View
221
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/21/2019 komputasi 4
1/11
BAB IV
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDINER
JENIS INITIAL VALUE PROBLEM (IVP) DENGAN RUNGE KUTTA
A. TUJUAN
Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk penyelesaian differensial ordiner jenis
initial value problem menggunakan penyelesaian numerik.
B. Dasar Teori
Persoalan yang muncul dalam bidang fisika matematika sering dapat diturunkan
ke dalam suatu persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan salah satu
cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih
turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga melibatkan
fungsi itu sendiri dan konstanta. Persamaan ini diperkenalkan pertama kali oleh Leibniz
pada tahun 1!. Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model matematika
yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. "anyak hukum#hukum alam
dan hipotesa#hipotesa dapat diterjemahkan kedalam persamaan yang mengandung
turunan melalui bahasa matematika. $ebagai contoh, turunan#turunan dalam fisika
muncul sebagai kecepatan dan percepatan sedangkan dalam geometri sebagai
kemiringan.
Persamaan diferensial juga dapat didefinisikan sebagai persamaan matematis
yang mengandung satu variabel bebas, variabel terikat dan turunan#turunan variabel
terikat terhadap variabel bebasnya. Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai%
1 &enurut jenis atau tipe% ada persamaan diferensial biasa 'ordinary differential
equation( dan persamaan diferensial parsial'partial differential equation). Persamaan
diferensial biasa didefinisikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau
lebih turunan biasa suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah
bebas. $edangkan persamaan diferensial parsial didefinisikan sebagai suatu
persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi yang tidak
diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas.
7/21/2019 komputasi 4
2/11
) &enurut orde% orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang
ada dalam persamaan.d3y
d x3 adalah orde tiga
d2y
d x2 * adalah orde dua*
dy
dx
adalah orde satu.
+ &enurut derajat% derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari
turunan fungsi orde tertinggi.
$ebagai contoh% (d3y
dx3 )
2
+( d2y
dx2 )
5
+ y
x2+1
=ex adalah persamaan diferensial biasa,
ordetiga, derajatdua.
Persamaan diferensial $turm#Liouville adalah persamaan diferensial biasa
berorde dua yang diperkenalkan oleh ahli matematika ac-ues ./ $turm'10+#1022(
dan oseph Liouville '103#100)(. Persamaan diferensial ini dapat diselesaikan dengan
menggunakan metode numerik. $asaran akhir dari analisis numerik yang dilakukan
dalam metode numerik adalah diperolehnya metode yang terbaik untuk memperoleh
jawaban yang berguna dari persoalan matematika.
"erdasarkan persoalan syarat atau nilainya, persamaan diferensial ordiner
dibedakan menjadi%
a Persamaan diferensial dengan persoalan syarat4nilai awal (intial value problem, IVP).
5akni jika semua syarat diberikan pada satu nilai perubah bebas 'yakni pada nol atau
6(
&isal%d2y
d x2=y
dengan% y'( 7 ) dan y8'( 7 #1
b Persamaan diferensial dengan persoalan syarat4nilai batas (boundary value problem,
BVP). 5akni jika syarat#syarat diberikan pada lebih dari satu nilai perubah bebas.
&isal%d2y
d x2=y
dengan% y'( 7 ) dan y8'+94)( 7 1
&enyelesaikan atau mengintegrasi persamaan diferensial%dy
dx=f(x , y)
... '1(
dengan syarat awal:y (x0 )=y0 secara numerik berarti menentukan atau menghitung
nilai#nilai pendekatan y1, y), y+, dst. dari penyelesaian eksak y1:, y):, y+:, dst. pada 6 7 61, 6
7/21/2019 komputasi 4
3/11
7 6), 6 7 6+, dst. 'y1:, y)
:, y+:, dst. sendiri biasanya justru tidak diketahui nilainya).;itik
'6, y( digunakan sebagai titik tolak pengintegrasian.
$ebuah Persamaan uler '&etode ?eun, &etode ;itik ;engah(
c. &etode @unge#utta
) &etode banyak langkah (multi-steps methods)
&etode numerik yang digunakan untuk persamaan diferensial biasa dan
merupakan metode yang akurat untuk sebagian besar kasus adalah metode @unge utta.
Bamun metode ini memiliki orde suku lebih tinggi yang mengakibatkan perhitungan#
perhitungan yang lebih rumit dan lebih mendalam walaupun hasilnya akan memiliki
galat yang kecil.
&etode @unge utta merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan
diferensial biasa dengan ketelitian dan kestabilan yang cukup tinggi. &etode ini sangatumum digunakan untuk menyelesaikan bentuk persamaan diferensial biasa, baik linear
maupun nonlinear dengan permasalahan kondisi awal. Persamaan dengan metode @unge
utta adalah%
yi+1=yi+w1 k1+w2 k2++wm km
k1=hf(x i , y i)
k2=hf(xi+c2h , yi+a21 k1)
k2=hf(x i+c3h , y i+a31 k1+a32 k2)
:
km=hf(x i+cm h , yi+am1 k1+am2 k2++am .m1 km1)
7/21/2019 komputasi 4
4/11
$ecara umum persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk%
yi+1=yi+j=1m
w j kj
kj=hf(x i+c j h , y i+r=1
j1
ajr kr)
"entuk penyelesaian metode @unge utta dilakukan berdasarkan orde 'pangkat(%
1 =rde dua%
yi+1=yi+1
2(k
1+k
2)
7/21/2019 komputasi 4
5/11
y i+1=yi+1
6(k
1+2k
2+2k
3+k
4)
7/21/2019 komputasi 4
6/11
@umus untuk mencari harga J harga pada % i E 1, berdasar harga J harga pada i %
FiE17 6i E x
5iE17 yiE{ ' k1E )k)E )k+E kC ( 4 I
7/21/2019 komputasi 4
7/11
BAB II
A. LATIHAN
y
d
dy=
+
)
1.
x sampai y = 4
i xi yi k1 k2 k3 k4 y yi+1
0 21,000
00,066
7 0,0907 0,08950,113
9 0,0902 1,0902
1 2,2
1,090
2
0,113
8 0,1385 0,1373
0,162
4 0,1380 1,2281
2 2,41,228
10,162
4 0,1878 0,18670,212
8 0,1874 1,4155
3 2,61,415
50,212
7 0,2393 0,23820,265
5 0,2389 1,6544
4 2,81,654
40,265
4 0,2933 0,29230,321
0 0,2929 1,9473
5 31,947
30,320
9 0,3503 0,34930,379
6 0,3499 2,2972
6 3,22,297
20,379
5 0,4106 0,40960,441
6 0,4103 2,7075
7 3,4 2,7075 0,4416 0,4744 0,4735 0,5073 0,4741 3,1816
8 3,63,181
60,507
3 0,5420 0,54100,576
8 0,5417 3,7233
9 3,83,723
30,576
8 0,6134 0,61250,650
2 0,6131 4,3364
10 44,336
40,650
2 0,6889 0,68800,727
7 0,6886 5,0250
).
).1) yy
d
!"+=
6 )
y 1
G6 ,)
6n Ci 1
6 1
y 1,2
G6 ,)
6n +
i 1
7/21/2019 komputasi 4
8/11
i xi yi k1 k2 k3 k4 y yi+1
0 1 1,50,5633
0,6205
0,6243
0,68412
0,62283
2,1228
1 1,22,122
80,6839
0,7458
0,7496
0,814188
0,748171
2,8710
2 1,4
2,871
0
0,81
40
0,88
08
0,88
45
0,9539
2
0,8830
82
3,754
1
3 1,63,754
10,9538
1,0254
1,0291
1,103436
1,027713
4,7818
4 1,84,781
81,1033
1,1799
1,1835
1,262824
1,182171
5,9640
5 25,964
01,2627
1,3443
1,3479
1,432149
1,346533
7,3105
6 2,27,310
51,4320
1,5186
1,5222
1,611467
1,520858
8,8314
7 2,48,831
41,6114
1,7030
1,7065
1,800819
1,705197
10,5366
8 2,6 10,5366 1,8007 1,8973 1,9009 2,000244 1,899589 12,4361
9 2,812,43
612,0001
2,1018
2,1054
2,209775
2,104069
14,5402
10 314,54
022,2097
2,3164
2,3200
2,429438
2,318668
16,8589
7/21/2019 komputasi 4
9/11
"A" DDDA. >$D&PKLAB
A >$D&PKLAB
Adapun kesimpulan yang dapat diperoleh antara lain%
a Persamaan diferensial merupakan salah satu cabang matematika yang termasuk dalam
kelompok analisis.
b Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih
turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga
melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta.
c lasifikasi persamaan diferensial%1 &enurut jenis atau tipe% ada persamaan diferensial biasa 'ordinary differential
equation( dan persamaan diferensial parsial'partial differential equation).
) &enurut orde% orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi
yang ada dalam persamaan.d
3
y
d x3 adalah orde tiga
d2
y
d x2 * adalah orde dua*
dy
dx adalah orde satu.
+ &enurut derajat% derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari
turunan fungsi orde tertinggi.
d "erdasarkan persoalan syarat atau nilainya, persamaan diferensial ordiner dibedakan
menjadi%
1 Persamaan diferensial dengan persoalan syarat4nilai awal (intial value problem,
IVP).
2 Persamaan diferensial dengan persoalan syarat4nilai batas (boundary value
problem, BVP)
e uler 'eksplisit(
b Penyempurnaan atau perbaikan metode >uler '&etode ?eun, &etode ;itik
;engah(
c &etode @unge#utta
) &etode banyak langkah (multi-steps methods)
f &etode @unge utta merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial
biasa dengan ketelitian dan kestabilan yang cukup tinggi dan paling banyakdigunakan.
7/21/2019 komputasi 4
10/11
g Pada metode @unge utta, semakin tinggi ordenya, semakin tinggi pula tingkat
ketelitian 'akurasi( yang akan didapatkan.
7/21/2019 komputasi 4
11/11
ttp'--diyarkoliso.l!s/ordpr!ssom-2008-12-p!#y!l!saia#pdi)p
dodypd
ttp'--!!a!dot#!t.l!s/ordpr!ssom-2011-08-p!rsamaa#di!r!#sial
ord!11pd
ttp'--kkm!ruua#aaid-.l!s-1407612568038049378do
ttp'--r!positoryusuaid-itstr!am-123456789-21794-4-apt!r20*pd
http://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-doc-dy.pdfhttp://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-doc-dy.pdfhttp://eecafedotnet.files.wordpress.com/2011/08/persamaan-diferensial-orde-11.pdfhttp://eecafedotnet.files.wordpress.com/2011/08/persamaan-diferensial-orde-11.pdfhttp://kk.mercubuana.ac.id/files/14076-12-568038049378.dochttp://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/21794/4/Chapter%20I.pdfhttp://eecafedotnet.files.wordpress.com/2011/08/persamaan-diferensial-orde-11.pdfhttp://eecafedotnet.files.wordpress.com/2011/08/persamaan-diferensial-orde-11.pdfhttp://kk.mercubuana.ac.id/files/14076-12-568038049378.dochttp://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/21794/4/Chapter%20I.pdfhttp://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-doc-dy.pdfhttp://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-doc-dy.pdfRecommended