Upload
hadang
View
502
Download
13
Embed Size (px)
Citation preview
KALKULUS
TPE 4201/2 SKS 2
POKOK BAHASAN
1.INTEGRAL
1.1 Integral tertentu
1.2 Aplikasi integral tertentu
1.3 Integral tak tentu
1.4 Integral rangkap
2. FUNGSI
2.1 Fungsi eksponensial dan logaritma
2.2 Fungsi hiperbolik
2.3 Fungsi trigonometri
3
Bobot Penilaian
DMM 50%
BDA 50%
Kriteria penilaian DMM
Quiz 30%
Tugas 40%
UTS 30%
4
REFERENSI ______www.mathworld.com ______http://ltcconline.net ______www.maths.soton.ac.uk Baisuni H. 1995.Kalkulus. UI Press Finney-Thomas.1993. Kalkulus & Geometri
Analitik.Erlangga Kastroud.1990. Matematika untuk Teknik Purcell E.J. 1995.Kalkulus & Geometri
Analitis.Erlangga Steward J. 2001. Kalkulus. Erlangga Tordballa.1967.Calculus.Academic Press.London
5
APLIKASI KALKULUS
1. FUNGSI DAN MODEL
Ф Kardiograf listrik detak jantung
Ф Poligraf mendeteksi kebohongan
Ф Seismograf aktivitas gempa
6
Ф PEMODELAN DLM PENELITIAN
y = 1,0239x
R = 0,95
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
Laju Respirasi O2 Prediksi (mg/kg.jam)
La
ju R
esp
ira
si O
2 O
bse
rv
asi
(mg
/kg
.ja
m)
pemodelan laju respirasi, umur simpan buah, pengeringan padi
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lama Simpan (hari)
Laju
Res
pir
asi
O2 (
mg/k
g.j
am
)
30 kP a-20C
50 kP a-20C
70 kP a-20C
Ko ntro l Dalam
Ko ntro l Luar
7
2. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
Ф Memperkirakan berapa lama kue menjadi dingin setelah
dikeluarkan dari oven
Ф Pembacaan speedometer
8
Ф Laju perubahan kecepatan darah terhadap bertambahnya jarak dari dinding (darah mengalir lebih lambat dekat dinding pembuluh darah)
Ф Mengetahui kecepatan pembalap pada suatu waktu tertentu
3. TURUNAN
9
Ф Pengukuran laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu
Ф Penggunaan kecepatan pesawat ulak-alik untuk menentukan ketinggian yang dapat dicapai dalam waktu tertentu
4. INTEGRAL
Ф Dapat digunakan untuk menghitung luasan
dari kurva tidak beraturan
Ф Menghitung volume buah yang tidak
beraturan
Dengan cara membagi luasan daerah/volume menjadi bagian yang kecil
11
INTEGRAL
12
Rumus umum integral
b
a
dx (x) f
f(x) = integran
a dan b = batas pengintegralan
a = batas bawah
b = batas atas
dx = lambang yang tidak bermakna
resmi
13
Integral tentu b
a
dx f(x) bilangan
Perbedaan integral tentu dan tak tentu
Integral tak tentu fungsi dx f(x)
14
Penjumlahan Riemann
Suatu pembagian P dari selang [a,b]
menjadi n selang bagian memakai
titik-titik a = x0< x1<x2,…<xn =b
dengan mengandaikan xi = xi – xi-1
Bernhard Riemann,
matematikawan
Jerman
Pada tiap selang bagian [xi-1, xi] diambil titik
xi yang disebut titik sampel
15
Terbentuk penjumlahan
i
n
1iip x)x( fR Δ
Rp = jumlah Riemann untuk f yang
berpadanan dengan partisi P 16
Tafsiran geometri
6A5A)4A()3A()2A( 1Aix )6
1iixf(
Δ
17
Hitunglah jumlah Riemann (Rp) untuk
f(x) = x3 - 5x2 + 2x + 8 pada selang [0,5]
memakai P dengan titik partisi
0 < 1.1 < 2 < 3.2 < 4 < 5 dan titik sampel
x1 = 0.5 ; x2 = 1.5 ;x3 = 2.5 ; x4= 3.6 ; x5 = 5
1
18
Gambar :
19
2
Jika suatu partisi P memiliki titik
sampel berupa titik ujung kanan
dimana a = 0, b = 12 dan n = 6,
Tentukan jumlah Riemann untuk
f(x) = 2x2 + 3x +2
Hubungan differensial dan integral
21
Sifat-sifat integral tentu
c
a
b
c
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx f(x)dx f(x) dx f(x) 5.
dx g(x)dx f(x)dx g(x)f(x) .4
sembarang konstanta c dgn ;dx f(x)cdx cf(x) .3
dx g(x) dx f(x)dx g(x)f(x) 2.
sembarang konstanta c dengan a)c(bdx c 1.
22
Sifat pembandingan integral
b
a
b
a
b
a
b
a
a)-(b Mdx f(x) a)-m(b maka b,xa utk Mf(x)m Jika 8.
dx g(x)dx f(x) maka b,xa utk g(x) f(x) Jika .7
0dx f(x) maka b,xa utk 0f(x) Jika 6.
23 3
112)
3
1x5(
dx 4xdx x5dx 4xdx5x dx 4x)(5x
1
0
1
0
21
0
1
0
21
0
2
Contoh Soal
1. Hitunglah dx )x4(5x
1
0
2
Dari sifat 2 dan 3 integral
c
a
b
c
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx f(x)dx f(x) dx f(x) 5.
dx g(x)dx f(x)dx g(x)f(x) .4
sembarang konstanta c dgn ;dx f(x)cdx cf(x) .3
dx g(x) dx f(x)dx g(x)f(x) 2.
sembarang konstanta c dengan a)c(bdx c 1.
24
2.
5 12 - 17
dx)x(fdx)x(fdx)x(f sehingga
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
5; sifat menurut
f(x)dxcarilah12,f(x)dxdan 32dx f(x) Jika
10
0
8
0
10
8
8
0
10
0
10
8
9
6
13
9
13
6
11 12 - 23
f(x)dxf(x)dxf(x)dx sehingga
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
5; sifat menurut
f(x)dxcarilah12,f(x)dxdan 17dx f(x) Jika
13
6
9
6
13
9
9
6
13
6
13
9
8
0
10
8
10
0
c
a
b
c
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx f(x)dx f(x) dx f(x) 5.
dx g(x)dx f(x)dx g(x)f(x) .4
sembarang ac konstant dgn ;dx f(x)cdx cf(x) .3
dx g(x) dx f(x)dx g(x)f(x) 2.
sembarang ac konstant dengan a)c(bdxc 1.
5 12 - 17
f(x)dxf(x)dxf(x)dx sehingga
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
5; sifat menurut
f(x)dxcarilah12,f(x)dxdan 17dx f(x) Jika
10
0
8
0
10
8
8
0
10
0
10
8
8
0
10
8
10
0
25
3. Carilah luas total dari daerah yang
dibatasi oleh kurva y=x3-4x dan sumbu x
Ingat : Luas tidak
memiliki nilai negatif
26
4. Tentukan luas daerah yang
dibatasi oleh kurva y = x2 - 6x + 5,
sumbu x, dan absis pada x = 1
dan x = 3
27
Terima Kasih Wassalamualaikum wr.wb