View
228
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Matematika I
Vektory a matice
RNDr. Renata Klufová, Ph. D.
Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích
EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Vektory
Def. Aritmetický vektor je uspoøádaná n-tice reálných èísel.
~v = (v1, v2, . . . , vn) . . . n-slo¾kový vektor (vektor dimenze n)
nulový n-slo¾kový vektor: ~o = (0,0, . . . ,0)
rovnost vektorù: ~v = ~w ⇔ vi = wi, ∀i = 1,2, . . . , n
c© Klufová 2011
Vektory
zápis vektoru:
• øádková forma: ~v = (−1,0,15,−3)
• sloupcová forma: ~v =
−1015−3
c© Klufová 2011
Základní operace s vektory
Def. Jsou dány dva n-slo¾kové vektory ~v = (v1, v2, . . . , vn),~w = (w1, w2, . . . , wn) a reálné èíslo r.
Pak lze de�novat následující poèetní operace s vektory:
• souèet vektorù ~v+ ~w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn+ wn)
• rozdíl vektorù ~v − ~w = (v1 − w1, v2 − w2, . . . , vn − wn)
• r-násobek vektoru r · ~v = (r · v1, r · v2, . . . , r · vn)
• skalární souèin vektorù ~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + . . .+ vn · wn
• norma vektoru || ~v ||=√v21 + v22 + . . .+ v2n
c© Klufová 2011
Kolineární a ortogonální vektory
Def. Dva nenulové n-slo¾kové vektory ~v, ~u nazveme:
• rovnobì¾né (kolineární) ⇔ ∃r ∈ R : ~u = r · ~v
• kolmé (ortogonální) ⇔ ~u · ~v = 0
Vektor ~v se nazývá jednotkový, jestli¾e ||~v|| = 1.
Ka¾dý nenulový vektor ~v je mo¾no znormovat, tj. vytvoøit z nìj
jednotkový vektor:
~v||~v|| =
1||~v|| · ~v
.
c© Klufová 2011
Aplikace
• analytická geometrie
{ úhel α dvou vektorù ~u,~v: cosα = ~u·~v||~u||·||~v||
{ obecná rovnice pøímky v rovinì: ax+ by+ c = 0,
kde (a, b) . . . normálový vektor
{ parametrické vyjádøení pøímky v rovinì:x = a1 + t · u1y = a2 + t · u2
,
kde A[a1, a2] je zvolený bod pøímky a ~u = (u1, u2) smìrový
vektor, t ∈ R
c© Klufová 2011
Aplikace
• ekonomické úvahy
pø. Prodejce objednává od výrobce 6 druhù lo¾isek, jejich¾
katalogová èísla jsou po øadì 62052RS, 6310, 22212, 22224,
NU308, NJ311.
Poèty kusù dle jednotlivých druhù zapí¹eme po øadì do vek-
toru nákupu ~n = (1000,100,50,10,40,50) a vytvoøíme
vektor cen v Kè ~c = (56,112,938,1560,125,156).
Celková cena objednávky (fakturovaná èástka) bude skalární
souèin ~n · ~c = 142500.
Jakou interpretaci má operace 12~n? Co musíme udìlat, má-li
se ke v¹em cenám pøièíst 5%-ní DPH?
c© Klufová 2011
Matice
Def. Uspoøádané schéma reálných èísel A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn
se nazývá matice typu m× n (také typu (m,n)).
aij . . . prvky matice A
i . . . øádkový index prvku aijj . . . sloupcový index prvku aij
diagonála . . . prvky aii
nulová matice O . . . v¹echny prvky rovny nule
c© Klufová 2011
Matice
zápis matice - rùzné typy závorek - napø.:
[−1 15 03 −9 17
]
(−1 15 03 −9 17
)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 15 0
3 −9 17
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c© Klufová 2011
Základní operace s maticemi
Def. Jsou dány dvì matice A,B stejného typu (m,n) a reálné
èíslo r.
De�nujeme následující poèetní operace:
• souèet matic A+B . . . . . A+B = (aij + bij)
• rozdíl matic A−B . . . . . A−B = (aij − bij)
• r-násobek matice r ·A . . . r ·A = (r · aij)
• transponování matice AT . . . výsledkem je matice typu
(n,m), kde aTij = aji
c© Klufová 2011
Zvlá¹tní typy matic
Def. Zvlá¹tní typy matic:
• ètvercová . . . typu (n, n)
• symetrická . . . A = AT
• diagonální . . . prvky le¾ící mimo diagonálu jsou nulové
• jednotková . . . diagonální matice, na diagonále samé 1 -
znaèíme E
c© Klufová 2011
Souèin matic
Def. V matici A typu (m,n):
n-slo¾kový vektor ~ai∗ = (ai1, ai2, . . . , ain) . . . její i-tý øádkový
vektor
m-slo¾kový vektor ~a∗j = (a1j, a2j, . . . , amj) . . . její j-tý sloupcový
vektor.
c© Klufová 2011
Souèin matic
Je-li matice A typu m×p a B matice typu p×n, pak je de�nován
souèin matic A a B takto:
C = A ·B typu m× n
cij = ~ai∗ ·~b∗j, ∀i = 1,2, . . . ,m; ∀j = 1,2, . . . , n
cij =n∑
k=1aikbkj
c© Klufová 2011
Aplikace
Prodejce vyøizuje objednávky dvou zákazníkù na dva druhy
lo¾isek (kat. èísla 6201 a 3305) a dvou druhù klínových øemenù
(10x1000 a 13x1120).
První zákazník - pan Zajíc objednává ~n1 = (200,75,8,13) kusù,
druhý zákazník - pan Li¹ka objednává ~n2 = (60,60,560,185)
kusù.
Prodejce uva¾uje tøi vektory cen:
• základní ~c1 = (50,210,28,42)
• s èásteènou výhodou u cen lo¾isek ~c2 = (47,200,28,42)
• pro stálé zákazníky ~c3 = (47,200,27,40).
c© Klufová 2011
Aplikace
matice objednávek N =
[~n1~n2
]=
[200 75 8 1360 60 560 185
]
matice cen C =[~cT1 ~cT2
]=
50 47 47210 200 20028 28 2742 42 40
Souèin N · C =
[26520 25170 2513639050 38270 37340
]
1. ø. . . . tøi alternativy fakturovaných èástek pro pana Zajíce pro
jednotlivé vektory cen
2. ø. . . . tøi alternativy fakturovaných èástek pro pana Li¹ku pro
jednotlivé vektory cen
c© Klufová 2011
Recommended