Lineární rovnice

Mgr. Šimon Chládek

ZŠ Křížanská 80

Co jsou lineární rovnice?

rovnice o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje pouze v první mocnině

V základním tvaru vypadá následovně:ax + b = 0 (a a b jsou reálná čísla)

Př: 2x + 5 = 0

Ekvivalentní úpravy

Lineární rovnice řešíme pomocí takzvaných ekvivalentních úprav. (Slovo ekvivalentní pochází z latinského slova aeguivalens (čti ekvivalens), které se do češtiny překládá jako rovnomocný, rovný, stejný, totožný…)

Ekvivalentní úprava je postup, kterým z dané rovnice získáme jinou rovnici se stejnou množinou kořenů.

Rovnováha na vahách

Vždy používáme takových ekvivalentních úprav rovnic, aby se rovnováha na vahách nezměnila

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže vyměníme obsah jednotlivých misek.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže vyměníme levou a pravou stranu rovnice.

L = P P = L

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže na obě misky přidáme předměty téže hmotnosti.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme totéž číslo, jednočlen

nebo mnohočlen.

L = P

L + a = P + a

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže z obou misek odebereme předměty téže

hmotnosti.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice odečteme totéž číslo,

jednočlen nebo mnohočlen.

L = P

L - b = P - b

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže z obsahy obou misek „stejněkrát“ zvětšíme.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vynásobíme týmž nenulovým číslem.

L = P

c · L = c · P

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže z obsahy obou misek „stejněkrát“ zmenšíme.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme týmž nenulovým číslem.

L = P

L : d = P : d

Každá z následujících úprav rovnice je ekvivalentní

úpravou: výměna levé a pravé strany rovnice přičtení téhož čísla nebo mnohočlenu k

oběma stranám rovnice odečtení téhož čísla nebo mnohočlenu

od obou stran rovnice vynásobení obou stran rovnice týmž

nenulovým číslem vydělení obou stran rovnice týmž

nenulovým číslem

Příklad 1: Řešte rovnici: x - 4 = 20

Řešení: Abychom „osamostatnili“ neznámou x na levé straně rovnice, přičteme k oběma stranám rovnice číslo 4

x - 4 + 4 = 20 + 4

Obě strany rovnice upravíme:x = 24

Našli jsem (jediné) řešení dané rovnice.

Provedeme zkoušku: L = 24 - 4 = 20P = 20L = P

Řešte rovnice a proveďte zkoušky:a) - 20 + y = 5b) x - 46 = 32c) a - 12 = - 30

Příklad 2: Řešte rovnici:

4x = 20

Řešení: U této rovnice nám pomůže, když obě její strany vydělíme číslem 4:

4x : 4 = 20 : 4

Obě strany rovnice upravíme:x = 5

Našli jsem (jediné) řešení dané rovnice.

Provedeme zkoušku: L = 4·5 = 20 P = 20 L = P

Řešte rovnice a proveďte zkoušky:a) 6y = 48b) 8x = 32c) - 26 = 2x

Řešení složitějších rovnic Při řešení složitějších rovnic se snažíme

členy s neznámou přesunout na jednu stranu rovnice a členy bez neznámé na druhou stranu rovnice.

3x - 6 = 24 - 2x /+2x3x - 6 + 2x = 24 - 2x + 2x

5x - 6 = 24 /+6 5x - 6 + 6 = 24 + 6

5x = 30 /:5 5x : 5 = 30 :5

x = 6

Součástí řešení je i zkouška

Provedeme ještě zkoušku:L = 3x - 6 = 3 ·6 - 6 = 18 - 6 = 12

P = 24 - 2x = 24 - 2 · 6 = 24 - 12 = 12L = P

Řešte rovnice a proveďte zkoušky:

a) 8y - 5 = y + 9b) 26 - 0,5z = 1 + 2zc ) 11 + 15z = 8z - 13 +

5z

Pokuste se vypočítat následující příklady a výsledek

ověřte zkouškou1) x + 4x - 4 = x + 3 (x = 7/4)

2) 5x - 12 = 7x + 4 (x = -8)

3) 5.( x – 2) +3 = 4.( x + 6 ) – 25 (x = 6)

4) 2.( x + 3 ) – 4 = 3 .( x – 1) + 2 (x = 3)

5) 7.(x –1 ) + 5.( -x + 3 ) = 4 (x = -2)