Logika i Skupovi

1 Osnovi matematicke logike i teorije skupova 3

1 Osnovi matematicke logike i teorije skupova

1.1 Iskazni (propozicioni) racun

Osnovni elementi iskaznog racuna su iskazi (recenice) i veznici.Iskaz ili recenica je smisaona usmena ili pismena tvrdnja koja je ili tacna

ili netacna, ali ne moze istovremeno biti i tacna i netacna. Za iskaz se kazeda je prost (za recenicu da je atomska) ako sadrzi samo jednu cinjenicu i nijesacinjen od drugih iskaza. Iskazi se obicno oznacavaju sa p, q, r...

Veznici omogucavaju povezivanje iskaza u slozenije iskaze u skladu sapravilima za operacije iskaznog racuna.

Primer 1 ”Kisa pada” je prost iskaz, a ”Kisa pada i vetar duva” je slozeniskaz jer sadrzi vise od jedne cinjenice. Njega cine dva iskaza i veznik ”i”.

Tacnost odnosno netacnost slozenog iskaza se moze odrediti na osnovutacnosti i netacnosti iskaza od kojih je izgra�en, kao i veznika kojima suovi iskazi povezani, odnosno operacija pomocu kojih je slozeni iskaz dobijen.Tacnost iskaza se oznacava sa 1 (>) a netacnost sa 0 (⊥).

Najjednostavnija operacija nad iskazima je operacija negacije. Negacijaje operacija nad jednim iskazom. Negacija iskaza p oznacava se sa ¬pAko jeiskaz p tacan, iskaz ¬p je netacan, i obratno, ako je iskaz p netacan, iskaz ¬pje tacan. Negacija se moze definisati i tablicom istinitosti 1.

p ¬p1 00 1

Tabela 1: Tablica istinitosti za operaciju negacije

Dok negacija zahteva samo jedan iskaz, operacija konjunkcije (i) zahtevadva iskaza, dakle kombinuje iskaze. Konjunkcija dva iskaza p i q se oznacavasa p∧q i tacna je samo ako su oba iskaza koji je sacinjavaju tacna, u protivnomje netacna. Konjunkcija se moze definisati i tablicom istinitosti 2.

p q p ∧ q1 1 10 1 01 0 00 0 0

Tabela 2: Tablica istinitosti za operaciju konjunkcije

1.1 Iskazni (propozicioni) racun 4

Operacija disjunkcije (ili) tako�e kombinuje dva iskaza p i q i oznacavase sa p ∨ q a tacna je ako je bar jedan od iskaza koji je sacinjavaju tacan, uprotivnom je netacna. Ova se disjunkcija naziva i inkluzivnom disjunkcijomi moze se defnisati tablicom istinitosti 3.

p q p ∨ q1 1 10 1 11 0 10 0 0

Tabela 3: Tablica istinitosti za operaciju disjunkcije

Pored inkluzivne disjunkcije postoji i ekskluzivna disjunkcija koja se obelezavasa p∨q (p⊕ q), i koja je tacna ako je samo jedan od iskaza koji je sacinjavajutacan, u protivnom je netacna. Ekskluzivna disjunkcija je definisana tabli-com istinitosti 4.

p q p⊕ q1 1 00 1 11 0 10 0 0

Tabela 4: Tablica istinitosti za operaciju ekskluzivne disjunkcije

Primer 2 Pokazimo kako se nalaze sve istinitosne vrednosti slozenog iskaza”Kisa pada i vetar duva, ili Petar trci”. Ako se sa p, q i r redom oznaceprosti iskazi ”Kisa pada”, ”Vetar duva” i ”Petar trci”, od kojih svaki mozebiti ili tacan ili netacan, onda je istinitosna vrednosti iskaza (p∧ q)∨ r datatablicom istinitosti 5.

Naredna operacija je implikacija ili kondicional koja se oznacava sa ⇒(→). Iskaz p ⇒ q se cita ”ako p, onda q”. Operacija se zadaje tablicomistinitosti 6.

Kao sto se vidi iz tablice p ⇒ q i q ⇒ p su iskazi koji imaju razlicite istini-tosne vrednosti sto znaci da je ova operacija nekomutativna (za razliku odkonjunkcije i disjunkcije). U iskazu p ⇒ q iskaz p se naziva antecedentom, a qkonsekventom. Jedini slucaj kada je implikacija netacna je kada je antecedenttacan, a konsekvent netacan. Ako je antecedent netacan, implikacija je uvektacna (”ex falso quodlibet”).

1.1 Iskazni (propozicioni) racun 5

p q r p ∧ q (p ∧ q) ∨ r1 1 1 1 10 1 1 0 11 0 1 0 10 0 1 0 11 1 0 1 10 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 0

Tabela 5: Tablica istinitosti za primer ”Kisa pada i vetar duva, ili Petar trci”

p q p ⇒ q q ⇒ p1 1 1 10 1 1 01 0 0 10 0 1 1

Tabela 6: Tablica istinitosti za operaciju implikacije

Primer 3 ”Ako Cezar je otkrio Ameriku, onda Kolumbo je bio vojskovo�a”je tacan iskaz jer je antecedent netacan. Me�utim tacan je i iskaz ”Ako Cezarje otkrio Ameriku, onda Beograd je glavni grad Srbije”.

Poslednji veznik je ⇔ (↔), i njime se uvodi operacija ekvivalencije kojase zadaje tablicom istinitosti 7. Iz tablice se vidi da je iskaz p ⇔ q je tacanako oba iskaza p i q imaju istu istinitosnu vrednost. Ekvivalencija se cita”ako i samo ako” sto se moze krace zapisati i sa ”akko”.

p q p ⇔ q1 1 10 1 11 0 00 0 1

Tabela 7: Tablica istinitosti za operaciju ekvivalencije

Na osnovu navedenih tablica istinitosti za veznike, odnosno operacije,uvek se moze formirati tablica istinosti za bilo koji slozeni iskaz.

Primer 4 Istinitost iskaza [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ p ispitana je tablicom 8.

1.1 Iskazni (propozicioni) racun 6

p q r q ∨ r p ⇒ (q ∨ r) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ p1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 01 0 1 1 1 10 0 1 1 1 01 1 0 1 1 10 1 0 1 1 01 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0

Tabela 8: Tablica istinitosti za primer [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ p

Ako je neki slozeni iskaz uvek tacan, odnosno ako su vrednosti u tabliciistinitosti za neki iskaz uvek 1, onda se takav iskaz naziva tautologijom. Bezobzira na cinjenice (istinitosnu vrednost prostih iskaza) tautologija je uvektacna.

U svakodnevnom govoru postoji mnogo nacina da se ”kaze isto”. Slicnoje i u iskaznom racunu. Mogu se formirati razliciti izrazi od prostih iskaza iveznika koji mogu imati ”isto znacenje”, tako sto ce za iste istinitosne vred-nosti prostih iskaza imati identicnu istinitosnu vrednost, odnosno istovre-meno biti tacni ili netacni. Ako su p i q dva slozena iskaza koja imajuidenticne istinitosne vrednosti, onda ce tablica istinitosti za iskaz p ⇔ q uvekimati vrednost 1 (tacno), odnosno predstavljace tautologiju. Za takva dvaiskaza p i q kazemo da su logicki ekvivalentna.

Primer 5 Iskaz ”Objekat X je kvadrat ili objekat X nije kvadrat” je tau-tologija bez obzira na to kakav je zaista objekat X.

Svi naredni iskazi su tautologije:

1. p ∨ (¬p)

2. (p ∧ q) ⇔ [¬(¬p ∨ ¬q)]

3. (p ∨ q) ⇔ [¬(¬p ∧ ¬q)]

4. (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

5. (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)

Tautologije 2 i 3 su poznate pod nazivom De Morganovi zakoni.

Primer 6 Za iskaz 4, pokazimo da je tautologija tablicom 9.

1.1 Iskazni (propozicioni) racun 7

p q p ⇔ q p ⇒ q (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)1 1 1 1 10 1 0 1 11 0 0 0 10 0 1 1 1

Tabela 9: Tablica istinitosti za tautologiju (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

Tako�e, tautologije su i:

1. ¬(¬p) ⇔ p

2. p ∧ q ⇔ q ∧ p

3. p ∨ q ⇔ q ∨ p

4. (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

5. (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

6. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

7. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

8. ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q

9. ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

10. p ∨ p ⇔ p

11. p ∧ p ⇔ p

12. p ∧ q ⇒ p

13. p ∧ q ⇒ q

14. p ⇒ p ∨ q

15. q ⇒ p ∨ q

Ako je istinitosna vrednost iskaza uvek 0, iskaz se naziva kontradikcija.Ocigledno, ako je p tautologija, onda je ¬p kontradikcija.

Ako se u tautologiji p koriste samo veznici ¬, ∨ i ∧, onda se iz nje mozedobiti kontradikcija q ako se svaki od iskaza od koji je sastavljen iskaz pnegira, svaki veznik ∨ u iskazu p se zameni sa ∧, a ∧ sa ∨. Tada je p ⇔¬q tautologija, i kaze se da je ¬q iskaz koji je dobijen iz iskaza p pomocudualnosti. U nacelu princip dualnosti proistice iz De Morganovih zakona.

1.2 Prosireni iskazni racun 8

Primer 7 U De Morganovom zakonu

p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)

desna strana se moze dobiti iz leve pomocu dualnosti.

Redosled izvrsavanja logickih operacija kojima se formira slozeni iskazzasniva se na sledecoj hijerarhiji: najpre se izvrsava operacija ¬, zatim ∧,zatim ∨, ⇒ i ⇔. Za slozene iskaze mogu se koristiti i zagrade da bi seovaj redosled izmenio odnosno da bi se istaklo koji su argumenti odre�enogoperatora.

Primer 8 Iskaz¬p ∧ q ∨ ¬r ⇒ p ⇔ q ∧ s

moze se napisati i kao

((((¬p) ∧ q) ∨ (¬r)) ⇒ p) ⇔ (q ∧ s)

1.2 Prosireni iskazni racun

Uvo�enjem promenljivih u iskaze, i tzv. kvantifikatora dobija se prosireni ilikvantifikovani iskazni racun.

Ukoliko se u tvr�enju pojavljuje promenljiva, ono se naziva otvorenimiskazom (recenicom) koja postaje iskaz kada promenljiva dobije odre�enuvrednost (bude instancionirana). Kvantifikatori uz otvorene recenice pokazujuda li su oni tacni za svako x (univerzalni kvantifikator ∀x) ili za neko x (egzis-tencijalni kvantifikator ∃x).

∀x(P (x)) znaci da je otvorena recenica P (x) tacan iskaz za svaku vrednostpromenljive x.

∃x(P (x)) znaci da je tvr�enje recenice P (x) tacno bar za jednu vrednostpromenljive x.

Primer 9 Ako je P (x) otvorena recenica ”x je kvadrat”, a Q(x) recenica”x je pravougaonik”, onda je

∀x(P (x) ⇒ Q(x))

∃x(P (x) ∧Q(x))

1.3 Skupovi 9

1.3 Skupovi

Skup se zadaje preko svojih elemenata. Skupove oznacavamo velikim, a ele-mente malim slovima abecede.

Skup A koji sadrzi elemente a, b i c se oznacava sa

A = {a, b, c}

Redosled elemenata u skupu je nebitan. Skup se moze zadati nabrajanjemelemenata, ali i navo�enjem osobina koje kvalifikuju elemente.

A = {x|S(x)}

sadrzi sve elemente x koji imaju osobinu opisanu recenicom S(x).

Primer 10 Skup svih kvadrata moze se zadati sa:

A = {x|x je kvadrat}

iliA = {x|x je pravougaonik i x ima jednake stranice}

Skup koji ne sadrzi ni jedan element naziva se praznim skupom i obelezavase sa ∅. Ako element a pripada skupu A, onda se pise a ∈ A, a ako ne pripada,onda se pise a /∈ A.

Izme�u dva skupa A i B postoji relacija inkluzije: A ⊂ B ukoliko je svakielement skupa A istovremeno element skupa B.

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Za skup A se tada kaze da je podskup skupa B.Dva skupa su me�usobno jednaka A = B ako vazi A ⊂ B i B ⊂ A,

odnosno ako su elementi skupa A istovremeno elementi skupa B i obratno.

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A

Za dva skupa A i B moze se definisati operacija unije kojom se dobijanovi skup C = A ∪ B ciji su elementi svi elementi skupa A i svi elementiskupa B:

A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

Unija ima sledece osobine:

1. A ∪B = B ∪ A

1.3 Skupovi 10

2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

3. A ∪ A = A

4. A ∪ ∅ = A

Za dva skupa A i B moze se definisati operacija preseka kojom se dobijanovi skup C = A∩B ciji su elementi istovremeno elementi i skupa A i skupaB:

A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}

Presek ima sledece osobine:

1. A ∩B = B ∩ A

2. (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3. A ∩ A = A

4. A ∩ ∅ = ∅

Unija i presek imaju sledece osobine:

1. (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

2. (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Za dva skupa A i B moze se definisati i razlika skupova A\B, koju cinesvi elementi skupa A koji nisu istovremeno i lementi skupa B:

A\B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}

Ako je A ⊂ S onda je S\A komplement skupa A u odnosu na S i oznacavase sa CSA ili CA.

Primer 11 A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6, 7}

• A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

• A ∩B = {2, 3}

• A\B = {1, 4, 5}

1.3 Skupovi 11

Primer 12 Dokazati: A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C)

x ∈ A\(B\C)

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ (B\C)

⇔ x ∈ A ∧ (x /∈ B ∨ x ∈ C)

⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)

⇔ x ∈ (A\B) ∨ x ∈ (A ∩ C)

⇔ x ∈ (A\B) ∪ (A ∩ C)

Elementi skupova mogu biti i drugi skupovi. Na primer:

A = {{a}, {b, c}}je skup koji cine dva elementa: skup {a} i skup {b, c}.

Partitivni skup skupa A je skup svih njegovih podskupova:

PA = {X|X ⊂ A}

Primer 13 Partitivni skup skupa:

A = {a, b, c}

je skup:

PA = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Ako skup A ima n elemenata, PA ima 2n elemenata.Pod ure�enim parom (a, b) podrazumevamo ”skup” od dva elementa u

kome je a prvi, a b drugi element. Postoje i ure�ene trojke (a, b, c), cetvorke(a, b, c, d), itd. Ure�eni par (a, b) nije isto sto i dvoclani skup {a, b} jer je zarazlicite elemente a i b {a, b} = {b, a}, ali (a, b) 6= (b, a).

Pod Dekartovim proizvodom dva skupa A i B u oznaci A×B podrazumevamoskup ure�enih parova u kojima je a ∈ A i b ∈ B

A×B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}

Primer 14 A = {a, b}, B = {c, d, e}

• A×B = {(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)}

• A× A = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

Dekartov proizvod skupa sa samim sobom A× A oznacava se i sa A2.

1.4 Binarne relacije 12

1.4 Binarne relacije

Svaki podskup R Dekartovog proizvoda A × B je binarna relacija izme�uelemenata skupa A i elemenata skupa B. Ako su a ∈ A i b ∈ B u relaciji R,pise se (a, b) ∈ R ili aRb.

Inverzna relacija relacije R je R−1 ⊂ B × A takva da je

(x, y) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R

Ako je A = B tada je R ⊂ A2 binarna relacija na skupu A.Ako za relaciju R na skupu A vazi:

• (∀a ∈ A)((a, a) ∈ R) relacija je refleksivna,

• (∀a, b, c ∈ A)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R) relacija je tranzi-tivna,

• (∀a, b ∈ A)((a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R) relacija je simetricna,

• (∀a, b ∈ A)((a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b) relacija je antisimetricna

• (∀a ∈ A)((a, a) /∈ R) relacija je antirefleksivna.

Ako je R ⊂ A2 refleksivna, simetricna i tranzitivna relacija, onda je Rrelacija ekvivalencije (primer je paralelnost pravih).

Ako je R ⊂ A2 refleksivna, antisimetricna i tranzitivna relacija, onda jeR relacija poretka (primer je poredak slova u abecedi).

Ako je na skupu A zadata relacija poretka skup A je ure�en skup. Akosu svaka dva elementa skupa u relaciji poretka (me�usobno uporediva) skupA je totalno ure�en skup.

Antirefleksivna relacija poretka je relacija strogog poretka.Ako je E ure�en skup gde je ≤ relacija poretka i ako je A ⊂ E i A 6= ∅

onda je M ∈ E majoranta skupa A ako je (∀a ∈ A)(a ≤ M) (A je ogranicenodozgo, sa gornje strane). Ako je pri tome M ∈ A, tada je M maksimumskupa A (max A).

Ako je E ure�en skup i A ⊂ E i A 6= ∅ onda je m ∈ E minoranta skupaA ako je (∀a ∈ A)(m ≤ a) (A je ogranicen odozdo, sa donje strane). Ako jepri tome m ∈ A, tada je M minimum skupa A (min A).

Skup moze imati samo jedan minimum (maksimum). Ako su m1 i m2

minimumi m1 ≤ m2 i m2 ≤ m1, onda vazi m1 = m2 zbog antisimetricnosti.Supremum skupa A ⊂ E, u oznaci sup A je minimum majoranti, ako

postoji. Infimum skupa A ⊂ E, u oznaci inf A je maksimum minoranti,ako postoji. Skup ima najvise jedan supremum i infimum (jer moze pos-tojati samo jedan maksimum i minimum). Ako skup ima maksimum, onda

1.5 Funkcije 13

je supremum jednak tom maksimumu, a ako ima minimum, onda je njegovinfimum jednak tom minimumu.

Primer 15

1. Da li je relacija R definisana sa aRb ⇔ a2 ≤ b2 gde je ≤ poredakna skupu celih brojeva tako�e relacije poretka (a) na skupu prirodnihbrojeva, (b) na skupu celih brojeva?

(a) jeste

(b) nije - nije antisimetricna aR(−a) ∧ (−a)Ra, a pritom a 6= −a.

2. Dat je skup A = {a, b, c, d}, njegov partitivni skup je PA, a R je inkluz-ija. Dokazati da je R relacija poretka i naci

(a) min PA, max PA

(b) skup majoranti, minoranti, sup, inf, max i min za skup A1 ⊂ PA:

A1 = {{a}, {a, b}, {a, c}}

Inkluzija je poredak:

• X ⊂ X - refleksivnost

• X ⊂ Y ∧ Y ⊂ Z ⇒ X ⊂ Z - tranzitivnost

• X ⊂ Y ∧ Y ⊂ X ⇒ X = Y antisimetricnost

min PA = ∅max PA = AMajorante za A1 su {a, b, c} i {a, b, c, d}.Minorante za A1 su {a} i ∅.max A1 ne postoji.min A1 = {a}sup A1 = {a, b, c}inf A1 = min A1 = {a}

1.5 Funkcije

Ako svakom elementu x nepraznog skupa X odgovara tacno jedan elementnepraznog skupa Y onda postoji jednoznacno preslikavanje ili funkcija f koja

skup X preslikava u skup Y . To zapisujemo kao f : X → Y ili Xf−→ Y . Pri

1.5 Funkcije 14

tome je X definicioni skup, odnosno domen, a f(X) = {f(x)|x ∈ X} ⊂ Y jeskup vrednosti, odnosno antidomen.

Ako su f : X → Y i g : Y → Z dva preslikavanja, onda preslikavanjeg ◦ f : X → Z, takvo da je

(∀x ∈ X)g ◦ f(x) = g(f(x))

predstavlja proizvod ili kompoziciju preslikavanja f i g.Dve funkcije koje preslikavaju skup X u skup Y su jednake ako vazi

(∀x ∈ X)(f(x) = g(x))

Funkcija F preslikava skup X na skup Y i naziva se surjekcija ako jef(X) = Y : svaki element skupa Y je slika bar jednog elementa skupa X.Ako za funkciju f vazi f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 onda je f injekcija ilipreslikavanje ”1-1”. Ako je f preslikavanje ”na” i ”1-1” onda se ono nazivaobostrano jednoznacno ili bijekcija.

Ako je f obostrano jednoznacno preslikavanje skupa X na skup Y , ondapostoji funkcija koja preslikava skup Y na skup X, koja svakom elementuy ∈ Y pridruzuje element x ∈ X, takav da je y = f(x). Ovo je inverznafunkcija finkciji f i oznacava se sa f−1. Tada vazi f−1(f(x)) = x.

Primer 16X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

x 1 2 3f(x) a b a

Ni surjekcija ni injekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b}

x 1 2 3f(x) a b a

Surjekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c, d}

x 1 2 3f(x) a b c

Injekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

1.6 Binarne operacije 15

x 1 2 3f(x) a b c

Bijekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

y a b cf(y) 1 2 3

Funkcija inverzna prethodnoj

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c} Z = {α, β}

x 1 2 3f(x) a b c

y a b cg(y) α β α

x a b c(g ◦ f)(x) α β α

Kompozicija funkcija g ◦ f

1.6 Binarne operacije

Binarna operacija na skupu A je funkcija koja preslikava elemente skupaA× A u skup A.

Za (x, y) ∈ A × A postoji z ∈ A takvo da je z rezultat (kompozicija)operacije � primenjene na ure�eni par (x, y)

z = x� y

Skup A je zatvoren u odnosu na binarnu operaciju ako za svako (x, y) ∈ A× A,z = x� y tako�e pripada skupu A.

Ako je

• x� y = y � x operacija je komutativna

• (x� y)� z = x� (y � z) operacija je asocijativna

• x� e = e� x = x, e je neutralni element

• x� x∗ = x∗ � x = e, x∗ je inverzni element elementa x i obratno

Primer 17 O skupovima bojeva bice detaljnije reci u narednom odeljku.Ovde cemo ih samo iskoristiti kao ilustraciju navedenih osobina binarne op-eracije za dobro poznate operacije sabiranja i mnozenja brojeva.

1.6 Binarne operacije 16

Skup neparnih brojeva nije zatvoren u odnosu na operaciju sabiranja (zbirdva neparna broja nije neparan).

Skup prirodnih brojeva je zatvoren u odnosu na sabiranje i mnozenje, imaneutralan element za mnozenje (1), nema za sabiranje (0 ne pripada skupuprirodnih brojeva), nema inverznih elemenata ni za sabiranje ni za mnozenje.

Skup celih brojeva ima oba neutralna elementa (0 i 1), inverzne za sabi-ranje, ali nema inverzne za mnozenje.