mehanicki_sistemi_primjeri

8/11/2019 mehanicki_sistemi_primjeri

http://slidepdf.com/reader/full/mehanickisistemiprimjeri 1/4

 ____________________________________________________________________________________Vežba 4

1

Primer 1. Za sistem sa slike 1:a) Pronaći matematički model, ako su opruge nedeformisane kada je x1=x2=0.b) Upotrebom ode23 funkcije izvršiti simulaciju rada sistema sa slike u toku prvih 10 sekundi

koristeći model pod a), za parametre (M1=20, M2=10, B1=10, B2=20, K1=300, K2=400 ), ako jeulazna sila F(t) predstavljena na slici 2. Simulaciju izvršiti za nulte početne uslove. Na jednomgrafiku nacrtati promenu položaja oba tela.

F(t)

K 1

B1

K 2

B2

M1   M2

x1 x2

 Slika 1. Slika 2.

a)Na osnovu “free-body” dijagrama za prvo telomože da se definiše diferencijalna jednačina

111112211 )(   x B x K  F  x x K  x M    &&&   −−+−=   M1

11 x B   &

11 x K )(

122  x x K    −

)(t  F 

Pomoću “free-body” dijagrama za drugo telodobija se diferencijalna jednačina

2212222 )(   x B x x K  x M    &&&   −−−=   M2

)( 122   x x K    −

22 x B   &

 b)

Uvođenjem smena 24231211 ,,,   x y x y x y x y   &&   ====  dobija se sistem diferencijalnih jednačina

( )

( )42312

2

4

43

2111132

1

2

21

)(1

)()(1

 y B y y K  M 

 y

 y y

 y B y K t  F  y y K  M 

 y

 y y

−−=

=

−−+−=

=

&

&

&

&

što znači da se simulacija u Matlab-u za zadate parametre izvršava na sledeći način

8/11/2019 mehanicki_sistemi_primjeri

http://slidepdf.com/reader/full/mehanickisistemiprimjeri 2/4

 ____________________________________________________________________________________Vežba 4

2

function yp=djprim3(t,y)

M1=20;M2=10;B1=10;B2=20;K1=300;K2=400;

t1=rem(t,5);

F=20*(t1*(t1<=1)+((t1>1)&(t1<=4))+(5-t1)*((t1>4)&(t1<=5)));

yp=zeros(4,1);

yp(1)=y(2);

yp(2)=(1/M1)*(K2*(y(3)-y(1))+F-K1*y(1)-B1*y(2));

yp(3)=y(4);

yp(4)=(1/M2)*(K2*(y(1)-y(3))-B2*y(4));-------------------------------------------------------------------y0=[0;0;0;0];

[t,y]=ode23(@djprim3,[0 10],y0);

 plot(t,y(:,1),t, y(:,3));

legend('x1','x2');

Primer 2. Za sistem sa slike 3:a) Pronaći matematički model, ako su opruge nedeformisane kada je x1=x2=0.b) Napisati funkciju koja na osnovu svog ulaznog parametra tf upotrebom ode23 funkcije vrši

simulaciju rada sistema sa slike do vremenskog trenutka tf. Kao izlazne parametre ova funkcijadaje vrednosti promenjivih stanja i odgovarajućih vremenskih trenutaka dobijene pomoćufunkcije ode23. Simulacije se izvršavaju za parametre (M1=20, M2=10, B1=10, B2=20, B3=25,K1=300, K2=400, K3=250), ako je sila F(t) periodična funkcija sa periodom 4s i predstavljena naslici 4. Početni položaj je x1=0.02, x2=-0.02, a početne brzine su 0. Rešenje realizovati pomoćufunkcije koja na osnovu vremena izračunava silu F.

F(t)

K 1

B3

K 3

B2

M1   M2

x1   x2

B1

K 2

 Slika 3. Slika 4. 

a)

111112312311 --)()-()x-(   x B x K t  F  x x K  x B x M    &&&&&   ++=

  M1

11 x B   &

11 x K 

)-( 123   x x K 

)(t  F 

)-( 123   x x B   &&

222212312322 xK --)-(-)x-x(B-   x B x x K  x M   &&&&&

  =

 M1

)-( 123   x x K 

)-( 123   x x B   &&

22 x K 

22 x B   &

8/11/2019 mehanicki_sistemi_primjeri

http://slidepdf.com/reader/full/mehanickisistemiprimjeri 3/4

 ____________________________________________________________________________________Vežba 4

3

b)

Uvođenjem smena 24231211 ,,,   x y x y x y x y   &&   ====  dobija se sistem diferencijalnih jednačina

( )

( )3242133243

2

4

43

2111133243

1

2

21

yK --)-(-)y-(yB-1

--)()-()-(1

 y B y y K  M 

 y

 y y

 y B y K t  F  y y K  y y B M 

 y

 y y

=

=

++=

=

&

&

&

&

function F=testera(t)

t1=rem(t,4);

F=10*t1.*(t1<=2)+(40-10*t1).*(t1>2);

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

function yp=djprim4(t,y)

M1=20;M2=10;B1=10;B2=20;B3=25;K1=300;K2=400;K3=250;

yp=zeros(4,1);

yp(1)=y(2);

yp(2)=(1/M1)*(B3*(y(4)-y(2))+K3*(y(3)-y(1))+testera(t)-K1*y(1)-B1*y(2));yp(3)=y(4);

yp(4)=(1/M2)*(-B3*(y(4)-y(2))-K3*(y(3)-y(1))-B2*y(4)-K2*y(3));

-------------------------------------------------------------------

function [t,y]=primer4(tf)

y0=[0.02;0;-0.02;0];

[t,y]=ode23(@djprim4,[0 tf],y0);

-------------------------------------------------------------------

[t1,y1]=primer4(12);

plot(t1,y1(:,1),t1, y1(:,2));

legend('x1','izvod x1');

figure

plot(t1,y1(:,3),t1, y1(:,4));

legend('x2','izvod x2');

8/11/2019 mehanicki_sistemi_primjeri

http://slidepdf.com/reader/full/mehanickisistemiprimjeri 4/4

 ____________________________________________________________________________________Vežba 4

4

Primer 3. Odrediti diferencijalne jednačine koje opisuju rad sistema sa slike ako su za x1=x2=0 oprugenenapregnute. Uzeti u obzir gravitacionu silu. Ako je F(t)=Asin(t), napisati funkciju koja na osnovuulaznih parametara M1, M2, B, K i A vrši simulaciju rada sistema sa slike u početnih 15 sekundi zanulte početne uslove i crta grafik koji prikazuje promenu x1 i x2. 

F(t)

K B

K 

M1

M2

x1

x2

M1

1 x B&1 Kx

)-( 12   x x K    g  M 1

  F(t)

M2

)-( 12   x x K 

 g  M 1

1112111 )(   x B Kx x x K  g  M  x M    &&&   −−−+=  

)()( 12222   t  F  x x K  g  M  x M    −−−=&&

 function yp=djprim5(t,y,M1,M2,B,K,A)

g=9.81;

F=A*sin(t);

yp=zeros(4,1);

yp(1)=y(2);

yp(2)=g+(1/M1)*(K*(y(3)-2*y(1))-B*y(2));yp(3)=y(4);

yp(4)=g-(1/M2)*(K*(y(3)-y(1))+F);

------------------------------------------------------------------------------------------function primer5(m1,m2,b,k,a)

y0=[0;0;0;0];

[t,y]=ode23(@djprim5,[0 15],y0,[],m1,m2,b,k,a);

plot(t,y(:,1),t,y(:,3));

legend('x1','x2')