dilatační rovnice

V0 V1

V0 V1

W0 V1

V0 V1W0

Haar waveleta

g = [ , - ]

h = [ , ]

Waveletová dekompozice funkce f

PVjf - ortonormální projekce f do Vi

základ + detaily různého měřítka

kompaktní suport

Vj

j k k(PV f )(x) = cj-1,k j-1,k(x) + dj-1,k j-1,k (x)Vj-1 + Wj-1

DR

signál délky 2J - vzorky na jednotkovém intervalu Vn

< f, J,k >, aproximace spojité funkce f .. cJ,k

cj-1,k = h(n-2k) cj,nn

dj-1,k = g(n-2k) cj,nn

cj+1,k = h(k-2l) cj,l +

+ g(k-2l) dj,l

l

l

Filter banks

ψa(x) = (1/√a) ψ(x/a)ψa(x) = ψ*a(-x) = (1/√a) ψ*(-x/a)

pak CWT = f * ψa(x)

násobení ve FTH

G

Subband coding

f(iΔt) F(s)

h(iΔt) H(s)

f(iΔt)*h(iΔt) F(s).H(s)

h H

b(iΔt) B(s)

b(iΔt)[ f(iΔt)*h(iΔt)] B(s)*[F(s).H(s)]

zpět – zero-padding, nebo 0 v obrazové oblasti

f(iΔt) F(s)

g(iΔt)G(s)

f(iΔt)*g(iΔt) F(s).G(s)

g G

b(iΔt) B(s)

b(iΔt)[ f(iΔt)*h(iΔt)] B(s)*[F(s).H(s)]

Aliasing

h - low pass filtrg - high pass filtr

h = 2

g = 0

Poznámky k h a g

h,g quadrature mirror filtry (|H|2 + |G|2 = 1)

gN-1-j = (-1) j h j

g – h zpětně se změněnými znaménky posun o pul periody

hj určuje škálovací funkci

• Kompaktní - konečný počet nenulových koeficientů - lokalizace v čase, frekvenci

• Waveletová transformace - proces určení cj0,k, dj,k

• Požadavek na nulovost momentů

• FFT - O(Nlog2N) FWT - O(N)

Vlastnosti očekávané od wavelet

- dobrá lokalizace

- jednoduchost konstrukce a reprezentace

- invariance vzhledem k některým operacím

- hladkost, spojitost, diferencovatelnost, symetrie

- dobré vlastnosti vzhledem k počtu nulových momentů

Kompaktnost- v obrazové oblasti (ve frekvenční rychle k nule)- nižší výpočetní nároky- lepší obrazové rozlišení x horší frekvenční

Symetrie- ortogonální kompaktní wavelety nemohou být sym. - biortogonální wavelety

Momenty a jejich nulovost 1. M momentů 0 : signály typu nulové detailní koeficientydobré pro kompresiDaubechies 2p koeficientů – p nulových momentů

Hladkostlepší rekonstrukce

Mm

mmtctx

0

)(

• Reálné x komplexní wavelety

• Ortogonální x biortogonální x neortogonální

• Biortogonální wavelety

-Haar jediná kompaktní, ortogonální a symetrická

-oslabení ortogonality

• Jiné typy diskretizace, nedyadické, m-bands

• Wavelet packets - nadmnožina WT

- eliminace redundantní a méně důležité informace

- WT - provádí dekorelaci dat

Komprese

prostorová redundance: sousední hodnoty korelované

frekvenční redundance:

frekvenční hodnoty ze stejného pixlu jsou korelované

časová redundance: frames malé změny v sekvenci

- snižuje čas a cenu přenosu

- ztrátová x bezztrátová

kompresní poměr

PSNR = Peak-signal-to-noise ratio (in dB)

RMSE = Root Mean Standard Error

Komprese

- hodnocení

# bitů v původním obrázku

# bitů v komprimovaném obrázku

wavelety - lokální charakter - lokalní vliv koeficientů

hladká data - nulové nebo malé koeficienty- počet chybících momentů u wavelet

Z vlastností DWT

nekorelovanost koeficientů

koeficienty - amplituda wavelety v daném místě, rozlišení a posunu

chyba na koeficientech - malý vliv na daný pixel - vliv na malé okolí (velikost filtru)

DWT v kódování

DCT - každý koeficient reprezentuje - plochu - frekvenční rozsah

- stejné pro všechny k. - někdy nezbyde dost bitů na „anomálie“ - hrany - blok efekty

DWT - lépe zachyceny „anomálie“ - zachycení pozic koeficientů - náročné

často - ortogonální waveletybiortogonální symetrické waveletywavelet packets

jednotlivé subbandy kódovány separátně

moderní metody - závislost mezi škálami

Komprese

Komprese

kódování signálu(DFT, DCT, DWT)

kvantizace(SQ, VQ, uniform)

Entropické kódování (Huffman, aritmetické, RLE)

Vstupní signál

Komprimovaný signál

ztrátová komprese - vynulování koeficientů menší než práh

Prahování

„hard thresholding“ „soft thresholding“

Prahování

po prahování - bitmapa,

0 = vynulované koeficienty

1 = nevynulované koeficienty

Kvantizace

- uniformní x adaptivní

- chyby - vizuální- RMSE

- různá pro jednotlivé bandy

- alokace bitů - vizuální

- statistika koeficientů - kvantizační intervaly

- skalární x vektorová

Laplaceovo rozdělení 0.5 exp ( - | x | )

Kvantizace

nD vektor Rn do konečné množiny Y = {yi: i = 1, 2, ..., N}.

yi - codeword

Y - codebook.

NP úplný problém nalezení codebook nejlépe reprezentující danou množinu vektorů

Vektorová kvantizace

Linde-Buzo-Gray algoritmus ( LBG )

- podobný jako „k-mean clustering“

- urči velikost N

- vyber náhodně N codewords

- „clusterize“

- nové codewords - průměr

- opakuj dokud změna

umístění - RLE („run length coding“) kódování

- stačí jen změny a první hodnota

nejdelší souvislé běhy - spirála od středu

amplitudy koeficientů - Huffmanovo kódování

Kódování

RLE kód - Huffmanovo kódování