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estructura ii
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METODO ACELERADO PARA EL ANALISIS DE
PORTICOS PLANOS
Elaborado por: Ing. Luis Pea Plaza Dr MSc Colaborador: Ing. Roberto Pea Pereira Septiembre de 2004 Coro, Venezuela. e-mail: lumape1@yahoo.com
Pgina e : http://es.geocities.com/lumape1/
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RESUMEN
METODO ACELERADO PARA EL ANALISIS DE PORTICOS PLANOS, Luis Pea Plaza, Roberto Pea Pereira 2004, Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda, Coro, UNEFM, Edo. Falcn, Venezuela. Profesor Titular Jubilado. Area de tecnologa, Programa de Ingeniera Civil, Departamento de Estructura. Se sugiere como nombre: mtodo de anlisis de prticos planos; mtodo de Kani-Takabeta-Pea. En esta propuesta se presenta una metodologa que recoge los procedimientos propuestos por los ingenieros Gaspar Kani, Fukujei Takabeya y en menor contenido el de Hard Croos, integrndolos y redefiniendo algunos trminos. Tambin se pueden considerar o tomar en cuenta, si as se desea, los efectos de: Seccin Variable, extremos rgidos y de corte. Se recoge un resumen de las deducciones de: a) Las ecuaciones de rotacin bases del mtodo, b) Los momentos de empotramiento y c) Las constantes elsticas para las ecuaciones de rotacin. Finalmente se realizan ejemplos para: la determinacin de las constantes elsticas, de los momentos de empotramiento y de aplicacin del mtodo propuesto para prticos con desplazabilidad. Como conclusin se puede afirmar que este mtodo es el ms rpido y expedito que existe en la actualidad en su tipo, por lo tanto puede ser usado manualmente y el usuario puede hacer las simplificaciones que desee de acuerdo a su experiencia. Mas adelante se presentar una aplicacin de este procedimiento para el anlisis dinmico de estructuras, ya desarrollada pero que se est estudiando como mejorarla y acelerarla.
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METODO ACELERADO PARA EL ANALISIS DE PORTICOS PLANOS
1. INTRODUCCION.
Este mtodo est basado en el desarrollado inicialmente por Gaspar Kani
quien naci en octubre de 1910 en Frantztal, Serbia, que fue publicado en el idioma
espaol por primera vez en 1968, en ingls en 1957 y en la propuesta mejorada por el Ingeniero Japons Fukuhei TaKabeya, publicada por primera vez en el idioma
espaol en 1969, siendo su primera edicin en Ingls en 1965. Tambin se incluyen
algunos conceptos desarrollados por Hard Croos En todas las publicaciones
mencionadas se inclua el anlisis para prticos con nodos desplazables. Los
autores, Ing. Luis Pea Plaza en colaboracin con el Ing. Roberto pea Pereira,
proponen adaptaciones y redefinicin de algunos trminos para congeniar,
integrar y actualizar ambas propuestas, poniendo al alcance del estudioso
demostraciones pormenorizadas sobre lo que hemos denominado expresiones o
ecuaciones fundamentales de Kani-TaKabeya-Pea, para las influencias de las
rotaciones de las juntas en los momentos llamadas Mi j y para las influencias en los momentos por los giros de los miembros, columnas, considerados
como cuerpos rgidos, llamadas Mi j .
Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotacin para
una estructura o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Prtico
Plano, por medio de aproximaciones sucesivas que se corrigen tambin
sucesivamente. Por tanto es importante recordar las hiptesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotacin como son: a) El material es homogneo, istropo y se comporta como lineal elstico, es decir, todo el material es de la
misma naturaleza, tiene idnticas propiedades fsicas en todas las direcciones y las
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deformaciones, , que sufre son directamente proporcionales a los esfuerzos, , que
resiste y el factor de proporcionalidad se llama modulo de elasticidad, E, es
decir,
= E
(Ley de Hooke), b) El principio de las deformaciones pequeas que
seala que una vez cargada la estructura las deformaciones o desplazamientos
lineales y angulares de las juntas o nodos y de cada uno de los puntos de sus miembros son bastantes pequeos de tal manera que la forma de ella no cambia ni
se altera apreciablemente, c) El principio de superposicin de efectos que supone los desplazamientos y fuerzas internas totales o finales de la estructura sometida a
un conjunto o sistema de cargas se pueden encontrar por la suma de los efectos de cada una de las cargas consideradas aisladamente, d) Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer rden como son: Las deformaciones internas por
flexin siempre, mientras que las por fuerza axial y torsin as como la
existencia de segmentos rgidos se pueden tomar en cuenta o no.
En esta metodologa se seala un procedimiento para tomar en cuenta si
se desea alguna de las tres o todas las consideraciones siguientes: las
deformaciones debidas al corte, los segmentos rgidos en los extremos de los
miembros, as como tambin que los miembros puedan ser de seccin variable
a lo largo de su eje recto. Esto se logra introduciendo sus efectos en la determinacin de las constantes elsticas Ci, Cj y C. Otros efectos como el de torsin puede incluirse en estas constantes dejando al lector tal estudio. La convencin de signos propuesta por Kani y bajo la cual se deducen todas las expresiones a objeto de mantener su propuesta original es la siguiente:
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Para Momentos (M), giro de juntas ( ) y rotacin de miembros ( )
+ Positivos sentido horario o de las agujas del reloj. Esto no quiere decir que no podemos usar la convencin de sentido
contrario como es el de la convencin tradicional de positivos para momentos,
giros de juntas y rotaciones de miembros el sentido antihorario. Esto no altera las expresiones deducidas ya que esto equivaldra hacer el mismo procedimiento con
sentidos contrarios a los indicados en las deducciones, es decir: + . Por lo tanto
podemos utilizar cualquiera de los dos sentidos para la convencin de signos y
ser conveniente indicar la que se utilice cada vez que apliquemos este
procedimiento de clculo.
Llama profundamente la atencin la poca difusin de este mtodo, que a pesar
del tiempo transcurrido desde su publicacin, no haya sido divulgado ampliamente
por autores modernos especialistas en la temtica del Anlisis Estructural. Los
autores no han conseguido hasta la fecha un mtodo de Anlisis Estructural que
supere las ventajas que ofrece, inclusive en comparacin con uno de los mas conocidos el de Hardy Cross, quien naci en 1885 Virginia, U.S.A., publicado por
primera vez en ingls en 1932, desde el punto de vista de lo expedito del
procedimiento, rpida convergencia, buena precisin, prctico, autocorrectivo,
ejecucin manual o automtica. Adems hemos incluido los denominados factores de transporte definidos en el mtodo de Cross para relacionarlos con
este mtodo.
Probablemente la deficiente demostracin que present Kani en su folleto, no
dio garantas a estudiosos de la materia de lo poderoso y de la rigurosidad
matemtica con que se puede demostrar la validez de este mtodo, vaco que creo
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hemos llenado en estas pginas. Este mtodo puede emplearse para anlisis
dinmico de estructuras. Los autores tambin ha desarrollado una versin para
obtener la frecuencia y perodo natural de vibracin de una estructura, que
incluiremos en prximas revisiones.
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2. DEDUCCION DE LAS FORMULAS O ECUACIONES DE ROTACIN PARA UN MIEMBRO DE UNA ESTRUCTURA.
Estas se definen al aplicar el mtodo llamado de los desplazamientos o de
las rotaciones para un miembro cualquiera en una estructura plana, tomando en
cuenta las cinco hiptesis sealadas en la introduccin. Este mtodo es un mtodo
de flexibilidad por que determina factores de flexibilidad que son
desplazamientos producidos por fuerzas unitarias como veremos ms adelante.
Para esto se selecciona un miembro cualquiera, que antes de aplicar a la estructura
un sistema de cargas estar en una posicin inicial y despus de aplicar este
sistema de cargas pasa a una posicin deformada como se indica a continuacin
en la figura 2.1, donde se sealan las deformaciones finales denominadas por i,
rotacin en el extremo i, j, rotacin en el extremo j y i j, rotacin del miembro como
si fuera cuerpo rgido:
Fig. 2.1 Posiciones iniciales y deformadas de un miembro en una estructura.
Por principio de superposicin esta deformada puede ser igual a la suma de
los dos casos siguientes:
xi S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera)
y i j j Posicin deformada del miembro y i i j despus de aplicar las cargas.
S.C.L. yi Li j=L(Longitud del miembro)
o x i j Posicin inicial del elemento o miembro.
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Fig. 2.1a Superposicin para deformada de un miembro en una estructura.
De acuerdo al principio de las deformaciones pequeas, se aplica que: la
longitud del miembro no cambia y los ngulos por lo tanto coinciden con el seno o la
tangente del mismo, esto es:
i j = (yj -yi )/L = y / L. = Giro del miembro como si fuera cuerpo rgido ......... (2.1)
En estas figuras 2.1 y 2.1a S.C.L. significa sistema de coordenadas
locales, que estn referidas con relacin al miembro considerado, en el que la
direccin x coincide con la del eje del miembro antes de aplicar las cargas y la direccin oy es perpendicular a ox. Aplicando el principio de superposicin a la
posicin deformada de la figura 2.1a, como se indica en la figura 2.2 siguiente:
Mj i
y i j j Posicin deformada del miembro Mi j i i j despus de aplicar las cargas.
Mi j y Mj i Son los momentos definitivos o finales en los extremos i y j respectivamente, debido al sistema de cargas.
Figura 2.2 Posicin deformada de un miembro en el sistema real.
Esta ser igual por el principio de superposicin, a un miembro de una
estructura totalmente inmovilizada en las juntas, isogeomtrico, con las cargas
xi S.E.
Mj i
+ y i j j y
i En esta posicin j i i j .
S.C.L. xi Las fuerzas en los extremos Mi j
o x son cero al no existir deformaciones internas en el miembro i j.
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existentes o reales mas el de una estructura hipergeomtrica con los
desplazamientos en las juntas iguales al original o real: i i Mj i
+ y MEi j MEj I Mi j i j
Fig. 2.3 Sistemas equivalentes al real por superposicin.
El Segundo sistema de la figura 2.3 anterior ser igual a resolver el siguiente:
i
= jii
Mi j jijj Mj i
Fig. 2.4 Miembro del sistema hipergeomtrico.
y este a su vez ser igual por superposicin a la suma de estos los dos subsistemas
siguientes:
fi i fi j
Mi j + Mj i
1 fj i fj j 1
Sistema (i) Sistema (j) (Momento unitario en el extremo i) (Momento unitario en el extremo j)
Fig. 2.5 Subsistemas del sistema hipergeomtrico.
Para completar la igualdad del sistema real con los dos subsistemas debe
cumplirse adems con las ecuaciones de compatibilidad o deformaciones
consistentes siguientes:
i = Mi j fi, i + Mj i fi, j ..(2.2a)
j = Mi j fj,i + Mj i fj,j .....(2.2b) De donde despejando Mi j y Mj i se obtiene que:
Mi j = )/()()( ji ijjijjiijijijjji ffffff .....(2.3a)
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Mj i = )/()()( ij ijjijjiiijjiiiji fffffj .....(2.3b)
Donde fi. j = fj.,i por ser el material lineal y elstico, segn la Ley de Maxwell o
de Maxwell-Betti de las deformaciones recprocas, que establece la igualdad de las
deformaciones recprocas.
Los trminos f denominados factores de flexibilidad se determinan por el
principio de las fuerzas virtuales o trabajo virtual complementario, resolviendo los sistemas (i) y (j), es decir: fi i fj i
+
1 1/L fj I 1/L 1/L fj j 1/L 1
X 0 L 0 L
0 1 0 1
Sistema (i) Sistema (j) CORTANTE + 1/L + 1/L
V=1/L V=1/L
MOMENTO 1 - + 1
M = -(1-X/L) = -(1- ) M = X/L =
Fig. 2.6 Ecuaciones y diagramas de los subsistemas con carga unitaria.
De acuerdo a esta figura podemos definir como un factor de flexibilidad
genrico, fi j, en la cual i y j son dos direcciones de desplazamientos lineales o angulares genricas cualesquiera en una estructura o miembro, a un
desplazamiento en la direccin j producido por una fuerza unitaria en la direccin i.
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Ahora bien sumndoles a los trminos de momentos Mi j y Mj i definidas en
ecuaciones 2.3a y 2.3b los Momentos de empotramiento respectivos, se obtienen
reordenando trminos e introduciendo las llamadas constantes elsticas Ci, Cj y C, que ms adelante se definen, las expresiones de los momentos definitivos llamadas
ecuaciones de rotacin, como se indican a continuacin:
M i j = MEi j + EKO Ci i + EKO C j - EKO (Ci + C) i j ..(2.4a)
M j i = MEj i + EKO Cj j + EKO C i - EKO (Cj + C) i j ..(2.4b)
De tal manera que si se conoce el momento en alguno de los dos extremos
por ser articulado o cualquier otra razn, por ejemplo si se conoce el Mj i , se despeja de la 2.4b la rotacin j o Eko j y se introduce en 2.4a, de igual manera que si se
conoce el Mi j se despeja de la 2.4a la rotacin I o EKo i y se introduce en 2.4b, es decir:
EKo j = (1/Cj)(Mj i - MEj I) Eko( i C/Cj + i j (Cj + C)/Cj)
EKo i = (1/Ci)(Mji j - MEji j) Eko( j C/Ci + i j (Ci + C)/Ci)
M i j=MEi j + (C/Cj)(Mj i - MEj I ) + EKO ( i - i j)(Ci2-C2)/Cj
M j i=MEj I + (C/Ci)(Mj i - MEj I ) + EKO( j - i j )(Cj2-C2)/Ci
Para miembros de seccin constante y que solo se tomen en cuenta los
efectos de flexin (S.C.) las constantes elsticas toman los valores de: Ci = Cj = 4 y C = 2, las ecuaciones de rotacin sern:
M i j = MEi j + 4EKO i + 2EKO j - 6EKO i j ..(2.4a`)
M j i = MEj i + 4EKO j + 2EKO i - 6EKO i j ..(2.4b`)
M i j = MEi j+ ()(Mj i - MEj i ) +3EKO( i - i j) Para Mj i conocido . ..(2.4c`)
M j i = MEj i+ ()(Mi j - MEi j ) +3EKO( j - i j) Para Mi j conocido . ..(2.4d`)
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Para definir en forma general Ci, Cj y C, en la figura siguiente se presenta un miembro de directriz recta de seccin transversal variable y con segmentos en los
extremos rgidos:
i j A, I A0 , I0
Xi L (X1+X2) Xj
X 0 Xi X (L Xj) L
W =X / L 0 i = ( Xi / L) = X/L j = (L Xj) / L 1
Fig. 2.7 Miembro de seccin cualquiera con extremos rgidos.
Donde:
I , j : Extremos inicial y final del miembro respectivamente. A0 , I0 : Area y momento de inercia de una seccin transversal seleccionada
en un punto arbitrario cualquiera sobre el eje del miembro o valores arbitrarios cualesquiera.
A = ( ) Ao = Area de una seccin transversal cualquiera; ( ) = ley de
Variacin de A.
I = ( ) I0 = Momento de inercia de una seccin transversal cualquiera ;
( ) = Ley de variacin de I.
X i , X j = Longitudes de segmentos rgidos, en extremos i, j respectivamente,
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en estos se considera que el elemento tiene rigidez infinita
L = Longitud total o luz del miembro.
X = Coordenada a lo largo del eje del miembro o abscisa.
= (X / L)=Coordenada a lo largo del eje del miembro o abscisa adimensional.
f = Factor de forma para la distribucin de los esfuerzos de corte.
E = Modulo de elasticidad longitudinal.
G = Mdulo de corte o de elasticidad transversal.
v = Influencia o efecto de las deformaciones de corte en los
coeficientes elsticos.
Se denominan coeficientes o factores elsticos i , j y y son dependientes
o estn relacionados con los factores de flexibilidad fi i , fj j y fi j respectivamente a
las siguientes expresiones de integrales definidas:
)5.2()//( 2 bdLEIf vojjjL
jXL
LiX
)5.2()//( 2)1( adLEIf voiiiL
jXL
LiX
14
)5.2()//()//( )1( cdLEIfLEIf voijojiL
jXL
LiX
)5.2()(2 dL
jXL
LiX
o
o dLGAfEI
v
En las tres primeras expresiones
i ;
j ;
el trmino
corresponde
al efecto por corte y el otro a los efectos por deformaciones a flexin.
De tal manera que las constantes elsticas Ci , Cj , y C empleadas en
las ecuaciones de KANI y de rotacin vienen dadas por las expresiones :
Ci = j / ( i j
2 ) ..(2.6a) ; Cj = i / ( i j
2 ) ..(2.6b) ;
C =
/ ( i j
2 ) ..(2.6c)
2.1 EJEMPLO PARA DEFINICION DE Xi y Xj :
En el siguiente ejemplo note que los extremos rgidos estn en la zona comn de dos elementos. De igual manera puede considerarse los extremos rgidos en el
elemento vertical.
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* i j *
X * Zona de adicionales extremos rgidos
Xi Xj en columnas.
Fig. 2.8 Miembro horizontal unido a dos elementos verticales.
NOTA: Los mtodos que utilizan Las ecuaciones de rotacin como son el
mtodo de las rotaciones, Cross, Kani y Tacabeya se consideran mtodos de
rigidez ya que en ellos las incgnitas son las rotaciones de las juntas y giros en las columnas o desplazamientos horizontales de los niveles, aunque
indirectamente se utiliza el mtodo de las fuerzas para obtener sus expresiones
y las ecuaciones de momentos de empotramiento. El mtodo de flexibilidad
aplicado a una estructura cualquiera no es prctico ya que cualquier estructura
comn indeterminada tiene muchos sistemas primarios isostticos, mientras
que la rigidez de cualquier miembro y toda una estructura es nica.
2. EXPRESIONES PARA DETERMINAR EN LOS EXTREMOS DE UN
MIEMBRO LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO.
Dado el elemento en la siguientes figura con extremos empotrados, inamovibles:
S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera) i j MEi j MEj i
Fig. 3.0 Caso General.
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Aplicando el mtodo de las fuerzas, seleccionando un sistema primario
isosttico eliminando las fuerzas redundantes seleccionadas como son los momentos
de empotramientos MEi j y MEj i se puede establecer que este caso ser igual
utilizando el principio de superposicin a la suma de los tres casos indicados en la
siguiente figura:
fi,0 S.E. fi,i
+ MEi j
fj,9 1 fj,i
Sistema ( 0 ) Isosttico. Sistema (i) Fi,j
+ MEj i
fj,j 1
Sistema (j) Fig. 3.1 Casos equivalentes por el mtodo de las fuerzas.
Adicionalmente deben cumplirse las siguientes ecuaciones de compatibilidad
de deformaciones o deformaciones consistentes, es decir, las deformaciones en el
sistema original en los extremos del miembro deben ser iguales por el principio de
superposicin a las sumas correspondientes a los tres sistemas, como es:
0 = fi, 0 + MEi j (fi,i) + MEj I (fi,j ) .....(3.1a) 0 = fj,0 + MEi j (fj,i) + MEj I ( fj,j ) ..(3.1b) donde los valores f i j son los que hemos llamado anteriormente factores de flexibilidad y estos son siempre
deformaciones o desplazamientos, de tal manera que uno de ellos es la deformacin
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en la direccin de i producido por una fuerza unitaria en la direccin j. En el caso de fi,0 y fj,0 son las deformaciones en las direcciones i,j respectivamente producidas en el sistema (0) con las cargas del sistema original. Estas ecuaciones de compatibilidad se resuelven obtenindose:
1) Los factores de flexibilidad f por medio del principio de las fuerzas virtuales, de tal manera que el sistema virtual con fuerza unitaria ser el que indica el primer
subndice y el otro sistema es el que corresponde al segundo subndice.
2) Despejar los Momentos de empotramiento ME de 3.1a y 3.1b, obtenindose las siguientes expresiones si se toman en cuenta los efectos de flexin y corte:
)2.3()()(
)()(1
20
2
adww
VLGAfEIdw
w
wMC
dww
VLGAfEIdw
w
wMCiM
L
XL
LX
O
O
OLXL
LX
L
XL
LX
O
O
OLXL
LX O
Eji
j
i
j
i
j
i
j
i
)2.3()()()1(
)()(
20
20
bdww
VLGAfEIdw
w
wMC
dww
VLGAfEIdw
w
wMCjM
LXL
LX
O
O
OLXL
LX
LXL
LX
O
O
OLXL
LX
Eij
j
i
j
i
j
i
j
i
Donde MO y VO corresponden a las expresiones de Momento y Corte en
el sistema ( 0 ) isosttico. Cuando se trabaja manualmente se pueden despreciar efectos de
extremos rgidos y de corte ( VO ) hacindolos iguales a cero, es decir: Xi = Xj = VO = 0
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Si se tiene el caso particular articulado en uno de los extremos
se puede
proceder, aplicando el principio de superposicin como se indica en la siguiente
figura:
S.E. S.E.
i j i j MoEi j MEi j MEj i
Caso un extremo articulado Caso empotrados ambos extremos
+ i j MEj i (C/Cj) MEj i Caso un extremo articulado con Momento aplicado en extremo articulado de signo o
sentido contrario al anterior.
Fig. 3.2 Caso del Momento de empotramiento con un extremo articulado.
POR TANTO EL MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PARA UN EXTREMO
ARTICULADO SER CONOCIDO Y PARA EL EXTREMO EMPOTRADOS SERA: MoEi j = MEi j MEj i (C/Cj ) (Articulacin en extremo j ) ..(3.3a) y de manera
similar con el extremo i articulado se obtiene:
MoEj i = MEj i MEi j (C/Ci ) (Articulacin en extremo i ) ..(3.3b) OJO CON LOS SIGNOS: RECUERDE QUE EN ESTAS ECUACIONES 3.3a y
b LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOS MEi j, MEj i SE COLOCAN CON SU
SIGNO, positivo contrario a las agujas del reloj o negativo en el sentido de las agujas del reloj, o puede trabajar con la convencin contraria, positivo en el sentido de las agujas del reloj si esta ha sido su seleccin personal.
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Estas expresiones tambin pueden obtenerse directamente a partir de las
expresiones 2.4c y 2.4d respectivamente, haciendo i = j = f i j = 0 y Mj i = 0 (3.3a) para articulacin en j o Mi j = 0 (3.3b) para articulacin en i. NOTA EN EL CASO PARA S.C. : C/Ci = ri j = C/ Cj = rj i = 1/ 2 (Usualmente llamado en el mtodo de Cross como FACTOR DE TRANSPORTE del momento
en el extremo i de un miembro al extremo j del mismo miembro o del momento en el extremo j al extremo i respectivamente.)
3.1 FORMULA PARA INTEGRACION NUMERICA:
Pueden emplearse la frmula siguiente (3.4):
Del trapecio: )(21)0(
21)()(
0Nffif
Nab
xfNi
i
b
a o tambin puede utilizarse
cualquier frmula estudiada en clculo numrico como la de Simpson o de Romberg.
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4.1 Ejemplo de clculo de constantes elsticas y momentos de empotramiento para un miembro de seccin variable:
Determinar los momentos de empotramiento y constantes elsticas,
despreciando el efecto de corte, sabiendo que el modulo de elasticidad del material
es E es de 210.000Kg/cm2 (2.100.000Ton/m2), para el siguiente elemento: 5Ton/m
2T/m 0T/m
54cm 60cm
100cm
Curva parablica
15,75cm 0,9725m1,02m 2,00m 2,00m 15cm Nota: En la prctica por condiciones
constructivas 15,75cms son
15 16cms, 0,9725cms son
50cm 35cm 0,97 98 100cms
50cm y 1,02m son 1,00m
1,02m.
Seleccionemos las unidades en que trabajaremos: Ton. y m.
Determinacin de los coeficientes o factores elsticos i , j y
(L-xj)/L = (6,3m-0,15)/6,30m = 0,9762 ; xi /L = 0,1575 /6,30 = 0,025 Coordenada en punto de cambio de seccin: 2,15m/6,30 m = 0,3413
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Determinemos
i segn expresin 2.5a, para lo cual hay que dividir la
integracin en tantas como leyes o frmulas de variacin de inercia se tenga,
en este caso son dos, es decir:
02 dL
jXL
LiX
i = d3413,0
025,0
2
+ d9762,0
3413,0
2
Deduccin de ( ) para coordenada entre 0,025 y 0,3413:
1,00m b
B 0,35m
0,325m b
x 0,1575m 1,13m 2,15m
0,025 0,17937 0,3413 b = 0,325 (0,325/(0,3413-0,025))( -0,025)
b = 0,35069-1,02751
Verificacin para: =0,025 b=0,325 y para =0,3413 b=0
B = 0,35+2b = 1,05138-2,05502
0,75m 0,60m
1,00 H = a 2 + c + e H=1=0,0252a+0,025c+e
H=0,75=0,179372a+0,17937c+e
H=0,60=0,34132a+0,3413c+e
Resolviendo este sistema de ecuaciones para a,c y e resulta :
H=2,15464 2 2,05387 + 1,05
22
Verificando esta para: =0,025 H=1,00; =0,17937 H=0,75m ; =0,3413 H=0,60
Por lo tanto: I = B H3 /12 = (1,0514-2,055 )(2,1546 2 2,0539 + 1,05) 3/12 m4
Si seleccionamos I0 el menor, es decir para = 0,3413
Io = = 0,35X0,603/12 = 0,0063m4 y A0 = 0,35x0,60= 0,21m2 , por lo tanto:
063,01212120
3
0
033 IBH
IIBHBHI esto es:
I = (1,0514-2,055 )(2,1546 2 2,0539 + 1,05) 3 Io/(12x0,0063) m4
I = (13,9074-27,1825 )(2,1546 2 2,0539 + 1,05) 3 Io m4 = a( ) I0 De igual manera se tiene que:
A=BHXA0/A0=(1,0514-2,055 )(2,1546 2-2,0539 +1,05)A0/0,21 A = ( ) A0 De igual manera ( ) y ( ) para entre 0,3413 y 0,9762 (=6,15/6,3) :
I =0,35X0,603/12 =0,0063m4=0,0063 Io / 0,0063 = Io = Seccin constante por lo tanto
( )=( )= 1
Determinacin de las integrales para obtener los factores elsticos i ; j y
segn
las expresiones 2.5a, 2.5b y 2.5c respectivamente y as poder obtener las
constantes elsticas, Ci , Cj y C segn 2.6a, 2.6b y 2.6c esto es:
i = d
3413,0
025,0
2
+ d9762,0
3413,0
2
= df
3413,0
025,0 + d
9762,0
3413,0
2 =
La primera integral la evaluaremos por integracin numrica, dividiendo en cuatro
intervalos iguales, es decir (0,3413-0,025)/4, y la segunda es una integral conocida: ((0,3413-0,025)/4)( f( 1)+f( 2)+f( 3)+(f( 0)/2)+(f( 4)/2)) + (0,97623 0,34133)/3 = Donde: 0 = 0,025; 1=0,025+(0,3413-0,025)/4 = 0,3413+0,079075=0,1041;
23
2= 1+0,079075=0,1832; 3=0,2622; 4=0,3413 , de tal manera que se obtiene:
i = (4.724,8/2+154.048,1+905.385,9+3.533.431,9+11.648.537,1/2)x10-8x0,079075+
0,296843 = 0,104.194.968.5x0,079.075 +0,296843 =
0.008.239.217 + 0,296843 = 0,30508
Si dividimos el intervalo en 10 espacios en lugar de 4 se obtiene:
0 = 0,025; 1=0,025+(0,34130,025)/10 = 0,025 + 0,03163= 0,05663;
2 = 0,05663+0,03163= 0,08826; 3 = 0,08826+0,03163=0,11989;
4 = 0,15152; 5 = 0,18315; 6 = 0,21478; 7 = 0,24641; 8 = 0,027804;
9 = 0,30967; 10 = 0,3413
I =(4.724,8/2+11.648.537,1/2+31.158,7+97.485,9+232.083,3+478.859,0+904.524,0
+1.609.123,7+2.741.869,2+4.526.741,3+7.308.660,2)x10-8x0,03163+ 0,296843 = 7.514x10-6+0,296843 = 0,30436 muy poca diferencia entre 4 y diez intervalos,
0,24%, debido a que el tramo ms largo es de seccin constante, lo que lo hace el
ms importante en la integral de las . Las otras constantes elsticas i y
tendrn
los siguientes valores:
j =(0,071866x0,5+0,086467+0,104029+0,125070+0,150159+0,179925+0,215072+
0,256449+0,305209+0,363206+0,433885x0,5)x0,03163+(0,9762-0,3413) (0,97622 0,34132)+(0,97623 0,34133)/3 ) = 0,1597389 = 0,15974
= (0,001842x0,5+0,005191+0,010071+0,017037+0,026815+0.040342+0,058828+
0,083854+0,117542+0,162928 +0,224814x0,5)x0,03163+((0,97622 0,34132)/2) ((0,97623-0,34133)/3) = 0,1415119 = 0,14151
Por lo tanto las constantes elsticas, Ci , Cj y C y otros valores relacionados con
ellas tendrn los siguientes valores:
( i j - 2) = 0,30436x0,15974 0,141512 = 0,02860
24
Ci = i /( i j - 2) = 0,30436/0,02860 = 10,6420
Cj = j /( i j - 2) = 0,14151/0,02860 = 5,5853
C =
/( i j - 2) = 0,14324/0,02820 = 4,9479
Ci / C = 10,6420/4,9479 = 2,1508 ; Cj / C = 5,5863/4,9479 = 1,1288
Determinemos la ecuacin del Momento en el sistema 0 (M0) isottico: Primero debemos encontrar las reacciones en los extremos del miembro, por
medio de las ecuaciones de equilibrio, suma de fuerzas y momentos iguales a cero
en cualquier punto.
5Ton/m Para hallar la reaccin Vj tomamos momentos
2T/m 0T/m en el extremo i :
+ M1 = 0 = Vj x 6,3m
i j (52)X(1,9925/2)X(0,1575+(1,9925/3)) Vi Vj 2X(1,9925)X(1,9925/2 + 0,1575) (2X2)X(2,15+1)(2X2/2)X(4,15+2/3) = 15,75cm 1,9925m 2,00m 2,00m 15cm Vj X 6,3m 29,28678T-m = 0
x = 0,0 0,1575 2,15 4,15 6,15 6,30 Vj = 4,6487 Ton =x/L 0,0 0,025 0,3413 0,6587 0,9762 1,0 Para encontrar Vi , por suma de
fuerzas verticales:
+ Fv = 0 = -(5+2)X(1,9925/2)- 2X2 - 2x2/2 +Vi + Vj es decir,
-12,97375 + Vj + Vi = 0 por lo tanto Vi = 12,97375-4,6487 = 8,3251 Ton
Hay que encontrar la ecuacin de M0 en los tres intervalos que varia la
carga, efectuaremos para de estos tres tramos de la siguiente manera:
Ecuacin de M0 para x entre 0,1575 y 2,15m ( entre 0,025 y 0,3413 respectivamente) : La ecuacin de la carga aplicada q0(x) es:
25
5T/m +
q0(X) 2T/m Convencin de signos positivos 0,1575m 1,9925m
x 0.1575m 2,15m 8,3251Ton
0,025 0,3413
)1575,0)(9925,1/3(5)( 15,2 1575,00 xxq
De tal manera que la expresin del momento es:
2/)1575,0)((3/)1575,0(22/)1575,0()(53251,8)( 20015,2 1575,00 xxqxxxqxxM
15,21575,00 )(xM =8,3251x +(x-0,1575)3/(3,985)-2,5(x-0,1575)2
Para llevarla a trminos de la variable , como sabemos = x / L por lo tanto:
x = L = 6,3 , sustituyendo esta expresin en esta ecuacin de momentos da:
3413,0025,00 )(M =8,3251 6,3 +(6,3 -0,1575)3/(3,985)-2,5(6,3 -0,1575)2
Las ecuaciones de momentos alternativamente tambin se pueden obtener
por integracin, recuerde que al integrar la carga q(x) se obtiene el corte V(x) y al integrar este cortante se obtendr el momento flector M(x). Veamos a continuacin:
3251,8)1575,0)(9925,1/3(5)1575,0()()(1575,0001575,0 0
15,21575,00
xx
dxxVdzxqxV
26
1313.92371,57528,01313,9)1575,02
(5057,15)(
3251,8)1575,02
(5057,15)(
22
15,21575,00
1575,0
215,21575,00
xxxx
xxV
xx
xxVx
xx
XdxxxMxVxM1575,0
2
1575,0 0015,21575,00 1575,03251,81313,92371,57528,0)1575,0()()(
3112,11313,922371,537528,0)( 1575,02315,2
1575,00
x
xxxxM
06301313,922371,537528,0)(2315,2
1575,00 xxxxM Verifiquemos los resultados
de esta ecuacin con la anterior en x=2,15m ya que deben dar iguales, es decir:
M0(X=2,15) = 0,7528/3X2,153-5,2371/2X2,152+9,1313X2,15 - 0,063 = 9,9589 T-m M0(X=2,15) = 8,3251X2,15 + (2,15-0,1575)3/(3,985) - 2,5X(2,15-0,1575)2 =9.9589 Ecuacin de M0 para x entre 2,15m y 4,15m ( entre 0,3413 y 0,6587 respectivamente) : La ecuacin de la carga aplicada q0(x) es: 2T/m
M2,15 q0(x) = 2Ton/m Obtuvimos anteriormente: V2,15 2,00m M2,15 = 9,9589 Ton-m
x 2,15m 4,15m Detal manera que V2,15 es:
0,3413 0,6587 V2,15 = 8,3251-((5+2)/2)X1,9925 = 1,3514 T. mTonxq /2)( 15,4 15,20 , de tal manera que la expresin del momento es:
2,4309 X 5,6514 X- /22,15)-(X 2- 9,9589 2,15)-(X 1,3514 )( 2215,4 15,20 xM
Para llevarla a trminos de la variable , como sabemos = X / L por lo tanto:
x = L = 6,3 , sustituyendo esta expresin en la ecuacin de momentos
27
4309,2)3,6(6514,5)3,6()( 26587,0 3413,00 xM
Ecuacin de M0 para x entre 4,15m y 6,15m ( entre 0,6587 y 0,9762 respectivamente) : La ecuacin de la carga aplicada q0(x) es: 2T/m
M4,15 M4,15 = Sustituyendo en expresin anterior
V4,15 2,00m = -4,152 + 5,6514X4,15 + 2,4309 = 8,6617 T-m
x 4,15m 6,15m 0,6587 0,9762 V4,15 = V2,15 2X2 = 1,3514 4 = -2,6486T.
mTonxxxq /)15,6(15,4)(2/2(2)( 15,6 15,40 , de tal manera que la expresin del
momento es:
)15,4)(3/2(2/)15,4()(26617,8)15,4(6486,2)( 0015,6 15,40 xxxqxxM
3/)15,4(6617,8)15,4(6486,2)( 315,6 15,40 xxxM
4779,438711,1915,43
)( 23
15,615,40 xx
xxM
Para llevarla a trminos de la variable , como sabemos = x / L por lo tanto:
x = L = 6,3 , sustituyendo esta expresin en la ecuacin de momentos resulta:
4779,43)3,6(8711,19)3,6(15,43
)3,6()( 23
9762,06587,00M
Dejaremos al lector como ejercicio la determinacin de los momentos de empotramiento en los extremos aplicando las expresiones antes descritas y por
integracin numrica. Tambin seran necesarias las ecuaciones del corte si se
quieren tomar en cuenta los efectos del cortante en los momentos de
empotramiento, se deja tambin al lector esto como ejercicio para que compare que diferencia existe si se toman en cuenta o no estos efectos.
28
5. DEDUCCION DE ECUACIONES FUNDAMENTALES DE KANI.
5.1 EXPRESIONES PARA ESTRUCTURAS CON ELEMENTOS EJE RECTO Y
SECCION CUALQUIERA O CONSTANTE.
Sea la ecuacin de rotacin para un miembro definida anteriormente en 2.4a,
es decir: M i j = MEi j + EKO Ci i + EKO C j - EKO (Ci + C) i j ..(2.4a)
Redefinamos algunos trminos para proceder segn metodologa propuesta
por KANI de la siguiente manera:
K i j = KO C = IO C .........(5.1)
2 Li j 2
Mi = 2E i = Participacin en los momentos por influencia del giro i de la junta i, en los extremos i de los miembros que llegan a ella .....(5.2a)
Mj = 2E j = Participacin en los momentos por influencia del giro j de la junta j, en los extremos j de los miembros que llegan a ella ...(5.2b) Mi j = Mj i = 6E i j = Participacin en los momentos en los extremos i y j del miembro i j por influencia de la rotacin o giro i j del miembro i j
. ............................(5.2c)
Por lo tanto de 5.1:
KO = (2 K i j ) / C .....(5.3a) o lo que es lo mismo:
KO = (IO / Li j ) (2/C) .....(5.3b) donde: IO = Inercia de una seccin de referencia para el miembro considerado, en un punto cualquiera del eje del miembro, usualmente la menor o en el centro del tramo, o si el miembro es de seccin constante es la inercia de esta seccin. Esta inercia puede referirse con relacin a un valor cualquiera arbitrario seleccionado para toda la estructura. Li j = Longitud del eje del miembro, o para simplificar simplemente = L
De tal manera que si el miembro es de seccin constante, no tiene extremos rgidos y no se toman en cuenta los efectos de corte se tiene que C = 2 por tanto:
K i j = KO (2/2) = KO ...............................................(5.3b)
29
Sustituyendo estas expresiones 5.2a, 5.2b, 5.2c y 5.3a en 2.4a se obtiene que el Momento definitivo o final M
i j , en el extremo i de un miembro i j resulta ser: M
i j = ME i j + Ki j Mi Ci + Mj Ki j + Ki j Mi j (Ci + C) ...............(5.4a) C 3C
De igual manera se obtiene la expresin del momento en el otro extremo Mj i es decir:
M j i = ME j i + Ki j Mj Cj + Mi Ki j + Ki j Mi j (Cj + C) ...............(5.4b)
C 3C
Ci/C y Cj/C son los inversos de lo que se denominan en el mtodo de Cross como Factores de Transporte ( ri j = C/Ci) del Momento de i para j y ( rj i = C/Cj) del Momento de j para i respectivamente.
Kani defini el siguiente trmino como Factor de correccin para Mi j
bi = (Ci+C)/ (3C)
Consideremos el caso de un miembro cualquiera ( i j ) de una estructura y su deformada final, para el cual aplicando el principio de superposicin se puede indicar
sus efectos totales reales como la suma de varios casos aislados:
Mj i S.E. (Solicitaciones o acciones externas)
i j Los Momentos en los extremos son los
Deformada
j j , j definitivos o finales, Mi j y Mj i , y estos
i i extremos giran i j y se desplazan linealmente,
Mi j i L produciendo el giro o rotacin del miembro i j
Caso: Sistema original real .
Aplicando el Principio de Superposicin de Efectos este caso ser igual o
puede expresarse como la suma de los cuatro casos siguientes vea las ecuaciones
de rotacin modificadas segn KANI 5.4a y 5.4b :
30
S.E.
j MEj i Las Fuerzas en los extremos se denominan de empotramiento, que impiden que las juntas
se desplacen linealmente o giren, entre ellas estn
i i = j = i j = 0 los Momentos de Empotramiento, MEi j MEj i ,
MEi j que impiden que las juntas giren o roten. Caso: Sistema ( 0 ) Miembro con Juntas inmovilizadas.
j Ki j Mi j Ki j Mj ( Cj / C )
j = i j = 0 i = i j = 0
i i Caso: Sistema (1) i Caso: Sistema (
2
)
Ki j Mi ( Ci / C ) Influencia del giro i
Ki j Mj Influencia del giro j
j = 0 j Ki j Mj i (Cj + C) / (3C)
i j Mi j = Mj i
j
i i = 0 Caso: Sistema (3) Influencia del giro del miembro ( i j )
i
Ki j Mi j (Ci+C) / (3C)
El sistema (0) se suele llamar sistema primario con Momentos de Empotramiento en los extremos (ME ), y al conjunto de los sistemas o subsistemas (1),(2) y (3) se denomina usualmente Sistema Complementario,
31
que toman en cuenta los giros de las juntas i ,
j , y rotacin del miembro
como cuerpo rgido i j .
5.1.2 INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS (Mi ) DEBIDO A
LOS GIROS O ROTACIONES EN LAS JUNTAS i .
Si en una junta i cualquiera aplicamos la condicin de equilibrio, es decir, suma de todos los momentos M i j segn 5.4a de todos los miembros o elementos
que llegan a ella resulta:
M i j =
MEi j + Ki j Mi (Ci/C) + Ki j Mj +
Ki j Mi jj (Ci + C) / 3C = 0 (i ) (i ) (i ) (i ) (i ) Despejando el trmino
Ki j Mi (Ci/C) se obtiene:
(i )
Ki j Mi (Ci/C) = [
MEi j +
Ki j Mj +
Ki j Mi j (Ci + C) / 3C ] ........(5.5) (i ) (i ) (i ) (i )
Si multiplicamos las expresiones (5.2a) por Ki j Ci /C de cada uno de los mismos y todos los miembros que llegan a la junta i considerada y se suman todas ellas se obtiene:
Mi Ki j Ci =
2 E i Ki j Ci y debido a que todos los extremos de los miembros que (i ) C (i ) C
llegan a la junta i, continua y rgida, giran en cada caso el mismo ngulo de giro i ,
se puede decir que:
Mi Ki j Ci
= 2E i Ki j Ci Despejando 2E i que es Mi
(i ) C (i ) C
segn se defini en (5.2a) resulta que: Mi = ___1 ____
Mi Ki j (Ci)
K i j (
Ci) (i ) (C)
(i ) (C)
y colocando el valor del numerador segn (5.5) en esta y designando parmetros similares a los propuestos por Kani se obtiene lo que denominamos como:
32
EXPRESION FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA PEA PARA Mi Mi = i [ M i + Ki j Mj +
Ki j Mi j b i ] ...............(5.6a)
(i ) (i )
Donde: i = 1 .....(5.6b) Se le llama factor de giro
2 Ki j (Ci)
(i ) 2C de la junta considerada.
M i =
MEi j ....(5.6c) y se le denomina Momento de
(i )
Sujecin del nodo o junta i, que impide el giro del mismo.
b i = (Ci + C) / (3C) ......(5.6d) es el factor de correccin para las
influencias Mi j , de los momentos debidos a los giros de los miembros
i j , para
miembros de seccin variable, con o sin extremos rgidos y/o con o sin efectos por
corte.
Si todos los miembros que llegan a una junta i son de SECCION CONSTANTE, sin extremos rgidos y no se toman en cuenta los efectos de corte, entonces los
valores de las constantes elsticas son:
Ci = Cj = 4 ; C = 2, resulta entonces que:
bi = bj = 1 ; i = 1 1 ........... (5.5e)
2
K i j
(i )
33
5.1.3 MODIFICACION DE LA RIGIDEZ PARA ELEMENTOS CON
EXTREMOS ARTICULADOS.
De la expresin de la ecuacin de rotacin para miembros de seccin variable
para un extremo articulado considerando solo la influencia o trmino con i :
Este momento es EK o i ( Ci C 2 ) y como K O = (2K i j )/C, entonces
Cj
tambin ser igual a = (Ci Cj C 2
) 2EK i j
i .....(5.6a) Llamemos a esta Cj C K
i j como Koi j
i j i
y si ambos extremos son continuos este momento segn expresin (5.4b) y caso: sistema1 anterior ser igual a K
i jMi (Ci) / (C ) , y como segn ecuacin (5.2a)
Mi = 2E i , es decir este momento para ambos extremos continuos ser igual a
2EK i j i Ci / C ......(5.6b)
i i j
Igualando estos dos momentos (5.6a) = (5.6b) resulta que la rigidez Koi j de un miembro articulado deber multiplicarse por un factor para obtener y usar en los
clculos una rigidez equivalente K i j como si el miembro tuviera ambos extremos
continuos o rgidos, es decir:
K i j = Koi j ( 1 C2
)
= Koi j ( 1 r i j r j i ) =KoC (1 - ri j rj i) .......(5.7a) Ci Cj 2
Donde usualmente ri j = C/Ci = Factor de transporte (Definido as por Hardi Cross en su mtodo de anlisis estructural) de Momentos
34
desde la junta i para la junta j o simplemente factor de transporte de i para j. rj i = C/Cj = Factor de transporte de j para i.
ijji rrCiCjC 11
2
Factor de correccin para rigidez
modificada por extremo articulado. .......(5.7b) De tal manera que si la SECCION ES CONSTANTE sin extremos rgidos y
se desprecian los efectos por deformaciones de corte:
Ci = Cj = 4 ; C = 2; r i j = rj i = 1/2 ;
K i j = (3/4) Koi j .............(5.7c)
5.1.4 INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS, Mi j ,
DEBIDO A LA ROTACION O GIRO DE LOS ELEMENTOS i j .
En el caso de prticos solo los elementos verticales o columnas son los que
sufrirn giro de miembro , ya que los extremos de los elementos horizontales se
trasladan horizontalmente sin que ellos sufran desplazamientos verticales, por lo
tanto no rotan. Por lo antes dicho solo las columnas son los nicos elementos de
los sistemas estructurales aporticados que tendrn influencias Mi j en los
momentos extremos. Esto partiendo de la hiptesis de las ecuaciones de rotacin
que no toman en cuenta o desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas
axiales.
Este efecto de traslacin por desplazamientos horizontales que sufren las
juntas de un prtico se denomina usualmente desplazabilidad lateral o simplemente
35
DESPLAZABILIDAD. Recordemos que este mtodo resuelve el sistema de
ecuaciones rotacin para toda la estructura, por lo tanto se cumplen las bases del
mtodo de los desplazamientos, que descompone los efectos del sistema real en la
suma de los efectos de otros dos como indicamos a continuacin:
S.E. Este sistema real, con sus solicitaciones
Existen externas cualesquiera (S.E.), Hipergeomtrico,
i , j , i j es decir, un sistema con grados de libertad,
que son desplazamientos independientes, G.D.L.
mayores que cero. En ste existen juntas que
sufren giros o rotaciones
(Desplazamientos
angulares) y/o desplazamientos lineales, G.D.L.
0 que provocan en algunos miembros, como
indicamos al principio de este punto, en las
columnas, giros como cuerpos rgidos,
i j . Los momentos en los extremos de
cada miembro se llaman usualmente momentos finales o reales, Mi j .
Los efectos o resultados de este sistema lo podemos obtener por el Principio
de Superposicin como la suma de los efectos de los dos sistemas que indicamos a
continuacin:
36
S.E. HEi +1
HEq i +1
i , j , i j = 0 ( son conocidos) HEi HEq i
HEqi = HEi
HEi-1 +
HEq i -1
G.D.L. = 0 G.D.L. 0
Sistema isogeomtrico; Sin grados de libertad, Sistema hipergeomtrico;
(G.D.L.=0), sin desplazamientos en las juntas, llamado Complementario, con las
estn inmovilizadas, i = j = i j = 0. Igual al mismas dimensiones, caractersticas,
sistema real en dimensiones, caractersticas. del sistema original, sin S.E. y con
y S.E. En este existen Los Momentos de los mismos desplazamientos i , j ,
Empotramiento MEi j
, que impiden los i j , G.D.L. igual al real. En este
giros ( ) de las juntas y las fuerzas HEi actan las fuerzas HEqi , llamadas
llamadas Fuerzas de Empotramiento, Fuerzas Horizontales Equivalentes que
que impiden los desplazamientos que son iguales pero de sentido contrario
horizontales de las juntas y por lo a las fuerzas de empotramiento HE i .
tanto los giros i j de los miembros. En este sistema existen las influencias
de los momentos Mi debidas a los giros
y las influencias de los momentos Mi j
debidas a los giros i j de los miembros.
37
Consideremos una columna cualquiera i-j , en un piso p tambin cualquiera y en el sistema complementario:
i j i i Vi j = Fuerza de corte en extremo i.
i j Mi j El piso p est limitado por un nivel
superior i y por otro inferior j
Piso p i j = i j / hi j = Para ngulos pequeos
j j su valor en radianes prcticamente Mj i coinciden con el de la tangente.
Si tomamos momentos en la junta inferior j resulta:
+ 0jM
Mi j + Mj i + Vi j hi = 0 , despejando Vi j se obtiene:
Vi j = ( Mi j + Mj i ) / hi j ......... (5.8 )
Sumando todos los cortes (Fuerzas cortantes) de todas las columnas de un mismo piso p y si todas tienen la misma altura se tiene que:
Vp = Corte total del piso p = Vi j = (Mi j + Mj i ) / hi j Sustituyendo a Mi j y a Mj i
(p)
(p)
por sus valores segn expresin (5.4a) de la ecuacin de rotacin y como todos los miembros de una mismo piso (Columnas) tienen el mismo valor para Mi j segn
expresin 5.2c ya que tienen los mismos i j = P y hi j = h P , por tanto el mismo
i j = i j / hi j =
P , es decir:
p =
p / h p , llamaremos a este Mi j como Mp
influencias de los momentos debidas a los giros i j =
p y multiplicando y
dividiendo por tres cada miembro y como en el sistema complementario no hay
momentos de empotramientos se tiene que:
38
biMKMKMKCCi
CCCiMMKMK
CCiM PjijjiijiPjjiijiji
,,,,,,,,
3
. ..........(5.9a)
.....(5.9b) Por lo tanto se obtiene:
Pp
Pjip
jjip
ijip hbjbiMK
CCCjMK
CCCiMKV
)(
)(
)(
33
33
33
........(5.10) Despejando el trmino con Mp resulta:
bjMKbiMKhVbjbiMKp
jjip
ijijip
pPji
)(
,
)(
,
)(
,,
33
.........(5.11a)
Como segn ecuacin (5.2c) Mp = 6E
p = 6E p / h p ........(5.11b) y si se multiplica cada Mp de cada columna por el factor Ki j (bi+bj) / 3 y se suman todos estos trminos de las columnas de un mismo piso se obtiene:
)()(
,,
3)(6
3 p PPji
pPji h
bjbiEKbjbiMK .....(5.11c) Igualando los
segundos trminos de las expresiones (5.11a) y (5.11c) y sacando fuera los
trminos
P y hP de la expresin
donde ellos estn y despejando de aqu el
cociente P / h P se obtiene que:
P / h P = )()(
)(
)(23 p
jip
jjip
ijiPp bjbiEKbjMKbiMKhV sustituyendo
este valor en la expresin (5.2c) de Mi j ahora llamado MP resulta:
biMKMKMKCCi
CCCiMMKMK
CCiM PjiijijjiPijijjiij
,,,,,,,,
3
39
)()( )(
)(236p
jip pjjiiji
PPP bjbiEKbjMKbiMK
hVEM
ordenando y definiendo algunos trminos nuevos se obtiene la ECUACION
FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA-PEA PARA Mp y Mi j de la manera siguiente:
)(
pjjiijipjiP bjMKbiMKMM
.....(5.12a)
M p = Mi j = - 6 E P Si todas las columnas de un mismo piso tienen la
hP misma altura hP
Donde:
)(
2
123
pji
P bjbiK = Factor de corrimiento del piso p
.......(5.12b) Se calcula para cada piso.
33ppjip
p
hVhVM = Momento del piso (p). Se calcula
.....(5.12c) para cada piso.
Si todas las columnas del mismo piso tienen seccin constante sin
extremos rgidos y se desprecian las deformaciones por corte, se tendr:
bi = bj = ( Ci + C ) / (3C) = (Cj + C ) / (3C) = (4 + 2) / (3x2) = 1 (bi+bj) /2 = (1+1)/2 = 1
)(
123
pji
P K ...(5.13a) )(
pjijipPP MMKMM ...............(5.13b)
40
5.1.4.1 EXPRESION PARA M P CON COLUMNAS DE DIFERENTES ALTURAS.
Consideremos el siguiente esquema general de columnas con diferentes
alturas:
P P P Tomemos una altura como
referencia, hp , cualquiera,
i j 1 i j 2 hi j 2 i j 3 generalmente la de mayor
hi j 1 hi j 3 magnitud y empotrada en sus extremos, es decir:
hp = hi j 1
Definamos el Factor de correccin por diferencia de altura para cada columna de un mismo piso C
i j como: Ci j 1 = hp / hi j 1 = 1 ; Ci j 2 = hp / hi j 2 ; para una columna k cualquiera del piso p Ci j k = hp / hi j k o para simplificar la
nomenclatura: Ci j = hp / hi j .....(5.14a) hi j = hp / Ci j .......... (5.14b) y sustituyendo en (5.8) :
Vi j = - (Mi j+ Mj i) / hi j = - (Mi j+ M j i ) / (hp / Ci j ) Sustituyendo a Mi j y a Mj i por sus valores segn expresin 5.4a y 5.4b, y segn expresin (5.2c) a Mi j = Mj i = 6E
i j = -6E P/ hi j = (-6E P/ h p )Ci j = Mp Ci j as como multiplicando y dividiendo por tres todos los trminos del segundo miembro y ordenarlos se obtiene:
pjiPjijijjijiijiji hCbjbiMKC
CCCjMKC
CCCiMKV 2
33
33
33
Sumando todos los cortes Vi j de todas las columnas de un mismo piso (p) :
2
)( )(
)(
)( 33
jip p
Pjijijjijip
ijipP
JIp CbjbiMKbjCMKbiCMK
hVV
......(5.15a)
y despejando de esta expresin el trmino que contiene MP :
41
)( )(
2
3)
3(
p p pjijjijiiji
ppjiPji bjCMKbiCMK
hVCbjbiMK
.........(5.15b) como MP = -6E P = -6E P / h P .........(5.16)
Multiplicando ambos miembros de 5.16 por Ki j C2i j(bi+bj) / 3 y se suman todos estos trminos de las columnas de un mismo piso y sacando del signo
los coeficientes constantes para el mismo piso (p) se obtiene:
)( )(
2ji
2ji )( K
23
Kp p
jip
PjiP Cbjbih
ECbjbiM .......(5.17a)
igualando los segundos trminos de las ecuaciones (5.15a) y (5.17a) y despejando
P/hp resulta:
)(
2
)(
)(
'
)(2
)3(
pjiji
pjiijjiji
pjijipp
p
P
CbjbiKE
biCMKbiCMKhV
h .
.........................................(5.17b) Sustituyendo este valor de ( P / hp ) en la ecuacin (5.16) y multiplicando y
dividiendo el denominador por dos resulta modificada la ecuacin fundamental de
Kani-Takabeya-Pea para MP de la manera siguiente:
)(
pjijijippP bjMbiMCKMM
.......................(5.18a) y adems
se tiene que:
Mi j = Mj I = MP Ci j .....(5.18b)
33/
)(
pPp
pjip
hVhVM
.......................(5.18c)
)(
2
2
123
pjiji
p
CbjbiK ......(5.18d)
42
5.1.4.2 EXPRESIN PARA Mi j PARA COLUMNAS ARTICULADAS Y DE
DIFERENTES ALTURAS.
P Busquemos una columna P i i i i equivalente con dos
M* * M *
i j extremos rgidos que i j = /hi j = /hi j
hi j produzca el mismo hi j
efecto para Mi j
j j j j Si igualamos los momentos en el extremo i en cada caso ( M* = M** )
producidos por los giros del miembro ( i j y i j) para conseguir el valor de hi j que
produce el mismo efecto del momento (MP ), segn las ecuaciones de rotacin:
2
00
2
)(ji
P
ji
P
hCiCjCCiCj
EKCCih
EKCj
CCiCj
Momento (**)
Factor de correccin para rigidez
Momento (*) Modificada por extremo articulado. Despejando hi j resulta: hi j = hi j (Ci + C) = hi j mi j ...(5.19a) y si la articulacin
Ci est en el extremo i se obtiene de igual manera que:
hi j = hi j (Cj + C) = hi j mj i .......(5.19b) y si el miembro es de seccin Cj
constante y sin extremos rgidos y se desprecian las deformaciones por corte:
hi j = hi j ( 3 / 2 ) ......(5.19c)
Por tanto: Ki j Mi j= - Ki j 6E P = - Ki j 6E P . = - Ki j MP
....(5.19d) hi j hi j (Ci+C)
m
Ci Encontremos una expresin para Mi j para columnas con un extremo
articulado, en el sistema complementario:
43
I Tomando momentos en j:
hi j + M j = 0 = (Mi j Vi j hi j ) de donde:
Vi j = Mi j / hi j ....(5.20a)
j Segn expresin (5.4a) aplicable para miembros con = 0
ambos extremos rgidos : Mi j = MEi j + (Ci/C) Ki j Mi j + bi Ki j Mi j y sustituyendo en (5.20a) resulta:
Vi j = (Ci Ki j Mi + bi Ki j Mi j) / hi j .....(5.20b) despejando hi j de expresin (5.19a) C resulta: hi j = hi j Ci/(Ci+C) y como segn ecuacin (5.14a) se tiene que hi j = hp / Ci j y sustituyendo hi j en esta ltima expresin 5.20b de Vi j se obtiene:
)(
CCiCCih
MbiKMKCCiV
ji
pjijiijiji Despejando de sta el
trmino que contiene Mi j , multiplicando y dividiendo por tres el segundo trmino y
ordenando trminos se obtiene:
CiCCiCMK
CCihV
CiCCibiCMK jiiji
pjijijiji
333 si se suman todos
estos trminos de todas las columnas de un mismo piso:
)( )(
)(
333
p pjiiji
p
pjijijiji C
CCiCMKh
VCi
CCibiCMK es decir,
)(
)(
3p
jiijipp
jijiji biCMKMCiCCibiCMK ............(5.21a)
De expresin (5.2c ) y (5.14b) se tiene: Mi j = 6EKi j i j = 6EKi j
hi j Mi j = 6E P Ci j = MP C i j ..........(5.21b)
hp Multiplicando ambos miembros de esta ecuacin por bi Ci j Ci +C y sumando Ci
todos estos trminos de todas las columnas de un mismo piso (p) resulta:
44
)( )(
2 6p p
jijip
Pjiji Ci
CCibiCKh
ECi
CCibiCM igualando el segundo
trmino de esta ecuacin con el de la (5.21a) y despejando / hp :
)(
2
)(
6
3
pjiji
pjiijip
p
P
CiCCibiCKE
biCMKM
h y sustituyendo en (5.21b):
)(
)(
2
)
223
pjiijip
pjiji
jiji biCMKM
CiCCibiCK
CM
Si dentro de un mismo piso (p) existen columnas articuladas en extremos i ,
y/o en extremos j y/o con extremos no articulados (Rgidos) y como: Mi j = 6E P Ci j = Mp C i j de donde Mp = M i j / C i j
hp se puede decir que a continuacin se tiene lo que hemos denominado como:
45
EXPRESIN O ECUACION GENERAL FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA-PEA PARA Mp :
)(
pjijijippP bjMbiMKCMM .....(5.22a)
M i j = MP Ci j = - 6 E P Ci j
hP Donde: Ci j = hP / hi j ; hP = Altura patrn del piso p ; hi j = h I j (Altura real de columna) x m m = (Ci+C) / (Ci) = (Cj+C) / (Cj) Factor de correccin solo para columnas articuladas en extremo i o en extremo j respectivamente. En columnas no articuladas m = 1.
)(
2
2
123
pjiji
p
mbjbiCK
= Factor de corrimiento del piso (p).
.......(5.22b) Se calcula para cada piso.
Mp = (Vp hp)/ 3 = Momento del piso (p) ........(5.22c)
CiCjCCiCjCKK ji
20
2 Rigidez modificada para columnas articuladas.
Con K0 = I0/Li j ; I0 = Inercia de referencia.
20CKK ji = Rigidez para columnas sin articulaciones.
SI LAS SECCIONES DE LAS COLUMNAS SON DE SECCION CONSTANTE, NO
TIENEN SEGMENTOS EXTREMOS RGIDOS Y NO SE DESPRECIAN LAS DEFORMACIONES POR CORTE SE TENDRA QUE: m = 3/2 ; Ki j = K0 3/4 ;
y Ci j = hi j 3
( Para columnas articuladas) hp 2
m = 1 ; Ki j = K0 = I0 / L y Ci j = hi j / hp Para columnas no articuladas
NOTA: En columnas articuladas en ambos extremos su rigidez Ki j = o
46
6. ALGORITMO DE TRABAJO PARA ESTE METODO
I. ASPECTOS GENERALES:
a)SELECCION CONVENCION DE SIGNOS Y UNIDADES
( +) Para , y M positivos sentido horario .
Las unidades usuales son cm y Kg o m y Ton.
b)IDENTIFICACIN NUMRICA DE LAS JUNTAS
I I DETERMINACIN PREVIA DE VALORES INVARIABLES: I I . I PARA CADA MIEMBRO :
LAS CONSTANTES ELASTICAS : C, Ci, Cj segn el punto 2
SU RIGIDEZ : K i j = K0 C / 2 y si tiene un extremo articulado la rigidez
modificada. K
i j = Koi j ( 1 C2
)
= Koi j ( 1 r i j r j i ) =KoC (1 - ri j rj i) Ci Cj 2 Si es de seccin constante, sin extremos rgidos y sin considerar efectos por
corte (SC) : C = 2 ; Ci = Cj = 4 ; K
i j = Ko ( ) y K i j = K0 (3/4) (Modificada para un extremo articulado ).
LOS MOMENTOS ( MEi j ; MEj i ), Y FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO
HORIZONTALES ( HEi j ; HEj i ) . I I . I I EN CADA JUNTA O NODO CUALQUIERA ( i ) donde llegan por lo menos dos miembros contnuos y que no sean juntas de apoyo:
Momento de Empotramiento MEI : Si hay momentos en las juntas.
EL MOMENTO DE SUJECION : M i =
MEi j + MEi = suma de todos los ( i ) momentos de empotramiento en la junta.
47
LOS FACTORES DE GIRO p DE JUNTA:
)( 2
121
iji
i
CCiK
(SC) )(
121
iji
i K
MEi j
EN CADA NODO COLOCAR ki j MEi j MEi j
EL RECUADRO: ki j M i ki j
Ki j = 0 ; I =
-- LAS FUERZAS EQUIVALENTES HORIZONTALES EN LOS NODOS QUE
NO SON APOYOS = Iguales en magnitud pero de sentido contrario a las de
empotramiento mas las fuerzas horizontales externas aplicadas en las
juntas ( HEQi j = -HEi j ; HEQj i = -HEj i ).
I I.III EN CADA PISO ( p ) : Limitado por dos niveles superior ( j ) e inferior ( i ): -- Seleccionar la altura patrn o de referencia, se recomienda tomar la de la columna de mayor valor h
p . -- El Corte Total en el piso: V
p = Vi j . (i) Donde Vi j son todas las Fuerzas Equivalentes Horizontales por encima del piso considerado.
-- EL MOMENTO DE PISO: M p = Vp hp / 3
-- LOS FACTORES : bi , bj :
bi bi=0 bi bi = (Ci+C) / (3C) Para Columnas
bj bj bj=0 bj = (Cj+C) / (3C) (SC): bi=bj=1
48
- LOS FACTORES : Ci j , m : Ci Ci Ci = 0
i i i
Ci j = h p / h i j Ci j = mh
h
ji
p
Ci j =mh
h
ji
p
h i j m = 1 h i j m =(Ci+C) h i j m =(Cj+C)
Ci Cj
m =3/2 (SC) m
= 3/2 (SC)
j j Cj Cj=0 Cj
EL FACTOR DE CORRIMIENTO P del piso considerado:
)(
2
2
123
pjiji
P
mbjbiCK
Si todas las columnas del piso son de seccin constante, sin extremos rgidos y no se
toma en cuenta el efecto por cortante: bi =1 , bj =1 , (bi+bj)/2=1/2, m =3/2 (Un extremo articulado) , m = 1(Ambos extremos continuos no articulados, [bi+bj]/2=1 ). III. PROCEDIMIENTO DE CALCULO POR APROXIMACIONES SUCESIVAS:
III . I En cada piso aplicar la expresin:
Mi son los M en los extremos superiores de las columnas del piso p considerado
)(
pjijijipPP CKbjMbiMMM Mj son los M en los extremos
inferiores de las columnas del piso p considerado. Los valores iniciales de M se
toman iguales a cero.
49
III . II En cada junta o nodo de la estructura que llegan dos o ms miembros sin Articulacin aplicar la siguiente ecuacin:
Mj son los Mde las juntas de los extremos opuestos de todos los miembros que llegan a la junta i considerada
)( )(
i ijijiPjijiii biCKMKMMM
Mp son los M de las columnas
que llegan a la junta considerada III . III ESQUEMA PARA LLEVAR LOS CALCULOS ANTERIORES III .I Y III .II:
MEij M
p+1 = Ki j MEip MEiq
Ki p Ki q Mi Ki k
i M Momentos Finales
(VER ADELANTE III.V) MEik M
M
bi = MP bj = m =
p = C i j =
M = 0
MEk MEki = 0
Kk i = 0 MEkr MEks = 0
Kk r Kk s M
M Kk t
k
MP -1 MEkt M
p-1 = bi = bj = m = C
i j =
MI
Mk
M p +1 =
M p =
M p 1 =
50
III . IV SE LOGRA LA CONVERGENCIA ?
Todos los Mi son aprox. = a los Mi anteriores?
Todos los MP son aprox. = a los MP anteriores?
NO IR A III . II
III . V SI NO HACER MAS CICLOS Y CALCULAR LOS MOMENTOS FINALES
SEGN Mi j = MEi j + Mi Ki j (Ci / C) + Mj Ki j + MP Ki j Ci j bi Mi i = MEj i + Mj Ki j (Cj / C) + Mi Ki j + MP Ki j Ci j bi
Tambin se pueden obtener las rotaciones, i, de las juntas y las rotaciones o giros, f , de las columnas de las expresiones: i = Mi / (2E) ; f = P / Altura real de la columna ; P = -( hP MP ) / (6E) . OBSERVACIONES:
Cuando las rigideces se obtienen en funcin de una inercia de referencia
para toda la estructura llamada Ir, o una rigidez de referencia llamada Kr,
entonces los valores que se iteran son M/Ir y M/Ir o M/Kr y M/Kr
respectivamente. De tal manera que los factores de giro y de corrimiento
estarn en funcin de 1/Ir o 1/Kr.
Los primeros valores o los valores iniciales como no se conocen de M
se toman iguales a cero. El orden de los clculos es arbitrario porque el
mtodo es autocorrectivo y si cometemos algn error aumentar el nmero
de ciclos.
Cuando se hacen clculos manuales e incluso automticos mediante el uso
de programas de computacin, es importante hacer notar que cuando se
trata del anlisis de un prtico por cargas verticales los efectos ms
51
importantes se deben a las influencias M y se pueden despreciar los
efectos por M, lo contrario para cargas horizontales los efectos M son los
ms importantes y los M podemos despreciarlos.
En el caso de Prticos espaciales, podemos suponer que no hay torsin
en planta y todas las columnas de un piso tienen la misma desplazabilidad,
es decir habr un solo M por piso y todas las columnas del piso colaboran
en el nico factor de corrimiento para el mismo y habr un solo Momento de
piso. Un procedimiento mas exacto sera considerar un momento de piso
producido por la fuerza horizontal equivalente y un factor de corrimiento para
cada prtico, es decir, cada prtico tendr una desplazabilidad distinta.
7. COLUMNAS QUE PERTENECEN A MAS DE UN PISO
7.1 Veamos el siguiente caso:
La columna D tiene un
p = 3 sector que pertenece a
2 a dos pisos 2 y 3.
p = 2 Se puede tratar de dos
1 maneras segn sea el
p =1 caso. 0 A B C D
a) Si existe una placa rgida por ejemplo a nivel 2 : Esta rigidez produce que todos los desplazamientos horizontales del piso sean
iguales y por lo tanto podemos suponer una viga ficticia de dimensiones nulas:
52
La viga ficticia en el nivel de la
Ki j = 0 placa tiene rigidez nula, Ki j = 0
Ai j = 0 y rea transversal nula Ai j = 0.
b) Si no existe placa o elemento suficientemente rgido o un vaco (caso usual):
La columna colabora en las influencias Mp de los pisos a que pertenece. Se
reparte su influencia proporcionalmente a las M de cada piso, y en M
colaboran todas las Mp de los pisos a que pertenece la columna.
3 3
p=3
M (Piso3) en M es = M(Total) M piso3 entre (M piso3 + Mpiso2)
p=2 M (Piso2) en M es = M(Total) M piso2 entre (M piso3 + Mpiso2)
.
1 1
p=1
0 0
53
6.2 OTROS EJEMPLOS:
Placa rgida K = A = 0
Este sector est libre (Vacio) y no hay placa como en el caso anterior
8 . EJEMPLO NUMERICO:
Resolver el siguiente prtico plano del ejercicio mostrado a continuacin empleando este mtodo acelerado : 4ton/m
6Ton 6m 4,50m Ir 5m 1,5m 1m 1T 3Tm 3Tm 3Tm IO =1,5Ir Distancia muy pequea 1,5Ir Ir (*) 4m Ir Ir Ir
2T 3T-m 3T-m Placa rgida Ir Ir Ir 4T/m 1m
Ir Ir 0,150T/m 3m 1m Distancia muy pequea
Libre 0,500 T/m Ir Ir 1,2 Ir
3m Ir IO= Ir (**) Ir
E=2,1X106 Ton/m2 =Constante para toda la estructura.
54
1m
Seleccionemos las unidades en que trabajaremos: Ton. y m. 4,8m 1,2m
(*) dO d =1,2dO Las Constantes Elsticas i j de tablas son : C/2 = 1,16
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