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Inversion / Res2dinv
Sisyphe - novembre 2008
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Inversion
Transformation de la résistivité apparente en Transformation de la résistivité apparente en « résistivité vraie » du sous-sol :« résistivité vraie » du sous-sol :
Transformation dépendante d’une relation Transformation dépendante d’une relation complexe, variable selon la géométrie 1D, complexe, variable selon la géométrie 1D, 2D ou 3D2D ou 3D
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Prob. direct / Prob. inverse
données« mesurables »
« paramètres »
d m
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Problèmes à résoudre :en vrac….
Erreurs sur les données (mesures imparfaites, ou fausses,Erreurs sur les données (mesures imparfaites, ou fausses,….), échantillonage (nombre fini d’électrodes),…….), échantillonage (nombre fini d’électrodes),…
Identification imparfaite des paramètres pertinentsIdentification imparfaite des paramètres pertinents Lois physiques (permettant le modèle direct) Lois physiques (permettant le modèle direct)
imparfaitement connues, complexes, non linéaires….imparfaitement connues, complexes, non linéaires…. Non-unicité de la (ou des) solution(s) recherchéesNon-unicité de la (ou des) solution(s) recherchées Sensibilités diversesSensibilités diverses Quelques connaissances ou idées acquises au préalable : Quelques connaissances ou idées acquises au préalable :
« a priori » dont on aimerait « se servir »,….« a priori » dont on aimerait « se servir »,…. Limites des outils de traitement : « boîte noire », calculs, Limites des outils de traitement : « boîte noire », calculs,
interface,….interface,…. ……....
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A compléter…
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4 terrains1240 ohm.m, 7.3 m610 ohm.m, 7 m28.2 ohm.m, 26.5 m1500 ohm.m
4 terrains335 ohm.m, 3.4 m600 ohm.m, 5.2 m28.4 ohm.m, 21.5 m1500 ohm.m
4 terrains14.8 ohm.m, 3.6 m27.3 ohm.m, 5.4 m33.3 ohm.m, 35.3 m1500 ohm.m
4 terrains245 ohm.m, 4.8 m345 ohm.m, 3 m25 ohm.m, 8.6 m1500 ohm.m
4 terrains60 ohm.m, 2.2 m225 ohm.m, 3.1 m16.8 ohm.m, 8.7 m1500 ohm.m
4 terrains19 ohm.m, 2.9 m30 ohm.m, 4.9 m29.2 ohm.m, 16 m1500 ohm.m
3 terrains8000 ohm.m, 5 m80 ohm.m, 25 m1500 ohm.m
Résis
tivité
app
aren
te (O
hm.m
)
Distance AB/3 (m)
Rés
istiv
ité a
ppar
ente
(Ohm
.m)
Distance AB/3 (m)
Résis
tivité
app
aren
te (O
hm.m
)
Distance AB/3 (m)
Rés
istiv
ité a
ppar
ente
(Ohm
.m)
Distance AB/3 (m)
Rés
istivi
té a
ppar
ente
(Ohm
.m)
Ex : problème(s) de l’interprétation 1D
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A priori « 1D » versus « 2D »
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Le modèle 2D
1 cadre géométrique + 1 paramétrisation adéquate :
Ex: logarithme des résistivités apparentes mesurées, calculées ou des cellules
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La recherche de solutionsMinimiser un écart (y) entre données réellement mesurées (d) et la reproduction Minimiser un écart (y) entre données réellement mesurées (d) et la reproduction
de ces données (de ces données (đđ) à partir d’un modèle (m) :) à partir d’un modèle (m) :
Moindres carrés (norme LMoindres carrés (norme L22) : ) :
Inversion robuste (norme LInversion robuste (norme L11) :) :
(filtrage des « outliers »)(filtrage des « outliers »)
n
iigE
1
n
ii
T gggE1
2
mddy
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La méthode des moindres carrés
Cas « linéaire » : Cas « linéaire » :
solution : solution :
Cas « non linéaire » : Cas « non linéaire » : méthode Gauss-Newtonméthode Gauss-Newton
J= matrice jacobienne :J= matrice jacobienne :
modèle initial : modèle initial :
dFm
kT
kT yJmJJ
j
iij m
fJ
0m kkk mmm 1
.
.
.
1
.
.
.
ii
ii
yb
ax
baxy
dFFFm TT 1
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Gauss-Newton / Quasi Gauss-Newton
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L’inversion « amortie »
« damped LS » (Marquardt-« damped LS » (Marquardt-Levenberg ou Ridge Levenberg ou Ridge regression) :regression) :
« Smoothness constraint » :« Smoothness constraint » :
C : « smoothing matrix » suivant C : « smoothing matrix » suivant les directions verticales et les directions verticales et horizontales. Exemple :horizontales. Exemple :
άάzz/ / άάxx = « flatness ratio » = « flatness ratio »
yJmIJJ Tk
T
z
Tzzx
Txx
kT
kT
CCCCF
FmyJmFJJ
..
..
0....01100
0......0110
0......0011
C
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« Damping factors »
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Initial damping factor : 0.160 – minimum damping factor : 0.015(valeurs par défaut)
Initial damping factor : 0.005 – minimum damping factor : 0.005(inversion non amortie)
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« Smoothness constraint »
NO
YES
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L’inversion « blocky »
Prise en compte de situations avce des variations franches de résistivitéPrise en compte de situations avce des variations franches de résistivité : :
RRmm et R et Rdd : matrice de pondération donnant un poids indépendant aux : matrice de pondération donnant un poids indépendant aux
données et au modèle dans le processus d’inversiondonnées et au modèle dans le processus d’inversion
zm
Tzzxm
TxxR
kRdT
kRT
CRCCRCF
mFyRJmFJJ
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Modèle initial/limites du modèle
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Discrétisation du modèle : modélisation directe
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Discrétisation du modèle :
12
3
45
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1&2
1&2 + 34
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Corrections topographiques
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« Depth of Investigations »Index DOI
Graphes de sensibilités
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Alternatives
Softwares : ProfileR, DCIP2D, Sens2inv…,Softwares : ProfileR, DCIP2D, Sens2inv…, Méthodes : 1D-LCI, 2D-LCI/MCD,…Méthodes : 1D-LCI, 2D-LCI/MCD,…
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ProfileR /ZondRes2DAndrew Binley
http://www.es.lancs.ac.uk/people/amb/Profiler/profiler.htm
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DCIP2DOldenburg, D.W, and Li, Y., 1994, Inversion of Induced Polarization Data, Geophysics, vol 59 p 1327-1341.
http://www.eos.ubc.ca/ubcgif/
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Approche 1D-LCI (Auken et al., HGG)
Sisyphe - novembre 2008
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Approche 2D-LCI(A.V. Christiansen et al., HGG)
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