Pórticos espaciales

J. T. Celigüeta

1

Pórtico espacial. DefiniciónEstructura reticular. Barras rectas de sección despreciable.Cualquier orientación en el espacio.Barras unidas rígidamente en ambos extremos.

Se transmiten 3 fuerzas y 3 momentos entre el nudo y la barraPuede haber articulaciones

Cargas exteriores en cualquier direcciónDeformaciones: 3 desplazamientos y 3 giros

4 m

4 m

2 m

10 kN

2 kN/m

4 m

5 kN-m

2

Condiciones de estabilidad

A 12 b+r < 6n+6b+c InestableB

CIsostático 12 b+r = 6n+6b+cHiperestático 12 b+r > 6n+6b+c

Incógnitas= 12 b + r Ecuaciones estática: 6n + 6b + c

Además de cumplirse B o C, la disposición de las barras debe evitar toda inestabilidad local.

Es posible cumplir B, y ser a la vez inestable e hiperestático

Habitualmente son hiperestáticos con h muy alto

3

Ejemplos (I)

b=8 n=8 r=24 c=0 h=24

a)

b=7 n=8 r=17 c=1 h=10

b)

4

Ejemplos (II)

b=8 n=8 r=24 c=24 h=g=4

c)

b=8 n=8 r=24 c=12 h=12

d)

5

Barra en el espacioDeformaciones de la fibra neutra:

axial u, laterales v, w, giros según X, Y, Z

Deformaciones de un punto P fuera de la fibra neutra:

P Z Y

dv dwu u y z u y z

dx dxθ θ= − + = − −

X

Y

Z

u

v

wX

Y

Z

uP

6

Barra en el espacio

Deformación unitaria axial debida a la flexión y axial:

2 2

2 2P

X

u du d v d wy z

x dx dx dxε

∂= = − −

∂

Y

Z

u

v

w

Y

Z

X

V’’

W’’

X

Y

Z

x

du/dx

7

Barra en el espacio

( )X E u v y w z Tσ α′ ′′ ′′= − − −

Distribución de temperatura lineal:

Ecuación constitutiva lineal:

m gy gzT T yT zT= + +

( )X XE Tσ ε α= −

X

Y

Z

x

xy

xz X

Y

Z

x

xz

xy

x

8

Barra en el espacio: esfuerzos (I)

Y Y Y gzM zdA EI w EI Tσ α′′≡ − = +∫

mN dA EAu EA Tσ α′≡ = −∫

Z Z Z gyM ydA EI v EI Tσ α′′≡ − = +∫MZ

MZ

MYMY

NN

QZQZ

QY

QYY

Z

X

qY

qZ

qa

Y

Z

9

Barra en el espacio: esfuerzos (II)

Z xzQ dAτ= ∫

Y xyQ dAτ= ∫

Momento torsor

Cortantes

MT MTY

Z

( )T xz xyM y z dAτ τ= −∫

10

Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (I)

2

2a

d uq EA

dx=Fuerza axial:

Propiedades uniformes

a

11

Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (II)

Momentos s/ Z

4

4Y Z

d vq EI

dx=−Fuerzas s/ Y

ZY

dMQ

dx=−

Propiedades uniformes

12

Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (III)

4

4Z Y

d wq EI

dx=−Fuerzas s/ Z

Propiedades uniformes

YY Y

Z zZ

Z

Momentos s/ Y YZ

dMQ

dx=−

13

Barra en el espacio: tensiones

Y Z Z YXY XZ

Z Z Y Y

Q A Q AI b I b

τ τ= =

Flexión y esfuerzo axial:

Esfuerzos cortantes:

Torsión: según la teoría de torsión. Contribuye a las 2 tensiones cortantes τ

Z YX

Z Y

N M y M zA I I

σ = − −

14

Barra en el espacio: energía

Energía acumulada en toda la barra (sin energía de cortante ni torsión):

2*

2

2

2

2

2

b m

ZZ gy

Z

YY gz

Y

NU dx N T dx

EAMdx M T dx

EI

Mdx M T dx

EI

α

α

α

= +

+ −

+ −

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

15

Barra en el espacio. Torsión

( )IX IX JX

JX IX

GJM

LM M

ϕ ϕ= −

=−

2

2T

Tb

MU dx

GJ= ∫

Rigidez a la torsión: G J / L

G: módulo de elasticidad en cortadura

Sección circular: J = momento de inercia polar

Otras secciones: J según la teoría de la torsión

16

Barra en el espacio: grados de libertad

Y

Z

u

v

w JX

IY

IZ

JY

JZ

IY

IZ IX

IX JX

Z

Y

X

JY

JZ

IX

IY

IZI

IX

IY

IZ

δ

δ

δϕϕϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

δ

JX

JY

JZJ

JX

JY

JZ

δ

δ

δϕϕϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

δ

3 desplazamientos y 3 giros en cada nudo

17

Barra en el espacio: fuerzas en los nudos

MIYL

PIX

PIZ

PIY

MIZL

MIXL

PJX

PJZ

PJY

MJZL

MJXL

MJYL

IX

IY

IZ

IIXL

IYL

IZL

P

P

P

M

M

M

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

P

JX

JY

JZ

JJXL

JYL

JZL

P

P

P

M

M

M

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

P

3 fuerzas y 3 momentos en cada nudo

18

Barra en el espacio: rigidez en el sistema local

Matriz de 12 x 12.

4 submatrices de 6 x 6

4 efectos desacoplados:

2 flexiones (XY, XZ)

axial (X)

torsión

IX

IY

IZ

IXL

IYL

IZL

JX

JY

JZ

JXL

JYL

JZL

LII LIJ

LJI LJJ

P

P

P

M

M

M

P

P

P

M

M

M

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

K K

K K

IX

IY

IZ

IX

IY

IZ

JX

JY

JZ

JX

JY

JZ

δ

δ

δϕϕϕ

δ

δ

δϕϕϕ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Se obtiene ensamblando las matrices de:

- viga plana en XY (4 gdl),

- viga plana en XZ (4 gdl),

- barra axial (2 gdl) y

- barra a torsión (2 gdl)

19

Barra en el espacio: rigidez en el sistema local

3 2

3 2

2

2

0 0 0 0 0

12 60 0 0 0

12 60 0 0 0

0 0 0 0 0

6 40 0 0 0

6 40 0 0 0

z z

y y

LII

y y

z z

EAL

EI EIL L

EI EI

L LGJL

EI EI

L LEI EIL L

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

K

Viga a flexión en plano XZ

Barra bi articulada

Viga a flexión en plano XY

Barra a torsión pura

4 efectos desacoplados:

2 flexiones (XY, XZ)

axial (X)

torsión (Giro X)

20

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (I)Sistema local de la barra conocido:

Eje X local: nudo I al nudo J.

Ejes Y, Z locales : ejes principales de inercia de la sección

Ubicar los ejes locales respecto de los generales.

21

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (II)Ubicar los ejes locales : tres rotaciones sucesivas α, β y ψ

YYL

ZL

Z

YG

22

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (III)Método del punto auxiliar: En lugar del ángulo ψ se definen las coordenadas de un punto P cualquiera situado en el plano XL, YL. A partir de ellas es fácil determinar ψ

23

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (IV)Ángulos α, β: pueden ser calculados en función de los tres cosenos directores del eje X local (λ, μ, ν)

Ángulo auxiliar ψ : su valor debe ser definido como dato por el usuario para completar la definición del sistema local

2 2cos sin cos sincos

sin cos sin cossin

D DD D

DD D

λ μ ν

λμ ψ ν ψ μν ψ λ ψψ λ ν

λμ ψ ν ψ μν ψ λ ψψ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − − +⎢ ⎥= = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

T

Nota: se produce una indeterminación si la barra es paralela al eje Y general, con lo que D=0. Se adopta un valor de ψ de 90º o 270º.

24

Rigidez en coordenadas generales

XG

ZG

YG

IY

IZ

IY

IZIX

IX

JY

JZ

JY

JZJX

JX

{ }T

I IX IY IZ IX IY IZθ θ θ= Δ Δ ΔΔ

{ }T

J JX JY JZ JX JY JZθ θ θ= Δ Δ ΔΔ

Grados de libertad Fuerzas y momentos

{ }T

I IX IY IZ IX IY IZF F F M M M=F

{ }T

J JX JY JZ JX JY JZF F F M M M=F

4 4T

G L=K T K T

12 x 12 llena XG

ZG

YG

MIY

FIY

FJY

FIX

FIZ

MIZ

MIX

FJZ

FJX

MJZ

MJY

MJX

25

Barras en el espacio con articulacionesVarias situaciones: 1, 2 ó 3 momentos nulos, en 1 ó 2 nudos

YL

ZL

JX

IY JY

JZ

IY

IZ

IX

IX JX

JY

JZ

XLMZL=0

Van apareciendo en la matriz de rigidez filas y columnas nulas, correspondientes a los esfuerzos anulados, hasta llegar a la barra biarticulada (sólo N).

26

Barras en el espacio con articulacionesSituaciones muy complejas:El eje de la articulación no coincide con un eje principal de inercia (eje local)

Emplear un sistema local distinto en cada nudo, de tal forma que en el nudo I sea fácil definir la condición M=0.Sistema de grados de libertad “mixto”

27

Ejemplos

28

Ejemplos

29

Ejemplos

30

Ejemplos

Velódromo (Korea)

31

Ejemplos

Torre spinnaker(Portsmouth, UK)

Estadio Chunju (Corea)