Upload
amaliafikriutami
View
334
Download
18
Embed Size (px)
Citation preview
INTERPOLASI BESSEL
METODE NUMERIK ROMBEL 3
Disusun oleh1. Amalia Fikri Utami 4101409049
2. M. Gani Rohman 41014091063. Dessy Eka Setyaningrum 4101409129
4. Novita Aprilia 4101409141
INTERPOLASI BESSEL
Interpolasi Bessel caranya serupa
dengan penurunan rumus
interpolasi Stirling, yaitu
diperoleh dari menyusun tabel
perbedaan sebagai berikut.
Tabel perbedaan tengah
π¦ βπ¦ β2π¦ β3π¦ β4π¦ β5π¦ β6π¦ β7π¦ β8π¦ π¦β4
βπ¦β4 π¦β3 β2π¦β4
βπ¦β3 β3π¦β4 π¦β2 β2π¦β3 β4π¦β4
βπ¦β2 β3π¦β3 β5π¦β4 π¦β1 β2π¦β2 β4π¦β3 β6π¦β4
βπ¦β1 β3π¦β2 β5π¦β3 β7π¦β4 ππ βππβπ βππβπ βππβπ βππβπ
βππ βππβπ βππβπ βππβπ ππ βπππ βππβπ βππβπ βππβπ
βπ¦1 β3π¦0 β5π¦β1 β7π¦β2 π¦2 β2π¦1 β4π¦0 β6π¦β1
βπ¦2 β3π¦1 β5π¦0 π¦3 β2π¦2 β4π¦1
βπ¦3 β3π¦2 π¦4 β2π¦3
βπ¦4 π¦5
Data antara π¦0 dan π¦1 ditandai tebal yang menunjukkan
nilai data yang paling dekat dengan nilai antara π¦0 dan π¦1.
Bila ditetapkan bagi nilai rata-rata perbedaan tingkat
genap:
αΊaα» π0 = π¦0 + π¦12 αΊbα» π2 = β2π¦β1 + β2π¦02
αΊcα» π4 = β4π¦β2 + β4π¦β12 (d) π6 = β6π¦β3 + β6π¦β22
αΊeα» π8 = β8π¦β4 + β8π¦β32 ,dan seterusnya
Akan dinyatakan βπ¦0,β2π¦0,β3π¦0,β¦. dengan faktor m dan perbedaan
nomor genap sejajar tengah π¦0 dan π¦β1. βπ¦0 = π¦1 β π¦0 berarti π¦0 = π¦1 β βπ¦0 , mengingat dari (a) π¦1 = 2π0 β π¦0
, maka π¦0 = 2π0 β π¦0 β βπ¦0 atau
π¦0 = π0 β 12βπ¦0 .......... (1)
Tetapkan nilai β2π¦0 dalam faktor m dan perbedaan sekitar π¦0 dari
hubungan β3π¦β1 = β2π¦0 β β2π¦β1 sehingga β2π¦0 = β3π¦β1 + β2π¦β1
Tetapi β2π¦β1 = 2π2 β β2π¦0 dari (b) sehingga β2π¦0 = β3π¦β1 + 2π2 ββ2π¦β1 atau β2π¦0 = π2 + 12β3π¦β1 .......... (2)
Untuk menyatakan β3π¦1 , perhatikan hubungan
β4π¦β1 = β3π¦0 β β3π¦β1 atau
αΊfα» β3π¦0 = β3π¦β1 + β4π¦β1 , tetapi
αΊgα» β4π¦β1 = 2π4 β β4π¦β2 , dari (c) dan
αΊhα» β5π¦β2 = β4π¦β1 β β4π¦β2
Kurangi (h) dengan (g) dan menyelesaiakan untuk β4π¦β1
αΊiα» β4π¦β1 = π4 + 12β5π¦β2.
Isikan (i) ke dalan (f) β3π¦0 = β3π¦β1 + π4 + 12β5π¦β2 .......... (3)
Untuk menyatakan β4π¦0 dalam faktor m dan perbedaan,
perhatikan hubungan β5π¦β1 = β4π¦0 β β4π¦β1 , atau
αΊjα» β4π¦0 = β4π¦β1 + β5π¦β1
= π4 + 12β5π¦β2 + β5π¦β1 dari (i), dan
αΊkα» β6π¦β2 = β5π¦β1 β β5π¦β2
αΊlα» β7π¦β2 = β6π¦β2 β β6π¦β3 dari (d)
αΊmα» β6π¦β2 = 2π6 + β6π¦β3 dari (d)
Kurangi (l) dan (m) dan mendapatkan β6π¦β2
αΊnα» β6π¦β2 = π6 + 12β7π¦β3
Samakan (k) dan (n) bagi penyelesaian β5π¦β1
αΊoα» β5π¦β1 = β5π¦β2 + π6 + 12β7π¦β3
Isikan (o) ke (j), diperoleh β4π¦0 = π4 + 32β5π¦β2 + π6 + 12β7π¦β3 .......... (4)
Apabila nilai pada persamaan (1), (2), (3), dan (4) dimasukkan
ke persamaan π¦= π¦0 + π’β1π¦0 + π’αΊπ’β1α»2! β2π¦0 + π’αΊπ’β1α»αΊπ’β2α»3! β3π¦0
+π’αΊπ’β1α»αΊπ’β2α»αΊπ’β3α»4! β4π¦0 + π’αΊπ’β1α»αΊπ’β2α»αΊπ’β3α»αΊπ’β4α»5! β5π¦0 + β―
Akan diperoleh
π¦= π0 β 12β1π¦0 + π’βπ¦0 + π’αΊπ’β 1α»2! ࡬π2 + 12β3π¦ΰ΅°
+π’αΊπ’β1α»αΊπ’β2α»3! απ4 + β3π¦β1 + 12β5π¦β2α
+π’αΊπ’β1α»αΊπ’β2α»αΊπ’β3α»4! απ4 + 32β5π¦β2 + π6 + 12β7π¦β3α+ β―
Bila disusun lebih lanjut:
π¦= π0 +࡬π’ β 12ΰ΅°β1π¦π + π’αΊπ’β 1α»2! π2
+απ’αΊπ’β1α»4 + π’αΊπ’β1α»αΊπ’β2α»6 αβ3π¦β1
+απ’αΊπ’β1α»αΊπ’β2α»6 + π’αΊπ’β1α»αΊπ’β2α»αΊπ’β3α»24 απ4
+απ’αΊπ’β 1α»αΊπ’β 2α»12 + π’αΊπ’β 1α»αΊπ’β 2α»αΊπ’β 3α»16 β5π¦β2 + β―
Dengan mengganti nilai ππ dalam perbedaan, diperoleh susunan:
π¦= π¦0 + π¦12 +࡬π’ β 12ΰ΅°β1π¦π + π’αΊπ’β 1α»2! αβ2π¦β1 + β2π¦02 α
+απ’αΊπ’β1α»απ’β12α3! β2π¦β1 +α
π’αΊπ’β1α»αΊπ’+1α»αΊπ’β2α»4! ααβ2π¦β2+β2π¦β12 α+ β―
Mengingat βπ¦0 = π¦1 β π¦0 maka dua suku pertama dapat ditulis
sebagai π¦0 + π’βπ¦0, sehingga bentuk persamaan berubah
menjadi
π¦= π¦0 + π’βπ¦π + π’αΊπ’β1α»2! αβ2π¦β1+β2π¦02 α+α
π’αΊπ’β1α»απ’β12α3! β3π¦β1
+απ’αΊπ’β1α»αΊπ’+1α»αΊπ’β2α»4! αα
β4π¦β2+β4π¦β32 α+ β―
Dengan proses lanjut, rumusan umum interpolasi Bessel adalah sebagai berikut:
π¦= π¦0 + π’βπ¦0 + π’αΊπ’β 1α»2 αβ2π¦β1 + β2π¦02 α+ π’αΊπ’ β 1α»απ’ β 12α3! β3π¦β1
+απ’αΊπ’β1α»αΊπ’+1α»αΊπ’β2α»4! αα
β4π¦β2+β4π¦β12 α+απ’αΊπ’β1α»απ’β12ααΊπ’+1α»αΊπ’β2α»5! β5π¦β2
+απ’αΊπ’β1α»αΊπ’+1α»αΊπ’β2α»αΊπ’β2α»αΊπ’+2α»αΊπ’β3α»6! α+α
β6π¦β3+β6π¦β22 α+ β―
+απ’αΊπ’β1α»απ’β12ααΊπ’+1α»αΊπ’β2α»αΊπ’+2α» β¦ αΊπ’βπα»αΊπ’+πβ1α»
αΊ2πβ!α» β2π+1π¦βπ + β―
+απ’αΊπ’β1α»αΊπ’+1α»αΊπ’β2α»αΊπ’β2α»αΊπ’β2α» β¦ αΊπ’βπα»αΊπ’+πβ1α»
αΊ2πβ!α» ααβ2ππ¦βπ+β2ππ¦βπ=12 α
... 3.21
Untuk bentuk rumusan yang lebih simetri, apabila: π’β 12 = π£, atau = π£+ 12 , maka persamaan
(3.21)mengambil bentuk berikut: π¦= π¦π+π¦12 + π£βπ¦0 + απ£2β14α2! α
β2π¦β1+β2π¦02 α+απ£απ£2β14α3! β3π¦β1
+ααπ£2β14ααπ£2β94α4! αα
β4π¦β2+β4π¦β12 α+απ£απ£2β14ααπ£2β94α5! β5π¦β2
+απ£απ£2β14ααπ£2β94ααπ£2β254 α6! αβ6π¦β3+β6π¦β22 α+ β―
+π£απ£2β14ααπ£2β94α⦠࡬π£2βαΊ2πβ1α»24 ΰ΅°
αΊ2π+1α»! ΰ΅©β2π+1π¦βπ + β―
+π£απ£2β14ααπ£2β94α⦠࡬π£2βαΊ2πβ1α»24 ΰ΅°
αΊ2πα»! ΰ΅©αβ2ππ¦βπ+β2ππ¦βπ+12 α (3.22)
Apabila dalam perhitungan secara khusus nilai π’ = 12 , yang berarti π₯= π₯0 +12β, dengan posisi π₯ berada pada tengah segmen αΎπ₯,π₯0αΏ, maka persamaan
(3.21) dapat lebih disederhanakan yaitu: π¦= π¦π+π¦12 β 18αβ2π¦β1+β2π¦02 α+ 2128αβ4π¦β2+β4π¦β12 αβ 51024αβ6π¦β3+β6π¦β22 α+ β―
+αΊβ1α»π α1.3.5.αΊ2πβ1α»222παΊ2πα»! ααβ2ππ¦βπ+β2ππ¦βπ+12 α
Pada formulasi Bessel ini terdapat 2π+ 2 suku, dan persamaan polinomial terkait dengan 2π+ 2 data: π’ = βπ,βπ+ 1,βπ+ 2,β¦,β1,0,1,2,β¦,π,π+ 1 π₯= π₯0 β πβ,π₯0 βαΊπβ 1α»β,β¦,π₯0 β β,π₯+ β,β¦,π₯0 + πβ,π₯0 +αΊπ+ 1α»β
ALGORITMA PROGRAM
Algoritma program untuk interpolasi Bassel:
a) Dapatkan argumen π.
b) Menentukan x0 dan h.
c) Menentukan π¦0,π¦1,π¦2,β¦,π¦πβ1
d) Inisialisasi:
π = αΊπ₯β π₯0α»β β 0.5
π π’π = (π¦0 + π¦1)2 + πβπ·πππ¦0
e) Lakukan iterasi berikut untuk π = 1 sampai ππππ
prod1 = 1 sampai prod2 = π
untuk j = 1 sampai π lakukan perhitungan
ππππ1 = ππππ1β(π2 βαΊ2πβ 1α»24 )
ππππ2 = ππππ2β(π2 βαΊ2πβ 1α»24 )
lakukan perhitungan
prod1 = prod1αΊ2βπα»!β(π·ππ2ππβπ + π·ππ2ππβπ+1)2
prod2 = prod2αΊ2βπ + 1α»!βπ·ππ2π+1πβπ sum = sum + prod1 + prod2 f) kembalikan nilai sum sebagai hasil perhitungan
BAGAN ALIR
CONTOH
OUTPUT PROGRAM DALAM BAHASA TURBO PASCALCONTOH EKSEKUSI PRGRAMJumlah data n (genap) = 6 Input data x [0] = 0.52Input h = 0.01Input data y [0] = 0.5378987Input data y [1] = 0.5464641Input data y [2] = 0.5549392Input data y [3] = 0.5633233Input data y [4] = 0.5716157Input data y [5] = 0.5798158 Input x = 0.5437Hasil Perhitungan P (x) = 0.558
TPW
OUTPUT
TERIMA KASIH