View
327
Download
7
Category
Preview:
DESCRIPTION
Integrale curbilinii Exercitii Rezolvate
Citation preview
Integrale curbilinii
Drumuri parametizatePentru un interval real J se numeste drum parametrizat pe J cu valori în
Rn orice aplicatie continu¼a : J ! Rn.Dac¼a not¼am (t) = ( 1(t); 2(t); : : : ; n(t)), atunci relatiile
x1 = 1(t); x2 = 2(t); : : : ; xn = n(t)
se numesc ecuatiile parametrice ale drumului :Dac¼a J = [a; b], atunci (a) si (b) se numesc capetele (extremit¼atile) dru-
mului. Drumul se numeste închis dac¼a (a) = (b).Opusul drumului : [a; b]! Rn este, prin de�nitie,
� : [a; b]! Rn; �(t) = (a+ b� t):
Evident, si � au aceeasi imagine.Prin concatenarea a dou¼a drumuri 1 : [a; b] ! Rn si 2 : [b; c] ! Rn
întelegem drumul 1 [ 2 : [a; c]! Rn de�nit prin
( 1 [ 2)(t) =( 1(t); t 2 [a; b] 2(t); t 2 [b; c]
Imaginea lui 1 [ 2 este reuniunea imaginilor drumurilor 1 si 2.Vom spune c¼a un drum : J ! Rn este neted dac¼a aplicatia este de clas¼a
C1 si 0(t) 6= 0; 8t 2 J:Drumul se va numi neted pe portiuni dac¼a este concatenarea unui num¼ar
�nit de drumuri netede.Dou¼a drumuri 1 : I ! Rn si 2 : J ! Rn se vor numi echivalente cu
aceeasi orientare (notând 1 � 2) dac¼a exist¼a un difeomor�sm strict cresc¼ator� : I ! J astfel încât 1 = 2 � �. Dac¼a difeomor�smul de mai sus este strictdescresc¼ator, atunci cele dou¼a drumuri se vor numi echivalente, cu orient¼ariopuse.În cazurile particulare n = 2 (plan) si n = 3 (spatiu) notatii uzuale sunt
(t) = (x(t); y(t)) si respectiv (t) = (x(t); y(t); z(t)).
1
Integrala curbilinie de prima spet¼aFie : [a; b]! R3 un drum neted si �e f : D ! R o functie continu¼a astfel
încât ([a; b]) � D. Integrala curbilinie de prima spet¼a a functiei f pe drumul este, prin de�nitie:Z
�
f(x; y; z)ds =
Z b
a
f(x(t); y(t); z(t))p(x0(t))2 + (y0(t))2 + (z0(t))2dt:
Dac¼a 1 si 2 sunt drumuri parametrizate echivalente (indiferent de orientare),atunci
R 1fds =
R 2fds
Aplicatii:1) Lungimea unui drum este
L( ) =
Z
ds:
Dac¼a drumul neted : [a; b]! R3 este dat de (t) = (x(t); y(t); z(t)) atunci:
L( ) =
Z b
a
p(x0(t))2 + (y0(t))2 + (z0(t))2dt:
2) Masa unui �r material de densitate � > 0 este
M =
Z
�ds:
3)Coordonatele centrului de greutate G al unui �r material de densitate� > 0 sunt:
xG =1
M
Z
xfds; yG =1
M
Z
yfds; zG =
Z
zfds:
Integrala curbilinie de speta a douaPentru un deschis D � R3; si P;Q;R : D �! R numim 1-form¼a diferential¼a
expresia � = Pdx+Qdy +Rdz: O 1-form¼a diferential¼a se va numi de clas¼a Ck
dac¼a functiile P; Q; R sunt de clas¼a Ck:Dat un drum parametrizat neted
: [a; b]! R3; (t) = (x(t); y(t); z(t));
cu imaginea inclus¼a în D, integrala curbilinie a formei diferentiale � de-a lunguldrumului este, prin de�nitie:Z
� =
Z b
a
[P (x(t); y(t); z(t)))x0(t) +Q(x(t); y(t); z(t))y0(t) +R(x(t); y(t); z(t))z0(t)] dt:
2
Pentru cazul cu dou¼a variabile:Z
Pdx+Qdy =
Z b
a
[P (x(t); y(t))x0(t) +Q(x(t); y(t))y0(t)] dt:
Observatie:Dac¼a 1 si 2 sunt dou¼a drumuri parametrizate echivalente cu aceeasi ori-
entare, atunci integralele corespunz¼atoare sunt egale.Dac¼a cele dou¼a drumuri parametrizate sunt echivalente dar cu orient¼ari
opuse, atunci integralele corespunz¼atoare difer¼a prin semn.
Dac¼a 1-formei diferentiale � = Pdx+Qdy+Rdz îi asociem (în mod canonic)câmpul de vectori v : D ! R3, v = (P;Q;R), pentru un drum paramerrizatneted (cu imaginea inclus¼a în D), atunci integrala
R � se mai noteaz¼a siR
vdr, numindu-se circulatia câmpului v de-a lungul drumului .
În cazul în care v = F este un câmp de forte, atunci circulatiaR Fdr este
lucrul mecanic efectuat de forta F pe drumul :
Un rol important Îl au formele diferentiale exacte.De�nitie:O 1-form¼a diferential¼a � = Pdx+Qdy+Rdz se numeste exact¼a pe multimea
D dac¼a exist¼a o functie f (numit¼a potential scalar sau primitiv¼a) de clas¼a C1(D)astfel încât df = �, sau echivalent:
@f
@x= P;
@f
@y= Q;
@f
@z= R;
în orice punct din D.Câmpul de vectori v = (P;Q;R) asociat formei diferentiale � se numeste în
acest caz câmp de gradienti.De�nitie:O 1-form¼a diferential¼a � = Pdx+Qdy+Rdz se numeste închis¼a pe D dac¼a
sunt veri�cate (în orice punct din D) egalit¼atile:
@P
@y=@Q
@x;@Q
@z=@R
@y;@R
@x=@P
@z:
Importanta formelor diferentiale exacte este dat¼a de urm¼atorul rezultat:
Teorem¼a (Independenta de drum a integralei curbilinii): Fie � = dfo 1-form¼a diferential¼a exact¼a pe D si �e un drum parametrizat neted cuimaginea inclus¼a în D având extremit¼atile A;B 2 D. atunci:a)R df = f(B)� f(A).
b) dac¼a drumul este închis, atunciR df = 0:
3
Din teorema de simetrie a lui Schwarz rezult¼a c¼a orice form¼a diferential¼a ex-act¼a (cu potentialul scalar de clas¼a C2) este în mod necesar si închis¼a. Reciprocaacestei a�rmatii este, în general, fals¼a.Exemplu:Forma diferential¼a
� =�y
x2 + y2dx+
x
x2 + y2dy
este închis¼a pe R2nf(0; 0)g dar nu este exact¼a pe aceast¼a multime.
Reciproc, orice 1-form¼a diferential¼a închis¼a este local exact¼a.Teorem¼a (Teorema lui Poincare) Fie � o 1-form¼a diferential¼a de clas¼a
C1 închis¼a pe deschisul D � Rn. Atunci pentru orice x 2 D exist¼a o vecin¼atatedeschis¼a a sa U � D si o functie f 2 C1 astfel încât df = � pe U .
ObservatieExist¼a multimi pe care teorema de mai sus este adev¼arat¼a global. De exem-
plu, dac¼a multimea D este stelat¼a (adic¼a exist¼a un punct x0 2 D cu proprietateac¼a segmentul [x0; x] � D; 8x 2 D) atunci orice 1-form¼a diferential¼a închis¼a peD este exact¼a pe D.
Exercitii si probleme1. Aratati ca urmatoarele curbe sunt recti�cabile si calculati lungimea lor
a. Curba obtinuta prin intersectia sferei x2 + y2 + z2 = 1 cu paraboloidulz = 1
2(x2+y2) .
b. Curba obtinuta prin intersectia sferei (x � 1)2 + y2 + z2 = 1 cu cilindrul(x� 1)2 + y2 = 1
4 ; z 2 [0; 2]:
c.
C :
�x(t) = t5 � 1y(t) = t4
t 2 [0; 1]:
d.
C :
(x(t) = 3at
1+t2
y(t) = 3at2
1+t2t 2 [�1; 1]:
e. Elicea circulara
C :
8<: x(t) = r cos ty(t) = r sin tz(t) = ht
t 2 [0; 2�]:
f. C este curba a carei imagine este jumatatea din cercul x2 + y2 = 4 cuy � 0. (sfertul din al treilea cadran, sau ultimul cadran).
4
h. C este curba a carei imagine este jumatatea din elipsa x2
a2 +y2
b2 = 9 cuy � 0. (sfertul din al treilea cadran, sau ultimul cadran).
i. C este curba a carei imagine este patratul cu varfurile
A(�1; 0); B(0; 1); C(1; 0); D(0;�1)
2. Gasiti parametrizarea normala pentru cerc si elicea circulara.Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de speta intâi:3.RCxds;C : y = x2; x 2 [0; 2].
Solutie. Folosim formula de calcul a integralei curbilinii de prima spetapentru curbe care nu sunt date parametric C : y = '(x), x 2 [a; b]:Z
C
f(x; y)ds =
Z b
a
f(x; '(x))p1 + ('0(x))2dx:
AvemRCxds =
R 20xp1 + 4x2dx (cu schimbatrea u = 1 + 4x2).
4.RCy5ds; C : x =
y4
4, y 2 [0; 2].
Solutie.RCy5ds =
R 20y5p1 + y6dy =
1
6
R 206y5p1 + y6dy =
1
6
R 260
p1 + tdt =
1
6� (1 + t)
32
32
����260
=1
9(p653 � 1).
5.RCz(x2 + y2)ds; C : x = t cos t, y = t sin t; z = t; t 2 [0; 1].
Solutie.ZC
z(x2+y2)ds =
Z 1
0
t(t2 cos2 t+t2 sin2 t)�p(cos t� t sin t)2 + (sin t+ t cos t)2 + 1dt =
=
Z 1
0
t3p2 + t2dt =
1
2
Z 1
0
up2 + udu =
1
2
Z p3
p2
(p2 � 2) � p � 2pdp =
=
Z p3
p2
p2(p2 � 2)dp = p5
5
����p3
p2
� 2p3
3
����p3
p2
:
6RCx2ds; C : x2 + y2 = 2; x � 0; y � 0:
Solutie: Curba C reprezinta un sfert de cerc. Parametrizarea cercului este
x =p2 cos �, y =
p2 sin �; iar din x � 0, y � 0 ) � 2
h0;�
2
i.RCx2ds =R �
2
02 cos2 �
p2 cos2 � + 2 sin2 �d� = 2
p2R �
2
0
1 + cos 2�
2d� =
p2(�+
1
2sin 2�)
�����20
=
�p2
2.
7.RCx2ds; unde C este arcul de cerc de�nit prin intersectia sferei x2+ y2+
z2 = a2 cu planul y = x, parcurs de la punctul A(0; 0;�a) la punctul B(0; 0; a).
5
Solutie. Folosind coordonatele sferice gasim o reprezentare parametrica aarcului de cerc C.
x =ap2
2sin �; y =
ap2
2sin �; z = a cos �
unde � = a; ' =�
4, � 2 [0; �].R
Cx2ds =
R �0
a2
2sin2 �
r(ap2
2cos �)2 + (
ap2
2cos �)2 + (�a sin �)2d� =
R �0
a3
2�d� =
a3
2
R �0
1� cos 2�2
d� =a3
2
�1
2�
�����0
� sin 2������0
�=a3
2� �2=a3�
4.
8.RCxyds, unde C este curba de intersectie a suprafetelor x2+y2+z2 = a2,
x2 + y2 =a2
4situata in primul octant.
Solutie. Curba este intersectia dintre o sfera si un cilindru. Ca si parame-trizare folosim coordonate cilindrice:
x =a
2cos �; y =
a
2sin �; z =
ap3
2
unde � =a
2, z se obtine facând sistem intre cele doua ecuatii ale suprafetelor si
pastrând doar valoarea pozitiva deoarece curba se a�a in primul octant, adicaz � 0. Mai mult � 2 [0; �
2], deoarece x � 0; y � 0, curba �ind in primul octant.
ZC
xyds =
Z �2
0
a2
4cos � sin �
r��a2sin �
�2+�a2cos �
�2d� =
=a3
8
Z �2
0
sin � cos �d� =a3
16
Z �2
0
sin 2�d� =a3
16
� cos 2�2
�����20
!=a3
16:
9. Sa se calculeze lungimea arcului de curba dat prin y = chx; 0 � x � ln 2:
Solutie. l =RCds =
R ln 20
p1 + sh2xdx =
R ln 20
chx dx = sh x
����ln 20
=3
4.
10. Sa se calculeze centrul de greutate al barei y = achx
a, 0 � x � a:
Solutie. xG =
RCx ds
ds=
R a0xchxadxR a
0chx
adx
=axshxa
��a0� a
R a0shxadx
ashxa��a0
=a2sh1� a2chxa
��a0
ash1=
2a
e+ 1.
yG =
RCydsR
Cds =
aR a0ch2 axdx
ash1
=a2
R a0(ch 2xa + 1)dx
ash1=a(e4 � 1 + 4e2)4e(e2 � 1) .
11. ZC
xydl unde C :�x(t) = t; y(t) = t2 t 2 [�1; 1]:
6
12.ZC
py(y � 2)dl unde C :
�x(t) = t� sin t; y(t) = 1� cos t t 2 [0; �
2]:
13.ZC
x+ y + zdl unde C :�x(t) = a cos t; y(t) = a sin t; z(t) = bt t 2 [0; �
2]:
14.ZC
(x2+y2) ln zdl unde C :�x(t) = et cos t; y(t) = et sin t; z(t) = et t 2 [0; 1]:
Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de speta a doua:
15.RC
dx
2a+ y� dy
a+ x, unde C este curba simpla care are drept imagine
portiunea din cercul x2 + y2 + 2ay = 0 (a > 0), pentru care x + y � 0 siextremitatea initiala in punctul A1(a;�a).Solutie. Cercul are centrul in punctul (0;�a) si raza a. Dreapta x+y = 0 este
a doua bisectoare, iar inegalitatea x + y � 0 reprezinta semiplanul determinatde aceasta dreapta, care contine punctul (1; 1). Bisectoarea a doua taie cercul inpunctele A1(a;�a) si O(0; 0). Atunci, reprezentarea parametrica a curbei estex = a cos t, y = �a+ a sin t, t 2
h0;�
2
i. Integrala devine:
I =
ZC
dx
2a+ y� dy
a+ x=
Z �2
0
�a sin ta++sin t
� a cos t
a+ a cos tdt:
Folosind identitatile: sin t = cos��2� t�= 2 cos2
��
4� t
2
�� 1 si cos t =
2 cos2t
2� 1 obtinem
I = �Z �
2
0
"2 cos2
��4 �
12
�� 1
2 cos2��4 �
t2
� #dt =
= �Z �
2
0
"1� 1
2 cos2��4 �
12
� + 1� 1
2 cos2 t2
#dt =
= �2t�����20
���
4� t
2
� �����20
+t
2
�����20
= �� + 2:
16. ZC
xydx� y2dy; unde C :�x(t) = t2; y(t) = t3; t 2 [0; 1]
:
17. ZC
dx
x3 + y3; unde C :
nx(t) = a cos t; y(t) = a sin t; t 2 [0; �
2]o:
7
18.ZC
pyzdx+
pzxdy+
pxydz; unde C :
�x(t) = t; y(t) = t2; z(t) = t3; t 2 [0; 1]
:
19. ZC
ydx� (x� a)dy; unde C : (x� a)2
a2+y2
b2= 1:
20.ZC
zpa2 � x2dx+xzdy+(x2+y2)dz; unde C : x(t) = a cos t; y(t) = a sin t; z(t) = bt t 2 [0; 1]:
8
Recommended