Kurva Parametrik

II. Landasan Teori

A. Kurva Parametrik

Definisi:

Suatu kurva parametrik C didalam bidang adalah sepasang fungsi

x = f(t), y = g(t) (pers. Parametrik)

yang memberikan x dan y fungsi kontinu untuk t dalam interval tertentu, t

bilangan real (parameternya).

Contoh:

x = cos t, y = sin t, 0£ t £ 2p

Atau

Kurva parameter dari fungsi parameter

x= cos 3t, y = sin 5t, 0 £ t £ 2p

Cycloid: Suatu lingkaran berjari r menggelinding sepanjang garis horisontal, jejak

sebuah titik pada lingkaran tsb. membentuk kurva cycloid.

x ( t )=1−t2

1+t2, y ( t )= 2 t

1+t2, −∞<t <+∞

Persamaan parameterik dari cycloid (lintasan jejak titik P) dengan radius a dan

titik pusat C(at,a)

C(at,a)

x = a(t – sin t)

Q(at,y) y = a(1- cos t)

P(x,y)

B. Garis tangen pada persamaan parametrik

Kurva parametrik x = f(t), y= g(t) dikatakan mulus (smooth) jika turunannya

kontinu dan keduanya tidak nol secara bersamaan.

Gunakan aturan rantai untuk menghitung gradien grs. tangen

Contoh;

Cari persamaan garis tangen pada t yang ditentukan:

C. Parametrik Koordinat Polar

Kurva dalam koordinat polar, r = f(q ), dapat dinyatakan sbg kurva parametrik dg

parameter q :

dydx

=

dydt

dxdt

=g '( t )f ( t )

x= 3 t1+t3

y= 3t2

1+t3di t=1

x(q ) = f(q ) cos q , y(q ) = f(q ) sin q,

(x dan y dinyatakan dgn parameter q).

Kemiringan dy/dx dari garis tangent

Cari persamaan garis tangen dari kurva parametrik

x=4 cos3 t y=sin3 t di t= π3

v

dydx

=

dydθ

dxdθ

=f ' (θ )sin θ+ f (θ)cosθf '(θ )cosθ−f (θ )sinθ

= r 'sin θ+rcos θr 'cosθ−r sin θ

dydx

=

dydt

dxdt

=12sin2( t )cos ( t )−12sin( t )cos2 ( t )

=− tan( t )=−tan( π3

)=−√3

Di t=π3

,

( x ( t ), y ( t ))=( 4 cos3( π3

), 4 sin3 (π3

))

=(12 ,3√32 )

Persamaan dari garis tangen adalah: y=−√3( x−12

)+3√32