matris deplasaman yöntemi

1

Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin

Matris Metotları

2010-2011 Bahar Yarıyılı

Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞENDoç.Dr. Ercan YÜKSEL

2

BÖLÜM III

DİREKT MATRİS YERDEĞİŞTİRME YÖNTEMİ

3

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

4

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

5

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

6

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

7

10

0 50 60

50 60

P

P cos β P sinβ

P sinβ P cos βix

P

20

0 30 40

30 40

P

P cos β P sinβ

P sinβ P cos βjx

P

[k]jxix = [k]Tixjx

Sistem Eksenlerine Dönüştürülmüş Rijitlik ve Yükleme Terimlerinin Doğrudan Elde Edilmesi

8

• Malzeme doğrusal-elastik davranmaktadır.• Yerdeğiştirmeler, sistem geometrisi ilekarşılaştırıldığında küçüktür. (1. Mertebe Teorisi)

Malzeme ve geometri değişimi bakımından doğrusal davranış sergilemeyen sistemler ilerleyen bölümlerde incelenecektir.

Önce rijit düğüm noktalı ve ankastre mesnetli sistemler çalışılacaktır.

Varsayımlar

9

Çözümün Sağlaması Gerekli Koşullar:

1.Denge Denklemleri• Düğüm noktası denge denklemleri• Çubuk denge denklemleri

2.Geometrik Süreklilik Koşulları• Rijit düğüm noktalarında birleşen elemanların uç

yerdeğiştirmelerinin eşitliği• Mesnetlerdeki geometrik koşullar

3.Bünye Denklemleri (İç kuvvet-şekildeğiştirme ilişkileri)

10

Uç Kuvvetleri İle Uç Yerdeğiştirmeleri Arasındaki Bağıntılar

Ortak eksen sisteminde, i-j çubuğunun uç kuvvetleri ile uç yerdeğiştirmeleri arasındaki bağıntılar

[p]ix = [k]ixix [d]ix + [k]ixjx [d]jx + [p0]ix

[p]jx = [k]jxix [d]ix + [k]jxjx [d]jx + [p0]jx

11

Bilinmeyenler

Düğüm noktasına birleşen çubukların ortak yerdeğiştirmeleridir. n düğüm noktası sayısını göstermek üzere, düzlem çubuk sistemlerde 3×n, düzlem kafes sistemlerde ise 2×n adet bilinmeyen vardır.

Ortak eksen sisteminde düğüm noktalarındaki bilinmeyenler;D1

D2

D3

12

Bilinmeyenler :

Düğüm noktasına birleşen çubukların ortak yerdeğiştirmeleridir.

D1D2

D3

13

Eleman Eksen Takımlarındaki Uç Kuvvetleri ve Uç Yerdeğiştirmeleri

14

Sistem Ortak Eksen Takımındaki Uç Kuvvetleri ve Uç Yerdeğiştirmeleri

D1D2

D3

15

Dolu Gövdeli Sistemler Kafes Sistemler

Bilinmeyenler

D1D2

D3

D1D2

D3 D1

D2

16

Bilinmeyenlerin Hesabında Kullanılan Denklemler(Düğüm noktalarının denge denklemleri)i sayılı düğüm noktasına ait denge denkleminin yazılması

00 ix

ij

ixjjx

ij

ixjxjj

ijixixix qPdkkd_

17

qPdS 0

[S] : Sistem rijitlik matrisi[d] : Bilinmeyenler vektörü[P0] : Yükleme vektörü[q] : Düğüm noktaları yük vektörü

Denge denklemleri sistemin tüm düğüm noktaları için yazılırsa

18

1

2

...

i

..

j

n

1 2 ....... i . ..... j ........... n

For Beam Elements [S]3nx3n [d]3nx1 [p0]3nx1 [q]3nx1

For Truss Elements [S]2nx2n [d]2nx1 [p0]2nx1 [q]2nx1

[k]ixix [k]ixjx

[k]jxix [k]jxjx

[d]ix [p0]ix [q]ix

[d]jx [p0]jx [q]jx

x + =

[S] [d] [P0] [q]

Bir i-j çubuğuna ait dönüştürülmüş eleman rijitlik matrisinin [S] matrisine yerleşimi

19

Bir i-j çubuğuna ait dönüştürülmüş eleman rijitlik matrisinin [S] matrisine yerleşimi (Genel Yöntem)

1.Ankastre mesnetlerin bulunduğu düğüm noktalarında denge denklemleri yazılmaz.2.Mafsallı mesnetlerde;

• Mafsallı mesnete birleşen çubukta, özel eleman rijitlik matrisi tanımlanır ve mafsallı mesnetin bulunduğu düğüm noktasında denge denklemi yazılmaz.

• Mafsallı mesnetin bulunduğu düğüm noktasında da denge denklemleri yazılır. Sıfır olan yerdeğiştirmelere ait 2 adet satır ve kolon denge denklemlerinden kaldırılır. Bu durumda mafsallı mesnette birleşen çubuk normal çubuk gibi alınır.

3.Kayıcı mesnetlerin bulunduğu düğüm noktalarında da denge denklemleri yazılır. Sıfır olan yerdeğiştirmeye ait satır ve kolon denge denklemlerinden kaldırılır. Kayıcı mesnete birleşen çubuk normal çubuk gibi alınır.

20

Kod parametreleri Yöntemi ile [S] Matrisinin Kurulması

Çubuk 1

Çubuk 2

Çubuk 3

12

3

4 5

6

7

8

Her çubukta, elemana ait yerdeğiştirme numaralarından oluşan kod parametreleri dizileri oluşturulur.

21

[S] Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması

Elemanların kod parametreleri dizileri

Sıra Uç. Kuv. 1 2 3

1 1 1 2 5

2 5 2 5 8

3 6 3 6 0

4 2 4 7 0

5 3 0 3 6

6 4 0 4 7

Çubuklar

22

l m n

I

I

I

l m n

l kii kij kik kii kij kik

m kji kjj kjk kji kjj kjk

n kki kkj kkk kki kkj kkk

l I kii kij kik

m I kji kjj kjk

n I kki kkj kkk

Eleman Eksen Takımının Sistem Ortak Eksen Takımı İle Aynı Olduğu Sistemler

l

m

n

23

Eleman Özellikleri

Çubuk I[m4] F[m2] L[m]

3-1 0.040 0.280 9.434

1-2 0.020 0.222 8.000

2-4 0.040 0.280 9.434

Örnek #1 : Dış yük etkisindeki 2D sistem

24

Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (3-1) Çubuğu

25

1 5 6

4EI/L 0 6EI/L2 16.960 0 2.697

[k]33 = 0 EF/L 0 = 0 29.680 0

6EI/L2 0 12EI/L3 2.697 0 0.572

1 0 0 1 0 0

[T2]3 = 0 -cos sin = 0 -0.848 -0.530

0 -sin -cos 0 0.530 -0.848

Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (3-1) Çubuğu

26

1 0 0

0 -0.848 0.53 [0]

0 -0.53 -0.848

1 0 0

[0] 0 0.848 -0.53

0 0.53 0.848

16.96 0 2.697 8.48 0 2.697

0 29.68 0 0 29.68 0

2.697 0 0.572 2.697 0 0.572

16.96 0 2.697

0 29.68 0

2.697 0 0.572

1 0 0 16.96 -1.429 -2.287 8.481 1.429 2.287

0 -0.848 0.53 [0] 21.504 -13.083 -1.429 -21.504 13.083

0 0.53 -0.848 8.748 -2.287 13.083 -8.748

1 0 0 16.96 1.429 2.287

[0] 0 0.848 0.53 21.504 -13.083

0 -0.53 0.848 8.748

[k]3x3x

[k]1x3x

[k]3x1x

[k]1x1x

27

1 0 0 1 0 0

[T2]1 = 0 -1 0 [T2]2 = 0 1 0

0 0 -1 0 0 1

10 0 -1.875 5 0 1.875

0 27.75 0 0 -27.75 0

0.469 -1.875 0 -0.469

10 0 1.875

27.75 0

0.469

[k]1x1x [k]1x2x

[k]2x1x [k]2x2x

=

Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (1-2) Çubuğu

28

1 0 0

0 0.848 -0.53 [0]

0 -0.53 0.848

1 0 0

[0] 0 0.848 0.53

0 -0.53 0.848

16.96 0 2.697 8.48 0 2.697

0 29.68 0 0 29.68 0

2.697 0 0.572 2.697 0 0.572

16.96 0 2.697

0 29.68 0

2.697 0 0.572

1 0 0 16.96 1.429 -2.287 8.481 -1.429 2.287

0 -0.848 0.53 [0] 21.504 13.083 1.429 -21.504 -13.083

0 -0.53 -0.848 8.748 -2.287 -13.083 -8.748

1 0 0 16.96 -1.429 2.287

[0] 0 0.848 -0.53 21.504 13.083

0 0.53 0.848 8.748

[k]3x3x

[k]1x3x

[k]3x1x

[k]1x1x

Sistem eksenlerine dönüştürülmüş eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi (2-4) Çubuğu

29

1 2 3 4 1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4

3-1 Çubuğunun Yerleştirilmesinden Sonra 3-1 ve 1-2 Çubuklarının Yerleştirilmesinden

Sonra

Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması

30

1 2 3 4 1 2 3 4

1

2

3

4

1 2 3 4

1

2

3

4

3-1 Çubuğunun Yerleştirilmesinden Sonra 3-1 ve 1-2 Çubuklarının Yerleştirilmesinden

Sonra

3-1, 1-2 ve 2-4 Çubuklarının Yerleştirilmesinden Sonra

Mesnetlere Karşılık Gelen 3 ve 4 Ayrıldıktan Sonra

Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması

1 2

1

2

31

1 2

26.960 1.429 0.412 5 0 1.875

1 49.254 -13.083 0 -27.750 0

9.217 -1.875 0 -0.469

26.960 1.429 -0.412

2 49.254 13.083

9.217

Sistem Rijitlik Matrisi

Sistem Rijitlik Matrisinin Kurulması

32

1.042 1.042

[p0]3x = -1.250 [p0]1x = -1.250

0 0

Dış Yükler İçin Yük Vektörünün Elde Edilmesi

33

-1.042

-1.250

[p0]1x 0

[p0]2x 0

0

0

=[p0]=

Dış Yükler İçin [P0] Yük Vektörünün Elde Edilmesi

34

0.0416

0.1748

[d]1x 0.2345

[d]2x -0.0031

0.1568

-0.2198

=[d]=

Dış Yükler İçin Hesap

Yerdeğiştirmelerin Hesabı

qPdS 0

35

Çubuk 3-1 1-2 2-4

2.181 -0.45 0.673

[P]3 1.77 [P]1 -0.50 [P]2 -0.497

0.941 -0.141 0.145

0.450 -0.674 0.699

[P]1 -0.350 [P]2 -0.500 [P]4 -0.497

-0.384 -0.141 0.145

= = =

= = =

Dış Yükler İçin Çubuk Kuvvetleri

36

Örnek #2 ye ait PDF dosyası ....

37 11 mxmxmxm qdS

n = 4 3n = 12 degrees of static freedom

m = 4 < 3n = 12 degrees of static freedom

n = 4 ; 3n = 12 statik serbestlik derecesi

m = 4 statik serbestlik derecesi

131333 nxnxnnx qdS

Yatay Rijitlik Matrisi(İndirgenmiş Sistem Rijitlik Matrisi)

38

The stiffness matrix

1 2 3 4

1

2

3

4

[S] Sistem Rijitlik Matrisi

D1D2

D3

39

The stiffness matrix

1 2 3 4

1

2

3

4

Mome

nt Dü

şey İzd

üşüm

Yatay

İzdüşü

m

[S]r Yeniden Dizilmiş Sistem Rijitlik Matrisi(Yerdeğiştirme Gruplamaları Yapılmış Hal)

Nasıl Yapılıyor?

40

The stiffness matrix

1 2 3 4

1

2

3

4

[ 0 ]

[ S ]

[S]r Sistem Rijitlik Matrisi(Yerdeğiştirme Gruplamaları Yapılmış Hal)

Gauss Eleme

Yöntemi İle

İndirgeme

41

The stiffness matrix

Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması

42

The stiffness matrix

Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması

Kod Parametreleri

Sıra UçKuv. 1 2 3 4 5 6 1 1 0 5 1 5 2 6 2 5 5 1 2 6 6 0 3 6 10 9 9 10 10 0 4 2 7 3 4 8 8 0 5 3 0 10 9 10 9 10 6 4 0 7 3 7 4 8

43

Kod Parametreleri Yönteminin Kullanılması

44

f11 f12

f12 f22 [F]= 1 FS

Yatay Rijitlik Matrisinin Bir Diğer Yolla Elde Edilmesi