View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ÁlyktunartölfræðiKa�i 10
Anna Helga JónsdóttirSigrún Helga Lund
Háskóli Íslands
13. febrúar 2012
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 1 / 24
Helstu atriði:
1 Metlar
2 Öryggisbil
3 Tilgátupróf
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 2 / 24
Metlar
Hvert erum við komin...
1 Metlar
2 Öryggisbil
3 Tilgátupróf
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 3 / 24
Metlar
Metill
Metill
Metill er lýsistærð sem gefur mat á stika líkindadrei�ngar.
Metlar á stikum normaldrei�ngar, poisson drei�ngar ogtvíkostadrei�ngar.
µ, σ, λ og p.
Útkomu metlanna köllum við möt
Þau táknum við með µ̂, σ̂, λ̂ og p̂.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 4 / 24
Metlar
Metill á meðaltali slembistærðar
Metill á meðaltal slembistærðar
Metillinn sem við notum til að meta meðaltal slembistærðar er
X̄ =n∑
i=1
Xi
n
þar sem n er heildarfjöldi mælinga.
Dæmi
Við höfum mælingar 2.5,−0.3, 0.8, 1.7, 4.0, 5.2, 3.5, 2.7, 3.8, 3.5 á óháðumog einsdreifðum slembistærðum.
Hvert er mat okkar á µ?
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 5 / 24
Metlar
Metill á dreifni slembistærðar
Metill á dreifni slembistærðar
Metillinn sem við notum til að meta dreifni slembistærðar er
S2 =n∑
i=1
(Xi − X̄)2
n− 1
þar sem X̄ er metill á meðaltal mælinganna og n er heildarfjöldi mælinga.
Dæmi
Við höfum mælingar 2.5,−0.3, 0.8, 1.7, 4.0, 5.2, 3.5, 2.7, 3.8, 3.5 á óháðumog einsdreifðum slembistærðum.
Hvert er mat okkar á σ?
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 6 / 24
Metlar
Metill á hlutfall slembistærðar
Metill á hlutfalli slembistærðar
Metillinn sem við notum til að meta hlutfall slembistærðar er
P =X
n
þar sem X er fjöldi heppnaðra tilrauna og n er heildarfjöldi tilrauna.
Dæmi
Við höfum mælingar 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1 á óháðum og einsdreifðumslembistærðum.
Hvert er mat okkar á p?
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 7 / 24
Öryggisbil
Hvert erum við komin...
1 Metlar
2 Öryggisbil
3 Tilgátupróf
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 8 / 24
Öryggisbil
Öryggi
Y�rleitt eru engar líkur á því að matið okkar sé nákvæmlega rétta gildið ástikanum.
Öryggisbil (con�dence interval)
1 - α öryggisbil er talnabil sem inniheldur sanna gildi stikans með örygginu1 - α.
Öryggi (con�dence level)
Öryggi er það hlutfall tilvika þar sem öryggisbilið inniheldur raunverulegtgildi stikans, þegar tilraunin er endurtekin mjög oft.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 9 / 24
Öryggisbil
Öryggismörk
Öryggismörk eða vikmörk
Öryggismörk (con�dence limits) eru endapunktar öryggisbilsins. Efraöryggismarkið er efri endapunktur bilsins (stærsta gildið sem er tekið ábilinu), en neðra öryggismarkið er neðri endapunkturinn (minnsta gildiðsem er tekið á bilinu).
Villulíkur
Villulíkur (type I error), táknaðar α, eru það hlutfall tilvika, þar semöryggisbil metilsins inniheldur ekki raunverulega gildið á stikanum sem hannmetur, ef tilraunin er endurtekin mjög oft.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 10 / 24
Tilgátupróf
Hvert erum við komin...
1 Metlar
2 Öryggisbil
3 Tilgátupróf
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 11 / 24
Tilgátupróf
Hugmyndafræði tilgátuprófa
Hugmyndafræði tilgátuprófa
Fundin er ein tilgáta sem lýsir því sem við viljum sýna fram á og önnur semlýsir hlutlausu tilviki.
Fundin er lýsistærð sem hefur þekkta líkindadrei�ngu í hlutlausa tilvikinu.Þessi lýsistærð er prófstærðin okkar.
Skilgreint er hvaða gildi á prófstærðinni eru �ósennileg� miðað viðlíkindadrei�nguna í hlutlausa tilvikinu.
Ef matið sem fengið er �okkast sem �ósennilegt� þá höfnum við tilgátunnium hlutlausa ástandið og fullyrðum tilgátuna sem við viljum sýna fram á.
Ef matið er ekki �ósennilegt� er ekkert fullyrt.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 12 / 24
Tilgátupróf
Tilgátur
Núlltilgáta
Núlltilgáta (null hypothesis) er fullyrðing sem sett er fram, sem getur veriðafsönnuð með fyrirliggjandi gögnum. Hún verður hins vegar aldrei sönnuð.Hún er y�rleitt táknuð með H0.
Gagntilgáta
Gagntilgáta (alternative hypothesis) er sú fullyrðing sem við viljumstaðfesta með rannsókninni. Hún er eingöngu sönnuð, en ekki afsönnuð.Hún er ýmist táknuð með H1 eða Ha.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 13 / 24
Tilgátupróf
Áttanir tilgátuprófa
Tvíhliða próf
Ef gögnin leyfa, þá fullyrðir tvíhliða tilgátupróf (two-sided test) að einneða �eiri stikar þýðisins eða þýðanna séu jafnir hvor öðrum eða einhverjuákveðnu gildi.
Einhliða próf
Til eru tvær gerðir einhliða tilgátuprófa (one sided test):Þau sem fullyrða að einn stiki gagnanna sé stærri en annar stiki eðaeitthvað ákveðið gildi, ef gögnin leyfa.Þau sem fullyrða að einn stiki gagnanna sé minni en annar stiki eðaeitthvað ákveðið gildi, ef gögnin leyfa.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 14 / 24
Tilgátupróf
Prófstærðir
Prófstærð
Prófstærð (test statistic) er lýsistærð sem má nota til að hrekjanúlltilgátu, ef gögnin leyfa.
Höfnun núlltilgátu
Við höfnum núllgátu ef prófstærðin okkar hefur ósennilegt gildi miðað viðþá líkindadrei�ngu sem hún ætti að hafa ef núlltilgátan væri sönn.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 15 / 24
Tilgátupróf
Höfnunarsvæði og α-stig
α-stig
α stig tilgátuprófs eru hæstu ásættanlegu líkur þess að fá ósennilegt gildiþegar núlltilgátan er í raun sönn.
Höfnunarsvæði tilgátuprófa
Höfnunarsvæði tilgátuprófa (rejection areas) eru þau bil sem innihaldaöll þau gildi á prófstærðum sem við höfnum núlltilgátunni fyrir og einungisþau gildi.Ef prófstærðin fellur á höfnunarsvæði tilgátuprófsins þá höfnum viðnúlltilgátunni.Ef hún fellur ekki á höfnunarsvæðið, höfnum við ekki núlltilgátunni.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 16 / 24
Tilgátupróf
Höfnunarsvæði tvíhliða prófs
α 2α 2
Höfnunarsvæði tvíhliða prófs
Mynd: Höfnunarsvæði tvíhliða prófs
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 17 / 24
Tilgátupróf
Höfnunarsvæði einhliða prófs
α
Höfnunarsvæði einhliða < prófs
α
Höfnunarsvæði einhliða > prófs
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 18 / 24
Tilgátupróf
Höfnunarsvæði og α-stig, framhald.
Líkurnar á því að prófstærð falli á höfnunarsvæði þegar núlltilgátan er sönneru nákvæmlega α-stig tilgátuprófsins.
Til að skilgreina höfnunarsvæði þurfum við að ákveða:
Hver er stefna tilgátuprófsins? (einhliða/tvíhliða próf)
Hvað er ásættanlegt α-stig tilgátuprófsins?
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 19 / 24
Tilgátupróf
p-gildi
p-gildi
p-gildi eru líkurnar á því að fá jafn ósennilega niðurstöðu eða ósennilegri ogfengin er ef núlltilgátan er sönn. Hafna skal H0 sé p-gildið minna en α. Sép-gildið stærra en α er ekki hægt að hafna núlltilgátunni.
Styrkur
Styrkur (power) tilgátuprófs er líkurnar á því að hafna núlltilgátu sem er íraun ósönn. Hann er oft táknaður með 1 − β
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 20 / 24
Tilgátupróf
Villur af gerð I og II
Villa af gerð I
Villa af gerð I er sú villa að hafna núlltilgátu sem var í raun sönn.Líkurnar á villu af gerð I eru α-stig prófsins.
Villa af gerð II
Villa af gerð II er sú villa að hafna ekki núlltilgátu sem var í raun ósönn.Líkurnar á villu af gerð II eru β, þar sem 1 − β er styrkur prófsins.
H0 er sönn H0 er röngHafna H0 Villa af gerð I Rétt ályktun
Líkur: α Líkur: 1 − β
Hafna ekki H0 Rétt ályktun Villa af gerð IILíkur: 1-α Líkur: β
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 21 / 24
Tilgátupróf
Tilgátupró� ekki hafnað
Það geta margvíslegar ástæður legið að baki því að tilgátupró� er ekkihafnað:
Fjöldi mælinga var of lítill og þar af leiðandi hafði pró�ð lítinn styrk.
Núlltilgátan er í raun sönn.
Líkanið okkar hæ�r ekki gögnunum - þær forsendur sem við gerum ráðfyrir að gögnin uppfylli standast ekki.
Við megum aldrei fullyrða hvert ofangreinda atriða var ástæðan!Við megum þó færa rök fyrir því að ein ofangreindra ástæða sé súsennilegasta.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 22 / 24
Tilgátupróf
Framkvæmd tilgátuprófa
Framkvæmd tilgátuprófa
1 Ákveða hvaða tilgátupróf er viðeigandi fyrir gögnin okkar.
2 Ákveða hæstu ásættanlegu villulíkur.
3 Setja fram núlltilgátu og ákveða um leið áttun prófsins(einhliða/tvíhliða).
4 Reikna prófstærðina sem svarar til tilgátuprófsins.
5a Kanna hvort prófstærðin falli á höfnunarsvæði tilgátuprófsins.
5b Kanna p-gildi tilgátuprófsins.
6 Draga ályktun.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 23 / 24
Tilgátupróf
Samband öryggisbila og tilgátuprófa
Ef gildið á α er það sama fyrir bæði öryggisbilið og tilgátupró�ð ereftirfarandi jafngilt:
Við höfnum núlltilgátunni um að tiltekin lýsistærð hljóti ákveðið gildi.
Öryggisbilið sem við reiknum fyrir lýsistærðina inniheldur ekki þaðgildi.
Dæmi
Ef við framkvæmum tilgátupróf með 5% villulíkur og reiknum 95%öryggisbil:
Við höfnum núlltilgátunni að lýsistærðin sé jöfn tölunni 1 ef talan 1lendir ekki í öryggisbilinu.
Talan 1 lendir ekki í öryggisbilinu ef við höfnum núlltilgátunni aðlýsistærðin sé jöfn tölunni 1.
Anna Helga og Sigrún Helga (HÍ) Ályktunartölfræði 13. febrúar 2012 24 / 24
Recommended