View
1
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
123
UvodPojam geometrijskog mjesta to9aka tj. skupa svih
to9aka koje zadovoljavaju neki uvjet u9enici po-
nekad teško razumiju i prihvaćaju. Već u prvom
razredu gimnazije ili u višim razredima osnovne
škole u9enici se sreću s tim pojmom. Skup svih
to9aka ravnine koje su jednako udaljene od rubo-
va dužine je pravac kojeg zovemo simetrala duži-
ne. U prostoru to postaje simetralna ravnina. Već
pri samoj definiciji skupa to9aka moramo paziti da
ga posve precizno opišemo ili definiramo.
Je li uz opis skupa to9aka koje imaju odre:eno
svojstvo vezana predodžba tog skupa to9aka tj.
geometrijski entitet kao reprezentacija izre9ene
definicije ili opisa? U9enik će bez problema zna-
ti kako je svaka to9ka simetrale dužine jednako
udaljena od rubova dužine jer je nau9io i zapamtio
definiciju. No, ako ga nevezano za gradivo kasnije
upitamo što predstavlja skup svih to9aka ravnine
koje su jednako udaljene od rubova zadane duži-
ne, ponekad će zastati i neće stvoriti predodžbu
simetrale dužine. Neće je znati skicirati. U 9emu
je problem? Smatram da je problem nerazumije-
vanja prvenstveno zbog nedovoljnog geometrij-
skog zora i nemogućnosti vizualiziranja postav-
ljenog problema. Kada uvodimo pojam simetrale
dužine, stavljamo u9enika pred gotov 9in – kaže-
mo definiciju, nacrtamo pravac koji prolazi polovi-
štem okomito na dužinu, pokažemo da je svaka
to9ka pravca jednako udaljena od rubova dužine
te smatramo kako stvar nije mogla biti jasnije pre-
do9ena. Ima u9enika koji teže stvaraju geometrij-
sku predodžbu na osnovi apstraktnih definicija ili
9ak i konstrukcija koje nisu sami izveli i razumje-
li. Tu je “zaobi:ena” u9enikova potreba za samo-
Kako odrediti geometrijsko mjesto to9aka
Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb
124124
matematika i ra9unalo
broj 43 / godina 9. / 2008.
stalnim zapažanjem i autonomnom izgradnjom
geometrijske predodžbe. Predodžba koju namet-
nemo u9eniku neće imati jednaku vrijednost kao
predodžba do koje u9enik dolazi sam, istraživa-
njem, pokušajima i pogreškama. Pustimo ga da
sam crta, neka pokušava, neka griješi i pomogni-
mo mu da uo9ava svoje pogreške i nesklad svoje
predodžbe s onim što je trebalo dobiti. Dok neki
ljudi imaju razvijenu moć stvaranja geometrijskog
zora, drugi se s time puno teže nose. Smatram da
bi u9enicima koji pripadaju ovoj drugoj skupini ja-
ko pomoglo kada bi do takvog zora dolazili spo-
rije, samostalnim pokušajima i otkrivanjem. Uz to
bi im se moglo olakšati usvajanje uz pomoć vi-
še dobro metodi9ki zadanih primjera koje bi sami
rješavali, bez utjecaja ili uz posredan utjecaj na-
stavnika.
Matematika uz pomoć ra9unalaKako je nastava uz pomoć matemati9kih ra9unal-
nih programa kod nas još uvijek u povojima, a po-
negdje se 9ak izvodi i na pogrešan na9in, smatra-
la sam korisnim obratiti pozornost na to i iznijeti
neka vlastita iskustva ili iskustva drugih. U ovom
radu pokušat ću pokazati kako se problem skupa
to9aka ravnine u nastavi matematike može obra-
diti uz pomoć ra9unala na nekoliko razli9itih na-
9ina.
Nove mogućnosti nam otvaraju matemati9ki ra-
9unalni programi koji podržavaju CAS (Compu-ter Algebra System) i DGS (Dynamic Geometry Sy-stem).
Sustavi ra9unalne algebre nam omogućavaju nu-
meri9ke i algebarske izra9une, te geometrijske
predodžbe algebarskih jednadžbi, kao i simboli9-
ki ra9un. Neki od poznatijih su Derive, Mathemati-ca, Maple, MathCAD.
Najveći doprinosi softvera dinami9ke geometrije
su u vizualiziranju i dinamici konstrukcija u kojima
i nakon izmjena objekti zadržavaju svoja matema-
ti9ka svojstva i odnose. Neki od poznatijih su pro-
grami GeoGebra, Geometer‘s Sketchpad, Cabri, Cinderella, Euclides, Geonext.
GeoGebra sadr-
ži elemente i CAS i
DGS pa je možemo
koristiti kao pomoć
u nastavi velikog di-
jela srednjoškolske
matematike jer po-
kriva algebru, geo-
metriju i analizu. Uz
to je open source (besplatna i dostupna u9enici-
ma, u9iteljima i institucijama). Otvorena je za web,
odnosno internet – za on line rad s uradcima na-
9injenim u GeoGebri ne moramo imati instaliranu
GeoGebru na ra9unalu. GeoGebra je web-orijen-
tirana i ne zahtijeva nikakve dodatke a omoguće-
na je neograni9ena web prezentacija sa svim mo-
gućnostima koje program pruža.
Izvo:enje nastave uz pomoć ra9unala
1. Samostalnim radom u9enika u informati9koj
u9ionici postiže se visoki stupanj individuali-
zacije i nove kvalitete. Preporuka je za jednim
ra9unalom smjestiti dva u9enika. Posebno je
važno da su lekcije pažljivo i metodi9ki dobro
prire:ene za samostalan rad.
2. Rad s ra9unalom i LCD-projektorom ili
pametnom plo9om može unijeti osvježenje
u nastavu matematike. Ipak ovakva nas-
tava u svojoj suštini ostaje frontalnog tipa.
Pojedini sadržaji mogu se na ovaj na9in
prikazati u potpunoj ljepoti. Tako:er se
postiže dinamika i vizualizacija koja je
nedostižna klasi9nim metodama i alatima.
Odabirom odgovarajućeg softvera i dobrom
metodi9kom pripremom može se nastavi uz
pomoć projektora pristupiti istraživa9ko-prob-
lemski, a ne samo predava9ki.
3. Ra9unalo u matemati9koj u9ionici – može
naći svoju ulogu u pojedinim nastavnim
situacijama kada je potrebno nešto kratko
pokazati, istražiti ili provjeriti.
4. U9ionica s grafi9kim i/ili simboli9kim kalku-
latorima je rješenje kojem se priklanjaju u
125
nekim zemljama. Iako ima mnoge prednosti
– lako su dostupni, prenosivi, na raspolaganju
uvijek i svugdje – prili9no sam skepti9na pri
svakodnevnoj uporabi. Ipak bih preporu9ila
ograni9enu uporabu samo u matemati9koj
u9ionici i samo kod pojedinih nastavnih
cjelina.
Ne preporu9am široku i neograni9enu uporabu
bilo kojeg od ovih na9ina u nastavi matematike.
Svako korištenje ra9unala u nastavi mora biti do-
bro osmišljeno, povremeno i primjenjeno samo u
situacijama gdje se ra9unalom postižu bolji rezul-
tati nego klasi9nim oblicima rada. Neki su ra9una-
lo i LCD-projektor ili pametnu plo9u shvatili samo
kao zamjenu za grafoskop. Smatram to lošim na-
9inom korištenja ra9unala u nastavi.
Matemati9ki sadržaji zahtijevaju specijalizirane
programe. U tom smislu prednost dajem izved-
bi matemati9kih sadržaja izra:enih specijalizi-
ranim softverom (kao npr. Excelom, Winplotom,
Wingeomom, te prije spomenutim programima
podržanih DGS ili CAS sustavima) nad ra9unal-
nim programima opće namjene kao što su Paint,
PowerPoint, Word i srodni.
Geometrijsko mjesto to9aka uz pomoć ra9unalaVažnu ulogu i pomoć kod problema geometrij-
skog mjesta to9aka mogu odigrati ra9unalo i pro-
grami dinami9ke geometrije i algebre. Dobre re-
zultate postižemo prikazom dinamike stvaranja
skupa svih to9aka koje imaju zadano svojstvo
(neovisno je li to zaslon ekrana, projektora ili pa-
metne plo9e). Još bolji rezultati pokazuju se ako
u9enik samostalnim radom na ra9unalu dolazi do
traženog skupa to9aka. U geometrijskom prozo-
ru programa GeoGebra možemo crtati to9ke ko-
je zadovoljavaju neko svojstvo – tako u9enik stva-
ra geometrijski zor. Tada ga pustimo da pokuša
sam uo9iti o kakvom se skupu to9aka radi, ne-
ka ga definira, neka mu 9ak i napiše jednadžbu.
U9enik lako može provjeriti je li bio u pravu – ili
crtanjem predložene krivulje ili upisivanjem jed-
nadžbe u polje za unos, što je osobitost progra-
ma GeoGeba. Na taj će na9in stvoriti intuitivni zor
– predodžbu geometrijskog mjesta to9aka. Zatim
ćemo posegnuti za matemati9kim alatima – doka-
zima ili izvodima jednadžbe tražene krivulje. Lak-
še je dokazivati neku tvrdnju ili izvoditi jednadž-
bu kada znamo kakav će biti ishod nego tapkati u mraku bez izvjesnog ishoda i bez već stvorene
geometrijske predodžbe.
Primjer 1: Odredite geometrijsko mjesto to9aka iz kojih se zadana elipsa vidi pod pravim kutom (na-
9in izvo:enja – ra9unalo i LCD-projektor ili pamet-
na plo9a).
U programu GeoGebra konstruirat ćemo elipsu
s promjenjivim poluosima a i b. Zatim ćemo kon-
struirati kliznu to9ku E koja pripada elipsi i može
po njoj slobodno “putovati”. U to9ki E konstruiraj-
mo tangentu. Nakon toga povucimo tangentu ko-
ja je okomita na po9etnu i odredimo to9ku pre-
sjeka A tih dviju tangenti. Povla9imo to9ku E po
elipsi. Pritom to9ka A opisuje luk krivulje takve da
tangente povu9ene iz svake to9ke te krivulje za-
tvaraju pravi kut. Traženo geometrijsko mjesto to-
9aka možemo odrediti ili tako da to9ka A ostavlja
trag i crta krivulju dok povla9imo E po elipsi ili po-
moću naredbe Lokus koja odmah ucrta sve to9ke
s nazna9enim svojstvom. Čitavu konstrukciju bilo
bi dobro izvoditi polako, na licu mjesta, uživo, ta-
ko da u9enik prati naredbe kojima izvodimo kon-
strukciju. Potrebno nam je svega par minuta da je
izvedemo. Kakvu krivulju opisuje to9ka A?
126126
matematika i ra9unalo
broj 43 / godina 9. / 2008.
Neka u9enici sami zaklju9e o kojoj se krivulji radi
i koja je jednadžba te krivulje. Ne uspiju li pomo-
gnimo im ucrtavanjem tangenti koje su usporedne
s glavnom i sporednom poluosi. Nakon što u9eni-
ci odgovore, napravimo provjeru upisivanjem jed-
nadžbe predložene krivulje u polje za unos. Ako
su u9enici znatiželjni, možemo ići još dalje s ovim
primjerom mijenjajući kut izme:u tangenti i odre-
diti geometrijsko mjesto to9aka iz kojih se elipsa
vidi pod kutom od 30º, 60º, 75º, 105º... Naći geo-
metrijsko mjesto to9aka za takve kutove algebar-
skim putem je vrlo teško.
Prije izvedene prezentacije na platnu, treba s u9e-
nicima provesti diskusiju, raspraviti o definiciji elip-
se i njezine tangente, te o svojstvima tangente na
elipsu. Nakon izvedene prezentacije s u9enicima
treba ponoviti uvjet diranja i okomitosti te zadatak
riješiti algebarskim putem. Dobre ćemo rezulta-
te postići ako ponovimo 9injenicu o kutu nad pro-
mjerom te istaknemo karakteristi9ne tangente ko-
je potkrjepljuju taj pou9ak.
Sli9nim postupkom možemo riješiti i zadatak koji
9esto susrećemo u zbirkama.
Primjer 2: (Dakić, Elezović: Matematika 2, Alge-
bra, str. 82, Element, Zagreb, 2003.) Jednadžbom y= x 2 +(2m+1)x+ m 2 –1, m∈R dan je skup parabo-la. Odredi skup to9aka ravnine što ga 9ine tjemena svih ovih parabola.
Elemente konstrukcije unosimo na licu mjesta. Pr-
vo zadamo broj m pomoću kliza9a (dobro je na-
mjestiti pomak kliza9a na 0.5) a zatim upišemo
jednadžbu parabole. Pomi9emo kliza9 (pomoću
tipki +/-). Neka u9enici promatraju kako se s para-
metrom m mijenja jednadžba parabole u algebar-
skom prozoru i pomi9e njezin graf na crtaćoj plohi.
Važno je da u9enici uo9e kako se ne mijenja oblik
parabole (zašto?) već samo njezin položaj u koor-
dinatnoj ravnini. Možemo i uklju9iti trag parabole
kako bi u9enici mogli promatrati položaje niza pa-
rabola koje nastaju pri pomaku. Nakon toga ucr-
tajmo tjeme iz polja za unos (naredba Tjeme[c]) i
promijenimo mu svojstva (boja, debljina) kako bi-
smo ga istaknuli te i tjemenu uklju9imo trag. Opet
pomi9imo kliza9 i neka u9enici promatraju skup
svih tjemena koja nastaju pomakom kliza9a. Lako
uo9e da je to pravac. Neka u9enici izgovore jed-
nadžbu pravca. Provjera se lako napravi ukucava-
njem jednadžbe pravca u polje za unos.
Nakon što je zadatak predo9en na platnu i nakon
što u9enici steknu osjećaj što trebaju tražiti, lak-
še im je ra9unskim putem doći do rješenja ovog i
sli9nih zadataka.
Primjer 3: Neka je L nožište okomice iz bilo koje to9ke K kružnice k(S,r) na njezinu tangentu s dirali-štem u zadanoj to9ki T i neka je A to9ka simetri9na to9ki L s obzirom na pravac KT. Što je skup svih to-9aka A? (Na9in izvo:enja – radionica ili samostal-
ni rad u9enika za ra9unalom).
127
U ovakvom primjeru, gdje je na po9etku posve
neizvjesno što se o9ekuje, poželjno je da u9e-
nik sam konstruira rješenje. Izvodeći konstrukci-
ju uo9avat će odnose izme:u pravaca i to9aka, a
privikavat će se i radu s programom. To možemo
postići na dva na9ina. Ako smo u u9ionici s ra9u-
nalima i raspolažemo projektorom, možemo pro-
jicirati korake konstrukcije na platno i objašnjava-
ti u9enicima što treba raditi, a oni neka tada na
ra9unalu izvode zadane korake konstrukcije. Da-
kle, možemo rješavanje ovog zadatka izvoditi kao
svojevrsni oblik radionice što je u9enicima zani-
mljivije i više su uklju9eni nego kad samo gledaju
prezentaciju. Motiviranost u9enika je tako:er tada
puno veća. Me:utim, to ponekad može biti mu-
kotrpno jer svi u9enici ne razumijevaju i ne prate
naša objašnjenja istim tempom i jednakom vješti-
nom. Dobro je tada imati još jednu osobu koja će
nam pomagati – recimo u9enika koji je već vi9an
radu s programom.
Ovdje bih tako:er preporu9ila samostalni rad u9e-
nika za ra9unalom. U istom prozoru na ra9unalu
istaknuti su i aplet i objašnjeni koraci konstrukcije.
U9enik samostalno svojim tempom prati i izvrša-
va konstrukciju te promatra trag koji ostavlja to9ka
A dok pomi9e to9ku K po kružnici. Ovakav na9in
rada možemo primijeniti ili ako već imamo gotove
materijale za odre:enu temu ili ako sami umijemo
prirediti takve materijale. S obzirom na moguć-
nost programa GeoGebra koji ima vrlo jednosta-
van izvoz dinami9kog uratka u web stranicu, pre-
poru9am svima koji su svladali osnove programa
da pokušaju sami napraviti takav materijal. Izne-
nadit ćete se kako to nije teško. Važno je napome-
nuti da na ovaj na9in do konstrukcije u9enik dolazi
vlastitim naporom, 9ime se izbjegava mogućnost
da mu pobjegnu pojedini djelovi prezentacije ili da
jednostavno izgubi tok konstrukcije. Kvalitetniji re-
zultati dobit će se ako u9enik samostalno rješa-
va problem nego ako mu prezentiramo dinami9ki
uradak na platnu. Ovdje broj ponu:enih alata tre-
ba ograni9iti samo na one koji su neophodni pri
izvršavanju tražene konstrukcije. Na taj na9in će-
mo sprije9iti posljedice nepravilne uporabe pro-
grama i ograni9iti pogreške u9enika prilikom igra-nja s ostalim alatima.
128128
matematika i ra9unalo
broj 43 / godina 9. / 2008.
Nakon što su u9enici izveli konstrukciju i dobili ge-
metrijsko mjesto to9aka, možemo napraviti ra-
spravu o zadatku.
Primjer 4: Geometrijsko mjesto to9aka koje su jednako udaljene od rubova zadane dužine.
Usporedimo na ovom zadatku dva na9ina izvo:e-
nja – uz pomoć projektora kao prezentaciju i sa-
mostalnim radom u9enika na ra9unalu.
Prvi naĀin: nastavnik izvodi konstrukciju na ra9u-
nalu i prezentira je u9enicima, objašnjava im po-
trebne 9injenice i ispituje svojstva to9aka. Veliku
pomoć kod ovoga imat će alat – kontrolni
okvir za prikaz i skrivanje objekata. Prema potrebi
mogu se skrivati ili pokazivati pojedini dijelovi kon-
strukcije koji su u odre:enom trenutku bitni i na
njih u9enik treba usredo9iti pažnju.
Drugi naĀin: u9enici samostalo rade za ra9una-
lom preko materijala koji se mogu instalirati na ra-
9unalo ili im mogu pristupiti on line.
Ovom materijalu možete pristupiti na adresi
http://public.carnet.hr/~ssuljic/
cjeline/trokut/. Na sli9an su na9in obra-
:ene još neke teme. Tako na primjer možete obra-
diti krivulje drugog reda kao geometrijsko mjesto
to9aka sa zadanim svojstvima pomoću materija-
la za samostalni rad u9enika za ra9unalom. Pred-
nost ovakvog na9ina rada je u tome što u9enik
otkriva 9injenice i zakonitosti samostalno. Motivi-
ranost je puno veća i može u9iti vlastitim tempom
a ne tempom koji mu je nametnut od strane na-
stavnika ili ostatka razreda. Uz to, može na stra-
nice navratiti i izvan nastave, kod kuće ili od bilo
kojeg ra9unala s vezom na internet. No ovakvi se
materijali ne moraju izvoditi on line. Dovoljno ih je
snimiti na disk ili na CD te pokrenuti off line.
Zablude
Program GeoGebra ili bilo koje druge programe
dinami9ke geometrije i/ili algebre treba na osnov-
noškolskom i srednjoškolskom nivou obrazova-
nja koristiti s velikom dozom opreza, uz dobro pri-
premljene i metodi9ki obra:ene nastavne jedinice
i ne pre9esto. U9enik treba izvoditi konstrukcije i
geometrijske crteže na klasi9an na9in, koristeći
matemati9ki pribor i olovku jer samo tako će svla-
dati potrebna osnovna znanja. Samo povremeno
koristit ćemo ra9unalo u usvajanju novih nastavnih
cjelina ili prilikom ponavljanja sadržaja, i to samo u
onim elementima u kojima ra9unalo ima prednost
nad stati9nim crtežom na plo9i ili grafoskopu. Pri-
129
mjere materijala za samostalno u9enje na ra9una-
lu možete naći na adresi
http://public.carnet.hr/~ssuljic/.
Nastavnici 9esto upadaju u zamku kod izvo:enja
nastave uz pomoć ra9unala smatrajući da je sa-
mom uporabom ra9unala u9enik usvojio temu ko-
ja se obra:ivala, bez dodatne rasprave, ponavlja-
nja i rješavanja zadataka za vježbu. To je velika
zabluda jer koliko god radili s modernom tehnolo-
gijom na9in usvajanja gradiva ići će sporo i klasi9-
nim putem – uvod, obrada, vježbanje, ponavljanje
i sistematiziranje gradiva. Zato je najgore što mo-
žemo u9initi obraditi neku cjelinu uz pomoć ra9u-
nala i zatim odmah nakon toga napraviti provjeru
znanja i podijeliti ocjene. Nikada se ne rade pro-
vjere znanja odmah nakon obra:ene cjeline. Prvo
idu zadaci za vježbu i ponavljanje i tek nakon to-
ga možemo provesti provjeru znanja. Dakle, i kod
obrade sadržaja uz pomoć ra9unala trebalo bi se
držati 9itavog tog slijeda.
Ra9unalo ne bi trebalo shvatiti kao 9arobni šta-
pić koji će riješiti sve probleme. Ne bi ga trebalo
koristiti u svim situacijama i nikako ne bez dobro
razra:enih priprema. Poželjno je u9enicima koji
rade na ra9unalu podijeliti radne listiće koje ispu-
njavaju usporedno ili nakon obrade sadržaja na
ra9unalu kako bismo im pitanjima skrenuli pažnju
na bitne elemente nastavne jedinice koje trebaju
usvojiti ili kako bi ponovili najvažnije dijelove.
Priprema za nastavu uz pomoć ra9unala u po9et-
ku zahtijeva više truda i nastavniku se može u9initi
nerazmjeran odnos vremena kojeg utroši i uspje-
ha kojeg pokažu u9enici. No, dugoro9no se trud
pokaže isplativim a uporaba ra9unala je sve lak-
ša, nastavnik troši manje vremena, a sama nasta-
va pruža veće zadovoljstvo i nastavniku i u9enici-
ma. Ako se ohrabrite, slobodno me kontaktirajte
e-poštom na adresu ela.kragic-marinic@
skole.hr za svaku nedoumicu, pitanje, pomoć
ili sugestiju.
Zaklju9akUporaba programa GeoGebra u razredu pomo-
ći će u stvaranju geometrijskog zora i intuitivnog
pristupa koji u školama pomalo gube bitku s ra-
9unom. U izgradnji matemati9ke misli ponekad su
važnije predodžbe i zornost od suhoparnog ra9u-
na iza kojeg ne leži suštinsko poimanje problema.
Često i nakon što je riješio zadatak, u9enik nije
svjestan što je izra9unao i kakvo je geometrijsko
zna9enje rezultata. U9eniku je dobrodošla svaka
pomoć u stvaranju geometrijske predodžbe. Pro-
grami dinami9ke geometrije u tome su napravili i
korak naprijed – uz vizualnu predodžbu daju i di-
nami9ku dimenziju predodžbi. GeoGebra je tu na-
pravila još jedan korak dalje. Uz geometrijsku pre-
dodžbu i dinamiku ona nudi i algebarski zapis koji
se uz tu predodžbu veže. Tako u9enik ovaj pro-
gram može koristiti kao pomoć u stvaranju geo-
metrijskog zora, ali i za provjeru pretpostavki i to9-
nosti svojih algebarskih izra9una, te za kontrolu
rezultata.
Recommended