Integral 31

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𝐼 = ∫√2 βˆ’ π‘₯ βˆ’ π‘₯2

π‘₯2𝑑π‘₯

πΆπ‘œπ‘šπ‘π‘™π‘’π‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ π‘π‘’π‘Žπ‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘œπ‘ : 2 βˆ’ π‘₯ βˆ’ π‘₯2 = βˆ’(π‘₯2 + π‘₯ βˆ’ 2) = βˆ’ [(π‘₯2 + 2(1

2)π‘₯ +

1

4) βˆ’

1

4βˆ’ 2]

= βˆ’[(π‘₯ +1

2)2

βˆ’9

4] =

9

4βˆ’ (π‘₯ +

1

2)2

π‘†π‘’π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘¦π‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑛 π‘™π‘Ž πΌπ‘›π‘‘π‘’π‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘™

𝐼 = ∫√9

4βˆ’ (π‘₯ +

12)2

π‘₯2𝑑π‘₯

π»π‘Žπ‘π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑙 π‘π‘Žπ‘šπ‘π‘–π‘œ 𝑑𝑒 π‘£π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘Žπ‘π‘™π‘’ 1: 𝑦 = π‘₯ +1

2 ; 𝑑𝑦 = 𝑑π‘₯ ; 𝑑𝑒 π‘‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’ π‘₯ = 𝑦 βˆ’

1

2

𝐼 = ∫√9

4βˆ’ 𝑦2

(𝑦 βˆ’12)2 𝑑𝑦

π΄π‘π‘™π‘–π‘π‘Žπ‘šπ‘œπ‘  π‘†π‘’π‘ π‘‘π‘–π‘’π‘π‘–π‘œπ‘› π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘”π‘œπ‘›π‘œπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž: 𝑦 =3

2π‘ π‘’π‘›πœƒ ; 𝑑𝑦 =

3

2π‘π‘œπ‘ πœƒπ‘‘πœƒ ;=>

9

4βˆ’ 𝑦2 =

9

4π‘π‘œπ‘ 2πœƒ

𝐼 = ∫9π‘π‘œπ‘ 2πœƒ

4 (32 π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’

12)

2 π‘‘πœƒ =9

4∫

π‘π‘œπ‘ 2πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)2

4

π‘‘πœƒ = 9βˆ«π‘π‘œπ‘ 2πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)2π‘‘πœƒ

π΄β„Žπ‘œπ‘Ÿπ‘Ž π‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘π‘Žπ‘—π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘šπ‘œπ‘  π‘π‘œπ‘Ÿ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘‘π‘’π‘ 

π‘ π‘’π‘Ž 𝑒 = π‘π‘œπ‘ πœƒ ; 𝑑𝑒 = βˆ’π‘ π‘’π‘›πœƒπ‘‘πœƒ ; 𝑑𝑣 =π‘π‘œπ‘ πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)2π‘‘πœƒ

𝑣 = βˆ«π‘π‘œπ‘ πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)2π‘‘πœƒ = βˆ’

1

3(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)+ 𝑐

𝐼 = 9βˆ«π‘π‘œπ‘ 2πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)2π‘‘πœƒ = βˆ’

π‘π‘œπ‘ πœƒ

3(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)βˆ’ ∫

π‘ π‘’π‘›πœƒ

3(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)π‘‘πœƒ

π‘€π‘Žπ‘›π‘–π‘π‘’π‘™π‘Žπ‘šπ‘œπ‘  𝑒𝑛 π‘π‘œπ‘π‘œ π‘™π‘Ž π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘™

𝐼 = 9βˆ«π‘π‘œπ‘ 2πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)2π‘‘πœƒ = βˆ’

π‘π‘œπ‘ πœƒ

3(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)βˆ’

1

3[1

3∫

3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1 + 1

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)π‘‘πœƒ]

𝐼 = 9βˆ«π‘π‘œπ‘ 2πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)2π‘‘πœƒ = βˆ’

π‘π‘œπ‘ πœƒ

3(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)βˆ’

1

9[∫

3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)π‘‘πœƒ + ∫

1

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)π‘‘πœƒ]

𝐼 = 9βˆ«π‘π‘œπ‘ 2πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)2π‘‘πœƒ = βˆ’

π‘π‘œπ‘ πœƒ

3(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)βˆ’

1

9[βˆ«π‘‘πœƒ + ∫

1

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)π‘‘πœƒ]

𝐼 = βˆ«π‘π‘œπ‘ 2πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)2π‘‘πœƒ = βˆ’

3π‘π‘œπ‘ πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)βˆ’ [πœƒ + ∫

1

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)π‘‘πœƒ]

π‘†π‘’π‘Ž 𝐴 = ∫1

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)π‘‘πœƒ

π‘ˆπ‘‘π‘–π‘™π‘–π‘§π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘šπ‘œπ‘  𝑒𝑙 π‘šπ‘’π‘‘π‘œπ‘‘π‘œ 𝑑𝑒 πΆπ‘Žπ‘šπ‘π‘–π‘œ π‘ˆπ‘›π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘Žπ‘™

π‘†π‘’π‘Ž 𝑑 = 𝑑𝑔 (πœƒ

2) ; π‘ π‘’π‘›πœƒ =

2𝑑

1 + 𝑑2 ; π‘‘πœƒ =

2

1 + 𝑑2𝑑𝑑

𝐴 = ∫1

(6𝑑

1 + 𝑑2 βˆ’ 1)(

2

1 + 𝑑2)𝑑𝑑 = 2∫

1

(6𝑑 βˆ’ 1 βˆ’ 𝑑2)𝑑𝑑

πΆπ‘œπ‘šπ‘π‘™π‘’π‘‘π‘Žπ‘šπ‘œπ‘  π‘π‘’π‘Žπ‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘œπ‘  𝑒𝑛 𝑒𝑙 π‘‘π‘’π‘›π‘œπ‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘‘π‘œπ‘Ÿ

(6𝑑 βˆ’ 1 βˆ’ 𝑑2) = βˆ’(𝑑2 βˆ’ 6𝑑 + 1) = βˆ’[(𝑑2 βˆ’ 2(3)𝑑 + 9) βˆ’ 9 + 1] = βˆ’[(𝑑 βˆ’ 3)2 βˆ’ 8] = 8 βˆ’ (𝑑 βˆ’ 3)2

π‘†π‘’π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘–π‘šπ‘œπ‘  𝑒𝑛 𝐴

𝐴 = 2∫1

8 βˆ’ (𝑑 βˆ’ 3)2𝑑𝑑

π»π‘Žπ‘π‘’π‘šπ‘œπ‘  π‘†π‘’π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘π‘–π‘œπ‘› π‘‡π‘Ÿπ‘–π‘”π‘œπ‘›π‘œπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘Ž: (𝑑 βˆ’ 3) = √8𝑠𝑒𝑛𝛿 ; 𝑑𝑑 = √8π‘π‘œπ‘ π›Ώπ‘‘π›Ώ ; 8 βˆ’ (𝑑 βˆ’ 3)2 = 8π‘π‘œπ‘ 2𝛿

𝐴 = 2∫√8π‘π‘œπ‘ π›Ώπ‘‘π›Ώ

8π‘π‘œπ‘ 2𝛿=

√8

4βˆ«π‘ π‘’π‘π›Ώπ‘‘π›Ώ =

√8

4𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝛿 + 𝑑𝑔𝛿| + 𝐢

𝑠𝑒𝑛𝛿 =𝑑 βˆ’ 3

√8 ; 𝑠𝑒𝑐𝛿 =

√8

√8 βˆ’ (𝑑 βˆ’ 3)2 ; 𝑑𝑔𝛿 =

𝑑 βˆ’ 3

√8 βˆ’ (𝑑 βˆ’ 3)2

𝐴 =√8

4𝐿𝑛 |

√8

√8 βˆ’ (𝑑 βˆ’ 3)2+

𝑑 βˆ’ 3

√8 βˆ’ (𝑑 βˆ’ 3)2| + 𝑐 =

√8

4𝐿𝑛 |

√8 + 𝑑 βˆ’ 3

√6𝑑 βˆ’ 1 βˆ’ 𝑑2|

π·π‘’π‘£π‘œπ‘™π‘£π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑙 πΆπ‘Žπ‘šπ‘π‘–π‘œ π‘ˆπ‘›π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘Žπ‘™:

𝐴 =√8

4𝐿𝑛 ||

√8 + 𝑑𝑔 (πœƒ2) βˆ’ 3

√6𝑑𝑔 (πœƒ2) βˆ’ 1 βˆ’ 𝑑𝑔2 (

πœƒ2)

|| + 𝐢

πΈπ‘›π‘‘π‘œπ‘›π‘π‘’π‘ :

𝐼 = βˆ’3π‘π‘œπ‘ πœƒ

(3π‘ π‘’π‘›πœƒ βˆ’ 1)βˆ’

[

πœƒ +√8

4𝐿𝑛 ||

√8 + 𝑑𝑔 (πœƒ2) βˆ’ 3

√6𝑑𝑔 (πœƒ2) βˆ’ 1 βˆ’ 𝑑𝑔2 (

πœƒ2)

||

]

+ 𝐢

π·π‘’π‘£π‘œπ‘™π‘£π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑙 1π‘’π‘Ÿ πΆπ‘Žπ‘šπ‘π‘–π‘œ π‘‡π‘Ÿπ‘–π‘”π‘œπ‘›π‘œπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘œ:

π‘ π‘’π‘›πœƒ =𝑦

(32) ; π‘π‘œπ‘ πœƒ =

2√94 βˆ’ 𝑦2

3 ; πœƒ = π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (

2𝑦

3)

𝐼 = βˆ’2√9

4 βˆ’ 𝑦2

(2𝑦 βˆ’ 1)βˆ’

[

π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (2𝑦

3) +

√8

4𝐿𝑛

|

|

| √8 + 𝑑𝑔 (π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (

2𝑦3

)

2 ) βˆ’ 3

√6𝑑𝑔(π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (

2𝑦3 )

2) βˆ’ 1 βˆ’ 𝑑𝑔2 (

π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (2𝑦3 )

2)|

|

|

]

+ 𝑐

π·π‘’π‘£π‘œπ‘™π‘£π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑙 π‘π‘Žπ‘šπ‘π‘–π‘œ 1: 𝑦 = π‘₯ +1

2

𝐼 = βˆ’2√2 βˆ’ π‘₯ βˆ’ π‘₯2

2π‘₯βˆ’

[

π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (2π‘₯ + 1

3) +

√8

4𝐿𝑛

|

|

| √8 + 𝑑𝑔 (π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (

2π‘₯ + 13 )

2 ) βˆ’ 3

√6𝑑𝑔(π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (

2π‘₯ + 13 )

2 ) βˆ’ 1 βˆ’ 𝑑𝑔2 (π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (

2π‘₯ + 13 )

2 )|

|

|

]

+ 𝑐

𝑭𝑰𝑡𝑨𝑳𝑰𝒁𝑨𝑡𝑫𝑢:

𝐼 = ∫√2 βˆ’ π‘₯ βˆ’ π‘₯2

π‘₯2𝑑π‘₯ = βˆ’

√2 βˆ’ π‘₯ βˆ’ π‘₯2

π‘₯βˆ’ π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (

2π‘₯ + 1

3) βˆ’

√8

4𝐿𝑛

|

|

| √8 + 𝑑𝑔 (π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (

2π‘₯ + 13

)

2) βˆ’ 3

√6𝑑𝑔 (π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (

2π‘₯ + 13 )

2) βˆ’ 1 βˆ’ 𝑑𝑔2 (

π΄π‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘› (2π‘₯ + 1

3 )

2)|

|

|

+ 𝐢

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