2
I1
i2
i1
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P.
x ≡ fρ ≡ hρ
fα
hα
P2
P1
x
xz
xy
ρ
≡ fρ ≡ hρ
P
α
A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).
A1 ≡ A 2
≡ i1
Através de uma recta auxiliar fronto-horizontal r, que pertence ao plano ρ, obtem-se o ponto de intersecção com a recta i, o ponto I. Como o ponto A pertence aos dois planos, a recta de intersecção está definida pelos pontos A e I.
A
rI
r1
r2 I2
I1
i2
i
fα
hα
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE COM PONTO COMUM
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. O ponto P está contido no plano α.
x
xz
xy
ρ
≡ fρ ≡ hρ
P
α
A
x ≡fρ ≡ hρ
fα
hα
Nesta situação, a determinação da recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é imediata, pois o ponto P é um ponto comum aos dois planos.
A1 ≡ A 2
≡ i1
P2
P1
i2
i
fα
hα
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano oblíquo α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P.
x
P2
P1
≡fρ ≡ hρ
A1 ≡ A 2
É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta fronto-horizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma recta frontal.
x
xz
xy
ρ
≡ fρ ≡ hρ
P
A
a
H
α
fα
hα
fα
hα
i
(hφ)
φ
b
≡ a1
a2
H2
H1 ≡ b1
b2
I
A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que juntamente com o outro ponto comum aos dois planos ρ e α, permitem a definição da recta de intersecção i.
I2
I1
i1
i2
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO DE RAMPA
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano de rampa σ. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P.
x
xz
xy
ρx
fσ
hσ
fσ
hσ
σ
≡ fρ ≡ hρ
P
P2
P1
≡ fρ ≡ hρ
fα
hα
i
F
H
α
b
aI
É necessário utilizar um plano auxiliar vertical α passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção i entre o plano ρ e o plano σ é uma recta fronto-horizontal. A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que permite a definição da recta de intersecção i.
fα
hα
F2
F1
H2
H1
≡ a1
a2
≡ b1
b2
I2
I1i1
i2
INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos α e δ. O plano α está definido pelas rectas paralelas a e b. O plano δ está definido pelas rectas concorrentes r e s, concorrentes no ponto P.
x
b2
a2
b1
a1
P2
P1
É necessário utilizar um plano auxiliar horizontal ν e determinar as rectas de intersecção entre os planos.
A intersecção das rectas m e n vão definir o ponto I. A recta m é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano α. A recta n é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano δ.
Para a definição da recta de intersecção i, será necessário um outro ponto I’, obtido utilizando outro plano auxiliar horizontal ν1 e outras rectas de intersecção de planos. A recta m’ é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano α. A recta n’ é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano δ.
(fν)A2
A1
B2
B1
s2r2
s1r1
R2
R1
S2
S1
≡ m2
m1
≡ n2
n1
I2
I1
(fν1) A’2
A’1
R’2
R’1
≡ m’2
m’1
≡ n’2
n’1
I’2
I’1
i1
i2
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR
ENTRE PLANO E BISSECTOR – definido por duas rectas Os traços nos bissectores das duas rectas definem as projecções da recta de intersecção.
ENTRE PLANO OBLÍQUO OU DE RAMPA E BISSECTOR – definido pelos seus traçosUma recta auxiliar do plano dado localiza o traço da recta no bissector, que juntamente com ponto do plano no eixo x definem a as projecções da recta de intersecção.
ENTRE PLANO PROJECTANTE E BISSECTOR – definido pelos seus traçosA projecção homónima com a projectante resulta em projecção coincidente.
A outra projecção será simétrica ou coincidente à primeira projecção, consoante o bissector é o β1,3 ou o β2,4.
INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β1,3. O plano θ é definido por duas rectas paralelas.
x
r2s2
s1
r1
Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β1,3.
Os traços das duas rectas situados no β1,3, Q e Q’, são dois pontos que pertencem aos dois planos.
Q2
Q1
Q’2
Q’1
i1
i2
INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β2,4. O plano θ é definido por duas rectas paralelas.
x
r2s2
s1
r1
Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β2,4.
Os traços das duas rectas situados no β1,3, I e I’, são dois pontos que pertencem aos dois planos.
I1 ≡ I2
I’1 ≡ I’2
i1 ≡ i2
INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β1,3. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A.
x
fα
hα
A1 ≡ A2
Para definir a recta de intersecção do plano α com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β1,3.
Como o β1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção.
Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção.
h2 F2
F1
h1
Q2
Q1 i1
i2
INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β2,4. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A.
x
fα
hα
A1 ≡ A2
Para definir a recta de intersecção do plano α com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β2,4.
Como o β2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção.
Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção.
r1
H2
H1
F2
F1
r2
I1 ≡ I2
i1 ≡ i2
INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β1,3.
x
hρ
fρ
A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector.
Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β1,3, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β1,3.
Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será um ponto da recta de intersecção.
r1
H2
H1
F2
F1
r2
Q2
Q1i1
i2
INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β2,4.
x
hρ
fρ
A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector.
Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β2,4.
Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção. r1
H2
H1
F2
F1
I1 ≡ I2
i1 ≡ i2
r2
INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β1,3
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β1,3.
x
fδ
hδ
A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal.
Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x.
≡ i2
i1
INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β2,4
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β2,4.
x
hδ
fδ
A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal.
Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β1,3 será coincidente com a sua projecção frontal.
≡ i1 ≡ i2
INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS
INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS
ENTRE TRÊS PLANOS – primeira possibilidade Primeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados.
A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados.
O ponto de intersecção entra as rectas obtidas será a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.
ENTRE TRÊS PLANOS – segunda possibilidadePrimeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados.
A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados.
As rectas obtidas são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.
INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Primeira possibilidadeO estudo que se segue trata de planos com uma intersecção própria, seja um ponto próprio ou uma recta própria.
Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano horizontal ν.
x
(fν)
fρ
hρ
fα
hα
Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ν, a recta i.
A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ, a recta i’.
O ponto I será o ponto de intersecção entra as rectas i e i’, e será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.
≡ i2F2
F1
i1
F’2
F’1H’2
H’1
i’1
i’2
I2
I1
INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Segunda possibilidadePretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano vertical δ.
x
hρ
fρ
hα
fαfδ
hδ
Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ, a recta i.
A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano δ, a recta i’.
As rectas i e i’ são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.
H2
H1
F2
F1
≡ i1
i2
≡ H’1
≡ H’2
≡ F’1
≡ F’2
≡ i’1
≡ i’2