Matemática - Conjuntos, frações, razão e proporção,potenciação e radiciação

Matemática (Por Fernando Freitas)

Conjuntos

Tipos de conjunto:

Conjunto finito;

Conjunto infinito;

Conjunto Vazio;

Conjunto universo.

Simbologia:

: pertence;

: existe;

: não pertence;

: não existe;

: está contido;

: para todo (ou qualquer que seja);

: não está contido;

: conjunto vazio;

: contém;

: união;

: intersecção;

N: conjunto dos números naturais;

: não contém;

Z : conjunto dos números inteiros;

/ : tal que;

Q: conjunto dos números racionais;

: implica que;

Q'= I: conjunto dos números irracionais;

: se, e somente se;

R: conjunto dos números reais.

Subconjuntos: se todo elemento de A pertence também à

B, A é subconjunto de B (A B);

Todo conjunto é subconjunto de si próprio (A A);

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (Ø A);

Se o conjunto X possui M elementos, então ele possui 2m

subconjuntos;

O conjunto formado por todos os subconjuntos de A é

denominado conjunto das partes de A [P(A)];

Propriedades:

A - Ø = A;

Ø - A = Ø;

A - A = Ø;

A – B B - A;

Produto cartesiano: todas as combinações possíveis. Ex: A

= {0, 1, 2}, B = {c, d}, AxB = {(0d), (0c), (1d), (1c), (2d), (2c)}.

Frações

Todo número que possa ser escrito na forma A/B, onde B

≠ 0.

Dízima periódica:

Fração sem representação decimal exata;

Geratriz de dízima periódica:

Dízima simples: fração onde o numerador é o período e o

denominador é o número correspondente ao período de

algarismos 9 (nove). Ex: 0,777... = 7/9, 0,232323... = 23/99;

Dízima composta (na qual há um ou mais algarismos de não-

período antes do período): fração n/d, onde n = parte não-

periódica seguida do período menos a parte não-periódica, e d

= número de algarismos 9 (nove) correspondente ao período

seguidos do número de algarismos 0 (zero) correspondente à

parte não-periódica. Ex: 0,1252525... = 125-1/990 = 124/990,

0,04777... = 047-04/900 = 43/900.

Obs: Equação de geratriz de dízima periódica:

Dízima simples: 2,151515151515... 1 – x = 2,1515..., 2

– x = 2,1515... · 100 = 100 x = 215,1515..., 3 – 100x =

215,1515... – x = 2,1515... = 99x = 213; x = 213/99.

Dízima composta: 1, 388888... 1 – x = 1,3888... 2 – x =

1,3888... · 10 = 13,888 3 -- 10x = 13,888... · 10 = 100x

= 138,888... 4 – 100x = 138,888... – 10x = 13,888... =

90x = 125; x = 125/90.

Razão e proporção

Razão: divisão ou relação entre duas grandezas. Ex: Razão entre

300 e 150 = 30/15, razão entre 40 e 30 = 4/3.

Proporção: formada quando razão de A e B for igual à razão de C e

D: a/b = c/d.

Propriedades das proporções: dado que: a/b = c/d, ad =

bc;

a/b = c/d = a+c/b+d = a-c/b-d

Dado que a/b = c/d, a+b/ b = c+d/d.

Potenciação e Radiciação

Potenciação

An

, onde A é base e n é expoente. A será

elevado à n, ou seja, A se multiplicará por

si próprio n vezes.

Propriedades da potenciação:

Am ·

An = A

m+n

Am

/An = A

m-n

(A·B)m

= Am

· Bm

(A/B)-m

= (B/A)m

A-m

= 1/Am

A0 = 1

(Am

)n = A

mn

Am/n

= nA

m (toda raiz é uma potência

é vice-versa).

Radiciação

Operação inversa à potenciação. Seja um

número A (radicando) e um número N

(índice de raiz). A raiz enésima de A será

B, sendo que Bn

= A.

Propriedades da radiciação

nab =

na ·

n b

na/

nb =

na/b (b0)

(na)

m =

na

m

m

na =

mna

na

m =

pna

pm

n

ma = a

m/n

Propriedade de simplificação de

radicais: 372 =

32

3 · 3

2

(decomposição de 72) = 239.

Processo inverso: 435 =

3320, pois

sendo mna, eleva-se m à n e

multiplica-se o resultado por A.