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Sonia L’Innocente

Matematica e Statistica

Modulo di Matematica

Sonia L’Innocente

Corso di Laurea

Biologia della Nutrizione

Argomento 4.

Derivate

a.a. 2013-2014

Sonia L’Innocente (Camerino) 1 / 26

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Derivate

Outline

1 DerivateSignificato geometrico della derivata di una funzioneTeoremi legati alla derivataDerivate di ordine superioreUso delle derivate per il calcolo dei limiti

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Derivate

Iniziamo con l’osservare che se t e una variabile che rappresenta iltempo e se p(t) e una funzione che rappresenta il peso di undeterminato corpo al tempo t , allora nell’intervallo di tempo [t , t + h],con h > 0, il peso del corpo varia da p(t) a p(t + h) ed il rapporto

p(t + h)− p(t)h

indica di quanto e variato in media il peso nell’unita di tempo, talerapporto e detto tasso medio di accrescimento o tasso medio divariazione o velocita media di variazione.

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Derivate

Se, invece della variazione media, si vuole la variazione istantaneaallora si deve considerare

limh→0

p(t + h)− p(t)h

il quale e detto tasso di accrescimento.

Se invece t e una variabile che rappresenta il tempo e s(t) e unafunzione che rappresenta lo spazio percorso da un corpo al tempo t ,allora la quantita

s(t + h)− s(t)h

rappresenta la velocita media tenuta dal corpo nell’intervallo ditempo [t , t + h], mentre la quantita

limh→0

s(t + h)− s(t)h

rappresenta la velocita istantanea tenuta dal corpo al tempo t .Sonia L’Innocente (Camerino) 4 / 26

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Derivate

DerivataDefinizione. Data una funzione f : (a,b)→ R e dato x ∈ (a,b), sidefinisce rapporto incrementale in x la seguente quantita

f (x + h)− f (x)h

, h ∈ R, h 6= 0

e si dice che f e derivabile nel punto x se esiste ed e finito ilseguente limite

limh→0

f (x + h)− f (x)h

,

il valore di tale limite e detto derivata di f in x e si indica in uno deiseguenti modi:

f ′(x),df (x)

dx, Df (x).

Inoltre si dice che f e derivabile in (a,b) se f e derivabile in ognipunto x ∈ (a,b)

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Derivate

Vediamo come si calcolano le derivate di alcune semplici funzioniutilizzando solo la definizione.

Se f (x) = c e una funzione costante con c ∈ R allora f ′(x) = 0,cioe Dc = dc

dx = 0. Infatti

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

= limh→0

c − ch

= limh→0

0 = 0

Se f (x) = x allora f ′(x) = 1, cioe Dx = dxdx = 1. Infatti

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

= limh→0

x + h − xh

= limh→0

hh= lim

h→01 = 1

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Derivate

DefinizioneData una funzione f : (a,b)→ R e dato x ∈ (a,b), se il seguente limite

limh→0

f (x + h)− f (x)h

,

non esiste o e infinito (±∞) allora si dice che f non e derivabile in x .

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Derivate

EsempiVediamo alcuni esempi di funzioni non derivabili in un punto.

1 La funzione f (x) = |x | non e derivabile in 0 infatti

limh→0

f (0 + h)− f (0)h

= limh→0

|h|h

e questo limite non esiste.2 La funzione f (x) = 3

√x − 1 non e derivabile in 1 infatti

limh→0

f (1 + h)− f (1)h

= limh→0

3√

1 + h − 1h

= limh→0

3√

hh

= limh→0

h−23

= limh→0

13√

h2= +∞.

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Derivate

DefinizioneIn alcuni casi, invece del limite completo per h→ 0, soltanto il limitedestro h→ 0+, oppure il limite sinistro h→ 0−. Nel primo caso si parladi derivata destra e nel secondo caso, di derivata sinistra. Se f (x) euna funzione in [a,b], si dice che f derivabile nell’intervallo chiuso[a,b] se e derivabile in ogni punto x ∈ (a,b), ed inoltre se, f ammettederivata destra nel punto x = a, e ammette derivata sinistra nel puntox = b.

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Derivate

Diamo ora una tabella dove ci sono le derivate delle funzionielementari

f (x) f ′(x)c 0xb b xb−1

ex ex

log x 1x

ax ax log aloga x 1

x loga e

f (x) f ′(x)sin x cos xcos x − sin xtan x 1

cos2 xarcsin x 1√

1−x2

arccos x − 1√1−x2

arctan x 11+x2

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Derivate

Operazioni e derivazioneSe f (x) e g(x) sono due funzioni derivabili allora anche la loro somma,differenza, prodotto e quoziente e derivabile nel loro dominio, inoltrevalgono le seguenti formule

D(cf ) = cDf , quando c e una costanteD(f ± g) = Df ± DgD(f · g) = Df · g + f · Dg

D( fg ) =

Df ·g−f ·Dgg2

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Derivate

OsservazioneVediamo altre formule di derivazione.

Derivazione della funzione composta. Se f e g sono duefunzioni tali che: g e derivabile in x e f e derivabile in g(x) alloraf ◦ g e derivabile in x e

D(f ◦ g)(x) = Df (g(x)) · Dg(x)

Derivazione della funzione inversa. Se f e continua, derivabileed invertibile in (a,b) e se Df (y) 6= 0, ∀y ∈ (a,b) allora f−1 ederivabile in x = f (y), y ∈ (a,b) e si ha

D(f−1)(x) =1

Df (y)dove y = f−1(x).

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Derivate

OsservazioneVediamo altre formule di derivazione.

Derivazione della funzione (f (x))g(x).

D((f (x))g(x)

)= (f (x))g(x)

[g′(x) log(f (x)) +

g(x)f ′(x)f (x)

].

Tale formula puo essere evitata utilizzando le regole sopraesposte e la seguente identita:

(f (x))g(x) = elog(f (x))g(x)= eg(x) log(f (x))

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Derivate Significato geometrico della derivata di una funzione

Significato geometrico della derivata di una funzioneSi noti che se f e una funzione derivabile in x0 allora quando h tende a0 (h→ 0) la retta passante per i punti P = (x0, f (x0)) ePh = (x0 + h, f (x0 + h)) tende alla retta tangente al grafico di f nelpunto P. Dunque, quando esiste f ′(x0) tale valore coincide con ilcoefficiente angolare della retta tangente al grafico di f nel punto P,vedi Figura successiva (a), e l’equazione di tale retta e

y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0).

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Derivate Significato geometrico della derivata di una funzione

x0 x0+h0 x0+h1 x0+h2 x0

Figure: Retta tangente nel punto (x0, f (x0)); (a) la retta tangente hacoefficiente angolare f ′(x0); (b) la retta tangente e verticale.

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Derivate Significato geometrico della derivata di una funzione

Esercizi1 Determinare la retta tangente al grafico di f (x) = ex nel punto di

ascissa x0 = 0, [Soluzione r : y = x + 1].2 Determinare la retta tangente al grafico di f (x) = sin x nel punto di

ascissa x0 = π2 , [Soluzione r : y = 1].

3 Determinare la retta tangente al grafico di f (x) =√

x + 1 nelpunto di ascissa x0 = −1, [Soluzione r : x = −1].

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Derivate Teoremi legati alla derivata

Derivabilita e continuitaSe f e derivabile in x allora f e continua in x .

Teorema di RolleSe f : [a,b] −→ R e continua in [a,b] e derivabile in (a,b) e sef (a) = f (b) allora ∃x0 ∈ (a,b) tale che f ′(x0) = 0, cioe esiste un puntodel grafico di ascissa x0 in cui la retta tangente e orizzontale, si veda laFigura successiva (a).

Teorema di LagrangeSe f : [a,b] −→ R e continua in [a,b] e derivabile in (a,b) allora∃x0 ∈ (a,b) tale che f ′(x0) =

f (b)−f (a)b−a , cioe esiste un punto del grafico

di ascissa x0 in cui la retta tangente e parallela al segmento checongiunge (a, f (a)) con (b, f (b)), si veda la Figura successiva (b).

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Derivate Teoremi legati alla derivata

a x0 b

f(a)=f(b)

a x0 b

Figure: (a) Rappresentazione grafica del teorema di Rolle; (b)Rappresentazione grafica del teorema di Lagrange.

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Derivate Teoremi legati alla derivata

OsservazioneSe f : [a,b] −→ R e tale che f ′(x) = 0 ∀x ∈ [a,b] allora f (x) =costante.

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Derivate Derivate di ordine superiore

Derivate di ordine superioreLe derivate di ordine superiore si ottengono derivando ulteriormente lefunzioni ottenute.

Derivata seconda di una funzione f : f ′′(x) = D(f ′(x))Derivata terza di una funzione f : f ′′′(x) = D(f ′′(x)). . .

Derivata n-esima di una funzione f : f (n)(x) = D(f (n−1)(x))

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Derivate Derivate di ordine superiore

Esercizi1 Calcolare f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) quando f (x) = ex . Quanto vale in

questo caso f (n)(x)?Soluzione: f ′(x) = f ′′(x) = f ′′′(x) = f (n)(x) = ex

2 Calcolare f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) quando f (x) = sin x . Quanto vale inquesto caso f (n)(x)?Soluzione: f ′(x) = cos x , f ′′(x) = − sin x , f ′′′(x) = − cos(x),

f (n)(x) ={

(−1)k sin x n = 2k(−1)k cos x n = 2k + 1

.

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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti

Teorema di De L’HopitalSe f ,g : A \ {x0} −→ R sono due funzioni derivabili e tali che

limx→x0

f (x) = 0, limx→x0

g(x) = 0,

oppurelim

x→x0f (x) = ±∞, lim

x→x0g(x) = ±∞,

se g′(x) 6= 0 ∀x ∈ A \ {x0} allora

limx→x0

f (x)g(x)

= limx→x0

f ′(x)g′(x)

se il limite a destra esiste.

Si noti che se il limite a destra non esiste non si puo concludere nullasu quanto valga il limite a sinistra.

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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti

OsservazioneTale teorema continua a valere anche se si hanno limiti destri(x → x+

0 ), limiti sinistri (x → x−0 ) o limiti ad infinito (x → ±∞).

Esempi

Tutti i limiti seguenti soddisfano le ipotesi del teorema di De L’Hopital1.

limx→0

sin xx

= limx→0

cos x1

= 1,

2.limx→0

1− cos xx2 = lim

x→0

sin x2x

= limx→0

cos x2

=12,

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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti

Esempi

Tutti i limiti seguenti soddisfano le ipotesi del teorema di De L’Hopital3.

limx→0

ex − 1x

= limx→0

ex

1= 1,

4.

limx→0

log(1 + x)x

= limx→0

11+x

1= 1,

5.lim

x→+∞

ex

x= lim

x→0

ex

1= +∞,

6.

limx→+∞

x3 + 2x + 1x2 + x + 1

= limx→+∞

3x2 + 22x + 1

= limx→+∞

6x2

= +∞,

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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti

Il teorema di De L’Hopital risulta essere un utile strumento per risolvereforme indeterminate del tipo 0

0 o ∞∞ . Vediamo come si possono trattarealtre forme indeterminate.

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Derivate Uso delle derivate per il calcolo dei limiti

La forma indeterminata 0 · ∞ puo essere ricondotta alla formaindeterminata 0

0 oppure a ∞∞ . Infatti se f (x)→ 0 e g(x)→ ±∞allora

f (x) · g(x) = f (x)1

g(x)= g(x)

1f (x)

↓ ↓ ↓0 · ∞ 0

0∞∞

La forma indeterminata +∞−∞ puo essere ricondotta alla formaindeterminata 0

0 . Infatti se f (x)→ +∞ e g(x)→ +∞ allora

f (x)− g(x) =1

g(x)−1

f (x)1

f (x)·g(x)

↓ ↓+∞−∞ 0

0

Le forma indeterminata 1+∞, 1−∞, (+∞)0 e 00 possono esserericondotte ad una delle forme indeterminate sopra descritte nelseguente modo:

f (x)g(x) = elog(f (x)g(x)) = eg(x)·log(f (x)).Sonia L’Innocente (Camerino) 26 / 26