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Manuale di riferimento:

C. Casadio, Logica e psicologia del pensiero, Carocci

1. Ragionamento e deduzione

2. Logica proposizionale

3. Logica predicativa

4. Lo studio del ragionamento in psicologia

5. Logica e ragionamento

Logica e Filosofia della Scienza Prof.ssa Claudia Casadio

Indice degli argomenti:

1.Proposizioni ed inferenze

Conseguenza logica

2.Verità e validità

3.Sillogismo

Proposizioni categoriche

Qualità e quantità

Ragionamento diagrammatico

1. Ragionamento e deduzione

Proposizioni

Con questo termine si fa riferimento agli enunciati

del linguaggio naturale utilizzati per studiare le

proprietà delle operazioni logiche e impiegati negli

argomenti logici, con particolare riferimento a quelli

deduttivi.

Esempi tipici di proposizioni in questo contesto

sono gli enunciati dichiarativi, semplici o composti:

al modo indicativo, in genere al tempo presente o

passato e alla terza persona singolare o plurale

Descrivono situazioni, stati di cose, regolarità

• Venere è un pianeta.

• L’acqua gela a 0 gradi centigradi.

• Il numero 3 è dispari e il numero 8 è la

somma di 6 e 2.

• Se un poligono ha tre lati, non è un

quadrato.

• L’Europa è una federazione di stati se e

solo se la Francia è una repubblica.

Argomenti

• Quando parliamo di un insieme di

proposizioni unite, collegate tra loro, da

una certa relazione, usiamo il termine:

ARGOMENTO

• Vi sono vari tipi di argomenti (retorica).

• Gli argomenti logici esprimono e

trasmettono proprietà logiche

Esempi di argomenti

• Quando viene l’autunno i giorni si accorciano.

• Il 12 ottobre la luce del giorno è diminuita di più di un’ora

rispetto al 12 settembre.

• Oggi è il 12 ottobre e il giorno è più breve.

• Il riscaldamento della atmosfera terrestre è causato dalle

emissioni di CO2.

• Gli alberi riducono la quantità di CO2 presente

nell’ambiente.

• La distruzione di alberi causa un aumento del

riscaldamento della atmosfera terrestre.

Esempi di non-argomenti

• Quando viene l’autunno i giorni si accorciano.

• Nel periodo estivo abbiamo avuto belle giornate di sole.

• Oggi è il 12 ottobre e sta piovendo.

• Il riscaldamento della atmosfera terrestre è causato

dalle emissioni di CO2.

• Gli alberi sono un ornamento indispensabile

dell’ambiente.

• La distruzione di alberi è combattuta dai movimenti

naturisti.

Qual è la differenza?

• In un argomento troviamo una continuità

del pensiero espresso, una transizione di

certi contenuti che consente di formare

connessioni.

• Un non-argomento è invece un aggregato

disconnesso di pensieri, che magari

riguardano cose simili, concetti vicini, ma

in cui non si ritrova una particolare

connessione.

Argomenti logici

• La connessione è instaurata mediante

proprietà logiche.

• Queste proprietà sono BUONE perché

assicurano la certezza dell’argomento, la

sua controllabilità, la sua computabilità.

• Questi argomenti sono fondamentali nella

scienze teoriche, applicate e in informatica.

• Saperli usare aiuta anche a pensare, a

ragionare, meglio.

Quando parliamo di logica come “scienza

del pensiero” intendiamo riferirci alle forme

valide del ragionamento. Un esempio:

1. Tutti i manuali forniscono una conoscenza

di base.

2. Tutti i libri introduttivi ad una disciplina

sono manuali.

Tutti i libri introduttivi ad una disciplina

forniscono una conoscenza di base.

Le prime due proposizioni sono le premesse

del ragionamento, o deduzione, che

consentono di inferire la terza proposizione,

la conclusione, in base alla forma generale:

Tutti gli A sono B Premessa I

Tutti i C sono A Premessa II

Tutti i C sono B Conclusione

ESEMPI

1. Tutti gli artisti sono creativi.

2. Tutti i pittori sono artisti.

3. Tutti i pittori sono creativi.

1. Tutti gli alimenti sono prodotti dietetici.

2. Una ciambella è un alimento.

3. Una ciambella è un prodotto dietetico.

Verità e validità

La verità è una proprietà degli enunciati o

proposizioni.

Una proposizione è Vera se e solo se

corrisponde ai fatti, a come stanno le cose.

Altrimenti la proposizione è Falsa.

Quando dalla verità delle premesse segue la

verità della conclusione, diciamo che la

deduzione rappresenta, costituisce un

argomento valido.

Tutti gli scapoli non sono sposati. Tutti gli scapoli non sono sposati.

Mario è scapolo. Mario non è sposato.

Mario non è sposato. Mario è scapolo.

Tutti i dinosauri sono estinti. Tutti i dinosauri sono estinti.

I brontosauri sono dinosauri. I brontosauri sono estinti

I brontosauri sono estinti. I brontosauri sono

dinosauri.

viene focalizzata una parte diversa delle premesse,

sono corrette la prima e la terza inferenza

Spiegazione

• Nel primo esempio l’attenzione è sul

soggetto della I premessa, ribadito nella II

• Nel secondo esempio l’attenzione è sul

predicato della proposizione

• Nel terzo esempio si focalizza il soggetto

della I premessa che è il predicato della

seconda

• Nel quarto esempio si focalizza sempre il

predicato

Definizioni

Definizione 1. 1

• Proposizione Enunciato che descrive uno stato di cose ed è vero o falso, ovvero, per il quale è possibile determinare le condizioni di verità.

Definizione 1. 2

• Premessa Proposizione che contribuisce a formare un argomento.

Definizione 1. 3

• Conclusione Ultima proposizione di un argomento, che risulta dalle premesse e dal modo in cui l’argomento è formato.

Definizione 1. 4

• Argomento deduttivo. Un argomento che procede dall’universale al particolare; la conclusione segue in modo necessario dalle premesse. La sua validità dipende dalla verità delle premesse e dalla correttezza della deduzione.

Definizione 1. 5

• Argomento induttivo. Un argomento che procede dal particolare all’universale; la conclusione segue dalle premesse con un certo grado di probabilità.

Sillogismo

Ragionamento deduttivo formato da

due premesse

una conclusione

Premessa Maggiore

Premessa Minore .

Conclusione

Transitività

La deduzione sillogistica si basa sul

principio di transitività:

A B B C _________________

A C

• La transitività è assicurata dal termine

medio che compare in entrambe le

premesse (B nell’esempio)

Sillogismi sono ragionamenti

Prima premessa o premessa MAGGIORE

Seconda premessa o premessa MINORE

Conclusione

1) Termine Medio – Termine Maggiore

2) Termine Minore – Termine Medio

3) Termine Minore – Termine Maggiore

Esempio

1. Tutti gli A sono B

2. Tutti i C sono A

3. Tutti i C sono B

1. Tutti i poligoni sono figure geometriche

2. Tutti i quadrati sono poligoni

3. Tutti i quadrati sono figure geometriche

Conseguenza logica

Una proposizione B (conclusione) è

conseguenza logica delle proposizioni

A1, …, An (premesse) se e solo se non

si dà il caso che :

A1, …, An sono VERE

e B è FALSA

• Dalla verità non può seguire la falsità

2. LOGICA PROPOSIZIONALE

Indice degli argomenti:

1. Calcolo delle proposizioni

2. Connettivi logici

Leggi logiche

3. Regole di inferenza

4. Dimostrazioni e teoremi

Logica proposizionale

Gli oggetti della logica sono studiati in appropriati linguaggi chiamati sistemi formali o calcoli simbolici. La sillogistica, ad esempio, è un sistema formale che studia le proprietà degli argomenti proposizionali formati da due premesse e una conclusione.

La logica contemporanea, a partire dal lavoro pionieristico di G. Frege, ha sviluppato un’ampia tipologia di sistemi formali alla cui base troviamo il Calcolo delle Proposizioni e il Calcolo dei Predicati del primo ordine.

Calcolo delle Proposizioni

• ha come oggetti proposizioni

• studia le proprietà delle proposizioni

complesse o molecolari, che si

formano a partire da un insieme (finito o

infinito) di proposizioni atomiche

• mediante l’applicazione di operatori o

connettivi proposizionali.

• Gli elementi strutturali più semplici – gli

atomi - sono proposizioni

• Proposizione atomica:

Carlo è un leone.

• Proposizione molecolare:

Carlo è un leone e Piero è triste.

• Proposizione atomica:

Carlo non parte.

• Proposizione molecolare:

Se Piero è triste, allora Carlo non parte.

Calcolo dei Predicati

• Il Calcolo dei Predicati del I Ordine[1] ha come oggetti i costituenti essenziali delle proposizioni: nomi (termini) e predicati, che a loro volta possono essere proprietà (valgono di un termine) o relazioni (valgono di due o più termini)

[1] Detto anche Logica del Primo Ordine, è così chiamato perché è ammessa solo la quantificazione rispetto ad individui, ovvero l’ontologia di tale sistema formale è costituita da universi di individui. Vi sono, tuttavia, sistemi formali che hanno ontologie più complesse, in cui è possibile quantificare su proprietà, proprietà di proprietà, ecc. Tali sistemi sono detti di ordine superiore al primo, dove ogni nuovo livello corrisponde ad un incremento nella complessità degli oggetti ammessi. Per esempio, il secondo ordine, ammette oltre alle proprietà di individui, anche proprietà di proprietà di individui.

• nome: Carlo

• proprietà: è un leone

termine: a proprietà: P P(a)

Carlo è un leone

• nomi: Carlo, Piero

• relazione: è amico di

termini: a, b relazione: R R(a, b)

Carlo è amico di Piero

Connettivi proposizionali

I connettivi proposizionali svolgono un ruolo

fondamentale nella logica enunciativa,

poiché è attraverso di essi che le

proposizioni complesse o molecolari sono

formate a partire da proposizioni elementari

o atomiche (metafora chimica). Elenchiamo

i principali connettivi proposizionali nella

seguente tabella:

Definizione Notazione Significato

Negazione ~ oppure non, non si dà il caso che

Congiunzione oppure and, et, e

Disgiunzione o, or, vel

Implicazione oppure se ... allora, implica

Equivalenza oppure se e solo se, equivale

Questi connettivi sono detti connettivi logici

perché introducono

operazioni vero-funzionali:

la verità o la falsità di una proposizione

complessa (molecolare) è determinata

dalla verità o falsità delle proposizioni

(atomi) che la formano in base alle

connessioni istituite dai connettivi logici.

Nella logica proposizionale classica

abbiamo cinque fondamentali funzioni di

verità associate ai cinque connettivi

considerati:

(1) Negazione

se A è una proposizione, la

proposizione ~A è la negazione di A,

con la condizione di verità:

se A è vera, ~A è falsa;

se A è falsa, ~A è vera.

A ~A

V F

F V

Negazione

La negazione nel linguaggio naturale occorre in diverse posizioni, prima del predicato come in Maria non corre, ma anche prima del soggetto: Non tutti gli studenti praticano uno sport, prima di un avverbio Non è sempre domenica, o comparire in modo discontinuo Né l’uno né l’altro ha avuto successo.

Il connettivo logico non viene posto davanti ad un enunciato A (p. es. Maria corre) per generare la sua negazione ~A (Maria non corre).

La negazione è detta

connettivo mono-argomentale

perché si applica a singoli enunciati.

(2) Congiunzione

se A, B sono proposizioni, la proposizione

A B è la loro congiunzione, con la

seguente condizione di verità :

A B è vera se e solo se

sia A che B sono vere;

se o A, o B o entrambe sono false, allora

A B è falsa.

Congiunzione

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F F

Date due proposizioni A e B, la loro congiunzione

è vera se e solo se entrambe sono vere.

Nel linguaggio naturale troviamo vari tipi di congiunzione, non solo tra enunciati come in

Maria corre e Piero salta, ma anche tra nomi: Maria e Piero si allenano, tra avverbi: Oggi e domani andiamo al mare, tra preposizioni: Il treno da e per Roma è sempre molto affollato.

Il connettivo logico e (and) connette sempre

due proposizioni A e B chiamate congiunti e,

in quanto tale, è un connettivo bi-argomentale.

(3) Disgiunzione

se A, B sono proposizioni, la proposizione

A B è la loro disgiunzione, con la

seguente condizione di verità:

A B è vera se o A è vera, o B è vera o

entrambe sono vere.

A B è falsa se e solo se sia A che B

sono false.

Disgiunzione

A B A B

V V V

V F V

F V V

F F F

Disgiunzione

Date due proposizioni A e B, la loro disgiunzione

è vera se almeno una delle due è vera.

Nel linguaggio naturale esistono vari tipi di

disgiunzione, non solo tra proposizioni: Prendo

l’automobile o vado in treno, ma tra nomi

Ordino insalata o macedonia, tra avverbi Mi

piace troppo o troppo poco, ecc.

La disgiunzione logica o (or) connette sempre

due proposizioni, dette i suoi disgiunti, e in

quanto tale è un connettivo bi-argomentale.

Vi sono due interpretazioni della disgiunzione,

inclusiva ed esclusiva:

secondo l’interpretazione inclusiva “A o B”

significa: “A, o B, o entrambe” (connettivo vel

della lingua latina), come nell’enunciato: Parigi

è una città oppure il Tevere è un fiume,

secondo l’interpretazione esclusiva “A o B”

significa: “o A, o B, ma non entrambe”

(connettivo aut-aut della lingua latina), come

nell’enunciato Nel fine settimana resterò a

casa o prenderò il treno.

Il simbolo “” designa il connettivo della

disgiunzione inclusiva, la disgiunzione esclusiva

può essere definita nei termini di tale connettivo.

(4) Condizionale

(o implicazione materiale)

se A, B sono proposizioni, la proposizione

A B è il condizionale se A allora B

(A implica B), dove A è l’antecedente e B il

conseguente, con la condizione di verità:

A B è vera se e solo se non si dà il caso

che l’antecedente A sia vero e il conseguente

B sia falso;

A B è falsa se e solo se A è vera e B è

falsa.

(4) Condizionale

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

Il condizionale “se …allora …” è un connettivo bi-argomentale che mette in relazione una proposizione A, detta antecedente, con una proposizione B, chiamata conseguente.

Il condizionale offre varie interpretazioni; quella usata nella logica proposizionale è detta implicazione materiale: la proposizione “se A allora B” è falsa quando l'antecedente A è vero ed il conseguente B è falso, come nell’enunciato (i) Se Parigi è la capitale della Francia, allora Roma è la capitale della Gran Bretagna. Negli altri casi la proposizione “se A allora B” è vera

Vi sono anche interpretazioni non vero-

funzionali del condizionale, ad esempio

l'interpretazione causale:

Se questo pezzo di ferro viene messo in

acqua tiepida al tempo t, allora esso

fonderà a t

questa proposizione è falsa anche nel

caso in cui il pezzo di ferro non venga

messo nell'acqua al tempo t

(la proposizione si comporta come la

violazione di una legge scientifica, ed è

falsa in tutte le circostanze).

Condizionali contraffattuali:

Se Napoleone Bonaparte non fosse

diventato imperatore dei francesi, non si

sarebbero verificate guerre tra gli stati

europei nel XVIII secolo.

(o bicondizionale materiale):

se A, B sono proposizioni, A B è la

proposizione A se e solo se B, con la

seguente condizione di verità:

A B è vera se e solo se A e B sono

entrambe vere e, o entrambe false;

altrimenti A B è falsa

(5) Equivalenza

Equivalenza

A B A B

V V V

V F F

F V F

F F V

Due proposizioni sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso valore di verità: sono entrambe vere, o entrambe false.

p.es. la proposizione Maria va a teatro se e solo se Piero ha comprato i biglietti è vera tanto nel caso in cui Piero compra i biglietti e quindi Maria va a teatro, quanto nel caso in cui nessuno dei due eventi si realizza.

Infatti, il significato di una proposizione di equivalenza è che il realizzarsi di uno degli eventi descritti è condizione necessaria e sufficiente per il realizzarsi dell’altro.

Anche l’equivalenza logica è un connettivo bi-argomentale.

Funzioni di verità

A B ~A ~B A B A B A B A B

V V F F V V V V

V F F V F V F F

F V V F F V V F

F F V V F F V V

Calcolo delle proposizioni L(P)

DIZIONARIO DI L(P) :

• Simboli descrittivi: lettere o variabili proposizionali:

p, q, r, … A, B, C,

• Simboli logici: connettivi proposizionali

Negazione ~ non

Congiunzione e - and

Disgiunzione o - or - vel

Implicazione o condizionale se … allora

Equivalenza o bicondizionale se e solo se

• Simboli grafici: parentesi ( ) [ ] … , segni di interpunzione

• DEFINIZIONE 2. 1

Formula enunciativa: una espressione di L(P) formata da lettere proposizionali o dalla applicazione dei connettivi proposizionali a lettere proposizionali.

• DEFINIZIONE 2. 2

Formula ben formata. (fbf) Sono formule ben formate di L(P) tutte e sole le seguenti:

Formule atomiche: lettere enunciative p , q , r, …

Formule molecolari: se A e B sono formule

enunciative, allora lo sono anche

~ A , A B , A B , A B , A B .

Tavole di verità

• DEFINIZIONE 2. 3

Funzione di verità. Una funzione di verità (ad n argomenti) è una funzione n-aria, i cui argomenti ed il cui valore sono esclusivamente i valori di verità V (vero) e F (falso).

Connettivo vero-funzionale. Un connettivo che introduce una funzione di verità: il valore di verità della formula enunciativa risultante dipende unicamente dai valori di verità delle formule enunciative cui si applica.

• DEFINIZIONE 2. 4

Connettivo principale. Il connettivo più esterno in una formula enunciativa rispetto all’ordine delle parentesi, quello che si applica alla sotto-formula principale (connettivo mono-argomentale) o che connette le due sotto-formule principali (o di primo livello) di una formula enunciativa.

Costruzione di una tavola di verità

[a] Ad ogni assegnazione di valori di verità V o F

alle lettere enunciative (variabili

proposizionali) che compaiono in una formula

enunciativa, corrisponde un solo valore di

verità per la formula enunciativa;

[b] questo valore è determinato mediante un

procedimento finito di computazione in base

alle funzioni di verità dei connettivi;

[c] una tavola di verità è una tabella costituita da

n colonne e m righe;

[d] ciascuna riga rappresenta una (possibile) assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative e il corrispondente valore assunto dalla funzione di verità introdotta da un connettivo per quella assegnazione;

[e] ciascuna colonna rappresenta i valori assunti da una delle funzioni di verità introdotte dai connettivi e la colonna sottostante al connettivo principale rappresenta la funzione di verità determinata dalla formula enunciativa.

[f] in una formula enunciativa con n lettere diverse, si hanno 2n possibili assegnazioni di valori di verità alle sue lettere enunciative e quindi 2n righe nella tavola di verità.

Metodo esteso

I II III IV

A ~A ~(~A) A ~(~A)

V F V V

F V F V

Metodo esteso con 2 prop.

I II III IV V VI VII VIII

A B ~A ~B A B ~ (A B) (~A ~B) ~ (A B) (~A ~B)

V V F F V F F V

V F F V F V V V

F V V F F V V V

F F V V F V V V

Metodo abbreviato

A ~ (~ A) A ( ~ A)

V V V F V V V F V

F V F V F F V V F

Tautologie e contraddizioni • DEFINIZIONE 2. 5

Un enunciato è una tautologia sse la funzione di verità da esso determinata assume sempre il valore V (Vero) per qualsiasi assegnazione di valori alle sue lettere enunciative.

• DEFINIZIONE 2. 6

Un enunciato è una contraddizione sse la funzione di verità da esso determinata assume sempre il valore F (Falso) per qualsiasi assegnazione di valori alle sue lettere enunciative.

• DEFINIZIONE 2. 7

Un enunciato si dice contingente sse la funzione di verità da esso determinata assume il valore V (Vero) per certe assegnazioni alle lettere enunciative e il valore F (Falso) per altre assegnazioni alle lettere enunciative.

Leggi logiche

Leggi logiche sono quelle proposizioni della

logica che sono sempre vere, indipendentemente

dalla situazione di fatto. Possiamo dire che una

proposizione di questo tipo è vera solo in virtù

della sua struttura vero-funzionale, ovvero della

sua forma logica. Per questa ragione si dice che

sono logicamente vere o valide a priori, che non

apportano contenuto empirico e, proprio per

questo, non necessitano di verifica empirica.

Ciò che è vero logicamente è vero sempre.

Leggi logiche

Doppia negazione A ~ ~A Terzo escluso A ~A

Non contraddizione ~ (A ~A) Condizionale (A B) (~A B)

Legge di De Morgan Legge di De Morgan

~ (A B) ~A ~B ~ (A B) ~A ~B

Legge distributiva Legge distributiva

A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)

Legge commutativa Legge commutativa

A B B A A B B A

Legge Associativa Legge Associativa

(A B) C A (B C) (A B) C A (B C)

Legge commutativa Legge Associativa

(A B) (B A) ((A B) C) (A (B C))

Assorbimento Assorbimento

A (A B) A A (A B) A

Contrapposte Equivalenza

(A B) (~B ~A) (A B) ((A B) (B A))

Idempotenza Idempotenza

(A A) A (A A) A

Transitività ((A B) (B C)) (A C)

Leggi Logiche

• Doppia Negazione : DN

A (A)

SIGNIFICATO : negando due volte una

proposizione A si ottiene una proposizione

equivalente ad A (stesso valore di verità)

Leggi Logiche

• Transitività

((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C)

SIGNIFICATO :

esprime la proprietà transitiva del connettivo “ → ”, la transizione

dell’informazione apportata dagli enunciati condizionali A → B e

B → C, in cui il secondo ha come antecedente il conseguente B

del primo: il risultato di questo processo è un terzo enunciato

condizionale A → C che ha, come antecedente, l’antecedente A

del primo, e come conseguente, il conseguente C del secondo.

Questa legge logica può essere presentata anche sotto forma di regola di inferenza

Leggi Logiche

• Principio del Terzo Escluso

A A

SIGNIFICATO : Data una proposizione A del

calcolo delle proposizioni, o è VERA A,

o è VERA la sua negazione ~A; in altre

parole, o A è VERA, o A è FALSA

Leggi Logiche

• Principio di Non Contraddizione

(A A)

SIGNIFICATO : Una proposizione A del calcolo delle proposizioni non può valere assieme

alla sua negazione ~A; in altre parole, non si

dà il caso che A sia VERA insieme alla sua

negazione ~A

Leggi Logiche

• Leggi di De Morgan

~(A B) ↔ (~A ~B)

~(A B) ↔ (~A ~B)

Leggi Logiche

• Legge del condizionale

(A → B) ↔ ( ~ A B) SIGNIFICATO : Una proposizione (formula enunciativa)

condizionale A→B del calcolo delle proposizioni è equivalente alla disgiunzione della negazione

dell’antecedente ~ A con il conseguente B; questa legge è importante perché consente di tradurre (convertire) una proposizione in forma condizionale in una proposizione equivalente in forma disgiuntiva.

Leggi Logiche

• Legge di Contrapposizione

(A → B) ↔ (~ B → ~ A)

SIGNIFICATO : Un enunciato condizionale A → B

è equivalente all’enunciato condizionale in cui

si invertono antecedente e conseguente negati

~ B→~ A (il processo da A a B è equivalente al

processo da ~B a ~A).

Regole di inferenza

Le regole di inferenza consentono di dedurre

nuove proposizioni da proposizioni date.

Queste ultime sono chiamate premesse (o

ipotesi) delle regole, mentre la proposizione

che viene dedotta è detta conclusione. Quando

le premesse di una regola di inferenza sono

vere, anche la conclusione sarà vera: è un

teorema del calcolo logico in oggetto. In

genere, le premesse di una regola di inferenza

sono assiomi, leggi logiche o proposizioni

precedentemente dimostrate (teoremi).

Possiamo rappresentare le premesse e la

conclusione di una inferenza deduttiva in

modo lineare mediante la formulazione:

A1, … , An | B

in cui il simbolo | significa che esiste una

deduzione da A1, …, An a B;

in altre parole, B è una conclusione dedotta

dalle premesse A1,…, An.

Alternativamente, possiamo impiegare la

seguente rappresentazione verticale, in cui le

premesse sono elencate al di sopra della linea

orizzontale, mentre la conclusione compare al

di sotto di essa:

A1 Se δ è un triangolo, ha tre lati

A2 δ è un triangolo

______ _____________________

B δ ha tre lati

Regole di inferenza condizionali

MODUS PONENS MP MODUS TOLLENS MT

A B

A _______

B

A B

~ B _______

~ A

AFFERMAZIONE CONSEGUENTE AC NEGAZIONE ANTECEDENTE NA

A B

B _______

*A

A B

~ A _______

*~ B

Regole condizionali

MODUS PONENS MODUS TOLLENS

A B A B

A B

_______ _______

B A

Fallacie condizionali

NEGAZIONE ANTECEDENTE AFFERMAZIONE CONSEGUENTE

A B A B

A B

______ _______

*B * A

Asterisco * indica che Nulla Consegue

Regole di inferenza condizionali

Si tratta di un gruppo importante di regole di inferenza della logica proposizionale basate sul nesso condizionale “se … allora”, formalizzato con il connettivo “” (condizionale materiale).

Abbiamo due regole fondamentali:

la regola di Modus Ponens, in cui viene affermato

l’antecedente del condizionale,

e la regola di Modus Tollens, in cui viene negato

il conseguente del condizionale.

Queste regole di inferenza sono costituite da due premesse e una conclusione.

Fallacie condizionali

A queste regole corrispondono due fallacie, che

si ottengono nel caso in cui

l’antecedente del condizionale viene

negato: NA

il conseguente del condizionale viene

affermato: AC

Benché invalide, le fallacie sono importanti per

comprendere pienamente il significato delle

regole condizionali.

Regole condizionali: esempi

MODUS PONENS MODUS TOLLENS

Triangolo Tre lati Triangolo Tre lati

Triangolo Tre lati

_________________ _________________

Tre lati Triangolo

Fallacie condizionali: esempi

NEGAZIONE ANTECEDENTE AFFERMAZIONE CONSEGUENTE

Triangolo Tre lati Triangolo Tre lati

Triangolo Tre lati

_________________ _________________

* Tre lati * Triangolo

Regole di inferenza congiuntive

CONGIUNZIONE CONG SEMPLIFICAZIONE SIMP

A

B _________

A B

A B A B _______ _______

A B

Regole di inferenza additive

ADDIZIONE ADD SILLOGISMO DISGIUNTIVO SD

A _______

A B

A B A B

~ A ~ B ______ _______

B A

Inferenze congiuntive: esempi

Il triangolo è un poligono.

Il rombo è un quadrilatero.

-------------------------------------------------------CONG

Il triangolo è un poligono e il rombo è quadrilatero

L’ossigeno è un gas ed è freddo.

----------------------------------------------SIMP

L’ossigeno è freddo.

Inferenze additive: esempi

L’ossigeno è un gas.

---------------------------------------------------ADD

L’ossigeno è un gas o l’aria è un liquido.

Il ferro è un metallo o l’acqua è solida.

L’acqua non è solida.

---------------------------------------------------SD

Il ferro è un metallo.

Conseguenza logica e validità

• Definizione 2.8

Conseguenza logica. Una proposizione B è conseguenza logica delle proposizioni A1, …, An , in simboli

A1, …, An | B,

sse non si dà il caso che le proposizioni A1, …, An sono vere e la proposizione B è falsa. La proposizione B è detta conclusione dalle premesse A1, …, An.

• Definizione 2.9

Correttezza. Una inferenza deduttiva A1, …, An | B è corretta sse la conclusione B è conseguenza logica delle premesse A1 ,…, An.

A B A B (A B) A ((A B) A) B

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Prova condizionale di MP

Dimostrazioni

Nel calcolo delle proposizioni P è possibile determinare l’insieme delle proposizioni logicamente valide in P, o verità logiche di P, facendo ricorso all’insieme delle inferenze logiche e delle leggi logiche di P. Il procedimento che conduce all’individuazione di una proposizione logicamente valida A di P è chiamato una dimostrazione di A in P, e la proposizione dimostrata è chiamata un teorema di P.

Scriviamo Г | P A, per indicare che esiste in P una dimostrazione della proposizione A sulla base dell’insieme di ipotesi Г, e | P A per indicare che A è logicamente valida in P, ovvero è un teorema di P

Dimostrazioni

• Definizione 2. 10

Г | P A : esiste una dimostrazione della

proposizione A in P sulla base delle ipotesi

Г

• Definizione 2. 11

| P A : A è logicamente valida in P

Dimostrazioni con MP

1. A B I premessa 1. Se piove, mi bagno.

2. A II premessa 2. Piove.

3. B 1, 2, MP 3. Mi bagno.

1. ~ A B I premessa 1. Se non studio, sono bocciato.

2. ~ A II premessa 2. Non studio.

3. B 1, 2, MP 3. Dunque, sono bocciato.

Dimostrazioni con MT

1. ~A ~B I premessa Se non fa freddo, non metto

il cappotto.

2. B II premessa Metto il cappotto.

3. A 1,2, MT Quindi fa freddo

1. A ~B I premessa Se ho studiato poco, non

passo l'esame.

2. B II premessa Passo l'esame.

3. ~A 1,2, MT Non ho studiato poco (ho

studiato molto)

Negazione con MP e MT

Le inferenze MP e MT richiedono una

riflessione più laboriosa quando si fa uso

della negazione, come nel caso in cui il

condizionale è del tipo :

~ A B con antecedente negato

A ~ B con conseguente negato

oppure del tipo:

~ A ~ B

con antecedente e conseguente negati

Antecedente negato:

MP: 1. ~A B MT: 1. ~A B

2. ~A 2. ~B

3. B 3. A (~(~A)) DN

In entrambi i casi la conclusione è affermativa

Conseguente negato:

MP: 1. A ~B MT: 1. A ~B

2. A 2. B (~(~B)) DN

3. ~B 3. ~A

In entrambi i casi la conclusione risulta negativa

Antecedente e conseguente negati:

MP: 1. ~A ~B MT: 1. ~A ~B

2. ~A 2. B (~(~B)) DN

3. ~B 3. A (~(~A)) DN

Dimostrazioni

Le dimostrazioni sono ottenute con il seguente metodo:

[1] Si scrive ciascuna premessa, accompagnata dalla sua denominazione; a sinistra viene indicata la numerazione degli argomenti coinvolti nella deduzione;

[2] Si scrive il risultato della applicazione di una regola di inferenza, indicando a destra il nome della regola ed i numeri delle premesse coinvolte; a sinistra viene indicato il numero del passaggio corrispondente nella deduzione;

[3] Si scrive una legge logica, indicando a destra il nome della regola e a sinistra il numero del passaggio nella deduzione;

[4] L’ultima proposizione della sequenza è la proposizione An che si voleva dimostrare, i.e. la proposizione di cui si è prodotta la dimostrazione mediante i passaggi 1, …, n.

Dimostrazioni con MT

1. ~A B I premessa Se non studio, sono bocciato.

2. ~B II premessa Non sono bocciato.

3. A 1, 2, MT Dunque, studio.

1. (A B) C I premessa Se cammino o faccio sport,

mi tengo in forma.

2. ~C II premessa Non mi tengo in forma.

3. ~(A B) 1,2, MT Non cammino o faccio sport.

Dimostrazioni con transitività

1. A B I premessa Se piove, mi bagno.

2. B C II premessa Se mi bagno, prendo il

raffreddore

3. A C 1, 2, Trans Se piove, prendo il

raffreddore

1. (A B) ~C I premessa Se dormo o guardo la

tv, non mi tengo in forma.

2. ~C D II premessa Se non mi tengo in forma

sto male.

3. (A B) D 1,2, Trans Se dormo o guardo la tv,

sto male

Regole congiuntive

1. A B I premessa Galileo era un matematico e

un astronomo.

2. A 1, Simp Galileo era un matematico

1. A B I premessa Galileo era un matematico e

un astronomo.

2. B 1, Simp Galileo era un astronomo

1. A I premessa Galileo era un matematico.

2. B II premessa Galileo era un astronomo.

3. A B 1, 2 Cong Galileo era un matematico e

un astronomo

Regole additive : SD

1. A B I premessa Dormo o guardo la tv.

2. ~A II premessa Non dormo.

3. B 1,2, SD Guardo la tv.

1. A B I premessa Dormo o guardo la tv.

2. ~B II premessa Non guardo la tv.

3. A 1,2, SD Dormo.

Definizione di

(A B) (~A B)

1. A B I premessa

2. ~B C II premessa

3. ~A B 1, def.

4. ~B 2, Simp

5. ~A 3,4 SD

Dimostro ~A dalle premesse (1) e (2).

Dalle premesse A → B e A C, dimostrare la conclusione B C

1. A → B I premessa

2. A C II premessa

3. A 2, SIMP

4. B 1, 3, MP

5. C 2, SIMP

6. B C 4, 5, CONG

Dimostrazioni

Dalle premesse (A ∨ B) → C e A, dimostrare la

conclusione C.

1. (A ∨ B) → C I premessa

2. A II premessa

3. A ∨ B 2, ADD

4. C ∴ 1, 3, MP

Se Claudia canta o balla, allora Piero suona.

Claudia canta.

Claudia canta o balla.

Piero suona.

Dimostrazioni

Dalle premesse A ∧ B, C ∧ D, (D ∧ A) → E, dimostrare la conclusione E∧B.

1. A∧B I premessa Claudia tace e Piero parla.

2. C∧D II premessa Claudia suona e Piero canta.

3. (D∧A) → E III premessa Se Piero canta e Claudia

tace, allora Claudia ascolta.

4. D 2b, SIMP Piero canta.

5. A 1a, SIMP Claudia tace.

6. D∧A 4, 5, CONG Piero canta e Claudia tace.

7. E 3, 6, MP Claudia ascolta.

8. B 1b, SIMP Piero parla.

9. E∧B ∴ 7, 8, CONG Claudia ascolta e Piero parla.

Logica predicativa

Indice degli argomenti:

1. Proprietà e relazioni

2. Quantificatori e inferenze

3. Sillogismi

4. Dimostrazioni di (semplici) sillogismi

Logica predicativa

Indichiamo un oggetto o individuo con la lettera minuscola a

(costante individuale) ed eventuali proprietà godute da tale

individuo con le lettere maiuscole P, Q (lettere predicative).

Quando relativamente all’individuo designato da a viene

predicata la proprietà indicata con P, scriviamo P(a) e

diciamo che a ha la proprietà P o gode della proprietà P.

Ad esempio, se P è la proprietà “essere bianco”, l’individuo a

ha la proprietà P se e solo se a è bianco:

a. Questo tavolo è bianco : P(a) (a = questo tavolo)

b. La neve è bianca : P(n) (n = la neve)

Analogamente, se indichiamo con la lettera minuscola b

un altro oggetto o individuo, e con la lettera maiuscola R

una certa relazione a due argomenti, scriviamo R2 (a, b)

per esprimere il fatto che a è (si trova) nella relazione R

con b, ovvero che tra a e b sussiste la relazione R.

Per esempio, se R è la relazione “essere amico di”, a è

nella relazione R con b se e solo se a è amico di b.

c. Piero è amico di Maria :

R (a, b) (a = Piero, b = Maria)

Logica predicativa

DEFINIZIONE 3.1

Dominio degli individui: l’insieme D degli oggetti o individui

che sono argomenti di proprietà e relazioni.

Oggetto (o individuo): elemento di D, possibile argomento

di proprietà o relazione.

DEFINIZIONE 3.2

Proprietà. Predicato P che si applica ad un solo argomento (elemento di D): P(a);

Relazione (binaria). Predicato P che si applica a due

argomenti (elementi di D): R2(a1, a2);

Relazione (n-aria). Predicato P che si applica a n argomenti:

R n(a1, ..., a n).

Logica predicativa

Quantificatori

Questo albero è verde PROP. PARTICOLARE

V(a)

Qualcosa è verde PROP. ESISTENZIALE

(x)V(x)

Tutto è verde PROP. UNIVERSALE

Ogni cosa è verde

(x)V(x)

Quantificatori

a. Piero è più alto di Giacomo.

b. x è più alto di Giacomo.

(x)(+ A x g) , (x)(+ A x g)

c. Piero è più alto di y.

(y)(+ A p y) , (y)(+ A p y)

d. x è più alto di y.

(x)(y)(+ A x y) , (y)(+ A x y)

Quantificatori a. x è più alto di Giacomo

1. (∃x)(x è più alto di Giacomo) chiusura esistenziale

2. (∀x)(x è più alto di Giacomo) chiusura universale

3. Piero è più alto di Giacomo sostituzione

b. Piero è più alto di y

1. (∃y)(Piero è più alto di y) chiusura esistenziale

2. (∀y)(Piero è più alto di y) chiusura universale

3. Piero è più alto di Giovanni sostituzione

c. x è più alto di y

1. (∃x)(∃y)(x è più alto di y) chiusura esistenziale

2. (∃x)(∀y)(x è più alto di y) chiusura esistenziale, chiusura universale

3. (∀x)(∃y)(x è più alto di y) chiusura universale, chiusura esistenziale

4. (∀x)(∀y)(x è più alto di y) chiusura universale, chiusura universale

4. Paolo è più alto di Giovanni sostituzione

Quantità e qualità

Proposizioni sillogistiche Quattro tipi di proposizioni categoriche: soggetto, copula,

predicato

1) Universale affermativa

Tutti gli S sono P : Tutti i leoni sono felini (A)

2) Particolare affermativa

Qualche S e P : Qualche leone ha la criniera (I)

3) Universale negativa

Tutti gli S non sono P:Tutti i leoni non sono pesci (E)

4) Particolare negativa

Qualche S non e P : Qualche leone non ha la criniera (O)