يراﺮﮑﺗ يﺎﻫشور ﻪﺑ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد...

Advanced Numerical Methods 78

هاي تکراريحل دستگاه معادالت به روشIterative methods

Advanced Numerical Methods 79

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروشهستندتکرارمبنايبرروش هااین.امهادشوند،همگراشده ايتعیینپیشازخطايبهجواب هاوقتیتامحاسبات

.می یابدهستندتقریبیروش هادستهاین.می شونداستفادهبزرگدستگاه هايبراي.

Advanced Numerical Methods 80

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش

یکبرايمعادلههرxمی شودحل.

تخمینسادهحدسیک(.می شودشروعمجهوالتازتخمینیکبامحاسبات)مجهوالتتمامیبرايصفر

Advanced Numerical Methods 81

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش

تمامیبرايxمی گرددتکرارحلاینومی شوندحلمعادالتاینها.

رصد خطاي نسبی تقریبی در انتهاي هر مرحله براي تمام دxها محاسبه می شود.براي همه مجهوالت خطا باید کمتر از خطاي از پیش تعیین شده باشد.

Advanced Numerical Methods 82

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش

x2=x3=0

x3=0

Advanced Numerical Methods 83

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش

قبلرحلهمتکراربهتوجهباخطابنابرایننیست،مشخصدقیقمقدارواقعی،مسائلدر:شودمیمحاسبه

روش ممکن است واگرا شود.

باشدهمگرایی ممکن است کند.

Advanced Numerical Methods 84

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش) :واگرایی(1مثال

2558.106 32

1aa

a−−

=

8642.177 31

2aa

a−−

=

1121442.279 21

3aaa −−

=

=

521

3

2

1

aaa :حدس اولیه

8.106525 321 =++ aaa

2.177864 321 =++ aaa

2.27912144 321 =++ aaa

Advanced Numerical Methods 85

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش

تکرار a1 %Error a1 a2 %Error a2 a3 %Error a3

1

2

3

4

5

6

3.6720

12.056

47.182

193.33

800.53

3322.6

72.767

69.543

74.447

75.595

75.850

75.906

–7.8510

–54.882

–255.51

–1093.4

–4577.2

–19049

125.47

85.695

78.521

76.632

76.112

75.972

–155.36

–798.34

–3448.9

–14440

–60072

–249580

103.22

80.540

76.852

76.116

75.963

75.931

29048.01 =a 690.192 =a 0857.13 =a:جواب صحیح

Advanced Numerical Methods 86

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش):سرعت هم گرایی پائین(2مثال

144122.279 32

1aaa −−

=

8642.177 31

2aa

a−−

=

15258.106 21

3aaa −−

=

=

521

3

2

1

aaa :حدس اولیه

8.106525 321 =++ aaa

2.177864 321 =++ aaa

2.27912144 321 =++ aaa

Advanced Numerical Methods 87

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش

تکرار a1 %Error a1 a2 %Error a2 a3 %Error a3

1

2

3

4

5

6

۱.7375

1.1282

0.9085

0.8062

0.7419

0.6923

42.446

54.006

24.183

12.689

8.667

7.164

7.625

9.9696

11.2890

12.2452

13.0371

13.7285

73.770

23.517

11.687

7.809

6.074

5.036

25.2375

28.7466

27.6435

25.4197

23.0663

20.8506

80.188

12.207

3.990

8.748

10.202

10.626

29048.01 =a 690.192 =a 0857.13 =a:جواب صحیح

Advanced Numerical Methods 88

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش15312):همگرایی سریع(3مثال 321 xx x =−+

2835 321 x x x =++

761373 321 =++ x x x

=

101

3

2

1

xxx

:حدس اولیه

Advanced Numerical Methods 89

هاي تکرار در حل دستگاه معادالتروش:3مثال

تکرار a1 %Error a1 a2 %Error a2 a3 %Error a3

1

2

3

4

5

6

0.50000

0.14679

0.74275

0.94675

0.99177

0.99919

100.00

240.61

80.236

21.546

4.5391

0.74307

4.9000

3.7153

3.1644

3.0281

3.0034

3.0001

100.00

31.889

17.408

4.4996

0.82499

0.10856

3.0923

3.8118

3.9708

3.9971

4.0001

4.0001

67.662

18.874

4.0064

0.65772

0.074383

0.00101

=

431

3

2

1

xxx

:حل صحیح

Advanced Numerical Methods 90

)Jacobi iteration method(روش تکرار ژاکوبی

Advanced Numerical Methods 91

روش تکرار ژاکوبی

Residual

)Diagonally Dominant(مسلط قطري : شرط همگرایی

ژاکوبیتکرارروشدرباقیماندهمحاسبه

∑≠=

≥n

ijj

ijii aa1

باشدبرقرارسطرهاتمامیبرايروبروشرطاگر:

باشدبرقرارسطریکبرايحداقلروبروشرطاگریا:∑≠=

>n

ijj

ijii aa1 اسکاربوروشرط

Scarborough Criterion

Advanced Numerical Methods 92

)Gauss-Seidel method(سایدل -روش گوس

سایدل-گوستکرارروشدرباقیماندهمحاسبه

Advanced Numerical Methods 93

هاي تکرارچند نکته در خصوص روش سایدل واگرا -باشند، از روش گوس) واگرا(اگر از طریق روش ژاکوبی، معادالت همگرا

. خواهد شد) همگرا( سرعت همگرایی کدام روش بیشتر است؟براي همگرایی، باید حداقل یکی از معادالت شرط مسلط قطري را برآورده نماید .سایدل، مزیت روش ژاکوبی چیست؟ -با وجود روش گوس

Advanced Numerical Methods 94

مقایسه همگرایی در دو روش

4X1 + 2X2 = 2

2X1 + 10X2 + 4X3 = 6

4X2 + 5X3 = 5

Solution: (X1 , X2 , X3 ) = (0.41379, 0.17241, 0.86206)

=

7.05.06.0

3

2

1

xxx :حدس اولیه

مثال

Advanced Numerical Methods 95

مقایسه همگرایی در دو روشژاکوبیتکرارروشدرهمگرایینمودار

0

0/1

0/2

0/3

0/4

0/5

0/6

0/7

0/8

0/9

1

0 2 4 6 8 10

یرتغ

ر مدا

مق

تعداد تکرار

X1 X2 X3

Advanced Numerical Methods 96

مقایسه همگرایی در دو روشسایدل-گوستکرارروشدرهمگرایینمودار

0

0/1

0/2

0/3

0/4

0/5

0/6

0/7

0/8

0/9

1

0 2 4 6 8 10

یرتغ

ر مدا

مق

تعداد تکرار

X1 X2 X3

Advanced Numerical Methods 97

)SOR)Successive Over Relaxationروش

ω =1 ⟹ Gauss-Seidelω<1 ⟹ Under Relaxation1<ω<2 ⟹ Over Relaxationω>2 ⟹ System Diverge

جلوگیري از واگرائی و میرایی نوسانات در تکرار می شودضریب زیر تخفیف باعث.باالبردن سرعت همگرایی می شودضریب فوق تخفیف باعث.

افزایش سرعت همگرائی با استفاده از ضریب تخفیف)Relaxation(

Advanced Numerical Methods 98

λ Number of λ Number ofIterations Iterations

0.7 33 1.25 120.8 27 1.3 140.9 22 1.4 171 17 1.5 22

1.1 13 1.6 301.15 10 1.7 431.2 10

مقایسه همگرایی در دو روش

4X1 + 2X2 = 2

2X1 + 10X2 + 4X3 = 64X2 + 5X3 = 5

Solution: (X1 , X2 , X3 ) = (0.41379, 0.17241, 0.86206)

تخفیفضریبتاثیربررسی:مثال

ω ω

Advanced Numerical Methods 99

دستگاه حل معادالت غیرخطیدستگاه معادالت غیرخطی زیر را در نظر بگیرید:

:تیلوربسطازاستفادهباورافسون-نیوتنروشمشابه

.باشدمیمعادلهریشهزیرااست،صفرfk,i+1مقدار.هستندمجهولمقادیرi+1وحاضرمقادیرiباالرابطهدرkاستمجهولیامعادلهشمارهدهندهنشانهم

Advanced Numerical Methods 100

دستگاه حل معادالت غیرخطی

فرم.استحلقابلشده،گفتههايروشازیکهرباخطیمعادالتدستگاهاین:معادلهماتریسی

Advanced Numerical Methods 101

حل دستگاه معادالت: 3تمرین سري

شماره تمرین شماره صفحه

9.9 2729.11 2729.12 27210.6 293

10.25 29511.3 312

11.12 31311.13 313

هاي مشخص شده از کتاب فوقتمرین

Numerical Methods for EngineersSteven C. Chapra, Raymond P. CanaleISBN: 978–0–07–340106–5Publisher: McGraw-HillPub. Date: 2010

Advanced Numerical Methods 102

حل دستگاه معادالت: 2پروژه معادالتکهکنیدسعی.نماییدانتخابرامجهول30ومعادله30حداقلبامعادلهدستگاه

.باشدداشتهفیزیکیمفهومشدهانتخاببنویسیدزیرهايروشازیکهرازاستفادهباراکامپیوتريبرنامه.

گوسحذفروشتجزیهروشLUژاکوبیتکرارروشسایدلگوستکرارروشکنیدحلراانتخابیمعادلهدستگاهشده،نوشتهبرنامهازاستفادهبا.استشدهنوشتهادامهدرهاخواستهسایر.

Advanced Numerical Methods 103

حل دستگاه معادالت: 2پروژه کنیدرسممعادالت،دستگاهحلتکراريهايروشدرراهمگرایینمودار.تخفیفضریبتاثیر)Relaxation Factor(کنیدبررسیهمگراییسرعتبررا.نماییدبررسیهمگراییسرعتنظرازراهاروشازیکهر.رفتاربدمعادالت،ضرایبماتریسدهیدنشان)ill-condition(رفتارخوشیا)Well-

condition(است.کهکنیدبررسیPivotingداردتاثیريچهگوسی،حذفروشهمگراییسرعتدر.

Advanced Numerical Methods 1

باسمه تعالی

Advanced Numerical Methods 2

روش هاي عددي حل معادالت دیفرانسیل معمولیOrdinary differential equations

Advanced Numerical Methods 3

مقدمهتیمدر بسیاري از مسایل فیزیکی و مهندسی با معادالت دیفرانسیل معمولی روبرو هس.بع و متغیر یک معادله دیفرانسیل معمولی رابطه اي بین یک تابع یک متغیره، مشتق هاي تا

.مستقل می باشد

شوندمیبنديمعادالت دیفرانسیل معمولی بر اساس مرتبه مشتق موجود در معادله، تقسیم.باالترین مرتبه مشتق موجود در معادله نشان دهنده مرتبه معادله است.

dy/dx = f(x,y)d2y/dx2=f(x,y,dy/dx)

لاومرتبهدیفرانسیلمعادله

ومدمرتبهدیفرانسیلمعادله

Advanced Numerical Methods 4

مقدمهبا استفاده از تغییر متغیر، امکان کاهش مرتبه معادالت مرتبه باال وجود دارد.

دستگاه معادالت دیفرانسیل معمولی

:داریمباال،دوممرتبهدیفرانسیلمعادلهدرمتغیرتغییراعمالبا

11 1 2 n

22 1 2 n

nn 1 2 n

dy f (x, y , y , , y )dxdy f (x, y , y , , y )dx

dy f (x, y , y , , y )dx

= = =

بهدستگاهاینحلnداردنیازمرزيشرط.

Advanced Numerical Methods 5

مقدمهحل تحلیلی یک نمونه معادله دیفرانسیل

Cچگونه محاسبه می شود؟

dydx

x

dy x dx

y x C

=

=

= +

∫∫

4

4

43

2

2

3

شرط اولیه؟y(0)=?

( ) ( ) 1C;C3041;10y

3

=⇒+=⇒=

13x4y

3

+=

جواب عمومی معادله

جواب خصوصی معادله

جوابتنهابلکه.آوردبه دسترامعادلهیکعمومیجوابنمی توانعدديروش هايطریقاز.می آیدبه دست)اولیه(مرزيشرطاعمالبامعادلهخصوصی

Advanced Numerical Methods 6

)شرایط مرزي و اولیه(مقدمه براي حل معادله دیفرانسیل مرتبهn بهn نیاز است) اولیه(شرط مرزي.

معادالت دیفرانسیل معمولی

مسائل مقدار اولیه )Initial Value Problems(

مسائل مقدار مرزي )Boundary Value Problems(

ولیارددتأثیرآیندهبرگذشتهمسائلایندرواقعدر.دارندراههیکسیستماولیه،مقدارمسائلمیدانايانتهوابتدامقادیر.استراههدوسیستممرزي،مقدارمسائلدر.نیستدرستآنبالعکس

.دارداثرنتایجبرحل،

X=0 X=Li

Advanced Numerical Methods 7

)شرایط مرزي و اولیه(مقدمه مسئله مقدار مرزي(تغییر شکل یک تیر دو سر درگیر(

مسئله مقدار اولیه(در اثر اعمال نیرو در لحظه صفر ) سیم(ارتعاش یک تیر(

مسئله مقدار مرزي(انتقال حرارت یک بعدي پایا(

a

yo

P

T1=200K dT/dx=0X

Advanced Numerical Methods 8

مقدمهچند نمونه از مسایل فیزیکی که معادالت دیفرانسیل معمولی را به دنبال دارد:

:استزیرکلیشکلبامعمولیدیفرانسیلمعادلهحلهدفادامه،در

Advanced Numerical Methods 9

حل عددي معادالت دیفرانسیل معمولی مرتبه اول عادي مرتبه اول زیر را در نظر بگیریددیفرانسیلمعادله:

dy/dx= f(x,y)xi+1داده شده است، مطلوب است تخمین شرایط در نقطه xiدر نقطه ) اولیه(شرایط

تابعحلyتیلربسط(می زنیمتقریبخطیکبارانقطهایندر(.

تفاوت روش هاي عددي به چگونگی .تخمین شیب بر می گردد

yi+1 = yi + slope × step size

yi+1 = yi + φ h

i 1 i i ny y (dy / dx) * x R+ = + ∆ +

Advanced Numerical Methods 10

)Euler Method(روش اولر

جدیدمقدارروشایندرواقعدر)yi+1(مرتبهتقریبفرضباحلگاموقبلمقداربهتوجهبا.شودمیمحاسبهاول،

Advanced Numerical Methods 11

)Euler Method(روش اولر مطلوب است حل معادله مرتبه اول زیر در فاصلهx=0-4 و با شرط اولیه 0.5با گامy(0) = 1

:تحلیلیحلازاستفادهبا

:اولرروشازاستفادهبا

:تحلیلیحلبهتوجهباواقعیمقدار

Advanced Numerical Methods 12

)Euler Method(روش اولر

875.5)5.0(*)25.5,5.0(f25.5

h*)y,x(fyy 1112

=+=

+=

i xi yi f(xi,yi)

0 0 1 8.5

1 0.5 5.25 1.25

2 1 5.875 -1.5

3 1.5 5.125 -1.25

4 2 4.5 0.5

5 2.5 4.75 2.25

6 3 5.875 2.5

7 3.5 7.125 -0.25

8 4 7 -7.5

25.5)5.0(*5.81

)5.0(*)1,0(f1h)y,x(fyy 0001

=+=+=+=

Advanced Numerical Methods 13

)Euler Method(روش اولر

مقایسه مقادیر حل عددي به روش اولر و حل تحلیلی براي مثال

به نظر شما دلیل خطاي مشاهده شده در حل عددي و تحلیلی چیست؟توان این خطا را کاهش داد؟چگونه می

Advanced Numerical Methods 14

تحلیل خطا در روش اولرمعادالتعدديحلODEمی باشدخطانوعدوشامل:

کردنقطعخطاهاي(Truncation Errors):گسسته سازينوعنتیجهکه.می باشدمربوطگسسته سازيروشطبیعتبهخطااین.می باشند

کردنگردخطاهاي(Round of Errors):درارقامتعدادمحدودیتبهمربوطکه.باشدمیکامپیوتر

Advanced Numerical Methods 15

تحلیل خطا در روش اولر:را زیر در نظر بگیریدمعادله دیفرانسیل مرتبه اول به فرم

:نوشتزیربه صورتتوانمیراiنقطهحول،yتابعتیلوربسط

Truncation Error

روش اولر

:داریمفوق،رابطهدومقایسهبا

Advanced Numerical Methods 16

تحلیل خطا در روش اولر شوددر روش اولر، به صورت زیر حساب می) خطاي محلی(بدین ترتیب، مرتبه خطا:

:کلینتیجهچندیینتعخطاواقعیمقداروشودمیمشخصروشخطايمرتبهواقعدرتیلورسريازاستفادهبا-

.شودنمی:آیدبوجوداستممکنطریقدوازروشایندرقطعخطاي-

Local(گامیکمحاسبهبراياولمرتبهروشازاستفاده- Truncation Error(Propagation(قبلمراحلازخطاانتقال- Truncation Error(

یابد؟در چه حالتی خطا کاهش می) رابطه فوق(با توجه به مرتبه خطا

hمقدارکاهش-1.دهدمیرادقیقجواباولرروشباشد،خطیتابعصورتی کهدر-2

Advanced Numerical Methods 17

خطاي قطع محلی و کلیمجموع خطاي قطع محلی و خطاي قطع انتشاري را خطاي قطع کلی(Global) می نامند.

x

y

o xi xi+1

yi

yi+1

Local error

xixi+1 xi+2

yi

yi+1

Global error

x

y

o

Advanced Numerical Methods 18

بررسی اثر اندازه گام محاسباتی در روش اولرکنیماي که در حالت قبل بررسی شد، اثر گام حل را بررسی میبراي مساله: مثال.

مقایسه دو حل عددي با روش اولر با اندازه گام هاي متفاوت