14
1 Osnovi matematiˇ cke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematiˇ cke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) raˇ cun Osnovni elementi iskaznog raˇ cuna su iskazi (reˇ cenice )i veznici. Iskaz ili reˇ cenica je smisaona usmena ili pismena tvrdnja koja je ili taˇ cna ili netaˇ cna, ali ne moˇ ze istovremeno biti i taˇ cna i netaˇ cna. Za iskaz se kaˇ ze da je prost (za reˇ cenicu da je atomska ) ako sadrˇ zi samo jednu ˇ cinjenicu i nije saˇ cinjen od drugih iskaza. Iskazi se obiˇ cno oznaˇ cavaju sa p, q, r... Veznici omogu´ cavaju povezivanje iskaza u sloˇ zenije iskaze u skladu sa pravilima za operacije iskaznog raˇ cuna. Primer 1 ”Kiˇ sa pada” je prost iskaz, a ”Kiˇ sa pada i vetar duva” je sloˇ zen iskaz jer sadrˇ zi viˇ se od jedne ˇ cinjenice. Njega ˇ cine dva iskaza i veznik ”i”. Taˇ cnost odnosno netaˇ cnost sloˇ zenog iskaza se moˇ ze odrediti na osnovu taˇ cnosti i netaˇ cnosti iskaza od kojih je izgra en, kao i veznika kojima su ovi iskazi povezani, odnosno operacija pomo´ cu kojih je sloˇ zeni iskaz dobijen. Taˇ cnost iskaza se oznaˇ cava sa 1 () a netaˇ cnost sa 0 (). Najjednostavnija operacija nad iskazima je operacija negacije. Negacija je operacija nad jednim iskazom. Negacija iskaza p oznaˇ cava se sa ¬p ˙ Ako je iskaz p taˇ can, iskaz ¬p je netaˇ can, i obratno, ako je iskaz p netaˇ can, iskaz ¬p je taˇ can. Negacija se moˇ ze definisati i tablicom istinitosti 1. p ¬p 1 0 0 1 Tabela 1: Tablica istinitosti za operaciju negacije Dok negacija zahteva samo jedan iskaz, operacija konjunkcije (i) zahteva dva iskaza, dakle kombinuje iskaze. Konjunkcija dva iskaza p i q se oznaˇ cava sa pq i taˇ cna je samo ako su oba iskaza koji je saˇ cinjavaju taˇ cna, u protivnom je netaˇ cna. Konjunkcija se moˇ ze definisati i tablicom istinitosti 2. p q p q 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Tabela 2: Tablica istinitosti za operaciju konjunkcije

Logika i Skupovi

  • Upload
    ispirac

  • View
    52

  • Download
    4

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Logika i Skupovi

1 Osnovi matematicke logike i teorije skupova 3

1 Osnovi matematicke logike i teorije skupova

1.1 Iskazni (propozicioni) racun

Osnovni elementi iskaznog racuna su iskazi (recenice) i veznici.Iskaz ili recenica je smisaona usmena ili pismena tvrdnja koja je ili tacna

ili netacna, ali ne moze istovremeno biti i tacna i netacna. Za iskaz se kazeda je prost (za recenicu da je atomska) ako sadrzi samo jednu cinjenicu i nijesacinjen od drugih iskaza. Iskazi se obicno oznacavaju sa p, q, r...

Veznici omogucavaju povezivanje iskaza u slozenije iskaze u skladu sapravilima za operacije iskaznog racuna.

Primer 1 ”Kisa pada” je prost iskaz, a ”Kisa pada i vetar duva” je slozeniskaz jer sadrzi vise od jedne cinjenice. Njega cine dva iskaza i veznik ”i”.

Tacnost odnosno netacnost slozenog iskaza se moze odrediti na osnovutacnosti i netacnosti iskaza od kojih je izgra�en, kao i veznika kojima suovi iskazi povezani, odnosno operacija pomocu kojih je slozeni iskaz dobijen.Tacnost iskaza se oznacava sa 1 (>) a netacnost sa 0 (⊥).

Najjednostavnija operacija nad iskazima je operacija negacije. Negacijaje operacija nad jednim iskazom. Negacija iskaza p oznacava se sa ¬pAko jeiskaz p tacan, iskaz ¬p je netacan, i obratno, ako je iskaz p netacan, iskaz ¬pje tacan. Negacija se moze definisati i tablicom istinitosti 1.

p ¬p1 00 1

Tabela 1: Tablica istinitosti za operaciju negacije

Dok negacija zahteva samo jedan iskaz, operacija konjunkcije (i) zahtevadva iskaza, dakle kombinuje iskaze. Konjunkcija dva iskaza p i q se oznacavasa p∧q i tacna je samo ako su oba iskaza koji je sacinjavaju tacna, u protivnomje netacna. Konjunkcija se moze definisati i tablicom istinitosti 2.

p q p ∧ q1 1 10 1 01 0 00 0 0

Tabela 2: Tablica istinitosti za operaciju konjunkcije

Page 2: Logika i Skupovi

1.1 Iskazni (propozicioni) racun 4

Operacija disjunkcije (ili) tako�e kombinuje dva iskaza p i q i oznacavase sa p ∨ q a tacna je ako je bar jedan od iskaza koji je sacinjavaju tacan, uprotivnom je netacna. Ova se disjunkcija naziva i inkluzivnom disjunkcijomi moze se defnisati tablicom istinitosti 3.

p q p ∨ q1 1 10 1 11 0 10 0 0

Tabela 3: Tablica istinitosti za operaciju disjunkcije

Pored inkluzivne disjunkcije postoji i ekskluzivna disjunkcija koja se obelezavasa p∨q (p⊕ q), i koja je tacna ako je samo jedan od iskaza koji je sacinjavajutacan, u protivnom je netacna. Ekskluzivna disjunkcija je definisana tabli-com istinitosti 4.

p q p⊕ q1 1 00 1 11 0 10 0 0

Tabela 4: Tablica istinitosti za operaciju ekskluzivne disjunkcije

Primer 2 Pokazimo kako se nalaze sve istinitosne vrednosti slozenog iskaza”Kisa pada i vetar duva, ili Petar trci”. Ako se sa p, q i r redom oznaceprosti iskazi ”Kisa pada”, ”Vetar duva” i ”Petar trci”, od kojih svaki mozebiti ili tacan ili netacan, onda je istinitosna vrednosti iskaza (p∧ q)∨ r datatablicom istinitosti 5.

Naredna operacija je implikacija ili kondicional koja se oznacava sa ⇒(→). Iskaz p ⇒ q se cita ”ako p, onda q”. Operacija se zadaje tablicomistinitosti 6.

Kao sto se vidi iz tablice p ⇒ q i q ⇒ p su iskazi koji imaju razlicite istini-tosne vrednosti sto znaci da je ova operacija nekomutativna (za razliku odkonjunkcije i disjunkcije). U iskazu p ⇒ q iskaz p se naziva antecedentom, a qkonsekventom. Jedini slucaj kada je implikacija netacna je kada je antecedenttacan, a konsekvent netacan. Ako je antecedent netacan, implikacija je uvektacna (”ex falso quodlibet”).

Page 3: Logika i Skupovi

1.1 Iskazni (propozicioni) racun 5

p q r p ∧ q (p ∧ q) ∨ r1 1 1 1 10 1 1 0 11 0 1 0 10 0 1 0 11 1 0 1 10 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 0

Tabela 5: Tablica istinitosti za primer ”Kisa pada i vetar duva, ili Petar trci”

p q p ⇒ q q ⇒ p1 1 1 10 1 1 01 0 0 10 0 1 1

Tabela 6: Tablica istinitosti za operaciju implikacije

Primer 3 ”Ako Cezar je otkrio Ameriku, onda Kolumbo je bio vojskovo�a”je tacan iskaz jer je antecedent netacan. Me�utim tacan je i iskaz ”Ako Cezarje otkrio Ameriku, onda Beograd je glavni grad Srbije”.

Poslednji veznik je ⇔ (↔), i njime se uvodi operacija ekvivalencije kojase zadaje tablicom istinitosti 7. Iz tablice se vidi da je iskaz p ⇔ q je tacanako oba iskaza p i q imaju istu istinitosnu vrednost. Ekvivalencija se cita”ako i samo ako” sto se moze krace zapisati i sa ”akko”.

p q p ⇔ q1 1 10 1 11 0 00 0 1

Tabela 7: Tablica istinitosti za operaciju ekvivalencije

Na osnovu navedenih tablica istinitosti za veznike, odnosno operacije,uvek se moze formirati tablica istinosti za bilo koji slozeni iskaz.

Primer 4 Istinitost iskaza [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ p ispitana je tablicom 8.

Page 4: Logika i Skupovi

1.1 Iskazni (propozicioni) racun 6

p q r q ∨ r p ⇒ (q ∨ r) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ p1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 01 0 1 1 1 10 0 1 1 1 01 1 0 1 1 10 1 0 1 1 01 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0

Tabela 8: Tablica istinitosti za primer [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ p

Ako je neki slozeni iskaz uvek tacan, odnosno ako su vrednosti u tabliciistinitosti za neki iskaz uvek 1, onda se takav iskaz naziva tautologijom. Bezobzira na cinjenice (istinitosnu vrednost prostih iskaza) tautologija je uvektacna.

U svakodnevnom govoru postoji mnogo nacina da se ”kaze isto”. Slicnoje i u iskaznom racunu. Mogu se formirati razliciti izrazi od prostih iskaza iveznika koji mogu imati ”isto znacenje”, tako sto ce za iste istinitosne vred-nosti prostih iskaza imati identicnu istinitosnu vrednost, odnosno istovre-meno biti tacni ili netacni. Ako su p i q dva slozena iskaza koja imajuidenticne istinitosne vrednosti, onda ce tablica istinitosti za iskaz p ⇔ q uvekimati vrednost 1 (tacno), odnosno predstavljace tautologiju. Za takva dvaiskaza p i q kazemo da su logicki ekvivalentna.

Primer 5 Iskaz ”Objekat X je kvadrat ili objekat X nije kvadrat” je tau-tologija bez obzira na to kakav je zaista objekat X.

Svi naredni iskazi su tautologije:

1. p ∨ (¬p)

2. (p ∧ q) ⇔ [¬(¬p ∨ ¬q)]

3. (p ∨ q) ⇔ [¬(¬p ∧ ¬q)]

4. (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

5. (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q)

Tautologije 2 i 3 su poznate pod nazivom De Morganovi zakoni.

Primer 6 Za iskaz 4, pokazimo da je tautologija tablicom 9.

Page 5: Logika i Skupovi

1.1 Iskazni (propozicioni) racun 7

p q p ⇔ q p ⇒ q (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)1 1 1 1 10 1 0 1 11 0 0 0 10 0 1 1 1

Tabela 9: Tablica istinitosti za tautologiju (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)

Tako�e, tautologije su i:

1. ¬(¬p) ⇔ p

2. p ∧ q ⇔ q ∧ p

3. p ∨ q ⇔ q ∨ p

4. (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

5. (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)

6. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

7. p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

8. ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q

9. ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

10. p ∨ p ⇔ p

11. p ∧ p ⇔ p

12. p ∧ q ⇒ p

13. p ∧ q ⇒ q

14. p ⇒ p ∨ q

15. q ⇒ p ∨ q

Ako je istinitosna vrednost iskaza uvek 0, iskaz se naziva kontradikcija.Ocigledno, ako je p tautologija, onda je ¬p kontradikcija.

Ako se u tautologiji p koriste samo veznici ¬, ∨ i ∧, onda se iz nje mozedobiti kontradikcija q ako se svaki od iskaza od koji je sastavljen iskaz pnegira, svaki veznik ∨ u iskazu p se zameni sa ∧, a ∧ sa ∨. Tada je p ⇔¬q tautologija, i kaze se da je ¬q iskaz koji je dobijen iz iskaza p pomocudualnosti. U nacelu princip dualnosti proistice iz De Morganovih zakona.

Page 6: Logika i Skupovi

1.2 Prosireni iskazni racun 8

Primer 7 U De Morganovom zakonu

p ∨ q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q)

desna strana se moze dobiti iz leve pomocu dualnosti.

Redosled izvrsavanja logickih operacija kojima se formira slozeni iskazzasniva se na sledecoj hijerarhiji: najpre se izvrsava operacija ¬, zatim ∧,zatim ∨, ⇒ i ⇔. Za slozene iskaze mogu se koristiti i zagrade da bi seovaj redosled izmenio odnosno da bi se istaklo koji su argumenti odre�enogoperatora.

Primer 8 Iskaz¬p ∧ q ∨ ¬r ⇒ p ⇔ q ∧ s

moze se napisati i kao

((((¬p) ∧ q) ∨ (¬r)) ⇒ p) ⇔ (q ∧ s)

1.2 Prosireni iskazni racun

Uvo�enjem promenljivih u iskaze, i tzv. kvantifikatora dobija se prosireni ilikvantifikovani iskazni racun.

Ukoliko se u tvr�enju pojavljuje promenljiva, ono se naziva otvorenimiskazom (recenicom) koja postaje iskaz kada promenljiva dobije odre�enuvrednost (bude instancionirana). Kvantifikatori uz otvorene recenice pokazujuda li su oni tacni za svako x (univerzalni kvantifikator ∀x) ili za neko x (egzis-tencijalni kvantifikator ∃x).

∀x(P (x)) znaci da je otvorena recenica P (x) tacan iskaz za svaku vrednostpromenljive x.

∃x(P (x)) znaci da je tvr�enje recenice P (x) tacno bar za jednu vrednostpromenljive x.

Primer 9 Ako je P (x) otvorena recenica ”x je kvadrat”, a Q(x) recenica”x je pravougaonik”, onda je

∀x(P (x) ⇒ Q(x))

∃x(P (x) ∧Q(x))

Page 7: Logika i Skupovi

1.3 Skupovi 9

1.3 Skupovi

Skup se zadaje preko svojih elemenata. Skupove oznacavamo velikim, a ele-mente malim slovima abecede.

Skup A koji sadrzi elemente a, b i c se oznacava sa

A = {a, b, c}

Redosled elemenata u skupu je nebitan. Skup se moze zadati nabrajanjemelemenata, ali i navo�enjem osobina koje kvalifikuju elemente.

A = {x|S(x)}

sadrzi sve elemente x koji imaju osobinu opisanu recenicom S(x).

Primer 10 Skup svih kvadrata moze se zadati sa:

A = {x|x je kvadrat}

iliA = {x|x je pravougaonik i x ima jednake stranice}

Skup koji ne sadrzi ni jedan element naziva se praznim skupom i obelezavase sa ∅. Ako element a pripada skupu A, onda se pise a ∈ A, a ako ne pripada,onda se pise a /∈ A.

Izme�u dva skupa A i B postoji relacija inkluzije: A ⊂ B ukoliko je svakielement skupa A istovremeno element skupa B.

A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Za skup A se tada kaze da je podskup skupa B.Dva skupa su me�usobno jednaka A = B ako vazi A ⊂ B i B ⊂ A,

odnosno ako su elementi skupa A istovremeno elementi skupa B i obratno.

A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A

Za dva skupa A i B moze se definisati operacija unije kojom se dobijanovi skup C = A ∪ B ciji su elementi svi elementi skupa A i svi elementiskupa B:

A ∪B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}

Unija ima sledece osobine:

1. A ∪B = B ∪ A

Page 8: Logika i Skupovi

1.3 Skupovi 10

2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

3. A ∪ A = A

4. A ∪ ∅ = A

Za dva skupa A i B moze se definisati operacija preseka kojom se dobijanovi skup C = A∩B ciji su elementi istovremeno elementi i skupa A i skupaB:

A ∩B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}

Presek ima sledece osobine:

1. A ∩B = B ∩ A

2. (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3. A ∩ A = A

4. A ∩ ∅ = ∅

Unija i presek imaju sledece osobine:

1. (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

2. (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

Za dva skupa A i B moze se definisati i razlika skupova A\B, koju cinesvi elementi skupa A koji nisu istovremeno i lementi skupa B:

A\B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}

Ako je A ⊂ S onda je S\A komplement skupa A u odnosu na S i oznacavase sa CSA ili CA.

Primer 11 A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6, 7}

• A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

• A ∩B = {2, 3}

• A\B = {1, 4, 5}

Page 9: Logika i Skupovi

1.3 Skupovi 11

Primer 12 Dokazati: A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C)

x ∈ A\(B\C)

⇔ x ∈ A ∧ x /∈ (B\C)

⇔ x ∈ A ∧ (x /∈ B ∨ x ∈ C)

⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)

⇔ x ∈ (A\B) ∨ x ∈ (A ∩ C)

⇔ x ∈ (A\B) ∪ (A ∩ C)

Elementi skupova mogu biti i drugi skupovi. Na primer:

A = {{a}, {b, c}}je skup koji cine dva elementa: skup {a} i skup {b, c}.

Partitivni skup skupa A je skup svih njegovih podskupova:

PA = {X|X ⊂ A}

Primer 13 Partitivni skup skupa:

A = {a, b, c}

je skup:

PA = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Ako skup A ima n elemenata, PA ima 2n elemenata.Pod ure�enim parom (a, b) podrazumevamo ”skup” od dva elementa u

kome je a prvi, a b drugi element. Postoje i ure�ene trojke (a, b, c), cetvorke(a, b, c, d), itd. Ure�eni par (a, b) nije isto sto i dvoclani skup {a, b} jer je zarazlicite elemente a i b {a, b} = {b, a}, ali (a, b) 6= (b, a).

Pod Dekartovim proizvodom dva skupa A i B u oznaci A×B podrazumevamoskup ure�enih parova u kojima je a ∈ A i b ∈ B

A×B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}

Primer 14 A = {a, b}, B = {c, d, e}

• A×B = {(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)}

• A× A = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

Dekartov proizvod skupa sa samim sobom A× A oznacava se i sa A2.

Page 10: Logika i Skupovi

1.4 Binarne relacije 12

1.4 Binarne relacije

Svaki podskup R Dekartovog proizvoda A × B je binarna relacija izme�uelemenata skupa A i elemenata skupa B. Ako su a ∈ A i b ∈ B u relaciji R,pise se (a, b) ∈ R ili aRb.

Inverzna relacija relacije R je R−1 ⊂ B × A takva da je

(x, y) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R

Ako je A = B tada je R ⊂ A2 binarna relacija na skupu A.Ako za relaciju R na skupu A vazi:

• (∀a ∈ A)((a, a) ∈ R) relacija je refleksivna,

• (∀a, b, c ∈ A)((a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R) relacija je tranzi-tivna,

• (∀a, b ∈ A)((a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R) relacija je simetricna,

• (∀a, b ∈ A)((a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b) relacija je antisimetricna

• (∀a ∈ A)((a, a) /∈ R) relacija je antirefleksivna.

Ako je R ⊂ A2 refleksivna, simetricna i tranzitivna relacija, onda je Rrelacija ekvivalencije (primer je paralelnost pravih).

Ako je R ⊂ A2 refleksivna, antisimetricna i tranzitivna relacija, onda jeR relacija poretka (primer je poredak slova u abecedi).

Ako je na skupu A zadata relacija poretka skup A je ure�en skup. Akosu svaka dva elementa skupa u relaciji poretka (me�usobno uporediva) skupA je totalno ure�en skup.

Antirefleksivna relacija poretka je relacija strogog poretka.Ako je E ure�en skup gde je ≤ relacija poretka i ako je A ⊂ E i A 6= ∅

onda je M ∈ E majoranta skupa A ako je (∀a ∈ A)(a ≤ M) (A je ogranicenodozgo, sa gornje strane). Ako je pri tome M ∈ A, tada je M maksimumskupa A (max A).

Ako je E ure�en skup i A ⊂ E i A 6= ∅ onda je m ∈ E minoranta skupaA ako je (∀a ∈ A)(m ≤ a) (A je ogranicen odozdo, sa donje strane). Ako jepri tome m ∈ A, tada je M minimum skupa A (min A).

Skup moze imati samo jedan minimum (maksimum). Ako su m1 i m2

minimumi m1 ≤ m2 i m2 ≤ m1, onda vazi m1 = m2 zbog antisimetricnosti.Supremum skupa A ⊂ E, u oznaci sup A je minimum majoranti, ako

postoji. Infimum skupa A ⊂ E, u oznaci inf A je maksimum minoranti,ako postoji. Skup ima najvise jedan supremum i infimum (jer moze pos-tojati samo jedan maksimum i minimum). Ako skup ima maksimum, onda

Page 11: Logika i Skupovi

1.5 Funkcije 13

je supremum jednak tom maksimumu, a ako ima minimum, onda je njegovinfimum jednak tom minimumu.

Primer 15

1. Da li je relacija R definisana sa aRb ⇔ a2 ≤ b2 gde je ≤ poredakna skupu celih brojeva tako�e relacije poretka (a) na skupu prirodnihbrojeva, (b) na skupu celih brojeva?

(a) jeste

(b) nije - nije antisimetricna aR(−a) ∧ (−a)Ra, a pritom a 6= −a.

2. Dat je skup A = {a, b, c, d}, njegov partitivni skup je PA, a R je inkluz-ija. Dokazati da je R relacija poretka i naci

(a) min PA, max PA

(b) skup majoranti, minoranti, sup, inf, max i min za skup A1 ⊂ PA:

A1 = {{a}, {a, b}, {a, c}}

Inkluzija je poredak:

• X ⊂ X - refleksivnost

• X ⊂ Y ∧ Y ⊂ Z ⇒ X ⊂ Z - tranzitivnost

• X ⊂ Y ∧ Y ⊂ X ⇒ X = Y antisimetricnost

min PA = ∅max PA = AMajorante za A1 su {a, b, c} i {a, b, c, d}.Minorante za A1 su {a} i ∅.max A1 ne postoji.min A1 = {a}sup A1 = {a, b, c}inf A1 = min A1 = {a}

1.5 Funkcije

Ako svakom elementu x nepraznog skupa X odgovara tacno jedan elementnepraznog skupa Y onda postoji jednoznacno preslikavanje ili funkcija f koja

skup X preslikava u skup Y . To zapisujemo kao f : X → Y ili Xf−→ Y . Pri

Page 12: Logika i Skupovi

1.5 Funkcije 14

tome je X definicioni skup, odnosno domen, a f(X) = {f(x)|x ∈ X} ⊂ Y jeskup vrednosti, odnosno antidomen.

Ako su f : X → Y i g : Y → Z dva preslikavanja, onda preslikavanjeg ◦ f : X → Z, takvo da je

(∀x ∈ X)g ◦ f(x) = g(f(x))

predstavlja proizvod ili kompoziciju preslikavanja f i g.Dve funkcije koje preslikavaju skup X u skup Y su jednake ako vazi

(∀x ∈ X)(f(x) = g(x))

Funkcija F preslikava skup X na skup Y i naziva se surjekcija ako jef(X) = Y : svaki element skupa Y je slika bar jednog elementa skupa X.Ako za funkciju f vazi f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 onda je f injekcija ilipreslikavanje ”1-1”. Ako je f preslikavanje ”na” i ”1-1” onda se ono nazivaobostrano jednoznacno ili bijekcija.

Ako je f obostrano jednoznacno preslikavanje skupa X na skup Y , ondapostoji funkcija koja preslikava skup Y na skup X, koja svakom elementuy ∈ Y pridruzuje element x ∈ X, takav da je y = f(x). Ovo je inverznafunkcija finkciji f i oznacava se sa f−1. Tada vazi f−1(f(x)) = x.

Primer 16X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

x 1 2 3f(x) a b a

Ni surjekcija ni injekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b}

x 1 2 3f(x) a b a

Surjekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c, d}

x 1 2 3f(x) a b c

Injekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

Page 13: Logika i Skupovi

1.6 Binarne operacije 15

x 1 2 3f(x) a b c

Bijekcija

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c}

y a b cf(y) 1 2 3

Funkcija inverzna prethodnoj

X = {1, 2, 3} Y = {a, b, c} Z = {α, β}

x 1 2 3f(x) a b c

y a b cg(y) α β α

x a b c(g ◦ f)(x) α β α

Kompozicija funkcija g ◦ f

1.6 Binarne operacije

Binarna operacija na skupu A je funkcija koja preslikava elemente skupaA× A u skup A.

Za (x, y) ∈ A × A postoji z ∈ A takvo da je z rezultat (kompozicija)operacije � primenjene na ure�eni par (x, y)

z = x� y

Skup A je zatvoren u odnosu na binarnu operaciju ako za svako (x, y) ∈ A× A,z = x� y tako�e pripada skupu A.

Ako je

• x� y = y � x operacija je komutativna

• (x� y)� z = x� (y � z) operacija je asocijativna

• x� e = e� x = x, e je neutralni element

• x� x∗ = x∗ � x = e, x∗ je inverzni element elementa x i obratno

Primer 17 O skupovima bojeva bice detaljnije reci u narednom odeljku.Ovde cemo ih samo iskoristiti kao ilustraciju navedenih osobina binarne op-eracije za dobro poznate operacije sabiranja i mnozenja brojeva.

Page 14: Logika i Skupovi

1.6 Binarne operacije 16

Skup neparnih brojeva nije zatvoren u odnosu na operaciju sabiranja (zbirdva neparna broja nije neparan).

Skup prirodnih brojeva je zatvoren u odnosu na sabiranje i mnozenje, imaneutralan element za mnozenje (1), nema za sabiranje (0 ne pripada skupuprirodnih brojeva), nema inverznih elemenata ni za sabiranje ni za mnozenje.

Skup celih brojeva ima oba neutralna elementa (0 i 1), inverzne za sabi-ranje, ali nema inverzne za mnozenje.