View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Primjer II-1.1
Skiciraj grafik y=4x+3 u opsegu x∊[-3,4] i nađi vrijednost y za x=2.2 ivrijednost x za y=-3, te nađi gradijent (nagib) i presjecišta s x i y osom.
f x( ) 4x 3
f 3( ) 9
f 4( ) 19
3 2 1 0 1 2 3 4
10
5
5
10
15
20
f x( )
x
f 2.2( ) 11.8
f x( ) y= 3= 4x 3= x3
2=
Nagib: 4
Presjecište s x-osom (y=0): 4x 3 0= x3
4=
Presjecište s y-osom (x=0): y 3=
Primjer II-1.2
Skiciraj sljedeće grafike u rasponu x∊[-4,4] : y=x; y=x+2; y=x-3, te nađinjihove gradijente (nagib) i presjecišta s x i y osom.
f1 x( ) x
f2 x( ) x 2
f3 x( ) x 3
4 3 2 1 0 1 2 3 4
10
6
2
2
6
10
f1 x( )
f2 x( )
f3 x( )
x
Nagibi su za sve krive (pravca) jednaki 1, što se vidi iz oblika jednačina (koeficijenti pravca) - stoga supravci međusobno paralelni
Presjecišta s x-osom (y=0): a x b 0= xb
a=
f1 0
f2 2
f3 3
Presjecište s y-osom (x=0):
f1 0
f2 2
f3 3
Primjer II-1.3
Nađi gradijete sljedećih pravaca: y=5x-1, 2x+3y=3, pravac koji prolazi kroztačke (-2,5) i (3,4), pravac koji prolazi kroz tačke (-2,-3) i (-1,3).
f1 x( ) 5x 1 Gradijent: 5
f2 x( )2
3 x 1 Gradijent:
2
3
(-2,5) i (3,4) Gradijent:4 5
3 2( )0.2
(-2,-3) i (-1,3) Gradijent:3 3( )
1 2( )6
Primjer II-1.4
Ovisnost temperature u stepenima Celzijusa (°C) i stepenima Farenhajta (°F)data je u Tabeli dole. a) Prikaži datu ovisnost grafičkib) Očitaj vrijednost temperature 55°C u °Fc) Očitaj vrijednost temperature 170°F u °Cd) Izvedi jednačinu koja daje vezu °C i °F
C 10 20 40 60 80 100( )T
F 50 68 104 140 176 212( )T
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 12040
60
80
100
120
140
160
180
200
220
F
C
a)
b) 55°C je oko 120°F
c) 170°F je oko 78°C
d) Koristeći prva dva podatka (10,50) i (20,68), može se dobiti jednačina pravca u obliku
y y1y2 y1
x2 x1x x1 =
y 5068 50
20 10x 10( )= pa je y
9
5x 32=
Dakle, jednačina F9
5C 32 daje ovisnost stepeni Farenhajta i Celzijusa
Primjer II-1.5
Prilikom testiranja sijalice, dobivene su vijednosti otpora R u omima () inapona U u voltima (V). Dobivene vrijednosti su aproksimirane linearnomfunkcijom s podacima datim u Tabeli.a) Prikaži datu ovisnost grafički (otpor kao y-osu)b) Odredi gradijentc) Odredi presjek s R-osomd) Kolika bi vrijednost otporna bila za 110 Ve) Izvedi jednačinu pravca
U 16 29 52 76 94( )T
R 30 46.25 75 105 127.5( )T
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120102030405060708090
100110120130140150
R
U
a)
b) Koristeći prva dva podatka (16,30) i (29,46.25), može se izračunati gradijent (ubrzanje)
gradijenty2 y1
x2 x1=
gradijent46.25 30
29 161.25
c) S grafika: Presjek s R osom je oko 10
d) S grafika: Vrijednost optora za 110 V bi bila oko 145
e) Koristeći prva dva podatka (16,30) i (29,46.25), može se dobiti jednačina pravca u obliku
y y1y2 y1
x2 x1x x1 =
y 3046.25 30
29 16x 16( )= pa je y
5
4x 10=
Primjer II-1.6
Brzina tijela v ovisi o vremenu t. Mjereni rezultati dati su u Tabeli.• Prikaži datu ovisnost grafički (vrijeme kao x-osu)
• Odredi gradijent (ubrzanje)• Odredi brzinu nakon 10 s• Odredi vrijeme pri 20 m/s• Izvedi jednačinu pravca
t 2 5 8 11 15 18( )T
v 16.9 19 21.1 23.2 26 28.1( )T
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2015161718192021222324252627282930
v
t
a)
b) Koristeći prva dva podatka (2,16.9) i (5,19), može se izračunati gradijent (ubrzanje)
gradijenty2 y1
x2 x1=
gradijent19 16.9
5 20.7
c) S grafika: brzina nakon 10s je oko 22.5 m/s
d) S grafika: vrijeme za v=20 m/s je oko 6.5 s
e) Koristeći prva dva podatka (2,16.9) i (5,19), može se dobiti jednačina pravca u obliku
y y1y2 y1
x2 x1x x1 =
y 16.919 16.9
5 2x 2( )= pa je y
7
10x 15.5=
Dakle, jednačina u 0.7t 15.5 daje ovisnost brzine i vremena.
Primjer II-1.7
Za funkcije f(x)=4x2+4x-15 i y= -5x2+9x+7.2a) Nacrtaj grafikeb) Nađi nulec) Nađi koordinate i prirodu ekstrema.
f1 x( ) 4x2
4x 15 f2 x( ) 5 x2
9x 7.2
a) Grafici
4 2 0 2 420
10
0
10
f1 x( )
x
4 2 0 2 420
10
0
10
20
f2 x( )
x
b) Nule
x14 4
24 4 15( )
2 41.5 x1
9 92
4 5( ) 7.2
2 5( )0.6
x24 4
24 4 15( )
2 42.5 x2
9 92
4 5( ) 7.2
2 5( )2.4
c) Ekstremi
x29
2 5( )0.9
x14
2 40.5
maksimum (-5<0)minimum (4>0)
Primjer II-1.8
Za funkciju f(x)=10x2-13x-30 primijenjujući interval x∊[-2,3]a) Nacrtaj grafikb) Nađi nulec) Nađi koordinate i prirodu ekstremad) Nađi vrijednost y za x=1.3e) Nađi vrijednost x za y=10
f x( ) 10x2
13x 30
a) Grafik
2 1 0 1 2 3
40
20
0
20
40
f x( )
x
b) Nule
x113( ) 13( )
24 10 30( )
2 102.5
x213( ) 13( )
24 10 30( )
2 101.2
c) Ekstremi
x113
2 100.65
minimum (10>0)
d) f 1.3( ) 30
e)
10 10x2
13x 30=10x
213x 40 solve
1769
20
13
20
13
20
1769
20
10x
213x 40 0=
Primjer II-1.9
Otpor R električnog kondenzatora na temperaturi [°C] dat je izrazom
R=R0e, gdje je konstanta, a R0=5000 . Odredi (na 4 značajne cifre),
kada je R=6000 i =1500°C. Također, nađi temperaturu kada je otporR=5400 .
R θ( ) 5000 eαθ
=
Prema uslovima zadatka: 6000 5000 eα 1500
=
Logaritmirajući lijevu i desnu stranu imamo: ln 6000( ) ln 5000 eα 1500
= ln 5000( ) α 1500=
Sada se lako dobija ln
6000Ω
5000Ω
1500Δ°C1.215 10
4
1
Δ°C
Prema uslovima zadatka: 5400 5000 e1.215 10
4 θ=
Logaritmirajući lijevu i desnu stranu imamo:
ln 5400( ) ln 5000 e1.215 10
4 θ
= ln 5000( ) 1.215 10
4 θ=
Sada se lako dobija θ
ln5400Ω
5000Ω
1.215 104
1
Δ°C
633.424 Δ°C
Primjer II-1.10
Temperatura 2[°C] kalema koji se zagrijava električnom strujom u vremenu
t data je izrazom 2=1(1-et/), gdje je 1 temperatura za t=0, a jekonstanta. Izračunati:a) temperaturu kada je 2=50°C, t=30s, a =60s
b) vrijeme t, kada temperatura 2 ima vrijednost polovine 1
θ2 t( ) θ1 1 e
t
τ
=
a)
Prema uslovima zadatka: θ150Δ°C
1 e
30s
60s
127.075 Δ°C
b)
Prema uslovima zadatka:θ1
2θ1 1 e
t
τ
= pa je 1 e
t
τ
0.5= tj. e
t
τ
0.5=
Logaritmiranjem lijeve i desne strane dobija se ln e
t
τ
ln 0.5( )= tj.
t
τln 0.5( )=
t ln 0.5( ) 60 s 41.589 s
Primjer II-1.11
Jačina naizmjenične struje data je izrazom t=30sin(100t+0.27) u amperima[A]. Nađi amplitudu, period, frekvenciju i fazni ugao (u stepenima).
Amplituda: 30A
Period: T2π
100 πs 0.02 s
Frekvencija: f1
T50 Hz
Fazni ugao: 0.27rad 15.47 °
Primjer II-1.12
Oscilirajući mehanizam ima maksimalno pomjeranje od 2.5 m i frekvenciju od60 Hz. U vremenu t=0, pomjeranja je 90 cm. Izrazi pomjeranje u opštemobliku Asin(t ± ).
Prema uslovima zadatka:
Amplituda: A 2.5m
Ugaona brzina: f 60Hz ω 2 π f 376.991 s1
Fazni ugao: 0.9 2.5 sin α( )= pa je α asin0.9
2.5
21.1 °
Primjer II-1.13
Trenutna vrijednost napona u naizmjeničnom strujnom krugu u bilo kojemvremenu t data je izrazom u= 340sin(50t – 0.541) u voltima[V]. Odredi:a) amplitudu, period, frekvenciju, fazni ugao (u stepenima)b) vrijednost napona za t=0c) vrijednost napona za t=10msd) vrijeme kada napon dostigne vrijednost 200Ve) vrijeme kada napon dostigne maksimalnu vrijednostSkiciraj grafik funkcije.
f t( ) 340 sin 50 π t 0.541( ) V
a) Amplituda: 340V
Period: T2π
50 πs 0.04 s
Frekvencija: f1
T25 Hz
Fazni ugao: 0.541 rad 30.997 °
b)
f 0( ) 175.098 V
c) f 0.01( ) 291.446 V
d)
200V 340 sin 50 π t 0.541( ) V=
t
asin200
340
0.541
50 πs 7.448 ms
e)
sin 50 π t 0.541( ) 1= tasin 1( ) 0.541( )
50 πs 13.444 ms
0 0.02 0.04 0.06 0.08400
200
0
200
400
f z( )
z
Primjer II-1.14
Odredi poluprečnik i koordinate kruga datog jednačinom x2+y2+8x-2y+8=0.
Zadata jednačina kruga se može prikazati kao:
x2
8x 16 y2
2y 1 8 17 0=
x 4( )2
y 1( )2
32
=
Dakle, centar kruga je u (-4,1), a poluprečnik je 3.
Primjer II-1.15
Skiciraj grafik sljedeće jednačine: x2+y2-4x+6y-3=0.
Zadata jednačina kruga se može prikazati kao:
x2
4x 4 y2
6y 9 3 13 0=
x 2( )2
y 3( )2
42
=
Dakle, centar kruga je u (2,-3), a poluprečnik je 4.
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 1010864202468
10
Primjer II-1.16
Skiciraj grafike y=(x-4)2 i f(x)=x3-8.
fa1 x( ) x2
fb1 x( ) x3
fa2 x( ) x 4( )2
fb2 x( ) x3
8
20 10 0 10 200
200
400
600
800
fa1 z( )
fa2 z( )
z
4 2 0 2 420
10
0
10
20
fb1 z( )
fb2 z( )
z
Primjer II-1.17
Skiciraj grafike y=5-(x+2)2 i f(x)=1+3sin2x.
fa1 x( ) x2
fb1 x( ) sin x( )
fa2 x( ) x 2( )2
fb2 x( ) sin 2x( )
fa3 x( ) 5 x 2( )2
fb3 x( ) 3 sin 2x( )
fb4 x( ) 1 3 sin 2x( )
10 5 0 5 1020
10
0
10
20
fa1 z( )
fa2 z( )
fa3 z( )
z0 2 4 6
4
2
0
2
4fb1 z( )
fb2 z( )
fb3 z( )
fb4 z( )
z
Primjer II-1.18
Skiciraj grafik y = x - x2.
Data jednačina se može napisati u obliku
y x x2
= x2
x1
4
1
4= x
1
2
2
1
4=
fa1 x( ) x2
fa2 x( ) x1
2
2
fa3 x( ) x1
2
2
1
4
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
fa1 z( )
fa2 z( )
fa3 z( )
z
Primjer II-1.19
Odredi inverzne funkcije zaa) f(x)=x+1b) f(x)=5x+1c) f(x)=1/x+2Skiciraj funkcije i njihove inverzne funkcije.
f z( ) z
a)
fa x( ) x 1 Zamjenom x i y x y 1= pa je fainv x( ) x 1
10 5 0 5 10
4
2
0
2
4
fa z( )
fainv z( )
f z( )
zb)
fb x( ) 5x 1 Zamjenom x i y x 5y 1= pa je fbinv x( )x 1
5
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
fb z( )
fbinv z( )
f z( )
zc)
fb x( )1
x2 Zamjenom x i y x
1
y2= pa je fbinv x( )
1
x 2
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
fb z( )
fbinv z( )
f z( )
z
Primjer II-1.20
Izračunaj vrijednosti sljedećih funkcija: arcsin(-1), arccos(0.5), arctg(0.5),arcctg(2), arcsin(1/3)+arccos(4/5)+arctg(8/9) u radijanima i stepenima.
asin 1( ) 1.571 asin 1( ) 90 °
acos 0.5( ) 1.047 acos 0.5( ) 60 °
atan 0.5( ) 0.464 atan 0.5( ) 26.565 °
atan1
2
0.464 atan1
2
26.565 °
asin1
3
acos4
5
atan8
9
1.71 asin1
3
acos4
5
atan8
9
97.975 °
Primjer II-1.21
Nacrtaj krivu f(x)=4x2-1 za vrijednosti x[-1, 4]. Na grafiku označi tačke J i Ks koordinatama (3, f(3)) i (1, f(1)), respektivno, i nađi gradijent tetive JK.Pomjerajući se prema K nađi gradijent trangente u K.
f x( ) 4x2
1
1 0 1 2 3 420
0
20
40
60
80
f z( )
f 3( )
f 1( )
z 3 1
J
K
J : f 3( ) 35
K : f 1( ) 3
Nagib JKf 3( ) f 1( )
3 116
f 2( ) f 1( )
2 112
f 1.5( ) f 1( )
1.5 110
f 1.2( ) f 1( )
1.2 18.8
f 1.1( ) f 1( )
1.1 18.4
f 1.01( ) f 1( )
1.01 18.04 Gradijent u K teži ka 8.
Primjer II-1.22
Nađi izvode sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,
x4x
7 d
d28 x
6
x
3
x2
d
d
6
x3
x5( )d
d0
x4x
1
3x
2
d
d4
2
3 x3
x2
Primjer II-1.23
Nađi izvode sljedećih funkcija (po z): y=4sin 3z, f(z)=2sin 2z – 5cos 4z.
z4 sin 3z( )( )d
d12 cos 3 z( )
z2 sin 2z( ) 5 cos 4z( )( )d
d4 cos 2 z( ) 20 sin 4 z( )
Primjer II-1.24
Jačina naizmjenične struje data je izrazom i=5sin 100t, gdje je t vrijeme usekundama. Odredi brzinu promjene struje kada je t=0.01s. Da li u toj tačkijačina struje raste ili opada? Skiciraj na grafiku!!!
i t( ) 5 sin 100t( )
Prvi izvod je:t
5 sin 100t( )( )d
d500 cos 100 t( )
Brzina promjene struje: 500 cos 100 0.01( ) 270.151
Brzina promjene je pozitivna, pa struja raste
0 0.02 0.04 0.066
4
2
0
2
4
6
i z( )
i 0.01( )
z 0.01
Primjer II-1.25
Nađi gradijent krive za x=1. Da li funkcija utoj tački raste ili opada?
x
3
x2
2 sin 4x( )2
ex
ln x( )
d
df' x( )
1
x2 e
x 8 cos 4 x( )
6
x3
f' 1( ) 0.507 Dakle, funkcija opada u tački x=1.
Primjer II-1.26
Njutnov zakon hlađenja je dat izrazom =0ekt. Odredi brzinu promjene
temperature nakon 50 s, ako je 0=°C i k=-0.02. Da li se temperatura
povećava ili smanjuje?
θ0 15Δ°C k 0.021
s
θ t( ) θ0 ek t
Prvi izvod je:t
θ0 ek t
d
dθ' t( ) k θ0 e
k t
θ' 50s( ) 0.11 K s1
Brzina promjene temperature:
Brzina promjene je negativna, pa temperatura opada
0 20 40 60 80 1000
5
10
15
θ z( )
θ 50s( )
z 50
Primjer II-1.27
Atmosferski pritisak p se mijenja s visinom h prema izrazu p=p0eh/c, gdje je
p0 pritisak na zemlji, a c je konstanta. Odredi promjenu pritiska na visini
1550 m, ako je p0=100 kPa, a c=6.2x104 m.
p0 100kPa c 6.2 104
m
p h( ) p0 e
h
c
hp0 e
h
c
d
d p' h( )p0 e
h
c
c
p' 1550m( ) 1.573Pa
m
0 500 1 103 1.5 10
39.7 10
4
9.8 104
9.9 104
1 105
p z( )
p 1550m( )
z 1550
Primjer II-1.28
Nađi integrale sljedećih funkcija (po x): y=4x7, y=3/x2, y=5,
x4x7
dx
8
2 +c
x3
x2
d3
x +c
x5
d 5 x +c
x3
x2
2 sin 4x( )2
ex
ln x( )
d4 x e
x x cos 4 x( ) 2 x
2 ln x( ) 2 x
2 6
2 x +c
Primjer II-1.29
Nađi integrale sljedećih funkcija (po t): y=4sin 3t, f(t)=2sin 2t – 5cos 4t,
t4 sin 3t( )
d4 cos 3 t( )
3 +c
t2 sin 2t( ) 5 cos 4t( )( )
d cos 2 t( )5 sin 4 t( )
4 +c
t4t1
3t2
d2 t
2
3 t
t2
1
3
+c
Primjer II-1.30
Izračunaj:
a)
b)
c)
d)
a)
x1
x2
2
x
d 2 ln x( )1
x
1
2
x1
x2
2
x
d 1.886
b)
t4 cos 3t( )
d4 sin 3 t( )
3 1
2
t4 cos 3t( )
d 0.561
c)
u3
4u
d3 ln u( )
41
4
u3
4u
d 1.04
d)
x4e2x
d 2 e2 x
1
4
x4e2x
d 5.947 103
Primjer II-1.31
Nađi površinu koja je omeđena krivom y=2x+3, x-osom i ordinatama x=1 ix=4.
f x( ) 2x 3 y 0 20
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20
f z( )
y
y
z 1 4
1
4
x2x 3
d 24 (površina trapeza!!!)
Primjer II-1.32
Brzina v [m/s] nekog tijela u vremenu t [s] data je izrazom v=2t2+5. Nađipređeni put tijela u vremenu od 0 do 4 s.
t 0 4
v t( ) 2t2
5
0 1 2 3 40
10
20
30
40
v a( )
a
v t( )
57
13
23
37
zv z( )
d2 z
3
35 z
A0
4
xv x( )
d 62.667
Primjer II-1.33
Skiciraj grafik funkcije između x=-3 i x=2 i nađi
povrđinu koju kriva zaklapa s osom x.
x 3 2
f x( ) x3
2x2
5x 6
3 2 1 0 1 210
5
0
5
f a( )
a
f x( )
04
0
-6
-8
0
zf z( )
dz4
4
2 z3
3
5 z2
2 6 z
A3
1xf x( )
d1
2
xf x( )
d 21.083
Recommended