Interpolasi Bessel

INTERPOLASI BESSEL

METODE NUMERIK ROMBEL 3

Disusun oleh1. Amalia Fikri Utami 4101409049

2. M. Gani Rohman 41014091063. Dessy Eka Setyaningrum 4101409129

4. Novita Aprilia 4101409141

INTERPOLASI BESSEL

Interpolasi Bessel caranya serupa

dengan penurunan rumus

interpolasi Stirling, yaitu

diperoleh dari menyusun tabel

perbedaan sebagai berikut.

Tabel perbedaan tengah

𝑦 ∆𝑦 ∆2𝑦 ∆3𝑦 ∆4𝑦 ∆5𝑦 ∆6𝑦 ∆7𝑦 ∆8𝑦 𝑦−4

∆𝑦−4 𝑦−3 ∆2𝑦−4

∆𝑦−3 ∆3𝑦−4 𝑦−2 ∆2𝑦−3 ∆4𝑦−4

∆𝑦−2 ∆3𝑦−3 ∆5𝑦−4 𝑦−1 ∆2𝑦−2 ∆4𝑦−3 ∆6𝑦−4

∆𝑦−1 ∆3𝑦−2 ∆5𝑦−3 ∆7𝑦−4 𝒚𝟎 ∆𝟐𝒚−𝟏 ∆𝟒𝒚−𝟐 ∆𝟔𝒚−𝟑 ∆𝟖𝒚−𝟒

∆𝒚𝟎 ∆𝟑𝒚−𝟏 ∆𝟓𝒚−𝟐 ∆𝟕𝒚−𝟑 𝒚𝟏 ∆𝟐𝒚𝟎 ∆𝟒𝒚−𝟏 ∆𝟔𝒚−𝟐 ∆𝟖𝒚−𝟑

∆𝑦1 ∆3𝑦0 ∆5𝑦−1 ∆7𝑦−2 𝑦2 ∆2𝑦1 ∆4𝑦0 ∆6𝑦−1

∆𝑦2 ∆3𝑦1 ∆5𝑦0 𝑦3 ∆2𝑦2 ∆4𝑦1

∆𝑦3 ∆3𝑦2 𝑦4 ∆2𝑦3

∆𝑦4 𝑦5

Data antara 𝑦0 dan 𝑦1 ditandai tebal yang menunjukkan

nilai data yang paling dekat dengan nilai antara 𝑦0 dan 𝑦1.

Bila ditetapkan bagi nilai rata-rata perbedaan tingkat

genap:

ሺaሻ 𝑚0 = 𝑦0 + 𝑦12 ሺbሻ 𝑚2 = ∆2𝑦−1 + ∆2𝑦02

ሺcሻ 𝑚4 = ∆4𝑦−2 + ∆4𝑦−12 (d) 𝑚6 = ∆6𝑦−3 + ∆6𝑦−22

ሺeሻ 𝑚8 = ∆8𝑦−4 + ∆8𝑦−32 ,dan seterusnya

Akan dinyatakan ∆𝑦0,∆2𝑦0,∆3𝑦0,…. dengan faktor m dan perbedaan

nomor genap sejajar tengah 𝑦0 dan 𝑦−1. ∆𝑦0 = 𝑦1 − 𝑦0 berarti 𝑦0 = 𝑦1 − ∆𝑦0 , mengingat dari (a) 𝑦1 = 2𝑚0 − 𝑦0

, maka 𝑦0 = 2𝑚0 − 𝑦0 − ∆𝑦0 atau

𝑦0 = 𝑚0 − 12∆𝑦0 .......... (1)

Tetapkan nilai ∆2𝑦0 dalam faktor m dan perbedaan sekitar 𝑦0 dari

hubungan ∆3𝑦−1 = ∆2𝑦0 − ∆2𝑦−1 sehingga ∆2𝑦0 = ∆3𝑦−1 + ∆2𝑦−1

Tetapi ∆2𝑦−1 = 2𝑚2 − ∆2𝑦0 dari (b) sehingga ∆2𝑦0 = ∆3𝑦−1 + 2𝑚2 −∆2𝑦−1 atau ∆2𝑦0 = 𝑚2 + 12∆3𝑦−1 .......... (2)

Untuk menyatakan ∆3𝑦1 , perhatikan hubungan

∆4𝑦−1 = ∆3𝑦0 − ∆3𝑦−1 atau

ሺfሻ ∆3𝑦0 = ∆3𝑦−1 + ∆4𝑦−1 , tetapi

ሺgሻ ∆4𝑦−1 = 2𝑚4 − ∆4𝑦−2 , dari (c) dan

ሺhሻ ∆5𝑦−2 = ∆4𝑦−1 − ∆4𝑦−2

Kurangi (h) dengan (g) dan menyelesaiakan untuk ∆4𝑦−1

ሺiሻ ∆4𝑦−1 = 𝑚4 + 12∆5𝑦−2.

Isikan (i) ke dalan (f) ∆3𝑦0 = ∆3𝑦−1 + 𝑚4 + 12∆5𝑦−2 .......... (3)

Untuk menyatakan ∆4𝑦0 dalam faktor m dan perbedaan,

perhatikan hubungan ∆5𝑦−1 = ∆4𝑦0 − ∆4𝑦−1 , atau

ሺjሻ ∆4𝑦0 = ∆4𝑦−1 + ∆5𝑦−1

= 𝑚4 + 12∆5𝑦−2 + ∆5𝑦−1 dari (i), dan

ሺkሻ ∆6𝑦−2 = ∆5𝑦−1 − ∆5𝑦−2

ሺlሻ ∆7𝑦−2 = ∆6𝑦−2 − ∆6𝑦−3 dari (d)

ሺmሻ ∆6𝑦−2 = 2𝑚6 + ∆6𝑦−3 dari (d)

Kurangi (l) dan (m) dan mendapatkan ∆6𝑦−2

ሺnሻ ∆6𝑦−2 = 𝑚6 + 12∆7𝑦−3

Samakan (k) dan (n) bagi penyelesaian ∆5𝑦−1

ሺoሻ ∆5𝑦−1 = ∆5𝑦−2 + 𝑚6 + 12∆7𝑦−3

Isikan (o) ke (j), diperoleh ∆4𝑦0 = 𝑚4 + 32∆5𝑦−2 + 𝑚6 + 12∆7𝑦−3 .......... (4)

Apabila nilai pada persamaan (1), (2), (3), dan (4) dimasukkan

ke persamaan 𝑦= 𝑦0 + 𝑢∆1𝑦0 + 𝑢ሺ𝑢−1ሻ2! ∆2𝑦0 + 𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢−2ሻ3! ∆3𝑦0

+𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢−2ሻሺ𝑢−3ሻ4! ∆4𝑦0 + 𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢−2ሻሺ𝑢−3ሻሺ𝑢−4ሻ5! ∆5𝑦0 + ⋯

Akan diperoleh

𝑦= 𝑚0 − 12∆1𝑦0 + 𝑢∆𝑦0 + 𝑢ሺ𝑢− 1ሻ2! ൬𝑚2 + 12∆3𝑦൰

+𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢−2ሻ3! ቀ𝑚4 + ∆3𝑦−1 + 12∆5𝑦−2ቁ

+𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢−2ሻሺ𝑢−3ሻ4! ቀ𝑚4 + 32∆5𝑦−2 + 𝑚6 + 12∆7𝑦−3ቁ+ ⋯

Bila disusun lebih lanjut:

𝑦= 𝑚0 +൬𝑢 − 12൰∆1𝑦𝑜 + 𝑢ሺ𝑢− 1ሻ2! 𝑚2

+ቂ𝑢ሺ𝑢−1ሻ4 + 𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢−2ሻ6 ቃ∆3𝑦−1

+ቂ𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢−2ሻ6 + 𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢−2ሻሺ𝑢−3ሻ24 ቃ𝑚4

+ቈ𝑢ሺ𝑢− 1ሻሺ𝑢− 2ሻ12 + 𝑢ሺ𝑢− 1ሻሺ𝑢− 2ሻሺ𝑢− 3ሻ16 ∆5𝑦−2 + ⋯

Dengan mengganti nilai 𝑚𝑖 dalam perbedaan, diperoleh susunan:

𝑦= 𝑦0 + 𝑦12 +൬𝑢 − 12൰∆1𝑦𝑜 + 𝑢ሺ𝑢− 1ሻ2! ቆ∆2𝑦−1 + ∆2𝑦02 ቇ

+ቈ𝑢ሺ𝑢−1ሻቀ𝑢−12ቁ3! ∆2𝑦−1 +ቂ

𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢+1ሻሺ𝑢−2ሻ4! ቃቀ∆2𝑦−2+∆2𝑦−12 ቁ+ ⋯

Mengingat ∆𝑦0 = 𝑦1 − 𝑦0 maka dua suku pertama dapat ditulis

sebagai 𝑦0 + 𝑢∆𝑦0, sehingga bentuk persamaan berubah

menjadi

𝑦= 𝑦0 + 𝑢∆𝑦𝑜 + 𝑢ሺ𝑢−1ሻ2! ቀ∆2𝑦−1+∆2𝑦02 ቁ+ቈ

𝑢ሺ𝑢−1ሻቀ𝑢−12ቁ3! ∆3𝑦−1

+ቂ𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢+1ሻሺ𝑢−2ሻ4! ቃቀ

∆4𝑦−2+∆4𝑦−32 ቁ+ ⋯

Dengan proses lanjut, rumusan umum interpolasi Bessel adalah sebagai berikut:

𝑦= 𝑦0 + 𝑢∆𝑦0 + 𝑢ሺ𝑢− 1ሻ2 ቆ∆2𝑦−1 + ∆2𝑦02 ቇ+ 𝑢ሺ𝑢 − 1ሻቀ𝑢 − 12ቁ3! ∆3𝑦−1

+ቂ𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢+1ሻሺ𝑢−2ሻ4! ቃቀ

∆4𝑦−2+∆4𝑦−12 ቁ+ቈ𝑢ሺ𝑢−1ሻቀ𝑢−12ቁሺ𝑢+1ሻሺ𝑢−2ሻ5! ∆5𝑦−2

+ቂ𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢+1ሻሺ𝑢−2ሻሺ𝑢−2ሻሺ𝑢+2ሻሺ𝑢−3ሻ6! ቃ+ቀ

∆6𝑦−3+∆6𝑦−22 ቁ+ ⋯

+ቈ𝑢ሺ𝑢−1ሻቀ𝑢−12ቁሺ𝑢+1ሻሺ𝑢−2ሻሺ𝑢+2ሻ … ሺ𝑢−𝑛ሻሺ𝑢+𝑛−1ሻ

ሺ2𝑛−!ሻ ∆2𝑛+1𝑦−𝑛 + ⋯

+ቂ𝑢ሺ𝑢−1ሻሺ𝑢+1ሻሺ𝑢−2ሻሺ𝑢−2ሻሺ𝑢−2ሻ … ሺ𝑢−𝑛ሻሺ𝑢+𝑛−1ሻ

ሺ2𝑛−!ሻ ቃቂ∆2𝑛𝑦−𝑛+∆2𝑛𝑦−𝑛=12 ቃ

... 3.21

Untuk bentuk rumusan yang lebih simetri, apabila: 𝑢− 12 = 𝑣, atau = 𝑣+ 12 , maka persamaan

(3.21)mengambil bentuk berikut: 𝑦= 𝑦𝑜+𝑦12 + 𝑣∆𝑦0 + ቀ𝑣2−14ቁ2! ቀ

∆2𝑦−1+∆2𝑦02 ቁ+ቈ𝑣ቀ𝑣2−14ቁ3! ∆3𝑦−1

+ቆቀ𝑣2−14ቁቀ𝑣2−94ቁ4! ቇቀ

∆4𝑦−2+∆4𝑦−12 ቁ+ቈ𝑣ቀ𝑣2−14ቁቀ𝑣2−94ቁ5! ∆5𝑦−2

+ቈ𝑣ቀ𝑣2−14ቁቀ𝑣2−94ቁቀ𝑣2−254 ቁ6! ቀ∆6𝑦−3+∆6𝑦−22 ቁ+ ⋯

+𝑣ቀ𝑣2−14ቁቀ𝑣2−94ቁ… ൬𝑣2−ሺ2𝑛−1ሻ24 ൰

ሺ2𝑛+1ሻ! ൩∆2𝑛+1𝑦−𝑛 + ⋯

+𝑣ቀ𝑣2−14ቁቀ𝑣2−94ቁ… ൬𝑣2−ሺ2𝑛−1ሻ24 ൰

ሺ2𝑛ሻ! ൩ቀ∆2𝑛𝑦−𝑛+∆2𝑛𝑦−𝑛+12 ቁ (3.22)

Apabila dalam perhitungan secara khusus nilai 𝑢 = 12 , yang berarti 𝑥= 𝑥0 +12ℎ, dengan posisi 𝑥 berada pada tengah segmen ሾ𝑥,𝑥0ሿ, maka persamaan

(3.21) dapat lebih disederhanakan yaitu: 𝑦= 𝑦𝑜+𝑦12 − 18ቀ∆2𝑦−1+∆2𝑦02 ቁ+ 2128ቀ∆4𝑦−2+∆4𝑦−12 ቁ− 51024ቀ∆6𝑦−3+∆6𝑦−22 ቁ+ ⋯

+ሺ−1ሻ𝑛 ቂ1.3.5.ሺ2𝑛−1ሻ222𝑛ሺ2𝑛ሻ! ቃቀ∆2𝑛𝑦−𝑛+∆2𝑛𝑦−𝑛+12 ቁ

Pada formulasi Bessel ini terdapat 2𝑛+ 2 suku, dan persamaan polinomial terkait dengan 2𝑛+ 2 data: 𝑢 = −𝑛,−𝑛+ 1,−𝑛+ 2,…,−1,0,1,2,…,𝑛,𝑛+ 1 𝑥= 𝑥0 − 𝑛ℎ,𝑥0 −ሺ𝑛− 1ሻℎ,…,𝑥0 − ℎ,𝑥+ ℎ,…,𝑥0 + 𝑛ℎ,𝑥0 +ሺ𝑛+ 1ሻℎ

ALGORITMA PROGRAM

Algoritma program untuk interpolasi Bassel:

a) Dapatkan argumen 𝑛.

b) Menentukan x0 dan h.

c) Menentukan 𝑦0,𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛−1

d) Inisialisasi:

𝑟 = ሺ𝑥− 𝑥0ሻℎ − 0.5

𝑠𝑢𝑚 = (𝑦0 + 𝑦1)2 + 𝑟∗𝐷𝑒𝑙𝑦0

e) Lakukan iterasi berikut untuk 𝑖 = 1 sampai 𝑛𝑚𝑖𝑑

prod1 = 1 sampai prod2 = 𝑟

untuk j = 1 sampai 𝑖 lakukan perhitungan

𝑝𝑟𝑜𝑑1 = 𝑝𝑟𝑜𝑑1∗(𝑟2 −ሺ2𝑗− 1ሻ24 )

𝑝𝑟𝑜𝑑2 = 𝑝𝑟𝑜𝑑2∗(𝑟2 −ሺ2𝑗− 1ሻ24 )

lakukan perhitungan

prod1 = prod1ሺ2∗𝑖ሻ!∗(𝐷𝑒𝑙2𝑖𝑓−𝑖 + 𝐷𝑒𝑙2𝑖𝑓−𝑖+1)2

prod2 = prod2ሺ2∗𝑖 + 1ሻ!∗𝐷𝑒𝑙2𝑖+1𝑓−𝑖 sum = sum + prod1 + prod2 f) kembalikan nilai sum sebagai hasil perhitungan

BAGAN ALIR

CONTOH

OUTPUT PROGRAM DALAM BAHASA TURBO PASCALCONTOH EKSEKUSI PRGRAMJumlah data n (genap) = 6 Input data x [0] = 0.52Input h = 0.01Input data y [0] = 0.5378987Input data y [1] = 0.5464641Input data y [2] = 0.5549392Input data y [3] = 0.5633233Input data y [4] = 0.5716157Input data y [5] = 0.5798158 Input x = 0.5437Hasil Perhitungan P (x) = 0.558

TPW

OUTPUT

TERIMA KASIH